24Konu 24 / 49
Trigonometri

Trigonometrik Denklemler

sin x = a, cos x = a ve tan x = a denklemlerini birim çemberde okuyup genel çözümü yazıyoruz; kat açılı, aralık verilen, çarpanlara ayrılan, ikinci dereceye dönüşen ve a sin x + b cos x = c biçimindeki denklemleri sınav düzeyine taşıyoruz.

12. sınıf
AYT sıklığı
60 dk

LevhaTrigonometrik DenklemlerTrigonometrik Denklemler

Bir dönme dolabın yarıçapı $10$ metre, kabine yerden $2$ metre yükseklikteki platformdan biniliyor ve bir tur $12$ dakika sürüyor. Kabinin yerden yüksekliği $t$ . dakikada $h(t) = 12 - 10\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$ metre. Kabin hangi anlarda tam $17$ metre yüksekte? Yanıt tek bir sayı değil: her turda iki kez, turlar sürdükçe sonsuz kez. Bu sayfa o yanıtların hepsini birden yazmayı öğretiyor.

Isınma

Başlamadan: birim çember ve iki kat açı

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\sin 150^\circ

kaçtır?

Açıklama

$\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$ olduğundan $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ . Ayrıntısı Trigonometrik Fonksiyonlar sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\cos\dfrac{4\pi}{3}

kaçtır?

Açıklama

$\dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3}$ üçüncü bölgededir. $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ olduğundan değer $-\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\cos 2x

ifadesinin yalnızca

\sin x

cinsinden yazılışı hangisidir?

Açıklama

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ ve $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ olduğundan $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ . Formüllerin tamamı Toplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri sayfasında.

Temel

Üç temel denklem ve genel çözüm

Trigonometrik denklem nedir?

$2x + 1 = 7$ denkleminin tek kökü vardır. $\sin x = \dfrac{1}{2}$ denkleminde ise bilinmeyen bir açıdır ve aynı sinüs değerini veren sonsuz açı bulunur.

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ her $x$ için doğrudur; o bir özdeşliktir, denklem değildir. $\sin x = \dfrac{1}{2}$ ise yalnızca belirli açılarda doğrudur.

$\sin x = a$ denklemi

Birim çemberde bir açının sinüsü, bitim noktasının ordinatıdır. O hâlde $\sin x = a$ demek, “ordinatı $a$ olan noktaları bul” demektir. Bu noktalar çember ile $y = a$ yatay doğrusunun kesişimidir.

Sahnede birim çember ve $y = a$ doğrusu var. $a$ sürgüsünü oynat: doğru çemberi iki noktada kesiyor ve bu noktalar $y$ eksenine göre simetrik. Biri $\alpha$ açısının bitim noktasıysa öteki $\pi - \alpha$ açısınınkidir. $a = 1$ ve $a = -1$ için noktalar birleşiyor, $|a| > 1$ olunca doğru çemberi ıskalıyor.

y = a

doğrusu çemberi

\alpha

\pi - \alpha

açılarının bitim noktalarında keser.

Çemberde bir tam tur atınca aynı noktaya dönersin. Bu yüzden $\alpha$ kökse $\alpha + 2\pi$ , $\alpha - 2\pi$ , $\alpha + 4\pi$ … de köktür. Hepsini tek satırda yazmak için bir $k$ tam sayısı kullanırız.

Şimdi çember açılıp $y = \sin x$ grafiğine dönüşüyor. $y = a$ doğrusu grafiği sonsuz noktada kesiyor ama bu noktalar iki aileye ayrılıyor: $\alpha$ ile başlayanlar ve $\pi - \alpha$ ile başlayanlar. $k$ sürgüsüyle bir aileden ötekine değil, aynı ailenin bir sonraki üyesine $2\pi$ adımla atladığını gör.

\sin x = \dfrac{1}{2}

: iki aile, her ailede ardışık kökler arası

2\pi

Örnek

kolay

Sinüs denkleminin çözüm kümesi

$\sin x = \dfrac{1}{2}$ denkleminin çözüm kümesini bul.

Önce sinüsü $\dfrac{1}{2}$ olan bildiğin bir açı bul, çünkü kural bir $\alpha$ ister: $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ . Denklem $\sin x = \sin\dfrac{\pi}{6}$ oldu.

Birinci aile aynı noktaya dönen açılardır: $x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ .

İkinci aile $y$ eksenine göre simetrik noktadan gelir: $\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$ , yani $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ .

Sonuç

Çözüm kümesi, $k \in \mathbb{Z}$ olmak üzere $x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$ veya $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi$ biçimindeki sayılardan oluşur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

denkleminin

[0, 2\pi)

aralığındaki kökleri hangileridir?

Açıklama

$\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ . Aralıktaki kökler $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ ve $\pi - \alpha = \dfrac{2\pi}{3}$ .

$\cos x = a$ denklemi

Kosinüs, bitim noktasının apsisidir. $\cos x = a$ için bu kez $x = a$ düşey doğrusunun çemberi kestiği noktalara bakarız.

Sahnede doğru artık düşey. Kesişim noktaları bu kez $x$ eksenine göre simetrik: biri $\alpha$ ise öteki $-\alpha$ . Grafiğe geçince $y = \cos x$ eğrisinin $y$ eksenine göre simetrik olduğunu, köklerin de bu yüzden $\pm\alpha$ çiftleri hâlinde geldiğini görürsün.

x = a

doğrusu çemberi

\alpha

-\alpha

açılarının bitim noktalarında keser.

Örnek

kolay

Negatif değerli kosinüs denklemi

$\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ denkleminin $[0, 2\pi)$ aralığındaki köklerini bul.

Değer negatif, o hâlde açı ikinci ya da üçüncü bölgededir. $\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ olduğundan ikinci bölgedeki açı $\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$ ‘tür. $\alpha = \dfrac{3\pi}{4}$ alıyoruz.

Genel çözüm $x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$ . Aralığa düşenleri seçmek için $k$ değerlerini dene, çünkü aralık bir tam turdur ve her aileden bir kök gelir.

$x = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$ ailesinden $k = 0$ için $\dfrac{3\pi}{4}$ . $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$ ailesinden $k = 1$ için $-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{4}$ .

Sonuç

Kökler $\dfrac{3\pi}{4}$ ve $\dfrac{5\pi}{4}$ ‘tür.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\cos x = \dfrac{1}{2}

denkleminin genel çözümü hangisidir? (

k \in \mathbb{Z}

)

Açıklama

$\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ olduğundan $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ ve $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ .

$\tan x = a$ ve $\cot x = a$ denklemleri

Tanjant, $x = 1$ teğet doğrusu (tanjant ekseni) üzerinde okunur. $T(1, a)$ noktasını orijine birleştiren doğru, çemberi karşılıklı iki noktada keser.

