İçeriğe geç
AYT Hazırlık
Dersler

23Konu 23 / 49
Trigonometri

Toplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri

İki açının toplamının ve farkının sinüsünü, kosinüsünü ve tanjantını bir şekilden kuruyor, iki kat açı formüllerini bunlardan çıkarıyor; sonra ifadeleri sadeleştirmeyi ve geometriyle birleşik sınav sorularını çözmeyi öğreniyoruz.

  • 12. sınıf
  • AYT sıklığı
  • 60 dk

LevhaToplam, Fark ve İki Kat Açı FormülleriToplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri

Uzunluğu 11 metre olan bir rampa yerle 30∘30^\circ yapıyor; ucu yerden sin⁡30∘=0,5\sin 30^\circ = 0{,}5 metre yüksekte. Açıyı iki katına, 60∘60^\circ‘ye çıkarırsan uç 11 metreye çıkar mı? Çıkmaz: sin⁡60∘≈0,87\sin 60^\circ \approx 0{,}87. Sinüs, açının iki katını ya da iki açının toplamını kendiliğinden “dağıtmaz”. Peki sin⁡2x\sin 2x ile sin⁡x\sin x arasındaki gerçek ilişki ne? Bu sayfa o formülleri kuruyor.

Açı iki katına çıktı, yükseklik 0,50{,}5'ten 11'e değil yaklaşık 0,870{,}87'ye çıktı.

Isınma

Başlamadan: oranlar, tümler açı, işaret

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

xx bir dar açı ve sin⁡x=35\sin x = \dfrac{3}{5} olduğuna göre cos⁡x\cos x kaçtır?

Açıklama

cos⁡2x=1−925=1625\cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25} ve dar açıda kosinüs pozitif olduğundan cos⁡x=45\cos x = \dfrac{4}{5}. Kısa yol: 33-44-55 dik üçgeni.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

sin⁡56∘\sin 56^\circ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Açıklama

Toplamı 90∘90^\circ olan açılar tümlerdir ve birinin sinüsü ötekinin kosinüsüdür: sin⁡56∘=cos⁡(90∘−56∘)=cos⁡34∘\sin 56^\circ = \cos(90^\circ - 56^\circ) = \cos 34^\circ. Ayrıntısı Trigonometrik Fonksiyonlar sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

cos⁡120∘\cos 120^\circ kaçtır?

Açıklama

120∘=180∘−60∘120^\circ = 180^\circ - 60^\circ ikinci bölgededir; kosinüs burada negatiftir: cos⁡120∘=−cos⁡60∘=−12\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}.

Temel

Toplam ve fark formülleri

Sinüs toplamaya dağılmaz

Cebirde 2⋅(a+b)=2a+2b2 \cdot (a + b) = 2a + 2b yazarsın, çünkü çarpma toplamaya dağılır. Ama sin⁡\sin bir çarpan değil, bir fonksiyondur: sin⁡(a+b)\sin(a + b) ifadesindeki parantez açılmaz.

Deneyelim: a=30∘a = 30^\circ, b=60∘b = 60^\circ. Sol taraf sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1. Sağ taraf sin⁡30∘+sin⁡60∘≈0,5+0,87=1,37\sin 30^\circ + \sin 60^\circ \approx 0{,}5 + 0{,}87 = 1{,}37; bu sayı 11‘den büyük, bir sinüs değeri bile olamaz.

Sahnede birim çemberde önce aa açısı, onun üstüne bb açısı ekleniyor. Sağdaki iki çubuğu karşılaştır: biri sin⁡a+sin⁡b\sin a + \sin b, öteki sin⁡(a+b)\sin(a + b). Sürgülerle aa ve bb değerlerini değiştir; çubukların yalnızca açılardan biri sıfırken eşitlendiğini gör.

Toplam formüllerini kurmak

Amacımız sin⁡(a+b)\sin(a + b) ve cos⁡(a+b)\cos(a + b) değerlerini aa ile bb‘nin sinüs ve kosinüsleri cinsinden yazmak. Bunun için hipotenüsü 11 olan bb açılı bir dik üçgeni, aa açılı bir dik üçgenin hipotenüsüne oturtuyoruz.

Hipotenüsü 11 olan doğru parçası yatayla a+ba + b açısı yapıyor; dikdörtgenin kenarları dört çarpımdan oluşuyor.

Şekli üç adımda oku:

  • Ortadaki üçgen: hipotenüsü 11, açısı bb. Dik kenarları cos⁡b\cos b ve sin⁡b\sin b.
  • Alttaki üçgen: hipotenüsü cos⁡b\cos b, açısı aa. Yatay kenarı cos⁡acos⁡b\cos a \cos b, düşey kenarı sin⁡acos⁡b\sin a \cos b.
  • Üstteki üçgen: hipotenüsü sin⁡b\sin b. Kenarları alttaki üçgenin kenarlarına dik olduğundan alt köşesindeki açı yine aa‘dır. Düşey kenarı cos⁡asin⁡b\cos a \sin b, yatay kenarı sin⁡asin⁡b\sin a \sin b.

Dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşittir. Sol kenar sin⁡(a+b)\sin(a + b), sağ kenar iki parçanın toplamı. Alt kenar cos⁡acos⁡b\cos a \cos b, üst kenar cos⁡(a+b)\cos(a + b) ile sin⁡asin⁡b\sin a \sin b parçalarının toplamı.

Sahnede aynı kuruluş canlı. aa ve bb sürgülerini oynat ya da noktaları sürükle: sağ kenardaki iki parçanın uzunlukları değişiyor ama toplamları her zaman sol kenara, yani sin⁡(a+b)\sin(a + b)‘ye eşit kalıyor. Üst kenarda ise cos⁡(a+b)\cos(a + b), alt kenardan sin⁡asin⁡b\sin a \sin b çıkarılınca kalan parça.

Örnek

kolay

Bilinen açıların toplamı: sin 75°

sin⁡75∘\sin 75^\circ değerini bul.

75∘75^\circ ezberdeki açılardan biri değil, ama ikisinin toplamı: 75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ. Toplam formülünü bu yüzden kullanabiliriz.

Formülde a=45∘a = 45^\circ, b=30∘b = 30^\circ yaz. Sinüste çarpımlar karışıktır: sinüs ile kosinüs çarpılır.

sin⁡75∘=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin 75^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ

Değerleri yerleştir: 22⋅32+22⋅12=64+24\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}.

Sonuç

sin⁡75∘=6+24\sin 75^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (yaklaşık 0,970{,}97; 11‘e yakın çıkması beklenen bir şey).

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

cos⁡75∘\cos 75^\circ kaçtır?

Açıklama

cos⁡75∘=cos⁡45∘cos⁡30∘−sin⁡45∘sin⁡30∘=64−24\cos 75^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{6}}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4}. Yaklaşık 0,260{,}26: açı 90∘90^\circ‘ye yaklaşırken kosinüs küçülür.

Fark formülleri

Fark için yeni bir şekle gerek yok: a−b=a+(−b)a - b = a + (-b). Toplam formülünde bb yerine −b-b yaz ve iki bilgiyi kullan: cos⁡(−b)=cos⁡b\cos(-b) = \cos b, sin⁡(−b)=−sin⁡b\sin(-b) = -\sin b. İçinde sin⁡b\sin b olan terimin işareti değişir, öteki aynı kalır.

Sahnede bb açılı üçgen bu kez aa ışınının altına katlanıyor. Düğmeye bas ve katlanmayı izle: düşeyde cos⁡asin⁡b\cos a \sin b parçası artık çıkarılıyor, yatayda sin⁡asin⁡b\sin a \sin b parçası ekleniyor. İşaretlerin neden yer değiştirdiği şeklin üzerinde görünüyor.

Örnek

kolay

Formülü tersten okumak

sin⁡50∘cos⁡20∘−cos⁡50∘sin⁡20∘\sin 50^\circ \cos 20^\circ - \cos 50^\circ \sin 20^\circ ifadesinin değeri kaçtır?

50∘50^\circ ve 20∘20^\circ için değer ezberi yok; çarpımları tek tek hesaplayamayız. Ama ifadenin biçimi tanıdık: sinüs ile kosinüs çarpılmış ve arada eksi var. Bu, bir fark formülünün açılmış hâlidir.

sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b=sin⁡(a−b)\sin a \cos b - \cos a \sin b = \sin(a - b) formülünde a=50∘a = 50^\circ, b=20∘b = 20^\circ al. İfade sin⁡(50∘−20∘)=sin⁡30∘\sin(50^\circ - 20^\circ) = \sin 30^\circ olur.

Sonuç

İfadenin değeri 12\dfrac{1}{2}‘dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

cos⁡80∘cos⁡20∘+sin⁡80∘sin⁡20∘\cos 80^\circ \cos 20^\circ + \sin 80^\circ \sin 20^\circ ifadesinin değeri kaçtır?

Açıklama

cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b=cos⁡(a−b)\cos a \cos b + \sin a \sin b = \cos(a - b) olduğundan ifade cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} eder.

Örnek

kolay

Eksik oranı tamamla, sonra formül

aa ve bb dar açılar, sin⁡a=35\sin a = \dfrac{3}{5} ve cos⁡b=513\cos b = \dfrac{5}{13} olduğuna göre sin⁡(a+b)\sin(a + b) kaçtır?

