43Konu 43 / 49
Geometri

Çemberde Kiriş ve Açılar

Çemberde kiriş, çap, yay, kesen ve teğeti tanı; kirişin merkeze uzaklığını Pisagor ile hesapla; merkez, çevre, iç, dış ve teğet-kiriş açıları gördükleri yaylarla ilişkilendir, çevrel çemberi sinüs teoremine bağla.

11. sınıf
AYT sıklığı
55 dk

LevhaÇemberde Kiriş ve AçılarÇemberde Kiriş ve Açılar

Bir kazıda eski bir çömleğin ağzından kopmuş, yay biçiminde tek bir parça bulundu. Parçanın iki ucu arası $24$ cm, yayın en yüksek noktası bu doğru parçasından $8$ cm yukarıda. Çömleğin ağzının yarıçapı kaç santimetreydi?

Elinde çemberin yalnızca küçük bir parçası var, merkez ortada yok. Yine de parçanın iki ucunu birleştiren doğru parçası ve onun orta dikmesi merkezin nerede olduğunu ele verir. Bu dersin ilk yarısı bu fikrin üzerine kurulu; ikinci yarısında aynı çemberin açılarını okuyacaksın.

Isınma

Başlamadan önce

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

İkizkenar bir üçgende tepe açısının köşesinden tabana inen yükseklik için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Açıklama

İkizkenar üçgende tepeden inen yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır: tabanı ortalar, tepe açısını ikiye böler. Bu derste ikizkenar üçgenin eş kenarları hep iki yarıçap olacak.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Dik kenarları

5

12

birim olan dik üçgenin hipotenüsü kaç birimdir?

Açıklama

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ ve $\sqrt{169} = 13$ . Ayrıntısı için: Dik Üçgen.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir üçgenin iki iç açısı

40^\circ

65^\circ

dir. Üçüncü köşedeki dış açı kaç derecedir?

Açıklama

Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir: $40^\circ + 65^\circ = 105^\circ$ . Çemberdeki açı kurallarının hepsi bu bilgiyle kanıtlanır. Ayrıntısı için: Üçgende Açılar.

Temel

Çemberin dili ve kirişin temel özelliği

Çemberin elemanları

Düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıkta olan noktaların oluşturduğu şekle çember denir. Sabit nokta merkez, eşit uzaklık yarıçaptır. Çemberle ilgili her soru birkaç sözcükle kurulur; önce onları netleştir.

Kesen doğrunun çemberin içinde kalan parçası bir kiriştir. Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir.

Bir kiriş çemberi iki yaya ayırır: küçük olana küçük yay, diğerine büyük yay denir. ” $AB$ yayı” dendiğinde, aksi söylenmedikçe küçük olan kastedilir. Büyük yayı anlatmak için üzerinden bir nokta daha yazılır: $ACB$ yayı.

Bir doğru ile bir çemberin durumları

Bir doğruyu çembere uzaktan yaklaştır. Önce hiç değmez, bir an tek noktada değer, sonra çemberi iki noktada keser. Hangi durumda olduğunu tek bir sayı belirler: merkezin doğruya uzaklığı.

Teğet durumunda merkeze en yakın nokta değme noktasıdır. En kısa uzaklık dik uzaklık olduğundan, teğet değme noktasındaki yarıçapa diktir. Teğetin öteki özellikleri Çemberde Teğet ve Daire sayfasındadır.

Örnek

kolay

Üç doğru, bir çember

Yarıçapı $6$ cm olan bir çemberin merkezinin $d_1$ , $d_2$ ve $d_3$ doğrularına uzaklıkları sırasıyla $4$ cm, $6$ cm ve $9$ cm dir. Bu üç doğrunun çemberle toplam kaç ortak noktası vardır?

Her doğru için uzaklığı yarıçapla karşılaştır, çünkü ortak nokta sayısını yalnızca bu karşılaştırma belirler. Yarıçap $r = 6$ .

$d_1$ için $4 < 6$ : doğru kesendir, $2$ ortak nokta. $d_2$ için $6 = 6$ : doğru teğettir, $1$ ortak nokta. $d_3$ için $9 > 6$ : doğru çemberin dışındadır, ortak nokta yok.

Sonuç

$2 + 1 + 0 = 3$ ortak nokta.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Yarıçapı

7

cm olan bir çemberin merkezinin bir doğruya uzaklığı

7

cm dir. Bu doğru için hangisi doğrudur?

Açıklama

$d = r$ olduğunda doğrunun merkeze en yakın noktası tam çemberin üzerindedir, öteki bütün noktaları dışarıda kalır. Tek ortak nokta: doğru teğettir.

Merkez açı ve yayın ölçüsü

Yayın “büyüklüğünü” uzunlukla değil açıyla ölçeriz. Köşesi çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir; kolları çemberi iki noktada keser ve arada kalan yayı görür.

Örnek: saat kadranında ardışık iki sayı arasındaki yay $360^\circ : 12 = 30^\circ$ dir. Bu yüzden $1$ ile $5$ arasındaki yay $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$ olur. Aynı çemberde eş yayların kirişleri de eştir, çünkü iki yarıçap ve aradaki merkez açı aynı üçgeni verir.

Merkezden kirişe inen dikme

Bir kirişin iki ucunu merkeze birleştir. İki kenarı yarıçap olan bir üçgen oluşur; kirişi nereye taşırsan taşı bu üçgen ikizkenar kalır. Kirişle ilgili her şey bu üçgenden çıkar.

|OA| = |OB| = r

olduğundan

OAB

ikizkenardır; tepeden inen yükseklik tabanı ortalar.

Üçüncü madde merkezi bulmanın yoludur: paralel olmayan iki kirişin orta dikmelerini çiz, kesiştikleri nokta merkezdir. Çömlek parçasının merkezi de böyle bulunur.

Hesap tarafında elinde bir dik üçgen var: hipotenüs yarıçap $r$ , bir dik kenar merkezin kirişe uzaklığı $d$ , öteki dik kenar kirişin yarısı.

r^2 = d^2 + \left(\frac{|AB|}{2}\right)^2

Örnek

kolay

Kirişin merkeze uzaklığı

Yarıçapı $10$ cm olan bir çemberde uzunluğu $16$ cm olan bir kirişin merkeze uzaklığı kaç santimetredir?