Sahnede $T$ noktasını tanjant ekseni üzerinde yukarı aşağı sürükle. Doğru çemberi her zaman iki noktada kesiyor ve bu iki nokta arasında tam yarım tur var: $\alpha$ ve $\alpha + \pi$ . $a$ ne kadar büyürse büyüsün doğru çemberi ıskalamıyor; tanjant denkleminin her $a$ için çözümü vardır.

Orijinden geçen doğru çemberi

\alpha

\alpha + \pi

açılarının bitim noktalarında keser.

Örnek

kolay

Tanjant denklemi

$\tan x = -\sqrt{3}$ denkleminin $[0, 2\pi)$ aralığındaki köklerini bul.

$\tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ . Tanjant ikinci bölgede negatiftir ve $\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta$ olduğundan $\tan\dfrac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$ . $\alpha = \dfrac{2\pi}{3}$ alıyoruz.

Genel çözüm $x = \dfrac{2\pi}{3} + k\pi$ . Adım $\pi$ olduğu için bir tam turluk aralığa iki kök düşer.

$k = 0$ için $\dfrac{2\pi}{3}$ , $k = 1$ için $\dfrac{5\pi}{3}$ . $k = 2$ için $\dfrac{8\pi}{3}$ aralığın dışındadır.

Sonuç

Kökler $\dfrac{2\pi}{3}$ ve $\dfrac{5\pi}{3}$ ‘tür.

$\cot x = a$ denklemini ( $a \neq 0$ ) $\tan x = \dfrac{1}{a}$ biçiminde de düşünebilirsin: $\cot x = \sqrt{3}$ ile $\tan x = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ aynı denklemdir ve çözümü $x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$ ‘dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\tan x = 1

denkleminin

[0, 2\pi)

aralığındaki kökleri hangileridir?

Açıklama

$x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ . $k = 0$ ve $k = 1$ için $\dfrac{\pi}{4}$ ve $\dfrac{5\pi}{4}$ .

Eksen üzerindeki noktalar ve çözümsüz denklemler

Değer $0$ , $1$ ya da $-1$ ise kesişim noktaları eksenlerin üzerindedir. Kuralı uygulamak yerine çemberdeki noktayı düşün; yazım kısalır.

Denklem	Çemberdeki nokta	Çözüm ( $k \in \mathbb{Z}$ )
$\sin x = 0$	$(1, 0)$ ve $(-1, 0)$	$x = k\pi$
$\sin x = 1$	$(0, 1)$	$x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$
$\sin x = -1$	$(0, -1)$	$x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi$
$\cos x = 0$	$(0, 1)$ ve $(0, -1)$	$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
$\cos x = 1$	$(1, 0)$	$x = 2k\pi$
$\cos x = -1$	$(-1, 0)$	$x = \pi + 2k\pi$

Sinüs ve kosinüs $[-1, 1]$ aralığının dışına çıkamaz. Bu yüzden $|a| > 1$ ise $\sin x = a$ ve $\cos x = a$ denklemlerinin çözüm kümesi boş kümedir. Tanjant ve kotanjant ise her gerçek değeri alır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdaki denklemlerden hangisinin çözüm kümesi boş kümedir?

Açıklama

Buradaki $\dfrac{\pi}{3}$ bir açı değil, sinüsün eşitlendiği sayıdır ve yaklaşık $1{,}05$ ‘tir. Sinüs $1$ ‘den büyük olamaz.

Orta

Kat açılar, aralıklar ve çarpanlara ayırma

Açının yerinde bir ifade varsa

$\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ gibi bir denklemde kosinüsün içindeki ifadeyi tek bir açı gibi düşün. Kuralı o açıya uygula, $x$ ‘i en sonda yalnız bırak.

Örnek

orta

İçeride doğrusal ifade

$\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ denkleminin çözüm kümesini bul.

$\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ olduğundan denklem $\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3}$ biçimindedir. Kosinüs kuralını içerideki ifadenin tamamına uygula:

$2x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{veya} \quad 2x - \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$

Birinci aile: $2x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ . İki tarafı $2$ ‘ye bölerken $2k\pi$ terimini de böl: $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$ .

İkinci aile: $2x = 2k\pi$ , yani $x = k\pi$ .

Sonuç

Çözüm kümesi, $k \in \mathbb{Z}$ olmak üzere $x = k\pi$ veya $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$ biçimindeki sayılardan oluşur.

Belirli bir aralıktaki kökler

Sınav soruları çoğunlukla genel çözümü değil, verilen aralıktaki kökleri ister. En güvenli yol aralığı da içerideki açıya taşımaktır: $0 \leq x \leq \pi$ ise $0 \leq 3x \leq 3\pi$ .

Sahnede $[0, 2\pi)$ aralığında $y = \sin(nx)$ grafiği ve $y = a$ doğrusu var. $n$ sürgüsünü $1$ ‘den $4$ ‘e çıkar: dalga sıkışıyor, aynı aralığa $n$ tam dalga sığıyor ve kök sayısı $2n$ oluyor. Aralık değişmedi; değişen, içerideki açının taradığı tur sayısı.

Örnek

orta

Kat açıda aralığı açıya taşımak

$\sin 3x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ denkleminin $[0, \pi]$ aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?

Aralığı içerideki açıya taşı, çünkü kural $3x$ için konuşuyor: $0 \leq x \leq \pi$ ise $0 \leq 3x \leq 3\pi$ . Yani $3x$ bir buçuk tur atıyor.

İlk turda sinüsü $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ olan açılar $\dfrac{\pi}{3}$ ve $\dfrac{2\pi}{3}$ . Bunlara $2\pi$ ekleyince $\dfrac{7\pi}{3}$ ve $\dfrac{8\pi}{3}$ çıkar; ikisi de $3\pi = \dfrac{9\pi}{3}$ ‘ten küçüktür, aralıktadır. Bir $2\pi$ daha eklemek aralığı aşar.

$3x \in \left\{\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{7\pi}{3}, \dfrac{8\pi}{3}\right\}$ olduğundan $x \in \left\{\dfrac{\pi}{9}, \dfrac{2\pi}{9}, \dfrac{7\pi}{9}, \dfrac{8\pi}{9}\right\}$ .

Sonuç

Toplam $\dfrac{(1 + 2 + 7 + 8)\pi}{9} = 2\pi$ ‘dir.

y = \sin 3x

[0, \pi]

aralığında bir buçuk dalga yapar ve doğruyu dört kez keser.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\sin 2x = \dfrac{1}{2}

denkleminin

[0, 2\pi)

aralığında kaç kökü vardır?

Açıklama

$0 \leq 2x < 4\pi$ iki tam turdur; her turda iki kök, toplam $4$ kök: $x = \dfrac{\pi}{12}, \dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{13\pi}{12}, \dfrac{17\pi}{12}$ .