Formül dört değer ister: sin⁡a\sin a, cos⁡a\cos a, sin⁡b\sin b, cos⁡b\cos b. İkisi verilmiş, eksik olanları dik üçgenlerden tamamla. 33-44-55 üçgeninden cos⁡a=45\cos a = \dfrac{4}{5}; 55-1212-1313 üçgeninden sin⁡b=1213\sin b = \dfrac{12}{13}. Açılar dar olduğundan ikisi de pozitiftir.

Toplam formülüne yerleştir:

sin⁡(a+b)=35⋅513+45⋅1213=1565+4865\sin(a + b) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{13} + \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{12}{13} = \dfrac{15}{65} + \dfrac{48}{65}

Sonuç

sin⁡(a+b)=6365\sin(a + b) = \dfrac{63}{65}

Orta

Tanjant, iki kat açı ve sadeleştirme

Tanjantın toplamı ve farkı

tan⁡=sin⁡cos⁡\tan = \dfrac{\sin}{\cos} olduğundan tanjantın formülü sinüs ve kosinüs formüllerinin oranıdır. Payı ve paydayı cos⁡acos⁡b\cos a \cos b ile böl; her terim tanjanta dönüşür:

tan⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡bcos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡b\tan(a + b) = \dfrac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b - \sin a \sin b} = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

tan⁡a=3\tan a = 3 ve tan⁡b=1\tan b = 1 olduğuna göre tan⁡(a−b)\tan(a - b) kaçtır?

Açıklama

tan⁡(a−b)=3−11+3⋅1=24=12\tan(a - b) = \dfrac{3 - 1}{1 + 3 \cdot 1} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}.

Tanjantın geometrideki karşılığı eğimdir: bir doğrunun eğimi, xx ekseniyle pozitif yönde yaptığı açının tanjantıdır (Doğrunun Analitiği). Eğimleri bilinen iki doğrunun arasındaki açıyı bu yüzden tanjantın fark formülüyle bulursun.

Eğimler 22 ve 13\dfrac{1}{3}: fark formülü aradaki açının tanjantını 11 verir; açı 45∘45^\circ.

Sahnede orijinden geçen iki doğru var. Noktaları sürükleyerek ya da sürgülerle eğimleri değiştir; aradaki açının tanjantı fark formülüyle anında hesaplanıyor. m1=3m_1 = 3, m2=0,5m_2 = 0{,}5 iken açı tam 45∘45^\circ. m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1 yaptığında payda sıfırlanır: doğrular diktir, tanjant tanımsızdır.

Örnek

orta

Üç karede gizli 45°

Yan yana üç birim kareden oluşan şekilde [AT][AT] doğru parçası alt kenarla β\beta, [BT][BT] doğru parçası alt kenarla α\alpha açısı yapıyor. α+β\alpha + \beta kaç derecedir?

Açıların ölçüsünü tek tek bulamayız ama tanjantlarını karelerden okuyabiliriz. TT noktası AA‘dan 33 birim sağda ve 11 birim yukarıda: tan⁡β=13\tan\beta = \dfrac{1}{3}. BB‘den 22 birim sağda ve 11 birim yukarıda: tan⁡α=12\tan\alpha = \dfrac{1}{2}.

Toplamın ölçüsü sorulduğu için tanjantın toplam formülünü kullan; sonuç bildiğimiz bir açının tanjantı çıkarsa iş biter.

tan⁡(α+β)=12+131−12⋅13=5656=1\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \dfrac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1

α\alpha ve β\beta dar açılar, toplamları 0∘0^\circ ile 180∘180^\circ arasında. Bu aralıkta tanjantı 11 olan tek açı 45∘45^\circ‘dir.

Sonuç

α+β=45∘\alpha + \beta = 45^\circ

İki kat açı formülleri

Toplam formüllerinde iki açıyı eşit al: b=ab = a. O zaman a+b=2aa + b = 2a olur ve üç formül birden gelir. Örneğin sin⁡(x+x)=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=2sin⁡xcos⁡x\sin(x + x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x = 2 \sin x \cos x.

Aynı formülleri bir çemberde de görebilirsin. Çapı gören çevre açı diktir ve bir yayı gören merkez açı, aynı yayı gören çevre açının iki katıdır (Çemberde Kiriş ve Açılar).

APHAPH dik üçgeninde ∣PH∣=2cos⁡x⋅sin⁡x|PH| = 2\cos x \cdot \sin x ve ∣AH∣=2cos⁡x⋅cos⁡x|AH| = 2\cos x \cdot \cos x; aynı uzunluklar sin⁡2x\sin 2x ve 1+cos⁡2x1 + \cos 2x.

Sahnede PP noktasını yarım çember üzerinde sürükle ya da xx sürgüsünü kullan. AA‘daki açı xx iken OO‘daki açı hep 2x2x. PP‘nin yüksekliğini iki yoldan oku: merkezden bakınca sin⁡2x\sin 2x, AA‘dan bakınca 2cos⁡x⋅sin⁡x2\cos x \cdot \sin x. Düğmeyle kosinüse geç: ∣AH∣=1+cos⁡2x=2cos⁡2x|AH| = 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x.

Örnek

orta

İkinci bölgede iki kat açı

π2<x<π\dfrac{\pi}{2} < x < \pi ve sin⁡x=35\sin x = \dfrac{3}{5} olduğuna göre sin⁡2x\sin 2x ve cos⁡2x\cos 2x değerlerini bul.

sin⁡2x\sin 2x için cos⁡x\cos x de gerekir. Büyüklüğü 33-44-55 üçgeninden 45\dfrac{4}{5}; işareti bölgeden gelir. İkinci bölgede kosinüs negatiftir: cos⁡x=−45\cos x = -\dfrac{4}{5}. Sorunun tuzağı bu işarettir.

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x=2⋅35⋅(−45)=−2425\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{5}\right) = -\dfrac{24}{25}.

cos⁡2x\cos 2x için yalnızca sinüsü kullanan yüzü seç; böylece işaret hatası riski kalmaz: cos⁡2x=1−2sin⁡2x=1−2⋅925=725\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2 \cdot \dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25}.

Sonuç

sin⁡2x=−2425\sin 2x = -\dfrac{24}{25} ve cos⁡2x=725\cos 2x = \dfrac{7}{25}. Denetim: 2x2x açısı π\pi ile 2π2\pi arasındadır; sinüsü negatif, kosinüsü pozitif çıktığına göre dördüncü bölgededir, tutarlı.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

cos⁡x=13\cos x = \dfrac{1}{3} olduğuna göre cos⁡2x\cos 2x kaçtır?

Açıklama

Yalnızca kosinüs verildiği için cos⁡2x=2cos⁡2x−1=2⋅19−1=−79\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2 \cdot \dfrac{1}{9} - 1 = -\dfrac{7}{9}. xx‘in hangi bölgede olduğunu bilmeye gerek kalmadı.

Örnek

orta

İtfaiye merdiveni

Bir itfaiye aracının 2525 metre uzunluğundaki merdiveni yatayla xx açısı yaparken tan⁡x=13\tan x = \dfrac{1}{3}‘tür. Merdivenin boyu değiştirilmeden yatayla yaptığı açı iki katına çıkarılıyor. Merdivenin ucu, merdivenin araca bağlandığı noktadan kaç metre yukarıdadır?

Ucun yüksekliği, hipotenüsü 2525 olan dik üçgenin karşı kenarıdır: yeni durumda 25⋅sin⁡2x25 \cdot \sin 2x. Demek ki sin⁡2x\sin 2x gerekiyor; açının kendisi değil.

tan⁡x=13\tan x = \dfrac{1}{3} için dik kenarları 11 ve 33 olan üçgeni çiz; hipotenüs 10\sqrt{10} olur. Buradan sin⁡x=110\sin x = \dfrac{1}{\sqrt{10}} ve cos⁡x=310\cos x = \dfrac{3}{\sqrt{10}}.

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x=2⋅110⋅310=610=35\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{10}} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{10}} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}. Kökler çarpılınca kayboldu; açı iki katına çıkınca sonuç çoğu kez sadeleşir.

Sonuç

Yükseklik 25⋅35=1525 \cdot \dfrac{3}{5} = 15 metredir. İlk yükseklik 2510≈7,9\dfrac{25}{\sqrt{10}} \approx 7{,}9 metreydi; iki katı 15,815{,}8 eder, yani yükseklik yine iki katına çıkmadı.

Formülü tersinden okumak

“İki kat” görecelidir: formül, bir açıyı yarısı cinsinden yazar. 4x4x, 2x2x‘in iki katıdır; xx de x2\dfrac{x}{2}‘nin iki katıdır:

sin⁡4x=2sin⁡2xcos⁡2xsin⁡x=2sin⁡x2cos⁡x2\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x \qquad \sin x = 2 \sin\dfrac{x}{2} \cos\dfrac{x}{2}

cos⁡2x\cos 2x formülleri tersten okununca kareyi yok eder. Sınavda en çok işe yarayan dönüşüm budur.

y=sin⁡2xy = \sin^2 x eğrisi, y=cos⁡2xy = \cos 2x dalgasının ters çevrilip yarıya indirilmiş ve 12\dfrac{1}{2} birim yukarı kaydırılmış hâlidir.

Sahnede kesikli y=cos⁡2xy = \cos 2x dalgası ve soluk y=sin⁡2xy = \sin^2 x eğrisi var. Sürgüyü ilerlet: dalga önce ters dönüyor, sonra yarıya iniyor, sonra 12\dfrac{1}{2} birim yükseliyor ve sin⁡2x\sin^2 x eğrisinin tam üstüne oturuyor. Düğmeyle cos⁡2x\cos^2 x‘e geç; bu kez dalgayı ters çevirmeye gerek kalmıyor.