Merkezden kirişe dikme indir. Dikme kirişi ortaladığı için kirişin yarısı $16 : 2 = 8$ cm olur.

Merkez, dikme ayağı ve kirişin bir ucu dik üçgen oluşturur; hipotenüs yarıçaptır, çünkü kirişin ucu çember üzerindedir. $d^2 + 8^2 = 10^2$ .

$d^2 = 100 - 64 = 36$ , uzaklık pozitif olduğundan $d = 6$ .

Sonuç

Kirişin merkeze uzaklığı $6$ cm dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Yarıçapı

17

birim olan bir çemberde merkeze uzaklığı

8

birim olan kirişin uzunluğu kaç birimdir?

Açıklama

Kirişin yarısı $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ birimdir. Kiriş $2 \cdot 15 = 30$ birim.

Orta

Kiriş uzunluğu, çevre açı, teğet-kiriş açı

Merkeze yakın kiriş uzundur

Bir kirişi kendine paralel tutarak merkeze doğru kaydır. Uzaklık küçüldükçe kiriş uzar; merkezden geçtiği anda en uzun hâlini alır ve çap olur. Merkezden uzaklaştırdıkça kısalır, çemberin kenarında bir noktaya iner.

Nedeni az önceki bağıntıda: $\dfrac{|AB|}{2} = \sqrt{r^2 - d^2}$ . Yarıçap sabitken $d$ büyürse kök içi küçülür.

Yarıçap

5

: uzaklık

3

iken kiriş

8

, uzaklık

4

iken kiriş

6

, uzaklık

0

iken kiriş

10

(çap).

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir çemberde

[AB]

[CD]

[EF]

kirişlerinin merkeze uzaklıkları sırasıyla

2

5

3

birimdir. Kiriş uzunluklarının doğru sıralaması hangisidir?

Açıklama

Merkeze en yakın kiriş en uzundur. Uzaklıklar $2 < 3 < 5$ olduğundan $|AB| > |EF| > |CD|$ .

Örnek

orta

Paralel iki kiriş: iki durum

Yarıçapı $13$ birim olan bir çemberde birbirine paralel iki kirişin uzunlukları $24$ ve $10$ birimdir. Bu iki kiriş arasındaki uzaklığın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Önce her kirişin merkeze uzaklığını bul, çünkü iki kiriş arasındaki uzaklık bu iki sayıdan kurulur. $24$ lük kiriş için $\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5$ , $10$ luk kiriş için $\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ .

Kirişler paralel olduğundan merkezden ikisine inen dikmeler aynı doğru üzerindedir. Soru kirişlerin merkezin aynı tarafında mı, farklı taraflarında mı olduğunu söylemiyor; iki durumu da say.

Aynı tarafta ise uzaklık $12 - 5 = 7$ , farklı taraflarda ise $12 + 5 = 17$ birimdir.

Sonuç

$7 + 17 = 24$

Örnek

orta

Çömlek parçasından yarıçap

Girişteki çömlek parçasında iki uç arası $24$ cm, yayın en yüksek noktasının bu kirişe uzaklığı $8$ cm dir. Çömleğin ağzının yarıçapı kaç santimetredir?

Parçanın iki ucunu birleştiren $[AB]$ bir kiriştir. Yayın en yüksek noktası $T$ , kirişin orta dikmesi üzerindedir; orta dikme merkezden geçtiği için $O$ , $M$ ve $T$ aynı doğru üzerindedir.

Yarıçap bilinmiyor, ona $r$ de. $|OT| = r$ ve $|MT| = 8$ olduğundan merkezin kirişe uzaklığı $|OM| = r - 8$ olur. Bilinmeyeni uzaklık yerine yarıçap seçtik, çünkü sorulan o.

$OMB$ dik üçgeninde kirişin yarısı $12$ dir:

\begin{aligned} (r - 8)^2 + 12^2 &= r^2 \\ r^2 - 16r + 64 + 144 &= r^2 \\ 16r &= 208 \end{aligned}

Sonuç

$r = 13$ cm. Sağlama: $|OM| = 5$ ve $5^2 + 12^2 = 13^2$ .

Yay yüksekliği

8

ise merkezin kirişe uzaklığı

r - 8

olur.

Çevre açı

Köşesi çemberin üzerinde, kolları birer kiriş olan açıya çevre açı denir. Merkez açının köşesi merkezdeydi; çevre açının köşesi çembere çıktı.

$AB$ yayını sabit tut, çevre açının köşesini karşıdaki yay üzerinde gezdir. Kollar uzar, kısalır, eğilir; açının ölçüsü ise hiç değişmez. Üstelik hep aynı yayı gören merkez açının tam yarısıdır.

Merkez açı

110^\circ

;

C

nerede olursa olsun çevre açı

55^\circ

Neden yarısı? $C$ den geçen çapı çiz. $OAC$ üçgeninde $|OA| = |OC|$ olduğundan taban açıları eştir; ikisine de $x$ de. Çapın öbür yanındaki $O$ dış açısı $x + x = 2x$ olur. Aynı şey $OBC$ üçgeninde $y$ ile olur: çevre açı $x + y$ , merkez açı $2x + 2y$ .

Bu kuraldan iki sonuç doğrudan çıkar ve sınavda kuralın kendisinden çok bunlar kullanılır.

$[AB]$ çap olsun; gördüğü yay yarım çember, yani $180^\circ$ . Köşeyi çember üzerinde nereye götürürsen götür açı $180^\circ : 2 = 90^\circ$ kalır. Bir çember sorusunda çap görüyorsan dik üçgen ara.

[AB]

çap ise

m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{AC'B}) = 90^\circ

Örnek

orta

Yayın iki yanındaki çevre açılar

$O$ merkezli çemberde $m(\widehat{AOB}) = 100^\circ$ dir. $C$ noktası $AB$ büyük yayı üzerinde, $D$ noktası $AB$ küçük yayı üzerindedir. $m(\widehat{ACB})$ ve $m(\widehat{ADB})$ kaçar derecedir?