Kancadaki soruya dönebiliriz.

Örnek

orta

Dönme dolap 17 metrede

Kabinin yüksekliği $h(t) = 12 - 10\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$ metredir ( $t$ dakika). Dolap iki tur atıyor: $0 \leq t \leq 24$ . Kabin hangi dakikalarda yerden tam $17$ metre yüksektedir?

$h(t) = 17$ yaz ve kosinüsü yalnız bırak: $-10\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = 5$ , yani $\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}$ .

Aralığı açıya taşı: $0 \leq t \leq 24$ ise $0 \leq \dfrac{\pi t}{6} \leq 4\pi$ . Açı iki tam tur atıyor, bu yüzden dört kök bekliyoruz.

İlk turda kosinüsü $-\dfrac{1}{2}$ olan açılar $\dfrac{2\pi}{3}$ ve $\dfrac{4\pi}{3}$ ; ikinci turda $\dfrac{8\pi}{3}$ ve $\dfrac{10\pi}{3}$ .

$\dfrac{\pi t}{6}$ bu değerlere eşitse $t$ , her birinin $\dfrac{6}{\pi}$ katıdır: $t = 4,\ 8,\ 16,\ 20$ .

Sonuç

Kabin $4$ ., $8$ ., $16$ . ve $20$ . dakikalarda $17$ metre yüksektedir.

Yükseklik grafiği

h = 17

doğrusunu her turda iki kez keser.

Katsayılar çözümün varlığını da belirler. $2\sin 3x = m - 1$ denkleminde $\sin 3x = \dfrac{m - 1}{2}$ olur; çözüm olması için bu sayı $[-1, 1]$ aralığında kalmalıdır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

2\sin 3x = m - 1

denkleminin çözümü olması için

m

kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

Açıklama

$-2 \leq m - 1 \leq 2$ , yani $-1 \leq m \leq 3$ . Tam sayılar: $-1, 0, 1, 2, 3$ .

İki tarafta da trigonometrik fonksiyon

Temel kurallar, sağ taraf bir sayı değil de başka bir açının aynı fonksiyonu olduğunda da geçerlidir.

İki tarafta farklı fonksiyon varsa önce aynı fonksiyona çevir. En kullanışlı araç tümler açı eşitliğidir: $\cos\theta = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)$ .

Örnek

orta

Sinüs ile kosinüsü eşitlemek

$\sin 3x = \cos x$ denkleminin $[0, \pi]$ aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?

İki tarafı aynı fonksiyona çevir, çünkü kural aynı fonksiyonun eşitliği için yazılı: $\cos x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ . Denklem $\sin 3x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ oldu.

Birinci aile: $3x = \dfrac{\pi}{2} - x + 2k\pi$ . Buradan $4x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ ve $x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}$ .

İkinci aile: $3x = \pi - \left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) + 2k\pi = \dfrac{\pi}{2} + x + 2k\pi$ . Buradan $2x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ ve $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ .

$[0, \pi]$ aralığına düşenler: birinci aileden $\dfrac{\pi}{8}$ ve $\dfrac{5\pi}{8}$ (sonraki $\dfrac{9\pi}{8}$ dışarıda), ikinci aileden $\dfrac{\pi}{4}$ .

Sonuç

Toplam $\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{5\pi}{8} + \dfrac{\pi}{4} = \pi$ ‘dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\cos 3x = \cos x

denkleminin genel çözümü hangisidir? (

k \in \mathbb{Z}

)

Açıklama

$3x = x + 2k\pi$ ise $x = k\pi$ ; $3x = -x + 2k\pi$ ise $x = \dfrac{k\pi}{2}$ . İkinci aile birinciyi zaten içerir.

İkinci dereceye dönüşen denklemler

Denklemde tek bir fonksiyonun karesi ve kendisi varsa o fonksiyona bir harf ver. Farklı fonksiyonlar varsa önce $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ya da iki kat açı formülleriyle tek fonksiyona indir.

Sahnenin solunda $t$ cinsinden bir parabol, sağında $y = \sin x$ grafiği var; $t = \sin x$ . Parabolün kökleri sağdaki grafiğe yatay doğrular olarak taşınıyor. $[-1, 1]$ şeridinin dışında kalan $t$ kökü grafiği hiç kesmiyor; içeride kalan her kök birer temel denklem. Hazır denklemler arasında geçiş yap ve hangi $t$ köklerinin elendiğini izle.

Örnek

orta

İki kat açıdan ikinci dereceye

$\cos 2x - 5\sin x + 2 = 0$ denkleminin $[0, 2\pi)$ aralığındaki köklerini bul.

Denklemde $\cos 2x$ ve $\sin x$ var. Tek fonksiyona inmek için $\cos 2x$ ‘in sinüslü biçimini seç: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ .

$1 - 2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; 2\sin^2 x + 5\sin x - 3 = 0$

$t = \sin x$ de: $2t^2 + 5t - 3 = 0$ , çarpanları $(2t - 1)(t + 3) = 0$ . Buradan $t = \dfrac{1}{2}$ ya da $t = -3$ .

$\sin x = -3$ olamaz, çünkü sinüs $-1$ ‘den küçük değer almaz; bu kök atılır. Geriye $\sin x = \dfrac{1}{2}$ kalır.

Sonuç

Kökler $\dfrac{\pi}{6}$ ve $\dfrac{5\pi}{6}$ ‘dır.

Çarpanlara ayırma ve kök kaybı

Bir tarafı sıfır yapıp çarpanlara ayırabildiğin denklem, birkaç temel denkleme bölünür: çarpım sıfırsa çarpanlardan en az biri sıfırdır.

Sahnede $y = \sin 2x$ ve $y = \cos x$ eğrileri $[0, 2\pi)$ aralığında dört noktada kesişiyor. “Sadeleştir” düğmesine bas: denklem $2\sin x = 1$ biçimine iniyor ve kesişimlerden ikisi kayboluyor. Kaybolanlar, böldüğün $\cos x$ ifadesinin sıfır olduğu noktalar.

Örnek

orta

Sadeleştirmeden çarpanlara ayırmak

$\sin 2x = \cos x$ denkleminin $[0, 2\pi)$ aralığında kaç kökü vardır?

İki kat açı formülünü aç: $2\sin x\cos x = \cos x$ . İki tarafta da $\cos x$ var ama bölmüyoruz, çünkü $\cos x$ sıfır olabilir.

Hepsini bir tarafa topla ve ortak çarpan parantezine al: $\cos x\,(2\sin x - 1) = 0$ .