Örnek

orta

Zincirleme iki kat

8⋅sin⁡15∘⋅cos⁡15∘⋅cos⁡30∘8 \cdot \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ \cdot \cos 30^\circ ifadesinin değeri kaçtır?

sin⁡15∘\sin 15^\circ değerini hesaplamak uzun yol. Aynı açının sinüsü ile kosinüsü çarpılmış; bu, sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x formülünün sağ tarafıdır. 88‘in içinden bir 22 ayır: 2sin⁡15∘cos⁡15∘=sin⁡30∘2\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin 30^\circ.

İfade 4⋅sin⁡30∘⋅cos⁡30∘4 \cdot \sin 30^\circ \cdot \cos 30^\circ oldu. Aynı kalıp yine karşımızda; bir 22 daha ayır: 2sin⁡30∘cos⁡30∘=sin⁡60∘2 \sin 30^\circ \cos 30^\circ = \sin 60^\circ.

Geriye 2⋅sin⁡60∘=2⋅322 \cdot \sin 60^\circ = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} kaldı.

Sonuç

İfadenin değeri 3\sqrt{3}‘tür.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

cos⁡215∘−sin⁡215∘\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ ifadesinin değeri kaçtır?

Açıklama

cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x olduğundan ifade cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} eder.

Sık çıkan sadeleştirme kalıpları

Sınavdaki sadeleştirme sorularının çoğu aynı birkaç kalıbın birleşimidir. Hepsi yukarıdaki formüllerden bir satırda çıkar; ezberlemek yerine nasıl çıktığını bil.

GördüğünYerine yazNeden
(sin⁡x+cos⁡x)2(\sin x + \cos x)^21+sin⁡2x1 + \sin 2xKareyi aç: sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1, ortadaki terim 2sin⁡xcos⁡x2\sin x\cos x
(sin⁡x−cos⁡x)2(\sin x - \cos x)^21−sin⁡2x1 - \sin 2xAynı açılım, ortadaki terim eksi
cos⁡4x−sin⁡4x\cos^4 x - \sin^4 xcos⁡2x\cos 2xİki kare farkı; çarpanlardan biri 11
sin⁡2x1+cos⁡2x\dfrac{\sin 2x}{1 + \cos 2x}tan⁡x\tan x2sin⁡xcos⁡x2cos⁡2x\dfrac{2\sin x\cos x}{2\cos^2 x}

Örnek

orta

Toplamdan çarpıma

sin⁡x+cos⁡x=43\sin x + \cos x = \dfrac{4}{3} olduğuna göre sin⁡2x\sin 2x kaçtır?

sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x değerlerini ayrı ayrı bulmaya çalışma; istenen sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x, yani yalnızca çarpımları. Toplamdan çarpıma geçmenin yolu kare almaktır.

İki tarafın karesini al:

sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=169\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \dfrac{16}{9}

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ve 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x = \sin 2x yaz: 1+sin⁡2x=1691 + \sin 2x = \dfrac{16}{9}.

Sonuç

sin⁡2x=79\sin 2x = \dfrac{7}{9}

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

1−cos⁡2xsin⁡2x\dfrac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

1−cos⁡2x=2sin⁡2x1 - \cos 2x = 2\sin^2 x ve sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x olduğundan kesir 2sin⁡2x2sin⁡xcos⁡x=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\dfrac{2\sin^2 x}{2\sin x\cos x} = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x olur.

İleri

Sınav düzeyi: birleşik sorular ve tuzaklar

Sayı açılarıyla sadeleştirme

Açılar 10∘10^\circ, 20∘20^\circ, 34∘34^\circ gibi “değeri bilinmeyen” sayılar olduğunda hesap yapılmaz, ilişki aranır. Üç soruyu sor: biri ötekinin iki katı mı? Toplamları 90∘90^\circ mi (tümler)? Katsayılar 12\dfrac{1}{2} ve 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} gibi bilinen bir açının sinüsü ve kosinüsü mü?

Örnek

zor

Katsayıda gizlenen açı

1sin⁡10∘−3cos⁡10∘\dfrac{1}{\sin 10^\circ} - \dfrac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ} ifadesinin değeri kaçtır?

İki kesri tek kesirde topla, çünkü pay ve payda ayrı ayrı tanıdık kalıplara dönüşecek:

cos⁡10∘−3sin⁡10∘sin⁡10∘cos⁡10∘\dfrac{\cos 10^\circ - \sqrt{3}\sin 10^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}

Payda 11 ve 3\sqrt{3} katsayıları var. 22 parantezine alınca 12=sin⁡30∘\dfrac{1}{2} = \sin 30^\circ ve 32=cos⁡30∘\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30^\circ ortaya çıkar; pay bir fark formülünün açılımıdır:

2(sin⁡30∘cos⁡10∘−cos⁡30∘sin⁡10∘)=2sin⁡20∘2\left(\sin 30^\circ \cos 10^\circ - \cos 30^\circ \sin 10^\circ\right) = 2\sin 20^\circ

Paydada aynı açının sinüsü ile kosinüsü çarpılmış: sin⁡10∘cos⁡10∘=sin⁡20∘2\sin 10^\circ \cos 10^\circ = \dfrac{\sin 20^\circ}{2}.

Sonuç

2sin⁡20∘12sin⁡20∘=4\dfrac{2\sin 20^\circ}{\frac{1}{2}\sin 20^\circ} = 4

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(sin⁡15∘+cos⁡15∘)2(\sin 15^\circ + \cos 15^\circ)^2 ifadesinin değeri kaçtır?

Açıklama

(sin⁡x+cos⁡x)2=1+sin⁡2x(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin 2x kalıbı: 1+sin⁡30∘=321 + \sin 30^\circ = \dfrac{3}{2}.

İkinci dereceden denklemle birleşik

Örnek

zor

Kökleri tanjant olan denklem

tan⁡a\tan a ve tan⁡b\tan b sayıları x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0 denkleminin kökleridir. Buna göre tan⁡(a+b)\tan(a + b) kaçtır?

Kökleri tek tek bulmaya kalkma: diskriminant 25−12=1325 - 12 = 13, kökler köklü çıkar. Toplam formülüne bak: tan⁡a\tan a ve tan⁡b\tan b ayrı ayrı değil, yalnızca toplamları ve çarpımları gerekiyor.

Kök–katsayı bağıntılarından (İkinci Dereceden Denklemler) köklerin toplamı 55, çarpımı 33‘tür: tan⁡a+tan⁡b=5\tan a + \tan b = 5 ve tan⁡a⋅tan⁡b=3\tan a \cdot \tan b = 3.

Formüle yerleştir: tan⁡(a+b)=51−3\tan(a + b) = \dfrac{5}{1 - 3}. Paydanın negatif çıkması sorun değil; a+ba + b geniş açı olabilir.

Sonuç

tan⁡(a+b)=−52\tan(a + b) = -\dfrac{5}{2}

Geometriyle birleşik sorular

Geometri sorusunda bir açının iki katı görünüyorsa ya da bir uzunluk sin⁡θ⋅cos⁡θ\sin\theta \cdot \cos\theta çarpımına bağlıysa iki kat açı formülü devrededir. En sık eşlik eden bilgi alan formülleridir: iki kenarı ve aradaki açısı bilinen üçgenin alanı 12⋅b⋅c⋅sin⁡A\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A, paralelkenarın alanı bunun iki katıdır (Üçgenin Alanı).

Köşe yay üzerinde gezerken dikdörtgenin alanı 2cos⁡θ⋅sin⁡θ=sin⁡2θ2\cos\theta \cdot \sin\theta = \sin 2\theta olur.

Sahnede dikdörtgenin köşesini yay üzerinde sürükle. Dikdörtgen basıkken de dikken de alan küçük; sağdaki alan grafiğinde nokta sin⁡2θ\sin 2\theta eğrisi üzerinde geziyor ve tepeye tam θ=45∘\theta = 45^\circ‘de ulaşıyor. θ\theta ile 90∘−θ90^\circ - \theta açılarının aynı alanı verdiğine de bak: sin⁡2θ=sin⁡(180∘−2θ)\sin 2\theta = \sin(180^\circ - 2\theta).

Örnek

zor

Yarım çemberde en büyük dikdörtgen

Yarıçapı 66 birim olan bir yarım çemberin içine, bir kenarı çap üzerinde ve iki köşesi yay üzerinde olacak biçimde dikdörtgenler çiziliyor. Bu dikdörtgenlerin alanı en çok kaç birimkare olabilir?

Değişen şeyi tek bir açıyla anlat. Merkezden yay üzerindeki köşeye giden yarıçap çapla θ\theta açısı yapsın (0∘<θ<90∘0^\circ < \theta < 90^\circ). Köşenin merkeze yatay uzaklığı 6cos⁡θ6\cos\theta, yüksekliği 6sin⁡θ6\sin\theta olur.

Dikdörtgen merkeze göre simetrik olduğundan genişliği 2⋅6cos⁡θ=12cos⁡θ2 \cdot 6\cos\theta = 12\cos\theta, yüksekliği 6sin⁡θ6\sin\theta‘dır. Alan: 12cos⁡θ⋅6sin⁡θ=72sin⁡θcos⁡θ12\cos\theta \cdot 6\sin\theta = 72\sin\theta\cos\theta.