Merkez açı $100^\circ$ olduğundan $AB$ küçük yayı $100^\circ$ , $AB$ büyük yayı $360^\circ - 100^\circ = 260^\circ$ dir.

Bir çevre açı, köşesinin bulunmadığı yayı görür. $C$ büyük yay üzerinde olduğundan $\widehat{ACB}$ küçük yayı görür: $100^\circ : 2 = 50^\circ$ .

$D$ küçük yay üzerinde olduğundan $\widehat{ADB}$ büyük yayı görür: $260^\circ : 2 = 130^\circ$ .

Sonuç

$m(\widehat{ACB}) = 50^\circ$ ve $m(\widehat{ADB}) = 130^\circ$ . İkisinin toplamı $180^\circ$ dir; bu rastlantı değil, iki yay çemberi tamamlar.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir çevre açının gördüğü yayın ölçüsü

140^\circ

dir. Bu çevre açı kaç derecedir?

Açıklama

Çevre açı gördüğü yayın yarısıdır: $140^\circ : 2 = 70^\circ$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

[AB]

bir çemberin çapı,

C

çember üzerinde bir noktadır.

m(\widehat{ABC}) = 35^\circ

ise

m(\widehat{BAC})

kaç derecedir?

Açıklama

Çapı gören çevre açı $90^\circ$ olduğundan $m(\widehat{ACB}) = 90^\circ$ . Üçgenin öteki iki açısı $90^\circ$ ye tamamlanır: $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .

Teğet-kiriş açı

Köşesi çember üzerinde olan, bir kolu teğet öteki kolu kiriş olan açıya teğet-kiriş açı denir.

Bir çevre açının kollarından birini, ucunu köşeye doğru kaydırarak kısalt. Uç köşeyle çakıştığı anda o kol kesen olmaktan çıkar, teğet olur. Açı yol boyunca hep aynı yayın yarısıydı; son anda da öyle kalır.

Teğet ile

[AB]

kirişi arasındaki açı ve

\widehat{ACB}

çevre açısı aynı

AB

yayını görür.

Kanıtı kısa: $[OA]$ teğete diktir. Teğet-kiriş açı $\alpha$ ise $m(\widehat{OAB}) = 90^\circ - \alpha$ olur. $OAB$ ikizkenar olduğundan tepe açısı $180^\circ - 2(90^\circ - \alpha) = 2\alpha$ , yani yay $2\alpha$ dır.

Örnek

orta

Teğet, kiriş ve ikizkenar üçgen

Köşeleri bir çember üzerinde olan $ABC$ üçgeninde $|AB| = |AC|$ dir. Çembere $A$ noktasında teğet olan doğru ile $[AB]$ kirişi arasındaki, içinde $C$ noktası bulunmayan açı $62^\circ$ dir. $m(\widehat{BAC})$ kaç derecedir?

Teğet-kiriş açının kolları arasında kalan yay, $C$ yi içermeyen $AB$ yayıdır. Bu yayı gören çevre açı $\widehat{ACB}$ dir, çünkü köşesi $C$ o yayın üzerinde değildir. O hâlde $m(\widehat{ACB}) = 62^\circ$ .

$|AB| = |AC|$ olduğundan bu kenarların karşısındaki açılar eştir: $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = 62^\circ$ .

Üçgenin iç açıları toplamından $m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - 62^\circ - 62^\circ$ .

Sonuç

$m(\widehat{BAC}) = 56^\circ$

İleri

İç ve dış açı, çevrel çember, birleşik sorular

İç açı ve dış açı

Çevre açının köşesi çemberin üzerindeydi. Köşeyi içeri ya da dışarı alırsan açı artık iki yay görür.

Kesişen iki doğrunun kesişim noktasını, aralarındaki açıyı bozmadan çemberin içinden dışına doğru sürükle. Açı aynı kalır, gördüğü yaylar değişir: içerideyken iki yayın toplamı, dışarıdayken farkı hep açının iki katıdır. Tam çemberin üzerinde küçük yay sıfıra iner ve çevre açı kuralı çıkar.

İç açı:

\alpha = \dfrac{x + y}{2}

. Kesikli

[BC]

kirişi kanıtın yardımcı çizgisidir.

İç açı için $[BC]$ yi çiz. $\alpha$ , $KBC$ üçgeninin dış açısıdır: $\alpha = m(\widehat{KBC}) + m(\widehat{KCB})$ . Bu iki açı $y$ ve $x$ yaylarını gören çevre açılardır, yani $\dfrac{y}{2}$ ve $\dfrac{x}{2}$ .

Dış açı:

\alpha = \dfrac{x - y}{2}

. Kesikli

[AD]

kirişi kanıtın yardımcı çizgisidir.

Dış açı için $[AD]$ yi çiz. Bu kez $x$ yayını gören $\widehat{BAD}$ çevre açısı, $PAD$ üçgeninin dış açısıdır: $\dfrac{x}{2} = \alpha + \dfrac{y}{2}$ . Kollardan biri ya da ikisi teğet olduğunda da kural aynen geçerlidir; yaylar değme noktalarından ölçülür.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Çemberin dışındaki bir noktadan çizilen iki kesenin çemberden ayırdığı yaylar

110^\circ

40^\circ

dir. Kesenler arasındaki açı kaç derecedir?

Açıklama

Köşe dışarıda: $\dfrac{110^\circ - 40^\circ}{2} = 35^\circ$ .

Örnek

zor

İç ve dış açı aynı şekilde

Bir çemberin dışındaki $P$ noktasından çizilen iki kesen çemberi sırasıyla $A$ , $B$ ve $C$ , $D$ noktalarında kesiyor ( $A$ ile $C$ noktaları $P$ ye yakın olanlar). $[AD]$ ve $[BC]$ kirişleri $E$ noktasında kesişiyor. $m(\widehat{BPD}) = 30^\circ$ ve $m(\widehat{BED}) = 70^\circ$ olduğuna göre $m(\widehat{BAD})$ kaç derecedir?

İki açı da aynı iki yayı görüyor: uzaktaki $BD$ yayı ve yakındaki $AC$ yayı. Ölçülerine $x$ ve $y$ de. Tek tek açı kovalamak yerine bu iki bilinmeyeni seçtik, çünkü verilen iki açı tam iki denklem veriyor.

