22Konu 22 / 49
Trigonometri

Trigonometrik Fonksiyon Grafikleri ve Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Birim çemberdeki dönmeyi dalgaya açıp sinüs, kosinüs ve tanjant grafiklerini okuyoruz; periyodu, tek ve çift olmayı, a·sin(bx + c) + k biçimindeki katsayıların etkisini ve arcsin, arccos, arctan fonksiyonlarını tanım ve görüntü kümeleriyle öğreniyoruz.

11. sınıf
AYT sıklığı
75 dk

LevhaTrigonometrik Fonksiyon Grafikleri ve Ters Trigonometrik FonksiyonlarTrigonometrik Fonksiyon Grafikleri ve Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Bir limanda suyun derinliği gün içinde yükselip alçalıyor: gece yarısından $t$ saat sonra derinlik $h(t) = 2\sin\dfrac{\pi t}{6} + 5$ metre. Bir teknenin limana girebilmesi için en az $4$ metre su gerekiyor. Tekne günün hangi saatlerinde giremez? Yanıt için iki şey lazım: bu formülün grafiğini okumak ve “sinüsü şu değer olan açı hangisi?” sorusunu yanıtlamak. Bu sayfa ikisini de kuruyor.

Isınma

Başlamadan: birim çember, öteleme ve ters fonksiyon

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\sin\dfrac{7\pi}{6}

kaçtır?

Açıklama

$\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$ üçüncü bölgededir; sinüs negatiftir ve $\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$ . Ayrıntısı Trigonometrik Fonksiyonlar sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = f(x)

grafiğinden

y = f(x - 2) + 1

grafiği nasıl elde edilir?

Açıklama

İçerideki $x - 2$ grafiği $2$ birim sağa, dışarıdaki $+1$ ise $1$ birim yukarı taşır. Ayrıntısı Fonksiyon Grafikleri ve Dönüşümler sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = 2x + 1

için

f^{-1}(7)

kaçtır?

Açıklama

$f^{-1}(7)$ , ” $f$ hangi girdide $7$ verir?” sorusudur: $2x + 1 = 7$ , $x = 3$ . Bir fonksiyonun tersinin olması için bire bir ve örten olması gerekir (Bileşke ve Ters Fonksiyon).

Temel

Dalganın doğuşu: grafik, periyot, simetri

Çemberden dalgaya

Birim çemberde $x$ radyanlık açının bitim noktasının ordinatı $\sin x$ , apsisi $\cos x$ ‘tir. Açıyı yatay eksene, noktanın yüksekliğini düşey eksene yazarsan her açı için bir nokta elde edersin. Bu noktaların tamamı sinüs fonksiyonunun grafiğidir.

Sahnenin solunda birim çember, sağında koordinat düzlemi var. $x$ sürgüsüyle açıyı büyüt: çemberdeki noktanın yüksekliği, sağda aynı $x$ değerinin üstüne taşınıyor ve iz bırakıyor. Nokta bir tam tur attığında iz bir tam dalga çizmiş oluyor. Düğmeyle kosinüse geç; bu kez noktanın apsisi taşınıyor.

Dalgayı çizmek için beş nokta yeter: başlangıç, tepe, orta, çukur, bitiş.

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\sin x$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos x$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$1$

y = \sin x

grafiğinin bir dalgası beş anahtar noktadan geçer.

Örnek

kolay

Grafikten kesişim okumak

$[0, 2\pi]$ aralığında $y = \sin x$ grafiği $y = \dfrac{1}{2}$ doğrusunu hangi apsislerde keser? $y = 1$ doğrusunu kaç noktada keser?

Kesişim, $\sin x = \dfrac{1}{2}$ demektir. Dar açılardan bildiğin değer $x = \dfrac{\pi}{6}$ ‘dır; grafik yükselirken bu yükseklikten bir kez geçer.

Dalga $x = \dfrac{\pi}{2}$ doğrusuna göre simetriktir, çünkü tepenin iki yanı birbirinin ayna görüntüsüdür. İnerken aynı yükseklikten geçtiği nokta tepeye aynı uzaklıktadır: $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$ .

$y = 1$ dalganın en yüksek noktasıdır. Bir dalgada tek tepe olduğundan bu doğru grafiğe yalnızca $x = \dfrac{\pi}{2}$ noktasında dokunur.

Sonuç

$y = \dfrac{1}{2}$ doğrusu grafiği $x = \dfrac{\pi}{6}$ ve $x = \dfrac{5\pi}{6}$ apsisli iki noktada, $y = 1$ doğrusu tek noktada keser.

Kosinüs: aynı dalga, çeyrek tur önde

Çemberdeki nokta $\dfrac{\pi}{2}$ kadar daha döndüğünde yeni ordinatı eski apsisine eşit olur: $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos x$ . Grafik diliyle söylersek kosinüs eğrisi, sinüs eğrisinin $\dfrac{\pi}{2}$ birim sola ötelenmişidir. Biçim aynıdır; yalnızca tepeden başlar.

Kosinüs eğrisi, sinüs eğrisinin

\dfrac{\pi}{2}

birim sola kaymış hâlidir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

[0, 2\pi]

aralığında

y = \cos x

en küçük değerini hangi

x

için alır?

Açıklama

Kosinüs tepeden başlar: $\cos 0 = 1$ . Yarım dalga sonra çukura iner: $\cos \pi = -1$ .

Periyodik fonksiyon

Haftanın günleri $7$ günde bir, saatin yelkovanı $60$ dakikada bir aynı konuma döner. Belirli bir adımdan sonra kendini aynen tekrar eden fonksiyonlara periyodik fonksiyon denir. Grafikte bu, bir parçanın yan yana kopyalanması demektir.

Sahnede $y = \sin x$ eğrisinin soluk bir kopyası var. $T$ sürgüsüyle kopyayı sağa kaydır. Kopya çoğu konumda asıl eğriden ayrı duruyor; ilk kez $T = 2\pi$ olduğunda üstüne tam oturuyor. Düğmeyle tanjanta geç: orada kopya daha erken, $T = \pi$ iken oturuyor.

Neden $2\pi$ ? $x$ açısına bir tam tur eklersen çemberde aynı noktaya gelirsin; ordinat da apsis de değişmez. Yarım tur eklersen noktanın tam karşısına geçersin: ordinat ve apsis birlikte işaret değiştirir, oranları ise aynı kalır. Bu yüzden tanjant ve kotanjant yarım turda tekrar eder.

x

x + 2\pi

apsisli noktalar hep aynı yükseklikte: grafik,

2\pi

uzunluğundaki parçanın tekrarıdır.

Örnek

kolay

Periyotla uzak değeri yakına taşımak

Gerçek sayılarda tanımlı $f$ fonksiyonunun periyodu $4$ ‘tür. $f(1) = 5$ ve $f(2) = -3$ olduğuna göre $f(21) + f(-6)$ kaçtır?

Periyot $4$ olduğundan girdiye $4$ eklemek ya da çıkarmak değeri değiştirmez; bunu istediğin kadar yineleyebilirsin: her $k$ tam sayısı için $f(x + 4k) = f(x)$ .

$21$ ‘i bilinen bir girdiye indir: $21 = 1 + 4 \cdot 5$ . Öyleyse $f(21) = f(1) = 5$ .

Negatif girdide $4$ ekleyerek ilerle: $-6 + 4 \cdot 2 = 2$ . Öyleyse $f(-6) = f(2) = -3$ .

Sonuç

$f(21) + f(-6) = 5 + (-3) = 2$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Periyodu

3

olan bir

f

fonksiyonu için

f(2) = 7

‘dir. Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle

7

‘ye eşittir?