Çarpımı tek bir sinüse çevir, çünkü tek bir sinüsün en büyük değerini biliyoruz: 72sin⁡θcos⁡θ=36⋅2sin⁡θcos⁡θ=36sin⁡2θ72\sin\theta\cos\theta = 36 \cdot 2\sin\theta\cos\theta = 36\sin 2\theta.

sin⁡2θ\sin 2\theta en çok 11 olur; bu da 2θ=90∘2\theta = 90^\circ, yani θ=45∘\theta = 45^\circ iken gerçekleşir ve bu açı izin verilen aralıktadır.

Sonuç

En büyük alan 3636 birimkaredir.

Örnek

zor

Bahçe fıskiyesi

Bir bahçe fıskiyesi suyu yerle θ\theta açısı yapacak biçimde püskürtüyor (0∘<θ<90∘0^\circ < \theta < 90^\circ). Suyun yere düştüğü noktanın fıskiyeye uzaklığı metre cinsinden R(θ)=20⋅sin⁡θ⋅cos⁡θR(\theta) = 20 \cdot \sin\theta \cdot \cos\theta ile veriliyor. Fıskiye 15∘15^\circ‘ye ayarlandığında su kaç metre uzağa düşer? Fıskiyenin ulaşabildiği en büyük uzaklık kaç metredir?

sin⁡15∘\sin 15^\circ ve cos⁡15∘\cos 15^\circ değerlerini ayrı ayrı hesaplamak yerine çarpımı tek sinüse çevir: R(θ)=10⋅2sin⁡θcos⁡θ=10sin⁡2θR(\theta) = 10 \cdot 2\sin\theta\cos\theta = 10\sin 2\theta.

θ=15∘\theta = 15^\circ için R=10⋅sin⁡30∘=5R = 10 \cdot \sin 30^\circ = 5 metre.

En büyük uzaklık için sin⁡2θ\sin 2\theta en büyük değerini, yani 11‘i almalı: 2θ=90∘2\theta = 90^\circ, θ=45∘\theta = 45^\circ. O zaman R=10R = 10 metre.

Sonuç

15∘15^\circ‘de 55 metre; en çok 1010 metre (θ=45∘\theta = 45^\circ). Fıskiye 75∘75^\circ‘ye ayarlanırsa su yine 55 metreye düşer, çünkü sin⁡150∘=sin⁡30∘\sin 150^\circ = \sin 30^\circ.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

  • Toplam–fark: sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b ve cos⁡(a±b)=cos⁡acos⁡b∓sin⁡asin⁡b\cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b. Sinüs karışık çarpar ve işareti korur; kosinüs aynı türü çarpar ve işareti ters çevirir.
  • Tanjant: tan⁡(a±b)=tan⁡a±tan⁡b1∓tan⁡atan⁡b\tan(a \pm b) = \dfrac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}. Eğimleri bilinen iki doğru arasındaki açı buradan bulunur.
  • İki kat: sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x, cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x=2cos⁡2x−1=1−2sin⁡2x\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x, tan⁡2x=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan 2x = \dfrac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}.
  • Tersten okuma: 1+cos⁡2x=2cos⁡2x1 + \cos 2x = 2\cos^2 x, 1−cos⁡2x=2sin⁡2x1 - \cos 2x = 2\sin^2 x, sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x = \dfrac{\sin 2x}{2}, (sin⁡x±cos⁡x)2=1±sin⁡2x(\sin x \pm \cos x)^2 = 1 \pm \sin 2x.
  • sin⁡(a+b)≠sin⁡a+sin⁡b\sin(a + b) \neq \sin a + \sin b ve sin⁡2x≠2sin⁡x\sin 2x \neq 2\sin x. Eksik oranı tamamlarken işareti açının bölgesinden al.
  • Sayı açılarında hesap yapma, ilişki ara: iki kat, tümler açı, katsayıda gizli 30∘30^\circ–45∘45^\circ–60∘60^\circ.
  • Geometride sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta çarpımı görünce sin⁡2θ2\dfrac{\sin 2\theta}{2} yaz; en büyük değeri θ=45∘\theta = 45^\circ‘de alır.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

16 çıkmış soru7 özgün soru

2026 AYTSoru 27

Orta

İfade sadeleştirme

2cos⁡4x+sin⁡2(2x)+2sin⁡4x2cos⁡4x−2sin⁡4x\dfrac{2\cos^4 x + \sin^2(2x) + 2\sin^4 x}{2\cos^4 x - 2\sin^4 x}

Bu ifadenin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

sin⁡22x=4sin⁡2xcos⁡2x\sin^2 2x = 4\sin^2 x\cos^2 x yazınca pay bir tam kareye, payda iki kare farkına dönüşür.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34) (yeni sekmede açılır, PDF)

Çözüm

1. Pay. sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x olduğundan sin⁡22x=4sin⁡2xcos⁡2x\sin^2 2x = 4\sin^2 x\cos^2 x:

2cos⁡4x+4sin⁡2xcos⁡2x+2sin⁡4x=2(cos⁡2x+sin⁡2x)2=22\cos^4 x + 4\sin^2 x\cos^2 x + 2\sin^4 x = 2\left(\cos^2 x + \sin^2 x\right)^2 = 2

2. Payda. İki kare farkı:

2(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)=2cos⁡2x2\left(\cos^2 x - \sin^2 x\right)\left(\cos^2 x + \sin^2 x\right) = 2\cos 2x

3. Oran. 22cos⁡2x=1cos⁡2x=sec⁡2x\dfrac{2}{2\cos 2x} = \dfrac{1}{\cos 2x} = \sec 2x.

Cevap: C

ÖSYM sorusundan uyarlanmıştır: veriler ve seçenekler aynıdır, anlatım bize aittir.

2026 AYTSoru 28

Orta

Toplam ve fark formülleri

x∈(0,π2)x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) ve y∈(0,π2)y \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) olmak üzere

cos⁡x⋅cos⁡y=314sin⁡x⋅sin⁡y=57\cos x \cdot \cos y = \dfrac{3}{14} \qquad \sin x \cdot \sin y = \dfrac{5}{7}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre sin⁡x⋅cos⁡y+cos⁡x⋅sin⁡y\sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y kaçtır?

İpucu

İstenen ifade sin⁡(x+y)\sin(x + y)'nin açılımıdır. Verilen iki çarpım ise cos⁡(x+y)\cos(x + y)'nin açılımındaki iki terimdir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34) (yeni sekmede açılır, PDF)

Çözüm

1. İsteneni tanı. sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y=sin⁡(x+y)\sin x\cos y + \cos x\sin y = \sin(x + y).

2. Verilenlerden cos⁡(x+y)\cos(x + y).

cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y=314−1014=−12\cos(x + y) = \cos x\cos y - \sin x\sin y = \dfrac{3}{14} - \dfrac{10}{14} = -\dfrac{1}{2}

3. Sinüse geç. 0<x+y<π0 < x + y < \pi olduğundan sin⁡(x+y)\sin(x + y) pozitiftir:

sin⁡(x+y)=1−14=32\sin(x + y) = \sqrt{1 - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

(Bu aralıkta kosinüsü −12-\dfrac{1}{2} olan açı 2π3\dfrac{2\pi}{3}'tür.)

Tuzak: iki çarpımı toplayıp 1314\dfrac{13}{14} bulmak; o değer cos⁡(x−y)\cos(x - y)'dir, sorulan şey değil.

Cevap: B

ÖSYM sorusundan uyarlanmıştır: veriler ve seçenekler aynıdır, anlatım bize aittir.

2026 AYTSoru 31

Orta

Geometri ile birleşik sorular

Bir koşu bandında eğim artırma tuşuna basılınca bandın uzunluğu değişmeden zeminle yaptığı açı büyüyor. Şekiller bandın yandan görünüşüdür.

Şekil 1'de bandın zemindeki ucu dayanak çubuğundan 120120 cm uzaktadır. Bant ile zemin arasındaki açı Şekil 2'deki gibi 22 katına çıkarıldığında, bandın öbür ucunun zeminden yüksekliği ilk yüksekliğinin 8041\dfrac{80}{41} katı oluyor.

Buna göre koşu bandının uzunluğu kaç cm'dir?

İpucu

Bandın uzunluğu aa ise yükseklikler asin⁡xa\sin x ve asin⁡2xa\sin 2x'tir. Oranlarını al; aa ve sin⁡x\sin x sadeleşir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35) (yeni sekmede açılır, PDF)

Çözüm

1. Uzunlukları açıyla yaz. Bandın uzunluğu aa olsun. Şekil 1'de yükseklik asin⁡xa\sin x, zemindeki uzaklık acos⁡x=120a\cos x = 120. Şekil 2'de yükseklik asin⁡2xa\sin 2x.

2. Yüksekliklerin oranı.

asin⁡2xasin⁡x=2sin⁡xcos⁡xsin⁡x=2cos⁡x=8041⇒cos⁡x=4041\dfrac{a\sin 2x}{a\sin x} = \dfrac{2\sin x\cos x}{\sin x} = 2\cos x = \dfrac{80}{41} \quad\Rightarrow\quad \cos x = \dfrac{40}{41}

3. Uzunluk. a=120cos⁡x=120⋅4140=123a = \dfrac{120}{\cos x} = 120 \cdot \dfrac{41}{40} = 123 cm.

Sağlama: 99-4040-4141 üçgeninden sin⁡x=941\sin x = \dfrac{9}{41}. İlk yükseklik 123⋅941=27123 \cdot \dfrac{9}{41} = 27 cm, ikinci yükseklik 123⋅2⋅941⋅4041=216041123 \cdot 2 \cdot \dfrac{9}{41} \cdot \dfrac{40}{41} = \dfrac{2160}{41} cm; oranları 8041\dfrac{80}{41}.