$E$ çemberin içinde: $\dfrac{x + y}{2} = 70^\circ$ , yani $x + y = 140^\circ$ . $P$ çemberin dışında: $\dfrac{x - y}{2} = 30^\circ$ , yani $x - y = 60^\circ$ .

Taraf tarafa toplayınca $2x = 200^\circ$ , $x = 100^\circ$ ve $y = 40^\circ$ bulunur.

$\widehat{BAD}$ köşesi çember üzerinde olan bir çevre açıdır ve $BD$ yayını görür: $x : 2$ .

Sonuç

$m(\widehat{BAD}) = 50^\circ$ . Sağlama: $PAD$ üçgeninde dış açı $50^\circ = 30^\circ + m(\widehat{ADC})$ ve $m(\widehat{ADC}) = y : 2 = 20^\circ$ .

Çevrel çember ve sinüs teoremi

Bir üçgenin üç köşesinden geçen çembere o üçgenin çevrel çemberi denir. Üçgenin kenarları bu çemberin kirişleridir; kiriş orta dikmeleri merkezden geçtiğine göre çevrel çemberin merkezi kenar orta dikmelerinin kesiştiği noktadır.

$[BC]$ kenarını sabit tut, $A$ köşesini çevrel çember üzerinde gezdir. $A$ açısı değişmez, çünkü hep aynı yayı görür. Değişmeyen açıyla değişmeyen kenarın oranı da sabittir ve bu oran çemberin çapına eşittir.

BCD

dik üçgeninde

\sin\alpha = \dfrac{a}{2R}

Nereden geliyor? $B$ den geçen $[BD]$ çapını çiz. $\widehat{BCD}$ çapı gördüğü için $90^\circ$ dir. $\widehat{BDC}$ ile $\widehat{BAC}$ aynı $BC$ yayını gördüğünden eştir. $BCD$ dik üçgeninde $\sin A = \dfrac{a}{2R}$ okunur. Teoremin kendisi ve uygulamaları Sinüs ve Kosinüs Teoremleri sayfasındadır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir üçgende

6

birimlik kenarın karşısındaki açı

30^\circ

dir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Açıklama

$2R = \dfrac{6}{\sin 30^\circ} = \dfrac{6}{1/2} = 12$ , buradan $R = 6$ . Kiriş yarıçapa eşit çıktı: iki yarıçapla eşkenar üçgen oluşur, merkez açı $60^\circ$ , çevre açı $30^\circ$ .

Örnek

zor

Havuz kenarındaki üç lamba

Daire biçimindeki bir süs havuzunun kenarına $A$ , $B$ ve $C$ lambaları yerleştirilmiştir. $A$ ile $B$ arasındaki uzaklık $20$ m dir. $C$ lambasından bakıldığında $A$ ile $B$ arası $45^\circ$ lik, $B$ lambasından bakıldığında $A$ ile $C$ arası $60^\circ$ lik açıyla görülüyor. $A$ ile $C$ arasındaki uzaklık kaç metredir?

Lambalar çember üzerinde olduğundan havuzun kenarı $ABC$ üçgeninin çevrel çemberidir. Verilenler: $c = |AB| = 20$ , $m(\widehat{C}) = 45^\circ$ , $m(\widehat{B}) = 60^\circ$ . İstenen $b = |AC|$ .

Bir kenar ve karşısındaki açı bilindiğinde çap hemen bulunur, bu yüzden sinüs teoremini seçiyoruz:

2R = \frac{c}{\sin C} = \frac{20}{\sin 45^\circ} = \frac{20}{\sqrt{2}/2} = 20\sqrt{2}

Aynı çap $b$ kenarı için de geçerlidir: $b = 2R \cdot \sin B = 20\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Sonuç

$|AC| = 10\sqrt{6}$ m (yaklaşık $24{,}5$ m). Havuzun çapı $20\sqrt{2} \approx 28{,}3$ m olduğundan sonuç çaptan kısa çıkmalıydı; çıktı.

Örnek

zor

Çap, teğet ve kesen bir arada

$[AB]$ bir çemberin çapı, $C$ çember üzerinde bir noktadır. Çembere $C$ noktasında teğet olan doğru, $AB$ doğrusunu $B$ tarafındaki uzantısında $P$ noktasında kesiyor. $m(\widehat{CAB}) = 25^\circ$ olduğuna göre $m(\widehat{APC})$ kaç derecedir?

Çap var, dik üçgen ara: $\widehat{ACB}$ çapı gördüğünden $90^\circ$ dir ve $m(\widehat{ABC}) = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$ .

$C$ deki teğet ile $[CB]$ kirişi bir teğet-kiriş açı oluşturur. Bu açı $CB$ yayını görür; aynı yayı gören çevre açı $\widehat{CAB}$ dir. O hâlde $m(\widehat{PCB}) = 25^\circ$ .

$PBC$ üçgeninde $\widehat{ABC}$ bir dış açıdır, çünkü $P$ , $B$ , $A$ doğrusaldır: $65^\circ = m(\widehat{BPC}) + 25^\circ$ .

Sonuç

$m(\widehat{APC}) = 40^\circ$ . İkinci yol: $m(\widehat{COB}) = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$ ve $OC \perp PC$ olduğundan $OCP$ dik üçgeninde $90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$ .

Sahnede dene

Sahnede kesişim noktasını tam çemberin üzerine getir. O anda küçük yay sıfıra iner ve iki formül de $\dfrac{x}{2}$ verir: çevre açı, iç ve dış açının sınırdaki ortak hâlidir.

Özet

Doğru ve çember: merkezin doğruya uzaklığı $d$ ; $d > r$ kesmez, $d = r$ teğet, $d < r$ kesen. Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir.
Kiriş: merkezden inen dikme kirişi ortalar; kirişin orta dikmesi merkezden geçer. $r^2 = d^2 + \left(\dfrac{\text{kiriş}}{2}\right)^2$ .
Kiriş uzunluğu: merkeze yakın kiriş uzundur, eş uzaklıktaki kirişler eştir, en uzun kiriş çaptır.
Yay yüksekliği $h$ ise merkezin kirişe uzaklığı $r - h$ .
Merkez açı $=$ gördüğü yay. Çevre açı ve teğet-kiriş açı $=$ gördüğü yayın yarısı.
Aynı yayı gören çevre açılar eştir; çapı gören çevre açı $90^\circ$ dir.
İç açı $= \dfrac{x + y}{2}$ , dış açı $= \dfrac{x - y}{2}$ .
Çevrel çember: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ .

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

7 çıkmış soru5 özgün soru

2026 AYTSoru 34

Orta

Eş kirişler, çap ve merkez açı

Şekildeki çemberde $P$ noktasından beş kiriş çizilmiştir; art arda gelen her iki kiriş arasındaki açılar birbirine eşittir.

Bu beş kirişin en uzunu $30$ birimdir; $[PK]$ ve $[PM]$ kirişlerinin uzunlukları eşittir.

$[PR]$ kirişinin uzunluğu $15$ birim olduğuna göre, renkli gösterilen $PR$ yayının uzunluğu kaç birimdir?

İpucu

$[PL]$ , eş iki kirişin arasındaki açıyı ortalıyor. $L$ 'nin iki yanındaki yayları karşılaştır: $[PL]$ nasıl bir kiriş olmalı? Sonra $|PR|$ 'yi yarıçapla karşılaştır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 36)

Çözüm

$[PL]$ çaptır. $\widehat{KPL}$ ve $\widehat{LPM}$ eş çevre açılardır; gördükleri $KL$ ve $LM$ yayları eştir. $|PK| = |PM|$ olduğundan bu kirişlerin ayırdığı küçük yaylar, yani $PK$ ve $PM$ yayları da eştir. Taraf tarafa toplanınca $P$ 'den $K$ üzerinden $L$ 'ye giden yay ile $P$ 'den $M$ üzerinden $L$ 'ye giden yay eş çıkar. Bu iki yay birlikte çemberin tamamıdır; her biri $180^\circ$ 'dir. Demek ki $[PL]$ çaptır.

Yarıçap. Çap en uzun kiriştir: $|PL| = 30$ , yarıçap $r = 15$ birim.

Merkez açı. $|PR| = 15 = r$ . Merkez $O$ için $OPR$ üçgeninin üç kenarı da $15$ 'tir; eşkenar üçgendir ve $m(\widehat{POR}) = 60^\circ$ . Renkli $PR$ yayının ölçüsü $60^\circ$ 'dir.

Yay uzunluğu. Yay, çevrenin $\dfrac{60}{360}$ 'ıdır (yay uzunluğu):

2\pi \cdot 15 \cdot \frac{60}{360} = 5\pi

Sağlama: $PRL$ üçgeni çapı gördüğü için $R$ 'de diktir; $\cos(\widehat{LPR}) = \dfrac{15}{30}$ , yani $m(\widehat{LPR}) = 60^\circ$ . Bu açı üç eş açıdan oluşur, her biri $20^\circ$ 'dir; veriler tutarlıdır.

Tuzak: $30$ 'u yarıçap sanmak ya da yay ölçüsü yerine $\widehat{LPR}$ çevre açısını kullanmak.

Cevap: B

2025 AYTSoru 33

Orta

Kirişin merkeze uzaklığı

Bir duvarda yerden yükseklikleri eşit, aralarındaki uzaklık $48$ birim olan iki çivi vardır. Bu çivilere özdeş iki ipin birer ucu bağlanıyor. Daire biçimindeki bir plak, iplerin öteki uçları plağın çevresindeki iki noktaya gelecek ve ipler yere dik duracak biçimde Şekil 1'deki gibi asılıyor.

Sonra iplerden biri kopuyor; plak kalan ipe asılı olarak sarkıyor ve ip yine yere dik duruyor (Şekil 2). Bu durumda plağın yerden yüksekliği ilk duruma göre $16$ birim azalmıştır.

Buna göre, plağın yarıçapı kaç birimdir?

İpucu

Şekil 1'de iplerin plağa bağlandığı iki nokta bir kirişin uçlarıdır. Plağın merkezi iki şekilde ip ucunun ne kadar altında? Aradaki fark $16$ .

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

Şekil 1. İpler düşey ve eşit uzunlukta, çiviler aynı hizada olduğundan iplerin plağa bağlandığı iki nokta yatay bir kirişin uçlarıdır ve bu kirişin uzunluğu $48$ birimdir. Yarıçap $r$ , merkezin bu kirişe uzaklığı $d$ olsun. Merkezden inen dikme kirişi ortalar:

d^2 + 24^2 = r^2

Şekil 2. Plak tek ipe asılı sarktığında ipin ucu plağın en üst noktasıdır ve merkez ip ucunun $r$ birim altındadır.

İkisini karşılaştır. İpler özdeş olduğundan ip uçları iki şekilde de aynı yüksekliktedir. Merkez ip ucunun Şekil 1'de $d$ , Şekil 2'de $r$ birim altındadır. Plak $16$ birim alçaldığına göre

r - d = 16 \;\Rightarrow\; d = r - 16

Yerine yaz:

\begin{aligned} (r - 16)^2 + 576 &= r^2 \\ -32r + 256 + 576 &= 0 \\ r &= 26 \end{aligned}

Sağlama: $d = 10$ ve $10^2 + 24^2 = 26^2$ . Tuzak: Pisagor'a $48$ 'i yarılamadan koymak.

Cevap: B

2023 AYTSoru 36

Zor

Çapı gören çevre açı ve yay yüksekliği

Şekildeki çemberin üzerinde $A$ , $B$ , $C$ ve $D$ noktaları işaretlenmiştir; $[BC]$ ve $[CD]$ kirişleri birbirine diktir.

Çember $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ ve $[DA]$ kirişleri boyunca kesilerek dört parça elde ediliyor. Bu parçaların her birinde kirişin orta noktası ile yayın orta noktasını birleştiren renkli doğru parçasının uzunluğu, $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ sırasıyla $1$ , $5$ , $10$ ve $x$ birimdir.

Buna göre, $x$ kaçtır?