Açıklama

$11 = 2 + 3 \cdot 3$ olduğundan $f(11) = f(2) = 7$ . Diğer girdilerin $2$ ile farkı $3$ ‘ün katı değildir.

Tek mi, çift mi?

$f(-x) = f(x)$ ise fonksiyon çifttir ve grafiği $y$ eksenine göre simetriktir. $f(-x) = -f(x)$ ise fonksiyon tektir ve grafiği orijine göre simetriktir. Trigonometrik fonksiyonlarda bunu grafiğe bakarak görebilirsin.

Sahnede $x$ ve $-x$ apsisli iki nokta birlikte hareket ediyor. Kosinüste iki nokta hep aynı yükseklikte: grafiği $y$ ekseninden katlasan üst üste gelir. Sinüse geç: biri ne kadar yukarıdaysa diğeri o kadar aşağıda; grafiği orijin çevresinde yarım tur döndürsen kendi üstüne oturur.

Kosinüs çifttir:

-x

x

aynı yükseklikte.

Sinüs tektir:

-x

noktası,

x

noktasının orijine göre simetriğidir.

Çemberde nedeni açık: $-x$ açısının bitim noktası, $x$ açısının bitim noktasının $x$ eksenine göre yansımasıdır. Apsis aynı kalır, ordinat işaret değiştirir.

Örnek

kolay

Negatif açılardan kurtulmak

$\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + \tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ toplamı kaçtır?

Sinüs tektir; eksi dışarı çıkar: $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$ .

Kosinüs çifttir; eksi yok olur: $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ .

Tanjant tektir: $\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\tan\dfrac{\pi}{4} = -1$ .

Sonuç

$-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - 1 = -1$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = \sin x + \cos x

fonksiyonu için hangisi doğrudur?

Açıklama

$f(-x) = -\sin x + \cos x$ . Bu ifade ne $f(x)$ ‘e ne de $-f(x)$ ‘e eşittir. Bir tek ile bir çift fonksiyonun toplamı genellikle ikisi de değildir.

Orta

Dört katsayı, tanjant grafiği ve geri dönüş

Genlik ve düşey öteleme: $a$ ve $k$

$f(x) = a \cdot \sin(bx + c) + k$ biçimindeki bir fonksiyonda dört katsayının her biri dalgaya ayrı bir şey yapar. Önce dıştakiler: $a$ ile çarpmak dalgayı düşeyde gerer, $k$ eklemek dalgayı yukarı ya da aşağı taşır.

Sahnede $y = a \sin x + k$ eğrisi var. $a$ sürgüsünü büyüt: tepe ve çukur birbirinden uzaklaşıyor, eğrinin orta çizgiyi kestiği noktalar yerinde kalıyor. $a$ ‘yı negatif yap: dalga ters dönüyor. $k$ sürgüsü orta çizgiyi ve onunla birlikte bütün dalgayı taşıyor. En büyük ve en küçük değer göstergelerini izle.

a

büyüdükçe dalga düşeyde uzar;

x

eksenini kestiği noktalar değişmez.

Örnek

orta

Eksi katsayılı kosinüs

$f(x) = 3 - 2\cos x$ fonksiyonunun görüntü kümesini bul. $[0, 2\pi]$ aralığında en büyük değerini hangi $x$ için alır?

Biçimi tanı: $a = -2$ , $k = 3$ . Kural mutlak değerle çalışır, çünkü eksi işaret dalgayı ters çevirir ama yüksekliğini değiştirmez: en büyük değer $3 + 2 = 5$ , en küçük değer $3 - 2 = 1$ .

En büyük değerin yerini bulurken işarete dikkat et. $-2\cos x$ ifadesi, $\cos x$ en küçükken en büyüktür. Yani $\cos x = -1$ olmalı.

$[0, 2\pi]$ aralığında $\cos x = -1$ yalnızca $x = \pi$ için sağlanır. Sağlama: $f(\pi) = 3 - 2 \cdot (-1) = 5$ .

Sonuç

Görüntü kümesi $[1, 5]$ ‘tir; en büyük değer $x = \pi$ için alınır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = 4\sin x - 1

fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir?

Açıklama

$k = -1$ , $|a| = 4$ . En küçük değer $-1 - 4 = -5$ , en büyük değer $-1 + 4 = 3$ .

Periyodu $b$ belirler

$\sin x$ bir dalgasını, içindeki açı $0$ ‘dan $2\pi$ ‘ye giderken tamamlar. $\sin 2x$ ifadesinde açı $2x$ ‘tir; $2x$ ‘in $2\pi$ kadar artması için $x$ ‘in $\pi$ kadar artması yeter. Dalga iki kat hızlı tamamlanır, periyot yarıya iner.

Sahnede $y = \sin(bx + c)$ eğrisi ve altında bir periyodun uzunluğunu gösteren cetvel var. $b$ sürgüsünü büyüt: dalgalar sıkışıyor, cetvel $\dfrac{2\pi}{b}$ değerini gösteriyor. $b$ ‘yi sabit tutup $c$ sürgüsünü oynat: dalganın biçimi değişmiyor, tamamı yana kayıyor; kayma göstergesi $-\dfrac{c}{b}$ .

\sin x

bir dalgayı

2\pi

uzunlukta,

\sin 2x

ise

\pi

uzunlukta tamamlar.

Örnek

orta

Kalabalık ifadede periyodu bulmak

$f(x) = 5\sin\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right) + 2$ ve $g(x) = \tan\dfrac{x}{2}$ fonksiyonlarının periyotlarını bul.

$f$ için yalnızca $x$ ‘in katsayısına bak, çünkü $5$ , $-\dfrac{\pi}{4}$ ve $2$ dalgayı gerer ya da taşır ama tekrar sıklığını değiştirmez. $b = 3$ ve fonksiyon sinüslü olduğundan $T_f = \dfrac{2\pi}{3}$ .

$g$ tanjantlıdır; tanjantın kendi periyodu $\pi$ olduğu için payda $2\pi$ değil $\pi$ kullanılır. $b = \dfrac{1}{2}$ .

$T_g = \dfrac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$

Sonuç

$T_f = \dfrac{2\pi}{3}$ ve $T_g = 2\pi$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = \cos(\pi x)

fonksiyonunun periyodu kaçtır?

Açıklama

$b = \pi$ olduğundan $T = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2$ . Periyodun içinde $\pi$ bulunması zorunlu değildir.

Yatay öteleme: $c$

İçerideki $c$ dalgayı yana kaydırır. Ne kadar kaydırdığını görmek için $b$ ‘yi paranteze al:

$\sin(bx + c) = \sin\left(b\left(x + \dfrac{c}{b}\right)\right)$

$x$ yerine $x + \dfrac{c}{b}$ gelmiştir; dalga $\dfrac{c}{b}$ birim sola (bu sayı negatifse sağa) kayar. Dalganın başladığı yeri bulmanın en kısa yolu içeriyi sıfıra eşitlemektir: $bx + c = 0$ .

Örnek

orta

Beş noktayla bir periyot çizmek

$f(x) = 2\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 1$ fonksiyonunun grafiğini bir periyot için çiz.

Dalganın iskeletini kur: orta çizgi $y = 1$ , genlik $2$ ; yani en büyük değer $3$ , en küçük değer $-1$ . Periyot $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$ .

Sinüs dalgası içerideki açı $0$ iken başlar. $2x - \dfrac{\pi}{2} = 0$ eşitliğinden başlangıç $x = \dfrac{\pi}{4}$ bulunur. Bir periyot sonra, $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{5\pi}{4}$ noktasında dalga tamamlanır.