Tuzak: açı iki katına çıkınca yüksekliğin de iki katına çıkacağını sanmak. Oran 22 değil, 2cos⁡x2\cos x'tir.

Cevap: A

ÖSYM sorusundan uyarlanmıştır: veriler ve seçenekler aynıdır, anlatım bize aittir.

2025 AYTSoru 27

Orta

İfade sadeleştirme

1−cos⁡(4x)sin⁡(4x)+2⋅sin⁡(2x)\dfrac{1 - \cos(4x)}{\sin(4x) + 2 \cdot \sin(2x)}

Bu ifadenin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

4x4x, 2x2x'in iki katıdır. Önce her şeyi 2x2x cinsinden yaz, sonra bir kez daha yarıya in.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33) (yeni sekmede açılır, PDF)

Çözüm

1. Pay. 1−cos⁡2θ=2sin⁡2θ1 - \cos 2\theta = 2\sin^2\theta eşitliğinde θ=2x\theta = 2x al: 1−cos⁡4x=2sin⁡22x1 - \cos 4x = 2\sin^2 2x.

2. Payda. sin⁡4x=2sin⁡2xcos⁡2x\sin 4x = 2\sin 2x\cos 2x olduğundan

sin⁡4x+2sin⁡2x=2sin⁡2x (cos⁡2x+1)=2sin⁡2x⋅2cos⁡2x\sin 4x + 2\sin 2x = 2\sin 2x\,(\cos 2x + 1) = 2\sin 2x \cdot 2\cos^2 x

(Son adımda 1+cos⁡2x=2cos⁡2x1 + \cos 2x = 2\cos^2 x kullanıldı.)

3. Sadeleştir.

2sin⁡22x4sin⁡2xcos⁡2x=sin⁡2x2cos⁡2x=2sin⁡xcos⁡x2cos⁡2x=tan⁡x\dfrac{2\sin^2 2x}{4\sin 2x\cos^2 x} = \dfrac{\sin 2x}{2\cos^2 x} = \dfrac{2\sin x\cos x}{2\cos^2 x} = \tan x

Tuzak: paydada sin⁡4x+2sin⁡2x\sin 4x + 2\sin 2x toplamını sin⁡6x\sin 6x gibi tek bir sinüse çevirmeye çalışmak. Ortak çarpan 2sin⁡2x2\sin 2x'tir.

Cevap: B

ÖSYM sorusundan uyarlanmıştır: veriler ve seçenekler aynıdır, anlatım bize aittir.

2025 AYTSoru 30

Orta

İki kat açı formülleri

0<x<π20 < x < \dfrac{\pi}{2} olmak üzere

2⋅cos⁡2x+9⋅sin⁡2x+2⋅sin⁡(2x)=92 \cdot \cos^2 x + 9 \cdot \sin^2 x + 2 \cdot \sin(2x) = 9

eşitliği veriliyor.

Buna göre cot⁡x\cot x kaçtır?

İpucu

Sağdaki 99'u 9sin⁡2x+9cos⁡2x9\sin^2 x + 9\cos^2 x diye yaz; 9sin⁡2x9\sin^2 x terimleri birbirini götürür.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33) (yeni sekmede açılır, PDF)

Çözüm

1. 99'u özdeşlikle aç, sin⁡2x\sin 2x'i aç.

2cos⁡2x+9sin⁡2x+4sin⁡xcos⁡x=9sin⁡2x+9cos⁡2x2\cos^2 x + 9\sin^2 x + 4\sin x\cos x = 9\sin^2 x + 9\cos^2 x

2. Sadeleştir. 9sin⁡2x9\sin^2 x iki taraftan gider: 4sin⁡xcos⁡x=7cos⁡2x4\sin x\cos x = 7\cos^2 x.

3. Böl. 0<x<π20 < x < \dfrac{\pi}{2} için cos⁡x≠0\cos x \neq 0'dır: 4sin⁡x=7cos⁡x4\sin x = 7\cos x.

cot⁡x=cos⁡xsin⁡x=47\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \dfrac{4}{7}

Tuzak: son adımda oranı ters çevirip 74\dfrac{7}{4} aramak; o değer tan⁡x\tan x'tir.

Cevap: A

ÖSYM sorusundan uyarlanmıştır: veriler ve seçenekler aynıdır, anlatım bize aittir.

2024 AYTSoru 28

Kolay

Toplam ve fark formülleri

cos⁡(2x+y)+sin⁡(2x−y)cos⁡(2x)+sin⁡(2x)\dfrac{\cos(2x + y) + \sin(2x - y)}{\cos(2x) + \sin(2x)}

Bu ifadenin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33) (yeni sekmede açılır, PDF)

Çözüm

1. Toplam ve fark formülleriyle aç. 2x2x'i tek bir açı gibi düşün; iki kat açı formülüne gerek yok.

cos⁡(2x+y)=cos⁡2xcos⁡y−sin⁡2xsin⁡y\cos(2x + y) = \cos 2x\cos y - \sin 2x\sin y

sin⁡(2x−y)=sin⁡2xcos⁡y−cos⁡2xsin⁡y\sin(2x - y) = \sin 2x\cos y - \cos 2x\sin y

2. Payı grupla. cos⁡y\cos y ve sin⁡y\sin y parantezlerine al:

cos⁡y (cos⁡2x+sin⁡2x)−sin⁡y (sin⁡2x+cos⁡2x)=(cos⁡2x+sin⁡2x)(cos⁡y−sin⁡y)\cos y\,(\cos 2x + \sin 2x) - \sin y\,(\sin 2x + \cos 2x) = (\cos 2x + \sin 2x)(\cos y - \sin y)

3. Sadeleştir. Payda cos⁡2x+sin⁡2x\cos 2x + \sin 2x ile sadeleşir; geriye cos⁡y−sin⁡y\cos y - \sin y kalır.

Sağlama: y=0y = 0 için ifade cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x+sin⁡2x=1\dfrac{\cos 2x + \sin 2x}{\cos 2x + \sin 2x} = 1 ve cos⁡0−sin⁡0=1\cos 0 - \sin 0 = 1.

Cevap: A

ÖSYM sorusundan uyarlanmıştır: veriler ve seçenekler aynıdır, anlatım bize aittir.

2024 AYTSoru 29

Orta

İki kat açı formülleri

0<a<π20 < a < \dfrac{\pi}{2} olmak üzere aa açısı

cos⁡2a−cos⁡(2a)=sin⁡(2a)\cos^2 a - \cos(2a) = \sin(2a)

eşitliğini sağlıyor.

Bu aa değeri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

İpucu

cos⁡2a\cos 2a için cos⁡2a\cos^2 a ile sadeleşecek yüzü seç: cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33) (yeni sekmede açılır, PDF)

Çözüm

1. Sol taraf. cos⁡2a−(cos⁡2a−sin⁡2a)=sin⁡2a\cos^2 a - (\cos^2 a - \sin^2 a) = \sin^2 a.

2. Sağ taraf. sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2\sin a\cos a. Eşitlik sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin^2 a = 2\sin a\cos a olur.

3. Böl. 0<a<π20 < a < \dfrac{\pi}{2} için sin⁡a≠0\sin a \neq 0'dır: sin⁡a=2cos⁡a\sin a = 2\cos a, yani tan⁡a=2\tan a = 2.

4. Dik üçgen. Karşı kenar 22, komşu kenar 11 alınırsa hipotenüs 5\sqrt{5}'tir: cos⁡a=15\cos a = \dfrac{1}{\sqrt{5}}.

Öteki seçenekler: tan⁡a=2\tan a = 2, cot⁡a=12\cot a = \dfrac{1}{2}, cosec⁡a=52\cosec a = \dfrac{\sqrt{5}}{2} ve sin⁡2a=2⋅25⋅15=45\sin 2a = 2 \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{4}{5}; hiçbiri verilenle uyuşmaz.

Cevap: C

ÖSYM sorusundan uyarlanmıştır: veriler ve seçenekler aynıdır, anlatım bize aittir.

2023 AYTSoru 28

Orta

İfade sadeleştirme

11+cot⁡x−sin⁡xsin⁡x−cos⁡x\dfrac{1}{1 + \cot x} - \dfrac{\sin x}{\sin x - \cos x}

Bu ifadenin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

İlk kesirde cot⁡x\cot x yerine cos⁡xsin⁡x\dfrac{\cos x}{\sin x} yaz; iki kesrin payı aynı olur. Paydaları çarpınca ne çıktığına bak.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32) (yeni sekmede açılır, PDF)

Çözüm

1. İlk kesri düzenle. 1+cot⁡x=sin⁡x+cos⁡xsin⁡x1 + \cot x = \dfrac{\sin x + \cos x}{\sin x} olduğundan 11+cot⁡x=sin⁡xsin⁡x+cos⁡x\dfrac{1}{1 + \cot x} = \dfrac{\sin x}{\sin x + \cos x}.