İpucu

$C$ 'deki dik açı bir çevre açıdır: hangi kiriş çap olur? Renkli parçaların her biri "yarıçap eksi merkezin kirişe uzaklığı"dır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

Çapı bul. $\widehat{BCD}$ bir çevre açıdır ve $90^\circ$ 'dir; o hâlde gördüğü $[BD]$ kirişi çaptır. Çapı gören öteki çevre açı da diktir: $m(\widehat{BAD}) = 90^\circ$ . Merkez $O$ , $[BD]$ 'nin orta noktasıdır; yarıçapa $R$ diyelim.

Renkli parçaları uzaklığa çevir. Bir kirişin ortası ile yayının ortası, merkezden kirişe inen dikmenin üzerindedir. Bu yüzden renkli parça $h$ ise merkezin kirişe uzaklığı $R - h$ 'dir:

[AB]: R - 1, \quad [BC]: R - 5, \quad [CD]: R - 10, \quad [DA]: R - x

Uzaklığı kenara çevir. $BCD$ dik üçgeninde $O$ hipotenüsün ortasıdır. $O$ 'dan $[BC]$ 'ye inen dikme $[CD]$ 'ye paraleldir ve $[BC]$ 'yi ortalar; orta taban olduğundan uzunluğu $\dfrac{|CD|}{2}$ 'dir. Yani $|CD| = 2(R - 5)$ , aynı biçimde $|BC| = 2(R - 10)$ .

Pisagor ( $|BD| = 2R$ ), her terim $4$ 'e bölünerek:

\begin{aligned} (R - 5)^2 + (R - 10)^2 &= R^2 \\ R^2 - 30R + 125 &= 0 \\ (R - 25)(R - 5) &= 0 \end{aligned}

Merkezin kirişe uzaklığı negatif olamaz: $R - 10 > 0$ . Bu yüzden $R = 25$ .

Aynı şeyi $BAD$ üçgeninde yap. $|AD| = 2(R - 1) = 48$ ve $|AB| = 2(R - x)$ :

48^2 + 4(25 - x)^2 = 50^2 \;\Rightarrow\; (25 - x)^2 = 625 - 576 = 49

$25 - x = 7$ , yani $x = 18$ . ( $25 - x = -7$ alınamaz: $O$ noktası $[BD]$ köşegeninin üzerinde, yani dörtgenin içindedir; dörtgenin dışında kalan yayın yüksekliği $R$ 'den küçük olmalıdır.)

Sağlama: $|BC| = 30$ , $|CD| = 40$ , $|AB| = 14$ , $|AD| = 48$ ; $30^2 + 40^2 = 14^2 + 48^2 = 50^2$ .

Cevap: E

2022 AYTSoru 36

Orta

Eş yaylar ve kirişin merkeze uzaklığı

Bir saatin daire biçimindeki ekranında $1$ 'den $12$ 'ye kadar sayıları gösteren, birer uçları ekranın çerçevesi üzerinde olan, eşit aralıklı $12$ eş çizgi vardır. $1$ ile $5$ ve $7$ ile $11$ çizgilerinin çerçeve üzerindeki uçlarını birleştiren doğrular, boyutları aynı olan dikdörtgen biçimindeki iki kordonun uzun kenarlarıyla aynı hizadadır.

Her kordonun kısa kenarlarından biri ekrana şekildeki gibi teğettir. Kordonların kısa kenarı $2$ cm, saatin tamamının uzunluğu $25$ cm'dir.

Buna göre, her bir kordonun uzun kenarı kaç cm'dir?

İpucu

$1$ ile $5$ arasındaki yay kaç derece? Bu kirişin merkeze uzaklığını yarıçap cinsinden yaz; iki kiriş arasındaki uzaklık kordonun hangi kenarına eşit?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

On iki çizgi çemberi $360^\circ : 12 = 30^\circ$ 'lik eş yaylara böler. $1$ ile $5$ arasında dört aralık vardır: bu kirişi gören merkez açı $120^\circ$ 'dir.

Ekranın merkezi $O$ , yarıçapı $R$ olsun. $O$ 'dan bu kirişe inen dikme hem kirişi ortalar hem de $120^\circ$ 'lik tepe açısını ikiye böler. Oluşan dik üçgenin açıları $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ ve hipotenüsü $R$ 'dir; $30^\circ$ 'nin karşısındaki kenar, yani merkezin kirişe uzaklığı

R \cdot \cos 60^\circ = \frac{R}{2}

olur. $7$ ile $11$ kirişi merkezin öbür yanında, aynı uzaklıktadır (eş yayların kirişleri eştir, eş kirişler merkeze eşit uzaklıktadır).

İki kiriş paraleldir ve aralarındaki uzaklık $\dfrac{R}{2} + \dfrac{R}{2} = R$ 'dir. Bu kirişler kordonun uzun kenarlarıyla aynı hizada olduğundan aradaki uzaklık kordonun kısa kenarıdır: $R = 2$ cm, ekranın çapı $4$ cm.

Kordonların kısa kenarları ekrana en üstte ve en altta teğet olduğundan toplam uzunluk iki uzun kenar ile çapın toplamıdır:

2L + 4 = 25 \;\Rightarrow\; L = 10{,}5 \text{ cm}

Tuzak: kordon genişliğini çap sanmak ( $2L + 2 = 25$ ) seçeneklerde olmayan $11{,}5$ sonucunu verir; genişlik çapa değil yarıçapa eşittir.

Cevap: E

2021 AYTSoru 35

Orta

Merkez açı

Bir dükkânda daire biçimindeki bütün bir pizza $13$ daire dilimine ayrılmıştır. Ayşe bu dilimlerden $2$ tanesini alıyor; aldığı iki dilim birbirine özdeş. Ferhat kalan $11$ dilimi alıyor; onun dilimleri de kendi aralarında özdeş.

Sonra bu dilimlerden üçünü yan yana getirerek yarım daire biçiminde bir pizza elde ediyorlar.

Buna göre, büyük dilimlerden birinin merkez açısı kaç derecedir?

İpucu

İki tür dilimin merkez açılarına birer harf ver. Bütün pizza bir denklem, yarım daire ikinci bir denklem verir; ama yarım dairede hangi dilimlerden kaçar tane var?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

Ayşe'nin dilimlerinin merkez açısı $a$ , Ferhat'ın dilimlerinin merkez açısı $b$ olsun. Merkez açıların toplamı tam çemberdir:

2a + 11b = 360^\circ

Üç dilim yarım daire, yani $180^\circ$ ediyor. Hangi üç dilim olduğu söylenmemiş; olasılıkları tek tek dene.