Periyodu dört eşit parçaya böl, çünkü beş anahtar nokta çeyrek periyot aralıklarla dizilir. Çeyrek periyot $\dfrac{\pi}{4}$ ‘tür:

$x$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\pi$	$\dfrac{5\pi}{4}$
$f(x)$	$1$	$3$	$1$	$-1$	$1$

Sağlama için tepeyi dene: $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2\sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{2}\right) + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ . Noktaları yumuşak bir dalgayla birleştir.

Sonuç

Grafik $\left(\dfrac{\pi}{4}, 1\right)$ noktasından başlar, $\left(\dfrac{\pi}{2}, 3\right)$ tepesine çıkar, $(\pi, -1)$ çukuruna iner ve $\left(\dfrac{5\pi}{4}, 1\right)$ noktasında bir periyodu tamamlar.

Grafikten denkleme

Sınavda işin tersi de istenir: grafik verilir, katsayılar sorulur. Sıra hep aynıdır: tepe ile çukurun ortası $k$ ‘yi, yarı farkı $|a|$ ‘yı, tepe ile çukur arasındaki yatay uzaklık (yarım periyot) $b$ ‘yi verir.

Örnek

orta

Grafiği verilen sinüs fonksiyonu

$a$ ve $b$ pozitif gerçek sayılar olmak üzere $f(x) = a \cdot \sin(bx) + k$ fonksiyonunun grafiğinin bir parçası aşağıda verilmiştir. Fonksiyon en büyük değeri olan $4$ ‘ü $x = \dfrac{\pi}{4}$ için, en küçük değeri olan $-2$ ‘yi $x = \dfrac{3\pi}{4}$ için almaktadır. $f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ kaçtır?

Orta çizgi, en büyük ve en küçük değerin tam ortasıdır: $k = \dfrac{4 + (-2)}{2} = 1$ . Grafiğin $y$ eksenini $1$ ‘de kesmesi de bunu doğrular, çünkü $f(0) = a \cdot \sin 0 + k = k$ .

Genlik, tepe ile çukur arasındaki düşey farkın yarısıdır: $a = \dfrac{4 - (-2)}{2} = 3$ .

Tepeden bir sonraki çukura yarım periyot geçer: $\dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$ . Periyot $\pi$ ‘dir ve $\dfrac{2\pi}{b} = \pi$ eşitliğinden $b = 2$ bulunur.

$f(x) = 3\sin 2x + 1$ . İstenen değer: $f\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = 3\sin\dfrac{\pi}{6} + 1 = \dfrac{3}{2} + 1$ .

Sonuç

$f\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{5}{2}$

Örnek

orta

Yaya asılı ağırlık

Tavana bir yayla asılmış ağırlık aşağı çekilip bırakılıyor. Ağırlığın yerden yüksekliği, bırakıldıktan $t$ saniye sonra $h(t) = 50 - 20\cos(\pi t)$ santimetredir. Ağırlık bir tam salınımı kaç saniyede tamamlar ve yerden $60$ cm yüksekliğe ilk kez ne zaman ulaşır?

Bir tam salınımın süresi periyottur. $t$ ‘nin katsayısı $\pi$ olduğundan $T = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2$ saniye.

$h(t) = 60$ yaz: $50 - 20\cos(\pi t) = 60$ , buradan $\cos(\pi t) = -\dfrac{1}{2}$ .

Açı $\pi t$ , sıfırdan başlayıp büyüyor. Kosinüsü $-\dfrac{1}{2}$ olan ilk pozitif açı ikinci bölgededir: $\pi t = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$ . Öyleyse $t = \dfrac{2}{3}$ .

Sağlama: $h(0) = 50 - 20 = 30$ (en alçak nokta, bırakıldığı yer) ve $h\left(\dfrac{2}{3}\right) = 50 - 20 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 60$ .

Sonuç

Bir salınım $2$ saniye sürer; ağırlık $60$ cm yüksekliğe ilk kez $t = \dfrac{2}{3}$ saniyede ulaşır.

Tanjant grafiği

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ olduğundan kosinüsün sıfır olduğu yerlerde, yani $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ( $k$ tam sayı) değerlerinde tanjant tanımsızdır. Grafik bu düşey doğrulara yaklaşır ama onları kesmez; bu doğrulara düşey asimptot denir. Programda tanjant ve kotanjant grafiklerini elle çizmen beklenmez; hazır grafiği okuyabilmen yeterlidir.

Sahnede birim çembere $(1, 0)$ noktasında teğet olan düşey doğru var; açının ışını bu doğruyu $\tan x$ yüksekliğinde kesiyor. $x$ sürgüsünü $\dfrac{\pi}{2}$ ‘ye yaklaştır: kesişim noktası yukarı kaçıyor, sağdaki grafik de asimptota tırmanıyor. $\dfrac{\pi}{2}$ ‘yi geçince nokta aşağıdan geri geliyor ve aynı kol yeniden çiziliyor.

y = \tan x

: asimptotlar

x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi

doğruları, periyot

\pi

Grafikten okunanlar:

Tanım kümesi $\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z}\right\}$ , görüntü kümesi $\mathbb{R}$ ‘dir; en büyük ya da en küçük değer yoktur.
Her kol bir öncekinin $\pi$ birim ötelenmişidir: periyot $\pi$ .
Grafik orijine göre simetriktir: tanjant tektir.
Kotanjantta roller değişir: asimptotlar $x = k\pi$ doğrularıdır ve her kol soldan sağa azalır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = \tan 2x

fonksiyonu aşağıdaki

x

değerlerinden hangisi için tanımsızdır?

Açıklama

Tanjantın içindeki açı $\dfrac{\pi}{2}$ olursa tanımsızlık çıkar: $2x = \dfrac{\pi}{2}$ , $x = \dfrac{\pi}{4}$ . Asimptotlar da $b$ ile sıkışır.

Geri dönüş: ters trigonometrik fonksiyonlar

Şimdiye kadar açıdan değere gittik. Kancadaki soru tersini istiyor: değer belli, açı ne? ” $\sin x = \dfrac{1}{2}$ ise $x$ kaçtır?” sorusunun sonsuz yanıtı var; grafikte $y = \dfrac{1}{2}$ doğrusu dalgayı her periyotta iki kez keser. Sinüs bire bir değildir, bu hâliyle tersi olamaz.

Sahnede $y = \sin x$ ve $k$ sürgüsüyle hareket eden yatay doğru var. Doğrunun dalgayı kaç yerde kestiğini say. Sonra “kısıtla” düğmesine bas: grafiğin yalnızca $-\dfrac{\pi}{2}$ ile $\dfrac{\pi}{2}$ arasındaki kalın parçası kalıyor ve doğru onu tek noktada kesiyor. O noktanın apsisi göstergede: $\arcsin k$ . Kosinüs ve tanjant için de dene; kalın parça değişiyor.

Çözüm, tanım kümesini fonksiyonun bire bir olduğu ve bütün değerlerini aldığı bir parçaya daraltmaktır. Sinüs $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ aralığında sürekli artar ve $-1$ ‘den $1$ ‘e kadar her değeri tam bir kez alır.

y = \dfrac{1}{2}

doğrusu dalgayı birçok noktada, kalın parçayı yalnızca

x = \dfrac{\pi}{6}

noktasında keser.