2. Payda eşitle. Paylar aynı (sin⁡x\sin x); paydaların çarpımı iki kare farkıdır:

sin⁡x [(sin⁡x−cos⁡x)−(sin⁡x+cos⁡x)]sin⁡2x−cos⁡2x=−2sin⁡xcos⁡xsin⁡2x−cos⁡2x\dfrac{\sin x\,\bigl[(\sin x - \cos x) - (\sin x + \cos x)\bigr]}{\sin^2 x - \cos^2 x} = \dfrac{-2\sin x\cos x}{\sin^2 x - \cos^2 x}

3. İki kat açı. Pay ve paydayı −1-1 ile çarp: 2sin⁡xcos⁡xcos⁡2x−sin⁡2x=sin⁡2xcos⁡2x=tan⁡2x\dfrac{2\sin x\cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x} = \dfrac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tan 2x.

Tuzak: paydayı sin⁡2x−cos⁡2x\sin^2 x - \cos^2 x bırakıp cos⁡2x\cos 2x demek; bu ifade −cos⁡2x-\cos 2x'tir, işaret değişir.

Cevap: C

ÖSYM sorusundan uyarlanmıştır: veriler ve seçenekler aynıdır, anlatım bize aittir.

2023 AYTSoru 29

Orta

Geometri ile birleşik sorular

Şekil 1'deki paralelkenarın iki kenarı 44 birim ve 88 birim, bu kenarların arasındaki açı xx derecedir. Şekil 2'deki paralelkenarın iki kenarı 44 birim ve 66 birim, bu kenarların arasındaki açı 2x2x derecedir.

Şekil 1'deki paralelkenarın alanı 24 birimkare olduğuna göre Şekil 2'deki paralelkenarın alanı kaç birimkaredir?

İpucu

Paralelkenarın alanı, komşu iki kenarın çarpımı ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımıdır. Önce sin⁡x\sin x'i bul; ikinci alan için sin⁡2x\sin 2x gerekecek.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32) (yeni sekmede açılır, PDF)

Çözüm

1. Şekil 1'den sin⁡x\sin x. 4⋅8⋅sin⁡x=244 \cdot 8 \cdot \sin x = 24, yani sin⁡x=34\sin x = \dfrac{3}{4}.

2. cos⁡x\cos x. 2x2x bir paralelkenarın iç açısı olduğundan 2x<180∘2x < 180^\circ, yani xx dar açıdır ve kosinüsü pozitiftir:

cos⁡x=1−916=74\cos x = \sqrt{1 - \dfrac{9}{16}} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}

3. İki kat açı. sin⁡2x=2⋅34⋅74=378\sin 2x = 2 \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{4} = \dfrac{3\sqrt{7}}{8}.

4. Şekil 2'nin alanı. 4⋅6⋅378=974 \cdot 6 \cdot \dfrac{3\sqrt{7}}{8} = 9\sqrt{7} birimkare.

Tuzak: sin⁡2x=2sin⁡x=32\sin 2x = 2\sin x = \dfrac{3}{2} demek; sinüs 11'i geçemez.

Cevap: D

ÖSYM sorusundan uyarlanmıştır: veriler ve seçenekler aynıdır, anlatım bize aittir.

2022 AYTSoru 29

Kolay

İfade sadeleştirme

sec⁡2x−tan⁡2x−cos⁡(2x)tan⁡x\dfrac{\sec^2 x - \tan^2 x - \cos(2x)}{\tan x}

Bu ifadenin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33) (yeni sekmede açılır, PDF)

Çözüm

1. Temel özdeşlik. 1+tan⁡2x=sec⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x olduğundan sec⁡2x−tan⁡2x=1\sec^2 x - \tan^2 x = 1. Pay 1−cos⁡2x1 - \cos 2x olur.

2. Kareden kurtulmanın tersi. 1−cos⁡2x=2sin⁡2x1 - \cos 2x = 2\sin^2 x.

3. Böl.

2sin⁡2xtan⁡x=2sin⁡2x⋅cos⁡xsin⁡x=2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x\dfrac{2\sin^2 x}{\tan x} = 2\sin^2 x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} = 2\sin x\cos x = \sin 2x

Cevap: A

ÖSYM sorusundan uyarlanmıştır: veriler ve seçenekler aynıdır, anlatım bize aittir.

2022 AYTSoru 30

Orta

Geometri ile birleşik sorular

Mavi bir üçgenin 1212 ve 1818 birim uzunluğundaki kenarları arasındaki açının ölçüsü, kırmızı bir üçgenin 88 ve 99 birim uzunluğundaki kenarları arasındaki açının ölçüsünün 22 katıdır.

Bu iki üçgenin alanları eşit olduğuna göre kırmızı üçgenin çevresi kaç birimdir?

İpucu

İki kenarı ve aradaki açısı bilinen üçgenin alanı 12⋅b⋅c⋅sin⁡A\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A'dır. Alanları eşitleyince sin⁡2θ\sin 2\theta ile sin⁡θ\sin\theta karşı karşıya gelir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33) (yeni sekmede açılır, PDF)

Çözüm

1. Açılara ad ver. Kırmızı üçgendeki açı θ\theta, mavi üçgendeki açı 2θ2\theta olsun.

2. Alanları yaz ve eşitle.

12⋅12⋅18⋅sin⁡2θ=12⋅8⋅9⋅sin⁡θ⇒108sin⁡2θ=36sin⁡θ\dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 18 \cdot \sin 2\theta = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \sin\theta \quad\Rightarrow\quad 108\sin 2\theta = 36\sin\theta

3. İki kat açı. sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta yazılır: 216sin⁡θcos⁡θ=36sin⁡θ216\sin\theta\cos\theta = 36\sin\theta. θ\theta bir üçgenin açısı olduğundan sin⁡θ≠0\sin\theta \neq 0'dır, bölebiliriz: cos⁡θ=16\cos\theta = \dfrac{1}{6}.

4. Üçüncü kenar. Kırmızı üçgende kosinüs teoremi (Sinüs ve Kosinüs Teoremleri):

c2=82+92−2⋅8⋅9⋅16=145−24=121⇒c=11c^2 = 8^2 + 9^2 - 2 \cdot 8 \cdot 9 \cdot \dfrac{1}{6} = 145 - 24 = 121 \quad\Rightarrow\quad c = 11

Çevre 8+9+11=288 + 9 + 11 = 28 birimdir.

Tuzak: sin⁡2θ=2sin⁡θ\sin 2\theta = 2\sin\theta yazmak; o zaman eşitlik hiçbir açıda sağlanmaz.

Cevap: B

ÖSYM sorusundan uyarlanmıştır: veriler ve seçenekler aynıdır, anlatım bize aittir.

2022 AYTSoru 31

Orta

Toplam ve fark formülleri

Şekilde, dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} fonksiyonunun grafiği ile bu grafik üzerindeki KK ve LL noktaları verilmiştir.

m(KOL^)=am(\widehat{KOL}) = a

olduğuna göre tan⁡a\tan a kaçtır?

İpucu

aa açısı, [OK][OK] ve [OL][OL] doğru parçalarının xx ekseniyle yaptığı açıların farkıdır. Bu iki açının tanjantı, doğru parçalarının eğimidir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34) (yeni sekmede açılır, PDF)

Çözüm

1. Noktaları bul. Şekilden apsisler 11 ve 22: K(1,1)K(1, 1) ve L(2,12)L\left(2, \dfrac{1}{2}\right).

2. Eğimler tanjanttır. [OK][OK] doğru parçası xx ekseniyle α\alpha, [OL][OL] doğru parçası β\beta açısı yapsın:

tan⁡α=11=1tan⁡β=122=14\tan\alpha = \dfrac{1}{1} = 1 \qquad \tan\beta = \dfrac{\frac{1}{2}}{2} = \dfrac{1}{4}

3. Fark formülü. a=α−βa = \alpha - \beta olduğundan

tan⁡a=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡α⋅tan⁡β=1−141+14=35\tan a = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \cdot \tan\beta} = \dfrac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \dfrac{3}{5}

Tuzak: tanjantları doğrudan çıkarıp 34\dfrac{3}{4} demek (D seçeneği). Tanjant farka dağılmaz; payda unutulmamalı.

Cevap: E

ÖSYM sorusundan uyarlanmıştır: veriler ve seçenekler aynıdır, anlatım bize aittir.

2021 AYTSoru 29

Orta

İfade sadeleştirme

cos⁡2(80∘)+5sin⁡2(80∘)−3cos⁡(50∘)\dfrac{\cos^2(80^\circ) + 5\sin^2(80^\circ) - 3}{\cos(50^\circ)}

Bu ifade aşağıdakilerden hangisine eşittir?

İpucu

Paydaki 5sin⁡280∘5\sin^2 80^\circ terimini sin⁡280∘+4sin⁡280∘\sin^2 80^\circ + 4\sin^2 80^\circ diye ayır; bir tanesi cos⁡280∘\cos^2 80^\circ ile birleşip 11 eder.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33) (yeni sekmede açılır, PDF)

Çözüm

1. Temel özdeşliği kullan. cos⁡280∘+sin⁡280∘=1\cos^2 80^\circ + \sin^2 80^\circ = 1 olduğundan pay

1+4sin⁡280∘−3=4sin⁡280∘−2=−2(1−2sin⁡280∘)1 + 4\sin^2 80^\circ - 3 = 4\sin^2 80^\circ - 2 = -2\left(1 - 2\sin^2 80^\circ\right)

2. Kareden kurtul. 1−2sin⁡2x=cos⁡2x1 - 2\sin^2 x = \cos 2x olduğundan pay −2cos⁡160∘-2\cos 160^\circ olur. cos⁡160∘=−cos⁡20∘\cos 160^\circ = -\cos 20^\circ (ikinci bölge), yani pay 2cos⁡20∘2\cos 20^\circ.