Üçü de Ferhat'ın: $3b = 180^\circ$ , $b = 60^\circ$ . O zaman $11b = 660^\circ > 360^\circ$ ; olamaz.
Biri Ayşe'nin, ikisi Ferhat'ın: $a + 2b = 180^\circ$ . İki katı $2a + 4b = 360^\circ$ ; ilk denklemle karşılaştırınca $7b = 0$ ; olamaz.
İkisi Ayşe'nin, biri Ferhat'ın: $2a + b = 180^\circ$ . İlk denklemden çıkarınca $10b = 180^\circ$ , $b = 18^\circ$ ve $a = 81^\circ$ .

Büyük dilimler Ayşe'nin dilimleridir: $81^\circ$ .

Sağlama: $2 \cdot 81 + 11 \cdot 18 = 162 + 198 = 360$ .

Cevap: B

2021 AYTSoru 37

Orta

Kirişin merkeze uzaklığı

Selim gün batımında iki fotoğraf çekiyor. Şekil 1'deki fotoğrafta güneş denizin üstünde yarım daire biçiminde görünüyor ve en üst noktasının denize uzaklığı $3{,}9$ cm ölçülüyor.

Bir süre sonra aynı yerden çektiği Şekil 2'deki fotoğrafta güneşin en üst noktasının denize uzaklığı $0{,}3$ cm ölçülüyor.

Buna göre, Şekil 2'de ? ile gösterilen uzunluk kaç cm'dir?

İpucu

Şekil 1 yarıçapı veriyor. Şekil 2'de deniz çizgisi güneş dairesinin bir kirişi; merkez bu kirişin ne kadar altında?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 36)

Çözüm

Şekil 1'de güneş tam yarım daire göründüğüne göre merkezi deniz çizgisinin üzerindedir; en üst noktanın uzaklığı yarıçaptır: $r = 3{,}9$ cm.

Şekil 2'de güneşin görünen kısmının genişliği, deniz çizgisinin güneş dairesinden ayırdığı kiriştir. Denizin üstünde $0{,}3$ cm kaldığına göre merkez deniz çizgisinin

3{,}9 - 0{,}3 = 3{,}6 \text{ cm}

altındadır (yay yüksekliği $h$ ise uzaklık $r - h$ ).

Merkezden kirişe inen dikme kirişi ortalar. Kirişin yarısı:

\sqrt{3{,}9^2 - 3{,}6^2} = \sqrt{15{,}21 - 12{,}96} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5

Kısa yol: $1{,}5$ ; $3{,}6$ ; $3{,}9$ sayıları $5$ - $12$ - $13$ üçgeninin $0{,}3$ katıdır.

Kirişin tamamı $2 \cdot 1{,}5 = 3$ cm. Tuzak: $1{,}5$ kirişin yarısıdır; sorulan tamamıdır.

Cevap: C

2020 AYTSoru 36

Orta

Merkez açı ve simetri

Düz bir zemine kurulmuş, özdeş kabinli dairesel bir dönme dolap hep aynı yönde dönüyor. Kabinlere yalnızca yere en yakın konumdayken biniliyor.

Meryem bir kabine biniyor; dönme dolap $48^\circ$ döndükten sonra Nisa da bir kabine biniyor.

Nisa bindikten sonra, ikisinin kabinlerinin zeminden yükseklikleri ilk kez eşit olduğunda dönme dolap kaç derece dönmüş olur?

İpucu

Çember üzerindeki iki nokta ne zaman aynı yükseklikte olur? İkisini birleştiren kiriş yataydır; yatay bir kirişin orta dikmesi nereden geçer?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

Nisa bindiği anda kendi kabini en alt noktadadır, Meryem'in kabini ise dönme yönünde $48^\circ$ ileridedir. Dolap bundan sonra $\theta$ kadar dönsün. En alt noktadan dönme yönünde ölçülen merkez açılar Nisa için $\theta$ , Meryem için $\theta + 48^\circ$ olur.

İki kabin aynı yükseklikteyse onları birleştiren kiriş yataydır. Kirişin orta dikmesi merkezden geçtiğinden bu iki nokta, merkezden geçen düşey doğruya göre simetriktir. Biri en alt noktadan bir yönde ne kadar uzaktaysa öteki ters yönde o kadar uzaktadır; yani iki merkez açının toplamı tam turun katıdır:

\theta + (\theta + 48^\circ) = 360^\circ \cdot k

$k = 1$ için $\theta = 156^\circ$ bulunur; $k = 2$ için $\theta = 336^\circ$ olur. İlk eşitlik $156^\circ$ 'dedir.

Sağlama: o anda Nisa en alt noktadan $156^\circ$ , Meryem $204^\circ = 360^\circ - 156^\circ$ uzaktadır; ikisi tepe noktasının iki yanında, ona $24^\circ$ uzaklıktadır.

Tuzak: sorulan, Nisa bindikten sonraki dönmedir. Meryem bindiğinden beri geçen $204^\circ$ seçeneklerde yoktur.

Cevap: E

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Kesen doğru ve kiriş uzunluğu

Yarıçapı $13$ cm olan bir çemberin merkezinin $d$ doğrusuna uzaklığı $5$ cm'dir.

Buna göre, $d$ doğrusunun bu çemberden ayırdığı kirişin uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm

$5 < 13$ olduğundan doğru çemberi iki noktada keser ve bir kiriş ayırır.

Merkezden kirişe inen dikme kirişi ortalar. Yarıçap, uzaklık ve kirişin yarısı bir dik üçgen oluşturur:

\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12

Bu, kirişin yarısıdır. Kiriş $2 \cdot 12 = 24$ cm.

Çeldiriciler: $12$ yarıda durmak, $18$ yarıçapla uzaklığı toplamak, $16$ farkın iki katını almak, $26$ çapı yazmaktır.