Fonksiyon	Tanım kümesi	Görüntü kümesi
$\arcsin x$	$[-1, 1]$	$\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$
$\arccos x$	$[-1, 1]$	$[0, \pi]$
$\arctan x$	$\mathbb{R}$	$\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$

Kosinüs için aralık neden farklı? Kosinüs çift olduğundan $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ aralığında aynı değeri iki kez alır ve negatif değerlere hiç inmez. $[0, \pi]$ aralığında ise $1$ ‘den $-1$ ‘e sürekli azalır. Tanjantta uçlar açıktır, çünkü $\pm\dfrac{\pi}{2}$ ‘de tanjant tanımsızdır.

Çıktı açıları çemberde: arcsin ve arctan sağ yarıda, arccos üst yarıda.

Örnek

orta

Üç ters fonksiyon, üç aralık

$\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right) + \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) + \arctan 1$ toplamı kaçtır?

$\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ : sinüsü $-\dfrac{1}{2}$ olan açıyı $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ içinde ara. Negatif sinüs bu aralığın negatif yarısındadır: $-\dfrac{\pi}{6}$ .

$\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ : kosinüsü $-\dfrac{1}{2}$ olan açıyı $[0, \pi]$ içinde ara. Negatif kosinüs ikinci bölgededir: $\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$ . Burada yanıt negatif açı olamaz, çünkü aralıkta negatif açı yok.

$\arctan 1$ : tanjantı $1$ olan, $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ içindeki açı $\dfrac{\pi}{4}$ ‘tür.

Topla: $-\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{-2\pi + 8\pi + 3\pi}{12} = \dfrac{9\pi}{12}$ .

Sonuç

Toplam $\dfrac{3\pi}{4}$ ‘tür.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)

kaçtır?

Açıklama

$\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Negatif kosinüs için $[0, \pi]$ içinde ikinci bölgeye geç: $\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\arctan\left(-\sqrt{3}\right)

kaçtır?

Açıklama

$\tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ ve tanjant tektir. Aralıktaki açı $-\dfrac{\pi}{3}$ ‘tür.

İleri

Sınav düzeyi: bileşkeler, kök sayma ve modelleme

Fonksiyon ile tersinin bileşkesi

Bir fonksiyonla tersini art arda uygulayınca başladığın yere dönersin; ama yalnızca tersin tanımlandığı aralıkta. Dıştaki işlem trigonometrik fonksiyonsa sorun yoktur. Dıştaki işlem ters fonksiyonsa çıktı her zaman onun görüntü kümesine düşer.

Kural

Bileşkeler

$\sin(\arcsin x) = x \quad (x \in [-1, 1]) \qquad \arcsin(\sin x) = x \quad \left(\text{yalnızca } x \in \left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right] \text{ ise}\right)$

$\cos(\arccos x) = x \quad (x \in [-1, 1]) \qquad \arccos(\cos x) = x \quad (\text{yalnızca } x \in [0, \pi] \text{ ise})$

$\tan(\arctan x) = x \quad (x \in \mathbb{R}) \qquad \arctan(\tan x) = x \quad \left(\text{yalnızca } x \in \left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right) \text{ ise}\right)$

Sahnede $x$ sürgüsüyle dalga üzerinde bir nokta geziyor. Noktadan çıkan yatay ok, aynı yükseklikteki kalın parçaya gidiyor; okun indiği apsis $\arcsin(\sin x)$ . $x$ kalın parçanın içindeyken iki gösterge aynı. $x$ dışarı çıkınca ok geri dönüyor: $x = \dfrac{5\pi}{6}$ için gösterge $\dfrac{\pi}{6}$ .

Örnek

zor

Aralığın dışına düşen açı

$\arcsin\left(\sin\dfrac{5\pi}{6}\right) + \arccos\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)$ toplamı kaçtır?

İlk terimde $\dfrac{5\pi}{6}$ , arcsin’in görüntü kümesi olan $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ aralığında değil; sadeleştirme yapılamaz. İçten dışa hesapla: $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ .

$\arcsin\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}$ . Çıktı, sinüsü aynı olan ama aralığın içindeki açıdır.

İkinci terimde $-\dfrac{\pi}{3}$ açısı $[0, \pi]$ aralığında değil. Yine içten dışa: kosinüs çift olduğundan $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ ve $\arccos\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{3}$ .

Sonuç

$\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\arcsin\left(\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)

kaçtır?

Açıklama

$\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ve $\arcsin\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\pi}{3}$ .

Yardımcı dik üçgen

$\cos(\arcsin x)$ gibi “çapraz” bileşkelerde ters fonksiyona bir açı adı ver, o açıyı bir dik üçgene yerleştir ve istenen oranı üçgenden oku. İşareti, açının bulunduğu aralık belirler.

Örnek

zor

Çapraz bileşkede işaret

$\tan\left(\arcsin\left(-\dfrac{5}{13}\right)\right) \cdot \sin\left(\arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right)$ çarpımı kaçtır?

$\alpha = \arcsin\left(-\dfrac{5}{13}\right)$ de. Sinüs negatif ve $\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ olduğundan $\alpha$ dördüncü bölgededir: kosinüs pozitif, tanjant negatif.

Uzunlukları işaretsiz bir üçgenden al: karşı $5$ , hipotenüs $13$ ise komşu $\sqrt{169 - 25} = 12$ . İşareti ekle: $\tan\alpha = -\dfrac{5}{12}$ .

$\beta = \arccos\left(-\dfrac{3}{5}\right)$ de. Kosinüs negatif ve $\beta \in [0, \pi]$ olduğundan $\beta$ ikinci bölgededir; orada sinüs pozitiftir. $3$ - $4$ - $5$ üçgeninden $\sin\beta = \dfrac{4}{5}$ .

Çarp: $-\dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{4}{5} = -\dfrac{4}{12}$ .

Sonuç

Çarpım $-\dfrac{1}{3}$ ‘tür.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\cos\left(\arctan\dfrac{3}{4}\right)

kaçtır?

Açıklama

Tanjantı $\dfrac{3}{4}$ olan dar açı için karşı $3$ , komşu $4$ , hipotenüs $5$ ‘tir. Kosinüs: $\dfrac{4}{5}$ .

Örnek

zor

Tümler açıların buluşması

$\sin\left(\arcsin\dfrac{1}{3} + \arccos\dfrac{1}{3}\right)$ kaçtır?

$\alpha = \arcsin\dfrac{1}{3}$ de. $\dfrac{1}{3}$ pozitif olduğundan $\alpha$ bir dar açıdır ve $\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$ .

Tümler açıların sinüsü ile kosinüsü eşittir: $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha = \dfrac{1}{3}$ . $\dfrac{\pi}{2} - \alpha$ da dar açıdır, yani $[0, \pi]$ aralığındadır. Tanım gereği $\arccos\dfrac{1}{3} = \dfrac{\pi}{2} - \alpha$ .

İki açının toplamı $\alpha + \dfrac{\pi}{2} - \alpha = \dfrac{\pi}{2}$ olur; açıların tek tek kaç olduğunu bilmek gerekmedi.

Sonuç

$\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$

Ters fonksiyonlarda tanım ve görüntü kümesi

$\arcsin$ ve $\arccos$ yalnızca $[-1, 1]$ aralığındaki girdileri kabul eder. İçlerine bir ifade yazıldıysa tanım kümesi, o ifadeyi $-1$ ile $1$ arasında tutan $x$ değerleridir.

Örnek

zor

İçi dolu arcsin

$f(x) = 2\arcsin\left(\dfrac{x - 1}{2}\right) + \pi$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde kaç tam sayı vardır? $f$ ‘nin en büyük değeri kaçtır?

arcsin’in içi $[-1, 1]$ aralığında olmalı: $-1 \leq \dfrac{x - 1}{2} \leq 1$ . Her yanı $2$ ile çarp, sonra $1$ ekle: $-1 \leq x \leq 3$ .