3. Paydayı aynı açıya getir. cos⁡50∘=sin⁡40∘\cos 50^\circ = \sin 40^\circ (tümler) =2sin⁡20∘cos⁡20∘= 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ.

2cos⁡20∘2sin⁡20∘cos⁡20∘=1sin⁡20∘=cosec⁡20∘\dfrac{2\cos 20^\circ}{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ} = \dfrac{1}{\sin 20^\circ} = \cosec 20^\circ

Tuzak: cos⁡160∘\cos 160^\circ değerinin işaretini unutmak; pay pozitiftir.

Cevap: D

ÖSYM sorusundan uyarlanmıştır: veriler ve seçenekler aynıdır, anlatım bize aittir.

2021 AYTSoru 31

Zor

Geometri ile birleşik sorular

Şekildeki OO merkezli birim çember üzerinde P(0,1)P(0, 1) ve S(1,0)S(1, 0) noktaları ile bir RR noktası işaretlenmiştir. [RO][RO] doğru parçasının xx ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açı θ\theta olmak üzere iki yeni trigonometrik fonksiyon şöyle tanımlanıyor:

kas⁡θ=∣RS∣sas⁡θ=∣RP∣\operatorname{kas}\theta = |RS| \qquad \operatorname{sas}\theta = |RP|

Buna göre

kas⁡2θ2−sas⁡2θ\dfrac{\operatorname{kas}^2\theta}{2 - \operatorname{sas}^2\theta}

ifadesi, tanımlı olduğu θ\theta değerleri için aşağıdakilerden hangisine eşittir?

İpucu

RR birim çember üzerinde olduğuna göre koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)'dır. İki uzunluğun karesini iki nokta arası uzaklıkla yaz; sonra θ\theta'yı θ2\dfrac{\theta}{2}'nin iki katı olarak düşün.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34) (yeni sekmede açılır, PDF)

Çözüm

1. Uzunlukların karesi. R(cos⁡θ,sin⁡θ)R(\cos\theta, \sin\theta), S(1,0)S(1, 0) ve P(0,1)P(0, 1) için

kas⁡2θ=(cos⁡θ−1)2+sin⁡2θ=2−2cos⁡θ\operatorname{kas}^2\theta = (\cos\theta - 1)^2 + \sin^2\theta = 2 - 2\cos\theta

sas⁡2θ=cos⁡2θ+(sin⁡θ−1)2=2−2sin⁡θ\operatorname{sas}^2\theta = \cos^2\theta + (\sin\theta - 1)^2 = 2 - 2\sin\theta

(İkisinde de sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 kullanıldı.)

2. Oranı kur.

2−2cos⁡θ2−(2−2sin⁡θ)=1−cos⁡θsin⁡θ\dfrac{2 - 2\cos\theta}{2 - (2 - 2\sin\theta)} = \dfrac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}

3. İki kat açı formüllerini θ=2⋅θ2\theta = 2 \cdot \dfrac{\theta}{2} için oku. 1−cos⁡θ=2sin⁡2θ21 - \cos\theta = 2\sin^2\dfrac{\theta}{2} ve sin⁡θ=2sin⁡θ2cos⁡θ2\sin\theta = 2\sin\dfrac{\theta}{2}\cos\dfrac{\theta}{2}:

2sin⁡2θ22sin⁡θ2cos⁡θ2=tan⁡θ2\dfrac{2\sin^2\frac{\theta}{2}}{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}} = \tan\dfrac{\theta}{2}

Sağlama: θ=90∘\theta = 90^\circ için R=PR = P olur; kas⁡2=2\operatorname{kas}^2 = 2, sas⁡2=0\operatorname{sas}^2 = 0, oran 1=tan⁡45∘1 = \tan 45^\circ.

Cevap: D

ÖSYM sorusundan uyarlanmıştır: veriler ve seçenekler aynıdır, anlatım bize aittir.

2020 AYTSoru 27

Kolay

İfade sadeleştirme

2tan⁡x−sin⁡(2x)sin⁡2x\dfrac{2\tan x - \sin(2x)}{\sin^2 x}

Bu ifadenin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31) (yeni sekmede açılır, PDF)

Çözüm

1. Her şeyi sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x ile yaz. tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} ve sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x.

2. Payı ortak paydada topla.

2sin⁡xcos⁡x−2sin⁡xcos⁡x=2sin⁡x (1−cos⁡2x)cos⁡x=2sin⁡3xcos⁡x\dfrac{2\sin x}{\cos x} - 2\sin x\cos x = \dfrac{2\sin x\,(1 - \cos^2 x)}{\cos x} = \dfrac{2\sin^3 x}{\cos x}

3. sin⁡2x\sin^2 x ile böl. 2sin⁡3xcos⁡x⋅sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x=2tan⁡x\dfrac{2\sin^3 x}{\cos x \cdot \sin^2 x} = \dfrac{2\sin x}{\cos x} = 2\tan x.

Sağlama: x=45∘x = 45^\circ için ifade 2−112=2\dfrac{2 - 1}{\frac{1}{2}} = 2 ve 2tan⁡45∘=22\tan 45^\circ = 2.

Cevap: A

ÖSYM sorusundan uyarlanmıştır: veriler ve seçenekler aynıdır, anlatım bize aittir.

2018 AYTSoru 27

Orta

İfade sadeleştirme

cot⁡(34∘)⋅sin⁡(44∘)sin⁡(22∘)⋅sin⁡(56∘)\dfrac{\cot(34^\circ) \cdot \sin(44^\circ)}{\sin(22^\circ) \cdot \sin(56^\circ)}

Bu ifade aşağıdakilerden hangisine eşittir?

İpucu

Açılar arasındaki ilişkileri ara: 44∘=2⋅22∘44^\circ = 2 \cdot 22^\circ, 34∘+56∘=90∘34^\circ + 56^\circ = 90^\circ ve 22∘+68∘=90∘22^\circ + 68^\circ = 90^\circ.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32) (yeni sekmede açılır, PDF)

Çözüm

1. İki katı aç. sin⁡44∘=2sin⁡22∘cos⁡22∘\sin 44^\circ = 2\sin 22^\circ \cos 22^\circ yazılır; paydadaki sin⁡22∘\sin 22^\circ sadeleşir. Kotanjant da oran olarak yazılır:

cos⁡34∘sin⁡34∘⋅2cos⁡22∘sin⁡56∘\dfrac{\cos 34^\circ}{\sin 34^\circ} \cdot \dfrac{2\cos 22^\circ}{\sin 56^\circ}

2. Tümler açı. 34∘+56∘=90∘34^\circ + 56^\circ = 90^\circ olduğundan sin⁡56∘=cos⁡34∘\sin 56^\circ = \cos 34^\circ; pay ile payda sadeleşir ve 2cos⁡22∘sin⁡34∘\dfrac{2\cos 22^\circ}{\sin 34^\circ} kalır.

3. Bir kez daha tümler ve iki kat. cos⁡22∘=sin⁡68∘=2sin⁡34∘cos⁡34∘\cos 22^\circ = \sin 68^\circ = 2\sin 34^\circ \cos 34^\circ:

2⋅2sin⁡34∘cos⁡34∘sin⁡34∘=4cos⁡34∘\dfrac{2 \cdot 2\sin 34^\circ \cos 34^\circ}{\sin 34^\circ} = 4\cos 34^\circ

Tuzak: 2. adımda durup seçeneklerde 2cos⁡22∘sin⁡34∘\dfrac{2\cos 22^\circ}{\sin 34^\circ} aramak. Seçeneklerdeki açılara bak; 34∘34^\circ'ye inmek için 68∘=2⋅34∘68^\circ = 2 \cdot 34^\circ ilişkisi gerekir.

Cevap: D

ÖSYM sorusundan uyarlanmıştır: veriler ve seçenekler aynıdır, anlatım bize aittir.

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Toplam ve fark formülleri

cos⁡70∘⋅cos⁡25∘+sin⁡70∘⋅sin⁡25∘\cos 70^\circ \cdot \cos 25^\circ + \sin 70^\circ \cdot \sin 25^\circ

ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm

Aynı türler çarpılmış (cos⁡⋅cos⁡\cos \cdot \cos ve sin⁡⋅sin⁡\sin \cdot \sin): bu bir kosinüs formülünün açılımıdır. Aradaki işaret artı olduğuna göre açılar çıkarılır, çünkü kosinüs işareti ters çevirir:

cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b=cos⁡(a−b)\cos a\cos b + \sin a\sin b = \cos(a - b)

a=70∘a = 70^\circ, b=25∘b = 25^\circ için ifade cos⁡45∘=22\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} eder.

Tuzak: açıları toplayıp cos⁡95∘\cos 95^\circ demek. Artı işareti kosinüste farkın işaretidir.

Cevap: C

Özgün soru2

Kolay

İki kat açı formülleri

sin⁡x=13\sin x = \dfrac{1}{3} olduğuna göre cos⁡2x\cos 2x kaçtır?

Çözüm

Yalnızca sinüs verildiği için cos⁡2x\cos 2x'in yalnızca sinüs içeren yüzünü seç:

cos⁡2x=1−2sin⁡2x=1−2⋅19=79\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2 \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{7}{9}

Bu yolda cos⁡x\cos x'e, dolayısıyla xx'in hangi bölgede olduğuna gerek kalmaz.