Cevap: D

Özgün soru2

Kolay

Merkez açı ve çevre açı

Şekilde $O$ merkezli çemberin üzerinde $A$ , $B$ ve $C$ noktaları verilmiştir. $m(\widehat{OAB}) = 28^\circ$ 'dir.

Buna göre, $m(\widehat{ACB})$ kaç derecedir?

Çözüm

$|OA| = |OB|$ (yarıçap) olduğundan $OAB$ ikizkenar üçgendir: $m(\widehat{OBA}) = 28^\circ$ .

Tepe açısı, yani merkez açı:

m(\widehat{AOB}) = 180^\circ - 2 \cdot 28^\circ = 124^\circ

$C$ noktası $AB$ büyük yayı üzerindedir; $\widehat{ACB}$ çevre açısı $124^\circ$ 'lik küçük yayı görür:

m(\widehat{ACB}) = \frac{124^\circ}{2} = 62^\circ

Çeldiriciler: $124$ merkez açıda durmak, $56$ verilen açıyı ikiye katlamak, $118$ köşeyi küçük yay üzerinde sanmaktır.

Cevap: B

Özgün soru3

Orta

Teğet-kiriş açı

Şekilde $ABC$ üçgeninin köşeleri çember üzerindedir ve $|AB| = |BC|$ 'dir. $AT$ doğrusu çembere $A$ noktasında teğettir ve $m(\widehat{TAB}) = 70^\circ$ 'dir.

Buna göre, $m(\widehat{ABC})$ kaç derecedir?

İpucu

Teğet-kiriş açı hangi yayı görüyor? Aynı yayı gören çevre açıyı üçgenin içinde bul.

Çözüm

$\widehat{TAB}$ bir teğet-kiriş açıdır; kolları arasında kalan, $C$ 'yi içermeyen $AB$ yayını görür. Aynı yayı gören çevre açı $\widehat{ACB}$ 'dir:

m(\widehat{ACB}) = 70^\circ

$|AB| = |BC|$ olduğundan bu kenarların karşısındaki açılar eştir: $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{ACB}) = 70^\circ$ .

m(\widehat{ABC}) = 180^\circ - 70^\circ - 70^\circ = 40^\circ

Yaylarla sağlama: $AB$ yayı $140^\circ$ , eş kirişten $BC$ yayı $140^\circ$ , kalan $CA$ yayı $80^\circ$ ; onu gören $\widehat{ABC}$ çevre açısı $40^\circ$ .

Çeldiriciler: $70$ teğet-kiriş açıyı doğrudan $B$ 'ye taşımak, $55$ eş açıları $A$ ve $B$ 'de sanmak ( $(180 - 70) : 2$ ), $110$ ise $180 - 70$ yapıp durmaktır.

Cevap: A

Özgün soru4

Zor

Dış açı ve çevre açı

Şekilde çemberin dışındaki $P$ noktasından çizilen teğet çembere $T$ noktasında değmekte, $P$ 'den çizilen kesen ise çemberi önce $A$ , sonra $B$ noktasında kesmektedir. $m(\widehat{TPB}) = 40^\circ$ ve $A$ noktasını içermeyen $TB$ yayının ölçüsü $150^\circ$ 'dir.

Buna göre, $m(\widehat{ATB})$ kaç derecedir?

İpucu

$P$ açısı bir dış açıdır: büyük yay belli, küçük yayı bul. Çemberin geri kalanı $\widehat{ATB}$ 'nin gördüğü yaydır.

Çözüm

$P$ çemberin dışındadır; açının kolları çemberden uzakta $TB$ yayını ( $150^\circ$ ), yakında $TA$ yayını ayırır. Kollardan birinin teğet olması kuralı değiştirmez:

40^\circ = \frac{150^\circ - m(\overset{\frown}{TA})}{2} \;\Rightarrow\; m(\overset{\frown}{TA}) = 70^\circ

Çemberin tamamı $360^\circ$ olduğundan $T$ 'yi içermeyen $AB$ yayı

360^\circ - 150^\circ - 70^\circ = 140^\circ

olur. $\widehat{ATB}$ köşesi çember üzerinde olan bir çevre açıdır ve bu yayı görür:

m(\widehat{ATB}) = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ

Sağlama (teğet-kiriş açı ile): $m(\widehat{PTA}) = 70^\circ : 2 = 35^\circ$ ve $m(\widehat{TBA}) = 35^\circ$ . $PTB$ üçgeninde $40^\circ + (35^\circ + 70^\circ) + 35^\circ = 180^\circ$ .

Çeldiriciler: $75$ büyük yayın yarısını, $55$ ise $(150 - 40) : 2$ işlemini verir; ikisi de açıyı yanlış yayla eşleştirir.

Cevap: C

Özgün soru5

Zor

Çevrel çember ve sinüs teoremi

Bir $ABC$ üçgeninde $|BC| = 12$ birim ve $m(\widehat{BAC}) = 120^\circ$ 'dir.

Buna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin merkezinin $[BC]$ kenarına uzaklığı kaç birimdir?

İpucu

Önce sinüs teoremiyle çevrel çemberin yarıçapını bul. Sonra $[BC]$ 'yi bu çemberin bir kirişi olarak düşün.

Çözüm

Yarıçap. Sinüs teoreminden

2R = \frac{|BC|}{\sin A} = \frac{12}{\sin 120^\circ} = \frac{12}{\sqrt{3}/2} = 8\sqrt{3} \;\Rightarrow\; R = 4\sqrt{3}

Uzaklık. $[BC]$ çevrel çemberin bir kirişidir. Merkezden inen dikme kirişi ortalar; kirişin yarısı $6$ 'dır:

d = \sqrt{R^2 - 6^2} = \sqrt{48 - 36} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

Sağlama (açılarla): $\widehat{BAC}$ çevre açısı $240^\circ$ 'lik yayı görür; $A$ 'nın bulunduğu $BC$ yayı $120^\circ$ , onu gören merkez açı $m(\widehat{BOC}) = 120^\circ$ 'dir. $O$ 'dan inen dikme bu açıyı ikiye böler: $d = R \cdot \cos 60^\circ = 2\sqrt{3}$ .

Çeldiriciler: $4\sqrt{3}$ yarıçapta durmak, $6$ kirişin yarısını yazmaktır.

Cevap: B