$\cos x = 0$ ise $x = \dfrac{\pi}{2}$ ya da $x = \dfrac{3\pi}{2}$ . $\sin x = \dfrac{1}{2}$ ise $x = \dfrac{\pi}{6}$ ya da $x = \dfrac{5\pi}{6}$ .

Sonuç

Denklemin bu aralıkta $4$ kökü vardır.

Dört kesişimden ikisi

\cos x = 0

kökleridir;

\cos x

ile sadeleştiren bunları kaybeder.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\sin x \cdot \cos x = \sin x

denkleminde iki tarafı

\sin x

ile sadeleştiren bir öğrenci hangi kökleri kaybeder? (

k \in \mathbb{Z}

)

Açıklama

Doğru çözüm $\sin x\,(\cos x - 1) = 0$ : $x = k\pi$ ya da $x = 2k\pi$ , birlikte $x = k\pi$ . Sadeleştiren yalnızca $\cos x = 1$ , yani $x = 2k\pi$ bulur; $x = \pi + 2k\pi$ kökleri kaybolur.

İleri

Birleşik denklemler ve modeller

Paydalı denklemler: önce tanım

Paydada ya da $\tan$ , $\cot$ içinde bilinmeyen varsa bazı açılar denklemi tanımsız yapar. Çözmeden önce bu açıları not et; bulduğun kökler arasında varsa at.

Örnek

zor

Paydayı sıfır yapan kök

$\dfrac{\sin 2x}{1 - \cos x} = 2\sin x$ denkleminin $[0, 2\pi]$ aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?

Önce tanım: payda sıfır olamaz, $\cos x \neq 1$ . Bu aralıkta $x = 0$ ve $x = 2\pi$ yasaklıdır.

İki tarafı paydayla çarp ve $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ yaz:

$2\sin x\cos x = 2\sin x - 2\sin x\cos x \;\Rightarrow\; 4\sin x\cos x - 2\sin x = 0$

$\sin x$ ile bölme; çarpanlara ayır: $2\sin x\,(2\cos x - 1) = 0$ .

$\sin x = 0$ ise $x = 0, \pi, 2\pi$ ; ilk adımdaki yasak yüzünden yalnızca $x = \pi$ kalır. $\cos x = \dfrac{1}{2}$ ise $x = \dfrac{\pi}{3}$ ya da $x = \dfrac{5\pi}{3}$ ; ikisinde de payda sıfır değildir.

Sonuç

Toplam $\pi + \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{5\pi}{3} = 3\pi$ ‘dir.

Mutlak değerli ve kareli denklemler

$|\sin x| = a$ ya da $\sin^2 x = a^2$ denklemi ( $0 < a \leq 1$ ) iki denkleme ayrılır: $\sin x = a$ veya $\sin x = -a$ . Çemberde bu, $y = a$ ve $y = -a$ doğrularının kestiği dört noktadır. Kosinüs için aynı şey $x = a$ ve $x = -a$ doğrularıyla olur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

|\cos x| = \dfrac{1}{2}

denkleminin

[0, 2\pi)

aralığında kaç kökü vardır?

Açıklama

$\cos x = \dfrac{1}{2}$ için $\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}$ ; $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ için $\dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}$ . Toplam $4$ kök.

Sinüs ve kosinüsün birlikte bulunduğu homojen denklemler

$a\sin x + b\cos x = 0$ denkleminde ( $a \neq 0$ ) $\cos x = 0$ kök olamaz (olsaydı $\sin x$ de sıfır olurdu, ikisi birlikte sıfır olamaz). Bu yüzden iki tarafı güvenle $\cos x$ ile böler, $\tan x = -\dfrac{b}{a}$ elde edersin. Her terimi ikinci dereceden olan denklemlerde aynı fikir $\cos^2 x$ ile çalışır.

Örnek

zor

İkinci dereceden homojen denklem

$0 < x < \pi$ olmak üzere $\sin^2 x + \sin 2x = 3\cos^2 x$ denkleminin köklerinden geniş açı olanı için $\sin 2x$ kaçtır?

$\sin 2x = 2\sin x\cos x$ yaz: $\sin^2 x + 2\sin x\cos x - 3\cos^2 x = 0$ . Her terim ikinci dereceden; $\cos^2 x$ ile bölmek tanjanta götürür.

Bölmeden önce denetle: $\cos x = 0$ olsaydı denklem $\sin^2 x = 0$ verirdi, bu da $\cos x = 0$ ile aynı anda olamaz. Demek ki $\cos x \neq 0$ , bölmek kök kaybettirmez.

$\tan^2 x + 2\tan x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; (\tan x + 3)(\tan x - 1) = 0$

$\tan x = 1$ ise $x = \dfrac{\pi}{4}$ (dar açı). $\tan x = -3$ ise $x$ ikinci bölgededir; istenen kök budur.

Dik kenarları $3$ ve $1$ olan dik üçgenin hipotenüsü $\sqrt{10}$ ‘dur. İkinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs negatiftir: $\sin x = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$ , $\cos x = -\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ .

Sonuç

$\sin 2x = 2 \cdot \dfrac{3}{\sqrt{10}} \cdot \left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right) = -\dfrac{3}{5}$

$a\sin x + b\cos x = c$ denklemi

$\sin x + \sqrt{3}\cos x = 1$ gibi bir denklemde sağ taraf sıfır değil; tanjanta bölmek işe yaramaz. Buradaki fikir, sol tarafın aslında tek bir sinüs dalgası olduğudur.

Sahnede $y = a\sin x + b\cos x$ grafiği ve $y = c$ doğrusu var. $a$ ve $b$ sürgülerini değiştir: eğri hep bir sinüs dalgası olarak kalıyor, yalnızca yüksekliği ve yatay konumu değişiyor. Dalganın tepesi tam $\sqrt{a^2 + b^2}$ yüksekliğinde. $c$ doğrusunu bu yüksekliğin üstüne çıkarınca kesişim kalmıyor.

Neden? Sağ tarafı toplam formülüyle aç: $R\sin(x + \alpha) = R\cos\alpha \cdot \sin x + R\sin\alpha \cdot \cos x = a\sin x + b\cos x$ .

Örnek

zor

Tek dalgaya indirerek çözmek

$\sin x + \sqrt{3}\cos x = 1$ denkleminin $[0, 2\pi)$ aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?

$a = 1$ , $b = \sqrt{3}$ olduğundan $R = \sqrt{1 + 3} = 2$ . $c = 1 \leq 2$ ; çözüm var.

İki tarafı $R = 2$ ‘ye böl: $\dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \dfrac{1}{2}$ . Katsayılar $\cos\dfrac{\pi}{3}$ ve $\sin\dfrac{\pi}{3}$ olduğundan sol taraf toplam formülüyle $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ ‘tür.