Çeldiriciler: 19=sin⁡2x\dfrac{1}{9} = \sin^2 x, 89=cos⁡2x\dfrac{8}{9} = \cos^2 x, 23=2sin⁡x\dfrac{2}{3} = 2\sin x ve 429\dfrac{4\sqrt{2}}{9}, xx dar açıyken sin⁡2x\sin 2x değeridir.

Cevap: D

Özgün soru3

Orta

Geometri ile birleşik sorular

Şekildeki ABCDABCD karesinin bir kenarı 66 birimdir. EE noktası [BC][BC] kenarı, FF noktası [DC][DC] kenarı üzerindedir.

∣BE∣=2|BE| = 2 birim, ∣DF∣=3|DF| = 3 birim ve m(EAF^)=αm(\widehat{EAF}) = \alpha

olduğuna göre α\alpha kaç derecedir?

İpucu

AA köşesindeki dik açı üç parçaya ayrılmış: BAE^\widehat{BAE}, α\alpha ve FAD^\widehat{FAD}. Kenardaki iki açının tanjantlarını dik üçgenlerden oku.

Çözüm

1. Kenardaki açıların tanjantı. ABEABE dik üçgeninde tan⁡(BAE^)=∣BE∣∣AB∣=26=13\tan(\widehat{BAE}) = \dfrac{|BE|}{|AB|} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}. ADFADF dik üçgeninde tan⁡(FAD^)=∣DF∣∣AD∣=36=12\tan(\widehat{FAD}) = \dfrac{|DF|}{|AD|} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.

2. İkisinin toplamı. Bu açılara uu ve vv diyelim:

tan⁡(u+v)=13+121−13⋅12=5656=1\tan(u + v) = \dfrac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \dfrac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1

uu ve vv dar açılar olduğundan u+v=45∘u + v = 45^\circ.

3. Kalan açı. AA köşesi 90∘90^\circ'dir: α=90∘−45∘=45∘\alpha = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ.

İkinci yol: AA orijin alınırsa AEAE doğrusunun eğimi 13\dfrac{1}{3}, AFAF doğrusunun eğimi 63=2\dfrac{6}{3} = 2'dir; fark formülü tan⁡α=2−131+23=1\tan\alpha = \dfrac{2 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = 1 verir.

Cevap: B

Özgün soru4

Orta

İfade sadeleştirme

sin⁡x−cos⁡x=13\sin x - \cos x = \dfrac{1}{3} olduğuna göre sin⁡2x\sin 2x kaçtır?

İpucu

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x bir çarpımdır. Farktan çarpıma geçmek için iki tarafın karesini al.

Çözüm

1. Kare al.

(sin⁡x−cos⁡x)2=sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=19(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \dfrac{1}{9}

2. Tanıdık parçaları yerine yaz. sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ve 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x = \sin 2x:

1−sin⁡2x=19⇒sin⁡2x=891 - \sin 2x = \dfrac{1}{9} \quad\Rightarrow\quad \sin 2x = \dfrac{8}{9}

Tuzak: kareyi sin⁡2x−cos⁡2x\sin^2 x - \cos^2 x diye açmak (ortadaki terimi unutmak) ya da sonucu 19\dfrac{1}{9} olarak bırakmak.

Cevap: E

Özgün soru5

Orta

Toplam ve fark formülleri

π2<a<π\dfrac{\pi}{2} < a < \pi ve 0<b<π20 < b < \dfrac{\pi}{2} olmak üzere

sin⁡a=45cos⁡b=513\sin a = \dfrac{4}{5} \qquad \cos b = \dfrac{5}{13}

olduğuna göre cos⁡(a−b)\cos(a - b) kaçtır?

İpucu

Eksik oranların büyüklüğünü 33-44-55 ve 55-1212-1313 üçgenlerinden, işaretini açının bölgesinden al.

Çözüm

1. Eksik oranlar. aa ikinci bölgededir; kosinüsü negatiftir: cos⁡a=−35\cos a = -\dfrac{3}{5}. bb dar açıdır: sin⁡b=1213\sin b = \dfrac{12}{13}.

2. Fark formülü. Kosinüs işareti ters çevirir; farkta artı vardır:

cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b=(−35)⋅513+45⋅1213=−15+4865=3365\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b = \left(-\dfrac{3}{5}\right) \cdot \dfrac{5}{13} + \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{12}{13} = \dfrac{-15 + 48}{65} = \dfrac{33}{65}

Tuzak: cos⁡a\cos a'yı pozitif almak 6365\dfrac{63}{65} (E), formülde eksi kullanmak −6365-\dfrac{63}{65} (A) verir.

Cevap: D

Özgün soru6

Zor

Geometri ile birleşik sorular

Şekildeki ABCABC üçgeninde ∣AB∣=4|AB| = 4 birim, ∣AC∣=6|AC| = 6 birim ve

m(ABC^)=2⋅m(ACB^)m(\widehat{ABC}) = 2 \cdot m(\widehat{ACB})

olduğuna göre ∣BC∣|BC| kaç birimdir?

İpucu

Sinüs teoremi, bir kenarı karşısındaki açının sinüsüne bağlar. sin⁡2α\sin 2\alpha ile sin⁡α\sin\alpha aynı eşitlikte buluşunca cos⁡α\cos\alpha ortaya çıkar.

Çözüm

1. Açılar. m(ACB^)=αm(\widehat{ACB}) = \alpha, m(ABC^)=2αm(\widehat{ABC}) = 2\alpha olsun.

2. Sinüs teoremi (Sinüs ve Kosinüs Teoremleri). ∣AC∣|AC| kenarı 2α2\alpha açısının, ∣AB∣|AB| kenarı α\alpha açısının karşısındadır:

6sin⁡2α=4sin⁡α⇒6sin⁡α=4⋅2sin⁡αcos⁡α⇒cos⁡α=34\dfrac{6}{\sin 2\alpha} = \dfrac{4}{\sin\alpha} \quad\Rightarrow\quad 6\sin\alpha = 4 \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad \cos\alpha = \dfrac{3}{4}

3. Öteki açının kosinüsü. cos⁡2α=2cos⁡2α−1=2⋅916−1=18\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 2 \cdot \dfrac{9}{16} - 1 = \dfrac{1}{8}. İki kosinüs de pozitif; BB ve CC açıları dardır.

4. Tabanı iki parçaya ayır. AA'dan [BC][BC]'ye inilen dikmenin ayağı HH olsun; açılar dar olduğundan HH, BB ile CC arasındadır:

∣BC∣=∣BH∣+∣HC∣=4cos⁡2α+6cos⁡α=4⋅18+6⋅34=12+92=5|BC| = |BH| + |HC| = 4\cos 2\alpha + 6\cos\alpha = 4 \cdot \dfrac{1}{8} + 6 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{2} = 5

Tuzak: CC köşesinde kosinüs teoremi yazılırsa ∣BC∣2−9∣BC∣+20=0|BC|^2 - 9|BC| + 20 = 0 çıkar; kökler 44 ve 55'tir. ∣BC∣=4|BC| = 4 olsaydı üçgen ikizkenar, açılar α\alpha, 2α2\alpha, α\alpha ve α=45∘\alpha = 45^\circ olurdu; bu, cos⁡α=34\cos\alpha = \dfrac{3}{4} ile çelişir. A seçeneği bu fazladan köktür.

Cevap: B

Özgün soru7

Zor

İfade sadeleştirme

cos⁡20∘⋅cos⁡40∘⋅cos⁡80∘\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ

çarpımının değeri kaçtır?

İpucu

Açılar ikişer katlanıyor: 20∘20^\circ, 40∘40^\circ, 80∘80^\circ. Çarpımın başına bir sin⁡20∘\sin 20^\circ gelse 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x = \sin 2x zinciri başlardı. Çarpıp böl.

Çözüm

1. Zinciri başlat. Çarpıma PP diyelim ve iki tarafı 8sin⁡20∘8\sin 20^\circ ile çarpalım:

8sin⁡20∘⋅P=4⋅(2sin⁡20∘cos⁡20∘)⋅cos⁡40∘⋅cos⁡80∘=4sin⁡40∘cos⁡40∘cos⁡80∘8\sin 20^\circ \cdot P = 4 \cdot \left(2\sin 20^\circ\cos 20^\circ\right) \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = 4\sin 40^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ

2. İki kez daha. 2sin⁡40∘cos⁡40∘=sin⁡80∘2\sin 40^\circ\cos 40^\circ = \sin 80^\circ ve 2sin⁡80∘cos⁡80∘=sin⁡160∘2\sin 80^\circ\cos 80^\circ = \sin 160^\circ:

8sin⁡20∘⋅P=2sin⁡80∘cos⁡80∘=sin⁡160∘8\sin 20^\circ \cdot P = 2\sin 80^\circ\cos 80^\circ = \sin 160^\circ

3. İndirge. sin⁡160∘=sin⁡(180∘−20∘)=sin⁡20∘\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ. Buradan 8sin⁡20∘⋅P=sin⁡20∘8\sin 20^\circ \cdot P = \sin 20^\circ ve sin⁡20∘≠0\sin 20^\circ \neq 0 olduğundan

P=18P = \dfrac{1}{8}

Sağlama: cos⁡20∘≈0,94\cos 20^\circ \approx 0{,}94, cos⁡40∘≈0,77\cos 40^\circ \approx 0{,}77, cos⁡80∘≈0,17\cos 80^\circ \approx 0{,}17; çarpımları yaklaşık 0,1250{,}125.

Cevap: A