Tanım kümesi $[-1, 3]$ ‘tür; içindeki tam sayılar $-1, 0, 1, 2, 3$ olmak üzere $5$ tanedir.

$x$ bu aralığı tararken içerideki ifade $-1$ ‘den $1$ ‘e kadar bütün değerleri alır; arcsin de $-\dfrac{\pi}{2}$ ‘den $\dfrac{\pi}{2}$ ‘ye kadar bütün değerleri alır. $2$ ile çarpıp $\pi$ ekle: $f$ ‘nin değerleri $[0, 2\pi]$ aralığını doldurur.

En büyük değer, arcsin en büyükken, yani içerisi $1$ iken alınır: $x = 3$ için $f(3) = 2 \cdot \dfrac{\pi}{2} + \pi$ .

Sonuç

Tanım kümesinde $5$ tam sayı vardır; en büyük değer $2\pi$ ‘dir.

Bir aralıkta kaç kez?

Bir trigonometrik fonksiyonun bir değeri belli bir aralıkta kaç kez aldığını bulmak için tek bir periyottaki durumu belirle, sonra aralığa kaç periyot sığdığını say.

Örnek

zor

En küçük değerin alındığı noktalar

$f(x) = 4\cos 3x - 1$ fonksiyonu $[0, 2\pi]$ aralığında en küçük değerini kaç farklı $x$ için alır? Bu $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?

En küçük değer $-1 - 4 = -5$ ‘tir ve $\cos 3x = -1$ iken alınır. Bir kosinüs dalgasında çukur bir tanedir; her periyotta bir kez.

Periyot $\dfrac{2\pi}{3}$ ‘tür. $[0, 2\pi]$ aralığının uzunluğu tam $3$ periyot eder; öyleyse $3$ çukur bekleriz.

Yerlerini bul: $\cos 3x = -1$ için $3x = \pi + 2k\pi$ , yani $x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2k\pi}{3}$ . Aralıkta kalanlar $k = 0, 1, 2$ için $\dfrac{\pi}{3}$ , $\pi$ ve $\dfrac{5\pi}{3}$ ‘tür; $k = 3$ için $\dfrac{7\pi}{3}$ aralığın dışına çıkar.

Sonuç

Üç farklı $x$ değeri vardır; toplamları $\dfrac{\pi}{3} + \pi + \dfrac{5\pi}{3} = 3\pi$ ‘dir.

Birlikte tekrar eden dalgalar

Periyotları farklı iki dalganın toplamı, ikisinin de aynı anda başa döndüğü ilk anda tekrar eder. Bu an, periyotların en küçük ortak katıdır.

Örnek

zor

İki lambalı deniz feneri

Bir deniz fenerindeki iki lambanın parlaklığı zamanla dalgalanıyor. $t$ saniye olmak üzere birinci lambanın parlaklığı $\sin\dfrac{\pi t}{3}$ , ikincisininki $\cos\dfrac{\pi t}{4}$ ile orantılıdır. Denizden görülen ışık bu ikisinin toplamıdır. Görülen ışık örüntüsü kaç saniyede bir kendini tekrar eder?

Her lambanın periyodunu ayrı bul. Birincide $b = \dfrac{\pi}{3}$ : $T_1 = \dfrac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 6$ saniye. İkincide $b = \dfrac{\pi}{4}$ : $T_2 = \dfrac{2\pi}{\frac{\pi}{4}} = 8$ saniye.

Toplamın tekrar etmesi için geçen sürede iki lamba da tam sayıda tur atmış olmalı. Süre hem $6$ ‘nın hem $8$ ‘in katı olmalı; en küçüğü $\ekok(6, 8) = 24$ .

Sağlama: $t$ yerine $t + 24$ yazınca açılar $\dfrac{\pi t}{3} + 8\pi$ ve $\dfrac{\pi t}{4} + 6\pi$ olur; ikisi de tam turlar kadar artmıştır, değerler değişmez.

Sonuç

Işık örüntüsü $24$ saniyede bir tekrar eder.

Limana dönüş

Artık kancadaki soruyu çözecek her şey elinde: katsayıları okumak, grafiği çizmek ve değerden açıya dönmek.

Sahnede $24$ saatlik derinlik grafiği ve teknenin gerek duyduğu derinliği gösteren yatay çizgi var. Çizgiyi $4$ metreye getir: grafiğin çizginin altında kalan parçaları boyanıyor, kesişim saatleri ve toplam süre göstergede. Çizgiyi $3$ metrenin altına ve $7$ metrenin üstüne taşı; ne olduğunu görüntü kümesiyle açıkla.

Örnek

zor

Tekne limana ne zaman giremez?

Bir limanda suyun derinliği, gece yarısından $t$ saat sonra $h(t) = 2\sin\dfrac{\pi t}{6} + 5$ metredir ( $0 \leq t \leq 24$ ). En az $4$ metre derinliğe gerek duyan bir tekne, bu $24$ saatin toplam kaç saatinde limana giremez?

Önce dalgayı tanı. Orta çizgi $5$ , genlik $2$ : derinlik $3$ ile $7$ metre arasında değişir. Periyot $\dfrac{2\pi}{\frac{\pi}{6}} = 12$ saattir; $24$ saatte iki tam dalga var.

Sınır anlarını bul: $h(t) = 4$ için $\sin\dfrac{\pi t}{6} = -\dfrac{1}{2}$ . $u = \dfrac{\pi t}{6}$ de. $\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{6}$ açısı aralığımızda değil; aynı sinüsü veren $[0, 2\pi]$ içindeki açılar $u = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}$ ve $u = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6}$ ‘dır.

Saate çevir: $t = \dfrac{6u}{\pi}$ olduğundan $t = 7$ ve $t = 11$ . Bu iki an arasında dalga çukurdadır; örneğin $h(9) = 2\sin\dfrac{3\pi}{2} + 5 = 3$ metre. Tekne $7 < t < 11$ aralığında giremez: $4$ saat.

Derinlik

7

–

11

19

–

23

saatleri arasında

4

metrenin altında.

Periyot $12$ saat olduğundan aynı durum $12$ saat sonra yinelenir: $19 < t < 23$ . Bu da $4$ saat.

Sonuç

Tekne toplam $4 + 4 = 8$ saat limana giremez: sabah $7$ ile $11$ , akşam $19$ ile $23$ arası.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Periyodik fonksiyon: her $x$ için $f(x + T) = f(x)$ ; bunu sağlayan en küçük pozitif $T$ periyottur. $\sin$ , $\cos$ : $2\pi$ ; $\tan$ , $\cot$ : $\pi$ .
Simetri: kosinüs çift ( $y$ eksenine göre simetrik); sinüs, tanjant, kotanjant tek (orijine göre simetrik).
$a \cdot \sin(bx + c) + k$ : en büyük değer $k + |a|$ , en küçük değer $k - |a|$ ; periyot $\dfrac{2\pi}{|b|}$ (tanjant ve kotanjantta $\dfrac{\pi}{|b|}$ ); yatay kayma $\dfrac{c}{b}$ kadardır; dalga $bx + c = 0$ noktasında başlar.
Grafikten denklem: $k$ tepe ile çukurun ortası, $|a|$ yarı farkı, tepe ile çukur arası yarım periyot.
Tanjant: $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ doğruları düşey asimptot; görüntü kümesi $\mathbb{R}$ ; her kolda artan.
Ters fonksiyonlar: $\arcsin: [-1, 1] \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ , $\arccos: [-1, 1] \to [0, \pi]$ , $\arctan: \mathbb{R} \to \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ .
Bileşke: $\sin(\arcsin x) = x$ her zaman; $\arcsin(\sin x) = x$ yalnızca $x$ aralığın içindeyse. Çapraz bileşkede yardımcı dik üçgen çiz, işareti aralıktan belirle.