$\sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ . Aralığı açıya taşı: $\dfrac{\pi}{3} \leq x + \dfrac{\pi}{3} < \dfrac{7\pi}{3}$ . Bu aralıkta sinüsü $\dfrac{1}{2}$ olan açılar $\dfrac{5\pi}{6}$ ve $\dfrac{13\pi}{6}$ ‘dır ( $\dfrac{\pi}{6}$ aralığın başlangıcından küçüktür).

$\dfrac{\pi}{3}$ çıkar: $x = \dfrac{\pi}{2}$ ve $x = \dfrac{11\pi}{6}$ . Sağlama: $x = \dfrac{\pi}{2}$ için $1 + 0 = 1$ ; $x = \dfrac{11\pi}{6}$ için $-\dfrac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 1$ .

Sonuç

Toplam $\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{11\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{3}$ ‘tür.

\sin x + \sqrt{3}\cos x

genliği

2

olan tek bir dalgadır;

y = 1

doğrusunu

\dfrac{\pi}{2}

\dfrac{11\pi}{6}

'da keser.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

3\sin x + 4\cos x = m

denkleminin çözümü olması için

m

kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

Açıklama

$R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ . Koşul $-5 \leq m \leq 5$ ; bu aralıkta $11$ tam sayı var.

Sahnede dene

Sahnede $a = 3$ , $b = 4$ yap ve $c$ sürgüsünü yavaşça artır. Kesişim noktaları hangi $c$ değerinde tek noktaya iniyor, hangisinden sonra yok oluyor?

Gerçek hayat: periyodik modeller

Gelgit, gün uzunluğu, dönen bir çarkın yüksekliği gibi kendini tekrar eden büyüklükler sinüs ya da kosinüsle modellenir. “Büyüklük ne zaman şu değeri alır?” sorusu bir trigonometrik denklemdir.

Örnek

zor

Limanda gelgit

Bir limanda su derinliği gece yarısından $t$ saat sonra $d(t) = 5 + 3\sin\left(\dfrac{\pi (t - 2)}{6}\right)$ metredir ( $0 \leq t \leq 24$ ). Liman kapısı yalnızca derinlik en az $6{,}5$ metre iken açık tutuluyor. Kapı bir gün içinde toplam kaç saat açık kalır?

Kapının açılıp kapandığı anlar derinliğin tam $6{,}5$ olduğu anlardır. $5 + 3\sin\theta = 6{,}5$ yaz ( $\theta = \dfrac{\pi (t - 2)}{6}$ ): $\sin\theta = \dfrac{1}{2}$ .

Aralığı açıya taşı: $t = 0$ için $\theta = -\dfrac{\pi}{3}$ , $t = 24$ için $\theta = \dfrac{11\pi}{3}$ . Yani $-\dfrac{\pi}{3} \leq \theta \leq \dfrac{11\pi}{3}$ .

Bu aralıkta sinüsü $\dfrac{1}{2}$ olan açılar: $\dfrac{\pi}{6}$ , $\dfrac{5\pi}{6}$ , $\dfrac{13\pi}{6}$ , $\dfrac{17\pi}{6}$ . Bir sonraki $\dfrac{25\pi}{6}$ , üst sınır olan $\dfrac{22\pi}{6}$ ‘yı aşar; bir önceki $-\dfrac{7\pi}{6}$ alt sınırın altındadır.

$t = \dfrac{6\theta}{\pi} + 2$ olduğundan $t = 3,\ 7,\ 15,\ 19$ . Hangi aralıklarda derinlik fazla? $t = 5$ için $d(5) = 5 + 3\sin\dfrac{\pi}{2} = 8$ ; yani $3$ ile $7$ arasında ve bir periyot sonra $15$ ile $19$ arasında kapı açıktır.

Sonuç

Kapı $(7 - 3) + (19 - 15) = 8$ saat açık kalır.

Derinlik

6{,}5

metre doğrusunu dört kez keser; taralı aralıklarda kapı açıktır.

Bu tür hesapların kökü eskidir. Harranlı gök bilimci El Battani (yaklaşık 858-929), Batlamyus’un kiriş tabloları yerine sinüsü kullandı ve gözlemlerini trigonometrik bağıntılarla işleyerek Güneş yılının uzunluğunu birkaç dakikalık farkla hesapladı. Bir gök cisminin belirli bir yüksekliğe ne zaman ulaşacağını bulmak, bugün senin çözdüğün türden bir denklemdir.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

$\sin x = \sin\alpha$ : $x = \alpha + 2k\pi$ veya $x = \pi - \alpha + 2k\pi$ . $\cos x = \cos\alpha$ : $x = \pm\alpha + 2k\pi$ . $\tan x = \tan\alpha$ ve $\cot x = \cot\alpha$ : $x = \alpha + k\pi$ .
$|a| > 1$ ise $\sin x = a$ ve $\cos x = a$ denklemlerinin çözümü yoktur; $\tan x = a$ her $a$ için çözülür.
İçeride $nx$ varsa kuralı $nx$ ‘e uygula, sonra $2k\pi$ dahil her şeyi $n$ ‘ye böl. Aralık sorusunda aralığı da içerideki açıya taşı.
Farklı fonksiyonları özdeşliklerle teke indir; $t = \sin x$ ya da $t = \cos x$ deyip ikinci dereceden denklemi çöz, $[-1, 1]$ dışındaki $t$ değerlerini at.
Bilinmeyenli çarpanı bölme; çarpanlara ayır. Paydalı denklemde paydayı sıfır yapan açıları baştan ele.
$a\sin x + b\cos x = 0$ : $\tan x = -\dfrac{b}{a}$ . $a\sin x + b\cos x = c$ : $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ ile $R\sin(x + \alpha) = c$ ; çözüm için $c^2 \leq a^2 + b^2$ .

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

6 çıkmış soru6 özgün soru

2026 AYTSoru 30

Orta

Çarpanlara ayırma ve kök kaybı

$x$ , $0 < x < 2\pi$ aralığında bir gerçek sayıdır.

$\sin^2 x + \sin(2x) \cdot \cos x = 1$

Bu eşitliği sağlayan $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?

İpucu

$\sin^2 x$ 'i sağa at; $1 - \sin^2 x$ tanıdık bir ifadedir. Sonra sadeleştirme, çarpanlara ayır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. Düzenle. $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$ ve $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ :

$2\sin x\cos^2 x = \cos^2 x$

2. Çarpanlara ayır. $\cos^2 x$ ile bölme; bir tarafa topla:

$\cos^2 x\,(2\sin x - 1) = 0$

3. İki temel denklem. $0 < x < 2\pi$ aralığında

$\cos x = 0$ : $x = \dfrac{\pi}{2}$ ve $x = \dfrac{3\pi}{2}$ ,
$\sin x = \dfrac{1}{2}$ : $x = \dfrac{\pi}{6}$ ve $x = \dfrac{5\pi}{6}$ .

4. Topla.

$\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\pi}{2} + \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{5\pi}{6} = 2\pi + \pi = 3\pi$

Tuzak: iki tarafı $\cos^2 x$ ile sadeleştirmek. O zaman yalnızca $\sin x = \dfrac{1}{2}$ kökleri kalır ve toplam $\pi$ çıkar; $\cos x = 0$ kökleri kaybolur.

Cevap: D

2024 AYTSoru 30

Zor

Kat açıda ikinci derece ve aralık

$x$ , $0 \leq x \leq \pi$ aralığında bir gerçek sayıdır.

$\sqrt{2}\sin(4x) - \cos(8x) = 1$

Bu eşitliği sağlayan $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?

İpucu

$8x$ , $4x$ 'in iki katıdır. $\cos(8x)$ 'i $\sin(4x)$ cinsinden yaz; sonra $4x$ 'in taradığı aralığı hesapla.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

1. Tek fonksiyon. $\cos(8x) = 1 - 2\sin^2(4x)$ . $t = \sin(4x)$ de:

$\sqrt{2}\,t - (1 - 2t^2) = 1 \;\Rightarrow\; 2t^2 + \sqrt{2}\,t - 2 = 0$

2. İkinci dereceden denklem. $\Delta = 2 + 16 = 18$ , $\sqrt{\Delta} = 3\sqrt{2}$ :

$t = \dfrac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{4} \;\Rightarrow\; t = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ \text{ya da} \ t = -\sqrt{2}$

$-\sqrt{2} < -1$ olduğundan sinüs bu değeri alamaz; atılır.

3. Aralığı açıya taşı. $0 \leq x \leq \pi$ ise $0 \leq 4x \leq 4\pi$ : iki tam tur. Her turda sinüsü $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ olan iki açı vardır:

$4x \in \left\{\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{9\pi}{4},\ \dfrac{11\pi}{4}\right\} \;\Rightarrow\; x \in \left\{\dfrac{\pi}{16},\ \dfrac{3\pi}{16},\ \dfrac{9\pi}{16},\ \dfrac{11\pi}{16}\right\}$

4. Topla.

$\dfrac{(1 + 3 + 9 + 11)\pi}{16} = \dfrac{24\pi}{16} = \dfrac{3\pi}{2}$

Tuzak: yalnızca ilk turdaki iki kökü almak. O zaman toplam $\dfrac{\pi}{4}$ çıkar ve seçeneklerde yoktur; bu, aralığı açıya taşımayı unuttuğunun işaretidir.

Cevap: D

2023 AYTSoru 30

Orta

Paydalı denklem ve ikinci dereceye indirgeme

$x$ , $\pi < x < 2\pi$ aralığında bir gerçek sayıdır.

$\dfrac{2\cos^2 x + 2\sin x}{\sin(2x)} = \tan x$

Bu denklemi sağlayan $x$ gerçek sayılarının toplamı kaçtır?

İpucu

$\sin(2x)$ 'i aç, $\tan x$ 'i $\dfrac{\sin x}{\cos x}$ yaz ve paydalardan kurtul. Sonra her şeyi $\sin x$ cinsinden yaz; bulduğun köklerin paydayı sıfır yapıp yapmadığına bak.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

1. Tanım. $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$ paydada ve $\tan x$ tanımlı olmalı: $\sin x \neq 0$ ve $\cos x \neq 0$ .

2. Paydalardan kurtul.

$\dfrac{2\cos^2 x + 2\sin x}{2\sin x\cos x} = \dfrac{\sin x}{\cos x}$

İki tarafı $\sin x\cos x$ ile çarp (soldaki $2$ 'ler sadeleşir): $\cos^2 x + \sin x = \sin^2 x$ .

3. Tek fonksiyon. $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ yaz:

$1 - \sin^2 x + \sin x = \sin^2 x \;\Rightarrow\; 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; (2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0$

4. Kökleri ele. $\sin x = 1$ olursa $\cos x = 0$ olur; birinci adımdaki koşula aykırıdır, atılır. Geriye $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ kalır.

5. Aralık. $\pi < x < 2\pi$ için $x = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}$ ve $x = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6}$ .

$\dfrac{7\pi}{6} + \dfrac{11\pi}{6} = 3\pi$

Cevap: B

2021 AYTSoru 30

Orta

Mutlak değerli sinüs denklemi

$x$ , $0 \leq x \leq \dfrac{3\pi}{2}$ aralığında bir gerçek sayıdır.

$|\sin x| = \cos(50^\circ)$

Bu eşitliği sağlayan $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?

İpucu

Sağ tarafı sinüse çevir ( $50^\circ$ 'nin tümleri). Mutlak değer iki denklem verir; aralığı derece cinsinden düşünmek işi kolaylaştırır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

1. Aynı fonksiyona çevir. Tümler açılar: $\cos 50^\circ = \sin 40^\circ$ . Denklem $|\sin x| = \sin 40^\circ$ olur.

2. Mutlak değeri aç. $\sin x = \sin 40^\circ$ veya $\sin x = -\sin 40^\circ$ .

3. Aralık. $0 \leq x \leq \dfrac{3\pi}{2}$ , derece olarak $0^\circ \leq x \leq 270^\circ$ : ilk üç bölge.

$\sin x = \sin 40^\circ$ : $x = 40^\circ$ ve $x = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$ .
$\sin x = -\sin 40^\circ$ : sinüs üçüncü ve dördüncü bölgede negatiftir. $x = 180^\circ + 40^\circ = 220^\circ$ aralıktadır; $x = 360^\circ - 40^\circ = 320^\circ$ aralığın dışındadır.

4. Topla ve radyana çevir.

$40^\circ + 140^\circ + 220^\circ = 400^\circ = 400 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{20\pi}{9}$

Tuzaklar: $320^\circ$ 'yi de saymak (toplam $720^\circ = 4\pi$ çıkar, seçeneklerde yok) ya da negatif dalı unutup yalnızca $40^\circ + 140^\circ = \pi$ bulmak.

Cevap: E

2020 AYTSoru 29

Orta

Özdeşlikle sadeleşen denklem

$x$ , $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ aralığında bir gerçek sayıdır ve

$\dfrac{1 + \tan x}{\cot x} \cdot \dfrac{\sin x - \cos x}{\sin x} = 2$

eşitliğini sağlıyor.

Buna göre $\sin x$ değeri kaçtır?