Sorular

Şimdi sıra sende

12 özgün soru

Özgün soru1

Kolay

Periyot

$f(x) = 3\cos\left(4x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2$

fonksiyonunun periyodu kaçtır?

Çözüm

Periyodu yalnızca $x$ 'in katsayısı belirler. $3$ dalgayı düşeyde gerer, $-\dfrac{\pi}{3}$ yana kaydırır, $2$ yukarı taşır; hiçbiri tekrar sıklığını değiştirmez.

Kosinüslü ifadede $T = \dfrac{2\pi}{|b|}$ ve $b = 4$ olduğundan

$T = \dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$

Sağlama: $x$ yerine $x + \dfrac{\pi}{2}$ yazılınca içerideki açı $4 \cdot \dfrac{\pi}{2} = 2\pi$ kadar artar; kosinüsün değeri değişmez.

Çeldiriciler: $\dfrac{\pi}{4}$ tanjantın formülü ( $\dfrac{\pi}{|b|}$ ) kullanılınca, $8\pi$ çarpma ile bölme karıştırılınca, $2\pi$ katsayı hiç hesaba katılmayınca çıkar.

Cevap: B

Özgün soru2

Kolay

Ters trigonometrik fonksiyonların değerleri

$\arcsin 1 + \arccos\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arctan(-1)$

toplamı kaçtır?

Çözüm

Her terimde açıyı o fonksiyonun görüntü kümesinde ararız.

$\arcsin 1$ : sinüsü $1$ olan, $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ aralığındaki açı $\dfrac{\pi}{2}$ 'dir.
$\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ : kosinüsü negatif olan açı $[0, \pi]$ içinde ikinci bölgededir: $\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$ .
$\arctan(-1)$ : tanjantı negatif olan açı $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ içinde negatif taraftadır: $-\dfrac{\pi}{4}$ .

$\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} = \pi$

Tuzak: $\arctan(-1)$ için $\dfrac{3\pi}{4}$ yazmak. Bu açının tanjantı da $-1$ 'dir ama arctan'ın görüntü kümesinde değildir; o yanlışla toplam $2\pi$ çıkar. $\arccos$ değerinde işaret atılırsa ( $\dfrac{\pi}{4}$ ) toplam $\dfrac{\pi}{2}$ olur.

Cevap: C

Özgün soru3

Kolay

En büyük ve en küçük değer

Gerçek sayılarda tanımlı

$f(x) = 5 - 3\sin 2x$

fonksiyonunun alabileceği en büyük değer $M$ , en küçük değer $m$ 'dir.

Buna göre $M \cdot m$ çarpımı kaçtır?

Çözüm

$x$ bütün gerçek sayıları tararken $\sin 2x$ ifadesi $-1$ ile $1$ arasındaki her değeri alır.

$\sin 2x = -1$ iken $f$ en büyüktür: $M = 5 - 3 \cdot (-1) = 8$ .
$\sin 2x = 1$ iken $f$ en küçüktür: $m = 5 - 3 \cdot 1 = 2$ .

Kısa yol: orta çizgi $k = 5$ , genlik $|a| = 3$ ; $M = k + |a| = 8$ , $m = k - |a| = 2$ .

$M \cdot m = 8 \cdot 2 = 16$

Çeldiriciler: $15$ katsayıların doğrudan çarpımıdır ( $5 \cdot 3$ ); $10$ çarpım yerine toplam alınınca çıkar ( $8 + 2$ ). İçerideki $2$ yalnızca periyodu değiştirir, en büyük ve en küçük değeri etkilemez.

Cevap: D

Özgün soru4

Orta

Grafikten katsayı bulma

$a$ ve $b$ pozitif gerçek sayılar, $k$ bir gerçek sayı olmak üzere

$f(x) = a \cdot \cos(bx) + k$

fonksiyonunun grafiğinin bir parçası şekilde verilmiştir. Fonksiyon, en büyük değeri olan $5$ 'i $x = 0$ için alır; bundan sonra en küçük değeri olan $-1$ 'e ilk kez $x = \dfrac{\pi}{3}$ için ulaşır.

Buna göre $a \cdot b + k$ ifadesinin değeri kaçtır?

İpucu

Tepe ile çukurun ortası orta çizgiyi, yarı farkı genliği verir. Tepeden bir sonraki çukura kadar geçen yatay uzaklık periyodun tamamı değil yarısıdır.

Çözüm

1. Orta çizgi. En büyük ve en küçük değerin ortası: $k = \dfrac{5 + (-1)}{2} = 2$ .

2. Genlik. Düşey farkın yarısı: $a = \dfrac{5 - (-1)}{2} = 3$ ( $a > 0$ verildiği için işaret sorunu yok; grafik de $x = 0$ 'da tepeden başlıyor).

3. Periyot. Tepeden bir sonraki çukura yarım periyot geçer: $\dfrac{T}{2} = \dfrac{\pi}{3}$ , yani $T = \dfrac{2\pi}{3}$ . $\dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{2\pi}{3}$ eşitliğinden $b = 3$ .

4. Sağlama. $f(x) = 3\cos 3x + 2$ için $f(0) = 3 + 2 = 5$ ve $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 3\cos\pi + 2 = -1$ .

$a \cdot b + k = 3 \cdot 3 + 2 = 11$

Tuzak: $\dfrac{\pi}{3}$ 'ü periyodun tamamı sanmak. O zaman $b = 6$ ve sonuç $20$ çıkar. $k$ yerine en büyük değeri ( $5$ ) yazan $14$ 'ü bulur.

Cevap: B

Özgün soru5

Orta

Tek ve çift fonksiyon

Tanımlı oldukları her $x$ gerçek sayısı için

I. $f(x) = \sin x \cdot \cos x$
II. $g(x) = x \cdot \sin x$
III. $h(x) = \tan x - x$

fonksiyonlarından hangileri tek fonksiyondur?

İpucu

Her fonksiyonda $x$ yerine $-x$ yaz. Sinüs ve tanjant eksi işaretini dışarı çıkarır, kosinüs yutar. Sonuç $-f(x)$ ise fonksiyon tektir.

Çözüm

$\sin(-x) = -\sin x$ , $\cos(-x) = \cos x$ ve $\tan(-x) = -\tan x$ eşitliklerini kullanırız.

I. $f(-x) = \sin(-x) \cdot \cos(-x) = -\sin x \cdot \cos x = -f(x)$ . Tektir.

II. $g(-x) = (-x) \cdot \sin(-x) = (-x) \cdot (-\sin x) = x \cdot \sin x = g(x)$ . Çifttir; iki eksi birbirini götürür.

III. $h(-x) = \tan(-x) - (-x) = -\tan x + x = -(\tan x - x) = -h(x)$ . Tektir.

Tek olanlar I ve III'tür.

Sayısal sağlama: $g\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ ve $g\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = \left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \cdot (-1) = \dfrac{\pi}{2}$ ; değerler eşit, $g$ tek olamaz.

Tuzak: "içinde sinüs var, öyleyse tektir" demek. İki tek fonksiyonun çarpımı çifttir.

Cevap: D

Özgün soru6

Orta

Ters fonksiyonlarla bileşke

$\sin\left(\arccos\left(-\dfrac{4}{5}\right)\right) + \cos\left(\arctan\left(-\dfrac{3}{4}\right)\right)$

toplamı kaçtır?