İpucu

Her iki kesri de $\tan x$ cinsinden yaz: $\cot x$ 'e bölmek $\tan x$ ile çarpmaktır, ikinci kesri de terim terim böl.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

1. Birinci kesir. $\cot x$ 'e bölmek $\tan x$ ile çarpmaktır:

$\dfrac{1 + \tan x}{\cot x} = \tan x\,(1 + \tan x)$

2. İkinci kesir. Payı terim terim böl:

$\dfrac{\sin x - \cos x}{\sin x} = 1 - \cot x = 1 - \dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\tan x - 1}{\tan x}$

3. Çarp. $\tan x$ çarpanları sadeleşir (dar açıda $\tan x \neq 0$ ):

$(1 + \tan x)(\tan x - 1) = \tan^2 x - 1 = 2 \;\Rightarrow\; \tan^2 x = 3$

4. Aralık. $x$ dar açı olduğundan $\tan x > 0$ , yani $\tan x = \sqrt{3}$ ve $x = \dfrac{\pi}{3}$ .

$\sin x = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Sağlama: $x = \dfrac{\pi}{3}$ için $\tan x\,(1 + \tan x) = 3 + \sqrt{3}$ ve $1 - \cot x = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ; çarpımları $3 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1 = 2$ .

Cevap: D

2018 AYTSoru 28

Orta

İki kat açıyla tanjant denklemine indirgeme

$x$ , $0 < x < \pi$ koşulunu sağlayan bir gerçek sayıdır ve

$\dfrac{\sin x \cdot \cos x}{\sin x + \cos x} = \dfrac{\sin x - \cos x}{2}$

eşitliği veriliyor.

Bu eşitliği sağlayan $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?

İpucu

İçler dışlar çarpımı yap. Bir tarafta $2\sin x\cos x$ , öbür tarafta iki kare farkı oluşur; ikisi de $2x$ cinsinden yazılabilir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

1. Tanım. Payda sıfır olamaz: $\sin x + \cos x \neq 0$ , yani $\tan x \neq -1$ . $(0, \pi)$ aralığında yasak açı $x = \dfrac{3\pi}{4}$ 'tür.

2. İçler dışlar çarpımı.

$2\sin x\cos x = (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) = \sin^2 x - \cos^2 x$

3. İki kat açı. Sol taraf $\sin 2x$ , sağ taraf $-(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos 2x$ 'tir:

$\sin 2x = -\cos 2x$

$\cos 2x = 0$ olsaydı $\sin 2x$ de sıfır olurdu; ikisi birlikte sıfır olamaz. Öyleyse $\cos 2x$ ile bölebiliriz: $\tan 2x = -1$ .

4. Aralık. $0 < x < \pi$ ise $0 < 2x < 2\pi$ . Bu aralıkta tanjantı $-1$ olan açılar $\dfrac{3\pi}{4}$ ve $\dfrac{7\pi}{4}$ 'tür:

$x = \dfrac{3\pi}{8} \quad \text{ve} \quad x = \dfrac{7\pi}{8}$

İkisi de yasak açı olan $\dfrac{3\pi}{4}$ 'ten farklıdır.

$\dfrac{3\pi}{8} + \dfrac{7\pi}{8} = \dfrac{5\pi}{4}$

Tuzak: $2x$ için yalnızca $\dfrac{3\pi}{4}$ değerini alıp ikinci kökü atlamak. $2x$ bir tam tur taradığı için tanjant denkleminin iki kökü vardır.

Cevap: B

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Temel sinüs denklemi ve grafik

Şekilde $[0, 2\pi]$ aralığında $y = 2\sin x$ fonksiyonunun grafiği ile $y = 1$ doğrusu verilmiştir. Doğru, grafiği $A$ ve $B$ noktalarında kesmektedir.

Buna göre $|AB|$ uzunluğu kaç birimdir?

Çözüm

1. Kesişim bir denklemdir. $2\sin x = 1$ , yani $\sin x = \dfrac{1}{2}$ .

2. Aralıktaki kökler. $[0, 2\pi]$ aralığında $x = \dfrac{\pi}{6}$ ve $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$ . Demek ki $A\left(\dfrac{\pi}{6}, 1\right)$ ve $B\left(\dfrac{5\pi}{6}, 1\right)$ .

3. Uzunluk. İki nokta aynı yatay doğru üzerinde olduğundan uzunluk apsislerin farkıdır:

$|AB| = \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3}$

Çeldiriciler: $\dfrac{\pi}{3}$ , kökleri $\dfrac{\pi}{3}$ ve $\dfrac{2\pi}{3}$ alınca ( $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ile karıştırma); $\dfrac{5\pi}{6}$ yalnızca $B$ 'nin apsisidir.

Cevap: C

Özgün soru2

Orta

Tanjant denkleminin genel çözümü

$k$ bir tam sayı olmak üzere

$\tan\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) = 1$

denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

Kuralı içerideki ifadenin tamamına uygula. Tanjantın adımı $k\pi$ 'dir ve $x$ 'i yalnız bırakırken bu terim de bölünür.

Çözüm

1. Kural. $\tan\dfrac{\pi}{4} = 1$ olduğundan

$2x - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$

2. $x$ 'i yalnız bırak. $2x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ . İki tarafın tamamını $2$ 'ye böl:

$x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}$

Sağlama: $k = 1$ için $x = \dfrac{3\pi}{4}$ ; $2x - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4}$ ve $\tan\dfrac{5\pi}{4} = 1$ .

Çeldiriciler: A, $k\pi$ terimini bölmeyi unutunca çıkar ve köklerin yarısını kaybeder; C, $\dfrac{\pi}{4}$ 'ü karşıya atmadan bölünce; E, tanjantın adımını $2\pi$ sanınca.

Cevap: B

Özgün soru3

Orta

İki tarafta kosinüs

$\cos 2x = \cos x$

denkleminin $[0, 2\pi)$ aralığında kaç farklı kökü vardır?

İpucu

$\cos f = \cos g$ ise $f = \pm g + 2k\pi$ . İki aileyi ayrı ayrı çöz, sonra aynı kökü iki kez sayıp saymadığına bak.

Çözüm

1. Kural. $2x = x + 2k\pi$ veya $2x = -x + 2k\pi$ .

2. Birinci aile. $x = 2k\pi$ . Aralıkta yalnızca $x = 0$ .

3. İkinci aile. $3x = 2k\pi$ , $x = \dfrac{2k\pi}{3}$ . Aralıkta $x = 0,\ \dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3}$ .

4. Say. $x = 0$ iki ailede de var; bir kez sayılır. Farklı kökler: $0,\ \dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3}$ . Cevap $3$ .

İkinci yol: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ yazılırsa $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ , $(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$ . $\cos x = 1$ için $x = 0$ ; $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ için $x = \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}$ . Aynı üç kök.

Çeldiriciler: $4$ , ortak kök $0$ iki kez sayılınca; $2$ , $x = 0$ kökü unutulunca.