İpucu

Her ters fonksiyona bir açı adı ver ve o açının hangi bölgede olduğunu görüntü kümesinden belirle. Uzunlukları $3$ - $4$ - $5$ üçgeninden, işareti bölgeden al.

Çözüm

Birinci terim. $\alpha = \arccos\left(-\dfrac{4}{5}\right)$ olsun. $\alpha \in [0, \pi]$ ve kosinüsü negatif olduğundan $\alpha$ ikinci bölgededir; orada sinüs pozitiftir. $3$ - $4$ - $5$ üçgeninden

$\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$

İkinci terim. $\beta = \arctan\left(-\dfrac{3}{4}\right)$ olsun. $\beta \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ ve tanjantı negatif olduğundan $\beta$ dördüncü bölgededir; orada kosinüs pozitiftir. Karşı $3$ , komşu $4$ , hipotenüs $5$ :

$\cos\beta = \dfrac{4}{5}$

Toplam. $\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{7}{5}$

Sağlama: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} = 1$ .

Tuzak: içerideki eksi işaretini sonuca taşımak. arccos'un verdiği açıların sinüsü, arctan'ın verdiği açıların kosinüsü hiçbir zaman negatif olmaz. İşaretlerden biri yanlış alınırsa $\dfrac{1}{5}$ ya da $-\dfrac{1}{5}$ , ikisi de yanlış alınırsa $-\dfrac{7}{5}$ çıkar.

Cevap: E

Özgün soru7

Orta

Periyodik fonksiyon

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı $f$ fonksiyonunun periyodu $3$ 'tür ve $0 \leq x < 3$ için

$f(x) = 2x + 1$

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre $f(2026) + f(-7)$ toplamı kaçtır?

İpucu

Kural yalnızca $[0, 3)$ aralığında geçerli. Girdilere $3$ 'ün katlarını ekleyip çıkararak onları bu aralığa taşı; negatif girdide ekleyerek ilerle.

Çözüm

Periyot $3$ olduğundan her $k$ tam sayısı için $f(x + 3k) = f(x)$ . Girdileri kuralın verildiği $[0, 3)$ aralığına indiririz.

$f(2026)$ . $2026 = 3 \cdot 675 + 1$ olduğundan $f(2026) = f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ .

$f(-7)$ . $-7 + 3 \cdot 3 = 2$ olduğundan $f(-7) = f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ .

$f(2026) + f(-7) = 3 + 5 = 8$

Tuzaklar: Kuralı doğrudan uygulamak ( $f(2026) = 4053$ ) yanlıştır; formül yalnızca $[0, 3)$ aralığında geçerlidir. $-7$ için kalan bulurken $7 = 3 \cdot 2 + 1$ deyip $f(-7) = f(1)$ yazmak da hatadır: $-7$ ile $1$ arasındaki fark $8$ 'dir, $3$ 'ün katı değildir. $f(-7) = f(-1)$ deyip kuralı $-1$ 'e uygulamak da olmaz; $-1$ aralıkta değil.

Cevap: A

Özgün soru8

Orta

Tanjant fonksiyonunun tanım kümesi

$f(x) = \tan\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$

fonksiyonu $[0, \pi]$ aralığındaki bazı $x$ değerleri için tanımsızdır.

Bu $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?

İpucu

Tanjant, içindeki açı $\dfrac{\pi}{2}$ 'nin tek katlarına eşit olduğunda tanımsızdır. Fonksiyonun periyodu $\dfrac{\pi}{2}$ olduğuna göre $\pi$ uzunluğundaki aralıkta kaç asimptot beklersin?

Çözüm

Tanjant, açısı $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ( $k$ tam sayı) olduğunda tanımsızdır:

$2x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \quad\Longrightarrow\quad 2x = \dfrac{5\pi}{6} + k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = \dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2}$

$[0, \pi]$ aralığına düşenler:

$k = 0$ : $x = \dfrac{5\pi}{12}$
$k = 1$ : $x = \dfrac{11\pi}{12}$
$k = -1$ : $x = -\dfrac{\pi}{12}$ (aralık dışı), $k = 2$ : $x = \dfrac{17\pi}{12}$ (aralık dışı)

Periyot $\dfrac{\pi}{2}$ olduğundan ardışık asimptotların arası da $\dfrac{\pi}{2}$ 'dir; $\pi$ uzunluğundaki aralıkta iki tane bulmamız beklenen sonuçtur.

$\dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{11\pi}{12} = \dfrac{16\pi}{12} = \dfrac{4\pi}{3}$

Tuzak: yalnızca $k = 0$ değerini alıp durmak ya da $2x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}$ eşitliğinde $\dfrac{\pi}{3}$ 'ü karşıya eksiyle geçirmek.

Cevap: E

Özgün soru9

Orta

Grafiklerin kesişimi

Dik koordinat düzleminde

$y = 2\sin 3x$

eğrisi ile $y = 1$ doğrusu çiziliyor.

Bu eğri ile doğru, $[0, 2\pi]$ aralığında kaç noktada kesişir?

İpucu

Önce tek bir dalgada doğrunun eğriyi kaç kez kestiğini bul, sonra $[0, 2\pi]$ aralığına kaç dalga sığdığını say.

Çözüm

1. Tek dalgada durum. Eğrinin en büyük değeri $2$ , en küçük değeri $-2$ 'dir. $y = 1$ doğrusu orta çizginin üstünde, tepenin altındadır; her dalgayı biri çıkarken biri inerken olmak üzere iki kez keser.

2. Dalga sayısı. Periyot $\dfrac{2\pi}{3}$ 'tür. $[0, 2\pi]$ aralığına tam $3$ dalga sığar.

3. Sayım. $3 \cdot 2 = 6$ kesişim.

Sağlama (kökleri yazarak). $2\sin 3x = 1$ için $\sin 3x = \dfrac{1}{2}$ . $u = 3x$ açısı $[0, 6\pi]$ aralığını tarar; her $2\pi$ 'lik turda $u = \dfrac{\pi}{6}$ ve $u = \dfrac{5\pi}{6}$ konumlarından geçer. Kökler:

$x = \dfrac{\pi}{18},\ \dfrac{5\pi}{18},\ \dfrac{13\pi}{18},\ \dfrac{17\pi}{18},\ \dfrac{25\pi}{18},\ \dfrac{29\pi}{18}$

Altısı da $[0, 2\pi]$ aralığındadır.

Tuzak: $\sin x = \dfrac{1}{2}$ gibi düşünüp $2$ demek ya da her dalgada tek kesişim sayıp $3$ demek.

Cevap: D

Özgün soru10

Zor

Ters fonksiyonlarla bileşke

$\arcsin\left(\sin\dfrac{4\pi}{5}\right) + \arccos\left(\cos\dfrac{7\pi}{5}\right)$

toplamı kaçtır?

İpucu

İçerideki açıların ikisi de dıştaki ters fonksiyonun görüntü kümesinde değil. Her birini, aynı sinüsü (kosinüsü) veren ve o aralıkta kalan açıyla değiştir.

Çözüm

$\arcsin(\sin x) = x$ eşitliği yalnızca $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ için, $\arccos(\cos x) = x$ eşitliği yalnızca $x \in [0, \pi]$ için geçerlidir. Buradaki açılar bu aralıkların dışındadır.

Birinci terim. $\dfrac{4\pi}{5}$ ikinci bölgededir. $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ olduğundan

$\sin\dfrac{4\pi}{5} = \sin\dfrac{\pi}{5}$

$\dfrac{\pi}{5}$ açısı $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ aralığındadır; öyleyse $\arcsin\left(\sin\dfrac{4\pi}{5}\right) = \dfrac{\pi}{5}$ .