Cevap: B

Özgün soru4

Orta

Periyodik model

Bir serada sıcaklık, gece yarısından $t$ saat sonra

$T(t) = 20 + 6\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)$

santigrat derece olarak modellenmiştir ( $0 \leq t < 24$ ). Sıcaklık $17\,^\circ\text{C}$ değerine indiği anda ısıtıcı çalışmaya başlamakta, sıcaklık yeniden $17\,^\circ\text{C}$ değerine çıktığı anda kapanmaktadır.

Buna göre ısıtıcı bir gün içinde kaç saat çalışır?

İpucu

Isıtıcının açıldığı ve kapandığı anlar $T(t) = 17$ denkleminin kökleridir. Aralığı kosinüsün içindeki açıya taşı.

Çözüm

1. Denklem. $20 + 6\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) = 17$ , yani $\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) = -\dfrac{1}{2}$ .

2. Aralık. $0 \leq t < 24$ ise $0 \leq \dfrac{\pi t}{12} < 2\pi$ : bir tam tur. Kosinüsü $-\dfrac{1}{2}$ olan açılar $\dfrac{2\pi}{3}$ ve $\dfrac{4\pi}{3}$ 'tür.

3. Zamana çevir. $t = \dfrac{12}{\pi} \cdot \dfrac{2\pi}{3} = 8$ ve $t = \dfrac{12}{\pi} \cdot \dfrac{4\pi}{3} = 16$ .

4. Yorum. $t = 12$ için $T = 20 + 6\cos\pi = 14$ ; yani $8$ ile $16$ arasında sıcaklık $17$ 'nin altındadır ve ısıtıcı çalışır.

$16 - 8 = 8 \text{ saat}$

Çeldiriciler: $4$ , $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ yerine $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ alınıp ( $t = 4$ ) tek kök süre sanılınca; $12$ , sıcaklığın ortalamanın ( $20$ ) altında kaldığı süredir.

Cevap: C

Özgün soru5

Zor

Homojen denklem ve toplam formülü

$3\sin^2 x + \cos^2 x = 2\sin 2x$

denkleminin $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ aralığındaki iki kökü $x_1$ ve $x_2$ 'dir.

Buna göre $\tan(x_1 + x_2)$ değeri kaçtır?

İpucu

$\sin 2x$ 'i aç; her terim ikinci dereceden olur. $\cos^2 x$ ile bölüp $\tan x$ cinsinden ikinci dereceden denklem kur. Kökleri tek tek bulman gerekmez; tanjantlarının toplamı ve çarpımı yeter.

Çözüm

1. Homojen biçim. $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ :

$3\sin^2 x - 4\sin x\cos x + \cos^2 x = 0$

2. Tanjanta geç. Dar açıda $\cos x \neq 0$ ; iki tarafı $\cos^2 x$ ile böl:

$3\tan^2 x - 4\tan x + 1 = 0 \;\Rightarrow\; (3\tan x - 1)(\tan x - 1) = 0$

$\tan x_1 = \dfrac{1}{3}$ ve $\tan x_2 = 1$ . İkisi de pozitif olduğundan iki kök de dar açıdır.

3. Toplam formülü.

$\tan(x_1 + x_2) = \dfrac{\tan x_1 + \tan x_2}{1 - \tan x_1 \cdot \tan x_2} = \dfrac{\dfrac{1}{3} + 1}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{\dfrac{4}{3}}{\dfrac{2}{3}} = 2$

Çeldiriciler: $\dfrac{4}{3}$ tanjantların toplamıdır (paydayı unutma); $\dfrac{1}{2}$ kesrin ters çevrilmişidir.

Cevap: D

Özgün soru6

Zor

a sin x + b cos x = c denklemi

$\sqrt{3}\sin x - \cos x = \sqrt{2}$

denkleminin $[0, 2\pi)$ aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?

İpucu

$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$ . İki tarafı $2$ 'ye böl; soldaki katsayılar bir özel açının kosinüsü ve sinüsüdür. Fark formülündeki işarete dikkat et.

Çözüm

1. Tek dalgaya indir. $R = \sqrt{3 + 1} = 2$ . İki tarafı $2$ 'ye böl:

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \dfrac{1}{2}\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\dfrac{\pi}{6}$ ve $\dfrac{1}{2} = \sin\dfrac{\pi}{6}$ olduğundan sol taraf fark formülüyle $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)$ 'dır.

2. Temel denklem. $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

3. Aralık. $0 \leq x < 2\pi$ ise $-\dfrac{\pi}{6} \leq x - \dfrac{\pi}{6} < \dfrac{11\pi}{6}$ . Bu aralıkta sinüsü $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ olan açılar $\dfrac{\pi}{4}$ ve $\dfrac{3\pi}{4}$ 'tür.

$x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{12} \quad \text{ve} \quad x = \dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{12}$

4. Topla.

$\dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{11\pi}{12} = \dfrac{16\pi}{12} = \dfrac{4\pi}{3}$

Çeldirici: sol tarafı $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right)$ sanmak; o zaman kökler $\dfrac{\pi}{12}$ ve $\dfrac{7\pi}{12}$ , toplam $\dfrac{2\pi}{3}$ çıkar. $\cos x$ 'in önündeki eksi işareti fark formülünü gösterir.

Cevap: C

Trigonometrik denklem nedir?

sin⁡x=a\sin x = asinx=a denklemi

Sinüs denkleminin çözüm kümesi

cos⁡x=a\cos x = acosx=a denklemi

Negatif değerli kosinüs denklemi

tan⁡x=a\tan x = atanx=a ve cot⁡x=a\cot x = acotx=a denklemleri

Tanjant denklemi

Eksen üzerindeki noktalar ve çözümsüz denklemler

Açının yerinde bir ifade varsa

İçeride doğrusal ifade

Belirli bir aralıktaki kökler

Kat açıda aralığı açıya taşımak

Dönme dolap 17 metrede

İki tarafta da trigonometrik fonksiyon

Sinüs ile kosinüsü eşitlemek

İkinci dereceye dönüşen denklemler

İki kat açıdan ikinci dereceye

Çarpanlara ayırma ve kök kaybı

Sadeleştirmeden çarpanlara ayırmak

Paydalı denklemler: önce tanım

Paydayı sıfır yapan kök

Mutlak değerli ve kareli denklemler

Sinüs ve kosinüsün birlikte bulunduğu homojen denklemler

İkinci dereceden homojen denklem

asin⁡x+bcos⁡x=ca\sin x + b\cos x = casinx+bcosx=c denklemi

Tek dalgaya indirerek çözmek

Gerçek hayat: periyodik modeller

Limanda gelgit

Özgün sorular

$\sin x = a$ denklemi

$\cos x = a$ denklemi

$\tan x = a$ ve $\cot x = a$ denklemleri

$a\sin x + b\cos x = c$ denklemi