İkinci terim. $\dfrac{7\pi}{5}$ üçüncü bölgededir. $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$ olduğundan

$\cos\dfrac{7\pi}{5} = \cos\left(2\pi - \dfrac{7\pi}{5}\right) = \cos\dfrac{3\pi}{5}$

$\dfrac{3\pi}{5}$ açısı $[0, \pi]$ aralığındadır; öyleyse $\arccos\left(\cos\dfrac{7\pi}{5}\right) = \dfrac{3\pi}{5}$ .

$\dfrac{\pi}{5} + \dfrac{3\pi}{5} = \dfrac{4\pi}{5}$

Sağlama: $\cos\dfrac{7\pi}{5}$ negatiftir (üçüncü bölge); bulduğumuz $\dfrac{3\pi}{5}$ de ikinci bölgede, kosinüsü negatif. İşaretler tutarlı.

Tuzak: iki terimi de sadeleştirip $\dfrac{4\pi}{5} + \dfrac{7\pi}{5} = \dfrac{11\pi}{5}$ yazmak. İkinci terimde $\dfrac{7\pi}{5} - \pi = \dfrac{2\pi}{5}$ almak da yanlıştır: $\pi$ çıkarmak kosinüsün işaretini değiştirir.

Cevap: C

Özgün soru11

Zor

Trigonometrik modelleme

Bir seranın içindeki sıcaklık, gece yarısından $t$ saat sonra ( $0 \leq t < 24$ )

$S(t) = 6\sin\left(\dfrac{\pi (t - 8)}{12}\right) + 20$

santigrat derece olarak modellenmiştir. Seradaki havalandırma, sıcaklık $23$ santigrat derece ve üzerindeyken çalışmaktadır.

Buna göre havalandırma bir günde toplam kaç saat çalışır?

İpucu

Koşulu sinüs için bir eşitsizliğe çevir. Sinüsün içindeki açıya bir harf ver, önce o açının $t$ değiştikçe hangi aralığı taradığını bul.

Çözüm

1. Koşulu sadeleştir. $S(t) \geq 23$ için $6\sin u + 20 \geq 23$ , yani $\sin u \geq \dfrac{1}{2}$ ; burada $u = \dfrac{\pi (t - 8)}{12}$ .

2. Açının aralığı. $t$ , $0$ 'dan $24$ 'e giderken $u$ , $-\dfrac{2\pi}{3}$ 'ten $\dfrac{4\pi}{3}$ 'e gider. Bu, tam bir periyottur ( $2\pi$ uzunluğunda).

3. Sinüsün $\dfrac{1}{2}$ ve üstünde olduğu yer. $\arcsin\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}$ . Dalga tepesine göre simetrik olduğundan aynı değeri $\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$ açısında da alır ve bu ikisinin arasında $\dfrac{1}{2}$ 'nin üstündedir:

$\dfrac{\pi}{6} \leq u \leq \dfrac{5\pi}{6}$

Bu aralık, $u$ 'nun taradığı $\left[-\dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}\right)$ aralığının içindedir ve başka bir parça yoktur.

4. Saate çevir. $\dfrac{\pi}{6} \leq \dfrac{\pi (t - 8)}{12} \leq \dfrac{5\pi}{6}$ eşitsizliğini $\dfrac{12}{\pi}$ ile çarp: $2 \leq t - 8 \leq 10$ , yani $10 \leq t \leq 18$ .

Havalandırma saat $10$ ile $18$ arasında, toplam $8$ saat çalışır.

Sağlama: $S(10) = 6\sin\dfrac{\pi}{6} + 20 = 23$ , $S(14) = 6\sin\dfrac{\pi}{2} + 20 = 26$ (en yüksek sıcaklık), $S(18) = 6\sin\dfrac{5\pi}{6} + 20 = 23$ .

Tuzak: "sinüs yarı yüksekliğin üstünde, öyleyse günün yarısı" diyerek $12$ demek. Sinüs $\dfrac{1}{2}$ 'nin üstünde periyodun yalnızca üçte biri kadar kalır: $\dfrac{24}{3} = 8$ .

Cevap: B

Özgün soru12

Zor

Ters fonksiyonların tanım kümesi

$f(x) = 2\arcsin(x - 2) + \arccos\left(\dfrac{x - 1}{2}\right)$

fonksiyonu, tanımlı olabileceği en geniş gerçek sayı kümesinde tanımlanıyor.

Buna göre $f$ 'nin tanım kümesindeki tam sayıların $f$ altındaki görüntülerinin toplamı kaçtır?

İpucu

arcsin ve arccos yalnızca $[-1, 1]$ aralığındaki girdileri kabul eder. İki koşulu ayrı ayrı çöz, ortak olan $x$ değerlerini al; sonra tam sayıları tek tek yerine yaz.

Çözüm

1. Tanım kümesi. İki terimin de tanımlı olması gerekir.

$-1 \leq x - 2 \leq 1$ koşulundan $1 \leq x \leq 3$ .
$-1 \leq \dfrac{x - 1}{2} \leq 1$ koşulundan $-2 \leq x - 1 \leq 2$ , yani $-1 \leq x \leq 3$ .

Ortak bölge $[1, 3]$ aralığıdır; içindeki tam sayılar $1$ , $2$ ve $3$ 'tür.

2. Görüntüler.

$f(1) = 2\arcsin(-1) + \arccos 0 = 2 \cdot \left(-\dfrac{\pi}{2}\right) + \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2}$
$f(2) = 2\arcsin 0 + \arccos\dfrac{1}{2} = 0 + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}$
$f(3) = 2\arcsin 1 + \arccos 1 = 2 \cdot \dfrac{\pi}{2} + 0 = \pi$

3. Toplam.

$-\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{-3\pi + 2\pi + 6\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$

Tuzaklar: yalnızca ikinci koşula bakıp $-1$ ve $0$ sayılarını da tanım kümesine almak (bu sayılarda $\arcsin(x - 2)$ tanımsızdır); $\arccos 0$ değerini $0$ , $\arccos 1$ değerini $\dfrac{\pi}{2}$ sanmak. $\arccos 0 = \dfrac{\pi}{2}$ ve $\arccos 1 = 0$ 'dır.

Cevap: D

Çemberden dalgaya

Grafikten kesişim okumak

Kosinüs: aynı dalga, çeyrek tur önde

Periyodik fonksiyon

Periyotla uzak değeri yakına taşımak

Tek mi, çift mi?

Negatif açılardan kurtulmak

Genlik ve düşey öteleme: aaa ve kkk

Eksi katsayılı kosinüs

Periyodu bbb belirler

Kalabalık ifadede periyodu bulmak

Yatay öteleme: ccc

Beş noktayla bir periyot çizmek

Grafikten denkleme

Grafiği verilen sinüs fonksiyonu

Yaya asılı ağırlık

Tanjant grafiği

Geri dönüş: ters trigonometrik fonksiyonlar

Üç ters fonksiyon, üç aralık

Fonksiyon ile tersinin bileşkesi

Aralığın dışına düşen açı

Yardımcı dik üçgen

Çapraz bileşkede işaret

Tümler açıların buluşması

Ters fonksiyonlarda tanım ve görüntü kümesi

İçi dolu arcsin

Bir aralıkta kaç kez?

En küçük değerin alındığı noktalar

Birlikte tekrar eden dalgalar

İki lambalı deniz feneri

Limana dönüş

Tekne limana ne zaman giremez?

Genlik ve düşey öteleme: $a$ ve $k$

Periyodu $b$ belirler

Yatay öteleme: $c$