40Konu 40 / 49
Geometri

Üçgenin Alanı

Üçgenin alanını taban ve yükseklikle, iki kenar ve aradaki açının sinüsüyle hesaplıyoruz; aynı yükseklikli ve aynı tabanlı üçgenlerde alan oranlarını, benzer üçgenlerde alanların benzerlik oranının karesiyle değiştiğini öğreniyoruz.

9. sınıf
AYT sıklığı
60 dk

LevhaÜçgenin AlanıÜçgenin Alanı

Bir bahçıvan $6$ metrelik çitin iki ucuna birer kazık çaktı. Üçüncü kazığı, çite paralel uzanan ve çitten $4$ metre uzaktaki yolun üzerinde bir yere çakıp üçgen bir çiçeklik yapacak. Kazığı yol boyunca kaydırdıkça üçgen sivriliyor, yana yatıyor, çevresi uzuyor. Çiçekliğin alanı hangi konumda en büyük olur? Sahnede tepe noktasını sürükle ve alan göstergesine bak: yanıt bu sayfanın ilk fikri.

Isınma

Başlamadan: dik üçgen ve benzerlik

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Dik kenarları

5

12

birim olan dik üçgenin hipotenüsü kaç birimdir?

Açıklama

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ , hipotenüs $\sqrt{169} = 13$ birimdir. Ayrıntısı Dik Üçgen sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Açıları

30^\circ

60^\circ

90^\circ

olan bir üçgende hipotenüs

10

birimdir.

30^\circ

‘lik açının karşısındaki kenar kaç birimdir?

Açıklama

$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ olduğundan $30^\circ$ ‘nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır: $5$ birim.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Benzer iki üçgenin benzerlik oranı

\dfrac{2}{3}

‘tür. Küçük üçgende

6

birim olan kenarın büyük üçgendeki karşılığı kaç birimdir?

Açıklama

Karşılıklı kenarların oranı sabittir: $\dfrac{6}{x} = \dfrac{2}{3}$ , buradan $x = 9$ . Ayrıntısı Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik sayfasında.

Temel

Taban ve yükseklikle alan

Yükseklik nedir?

Bir üçgenin alanını bulmak için iki uzunluk yeter: bir kenar ve karşı köşenin o kenara ne kadar uzak olduğu. İlkine taban, ikincisine o tabana ait yükseklik diyoruz.

Yükseklik her zaman üçgenin içinde kalmaz. Dik üçgende dik kenarlardan biri öbürüne ait yüksekliktir. Geniş açılı üçgende ise dikme, tabanın uzantısına iner.

Yükseklik dar açılı üçgende içeride, dik üçgende kenarın kendisi, geniş açılı üçgende dışarıdadır.

Alan neden taban çarpı yüksekliğin yarısı?

Sahnede üçgen, tabanı ve yüksekliği aynı olan bir dikdörtgenin içinde duruyor. Yükseklik dikdörtgeni iki küçük dikdörtgene ayırıyor; üçgenin kenarları da bunların köşegenleri. “Katla” düğmesine bas: dışarıda kalan iki parça dönerek üçgenin tam üstüne oturuyor. Üçgen, dikdörtgenin yarısı.

Köşegen her küçük dikdörtgeni iki eş parçaya böler; üçgen, alanı

a \cdot h

olan dikdörtgenin yarısıdır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir kenarı

10

birim, bu kenara ait yüksekliği

7

birim olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Açıklama

$\dfrac{10 \cdot 7}{2} = 35$ birimkare.

Örnek

kolay

Yükseklik dışarıda kalınca

$B$ , $C$ , $H$ noktaları doğrusaldır ve $C$ noktası $B$ ile $H$ arasındadır. $[AH] \perp BH$ , $|BC| = 7$ birim, $|CH| = 3$ birim ve $|AH| = 6$ birimdir. $ABC$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Tabanı seç: $[AH]$ dikmesi $BC$ doğrusuna indiği için $[BC]$ kenarına ait yüksekliktir. $H$ noktasının üçgenin dışında olması bunu değiştirmez; $C$ açısı geniştir.

Taban üçgenin kendi kenarıdır, yani $|BC| = 7$ . $|BH| = 10$ üçgenin kenarı değildir; onu kullanırsan $ABH$ üçgeninin alanını bulursun.

$A(ABC) = \dfrac{|BC| \cdot |AH|}{2} = \dfrac{7 \cdot 6}{2} = 21$ .

Sonuç

$21$ birimkare. Sağlama: $A(ABH) - A(ACH) = \dfrac{10 \cdot 6}{2} - \dfrac{3 \cdot 6}{2} = 30 - 9 = 21$ .

Üç taban, üç yükseklik, tek alan

Sahnede aynı üçgenin tabanını sırayla $a$ , $b$ , $c$ seç. Her seferinde yükseklik değişiyor ama $\dfrac{\text{taban} \cdot \text{yükseklik}}{2}$ göstergesi aynı sayıda kalıyor. Bir köşeyi sürükleyip açıyı genişlet: yüksekliklerden ikisi üçgenin dışına çıkıyor, çarpımlar yine eşit.

Alan tek olduğuna göre $a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c$ olur. Buradan iki sonuç çıkar: uzun kenara kısa yükseklik düşer ve bir yüksekliği bilmiyorsan alanı başka bir taban üzerinden bulup geri dönebilirsin.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir üçgende

12

birimlik kenara ait yükseklik

6

birimdir. Aynı üçgenin

8

birimlik kenarına ait yükseklik kaç birimdir?

Açıklama

$12 \cdot 6 = 8 \cdot h$ olduğundan $h = 9$ birimdir.

Dik üçgende dik kenarlar birbirinin yüksekliğidir; alan dik kenarların çarpımının yarısıdır. Aynı alanı hipotenüs üzerinden yazınca hipotenüse ait yükseklik bulunur.

Aynı alan iki yoldan:

\dfrac{6 \cdot 8}{2} = \dfrac{10 \cdot h}{2}

Örnek

kolay

Hipotenüse ait yükseklik

Dik kenarları $6$ ve $8$ birim olan dik üçgende hipotenüse ait yükseklik kaç birimdir?

Hipotenüsü bul, çünkü taban olarak onu kullanacağız: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ .

Alanı kolay yoldan yaz. Dik kenarlar birbirine dik olduğundan biri taban, öbürü yüksekliktir: $\dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$ .

Aynı alanı hipotenüsle yaz ve eşitle: $\dfrac{10 \cdot h}{2} = 24$ , buradan $h = \dfrac{48}{10}$ .

Sonuç

$h = 4{,}8$ birim. Genel olarak dik kenarları $a$ , $b$ ve hipotenüsü $c$ olan dik üçgende $h_c = \dfrac{a \cdot b}{c}$ .

Örnek

kolay

Eşkenar üçgenin alanı

Bir kenarı $6$ birim olan eşkenar üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Yüksekliği çiz. Eşkenar üçgende yükseklik tabanı ortalar; böylece hipotenüsü $6$ , bir dik kenarı $3$ olan bir dik üçgen oluşur.

Pisagor teoremiyle yükseklik: $h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ .

Alan: $\dfrac{6 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ .

Sonuç

$9\sqrt{3}$ birimkare. Aynı adımlar kenarı $a$ olan eşkenar üçgende $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ ve $A = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ verir.

Tepe kayar, alan kalır

Kancadaki soruya dönelim. Kazık yol boyunca nereye çakılırsa çakılsın taban $6$ metre, yola olan uzaklık $4$ metredir. Alan her konumda $\dfrac{6 \cdot 4}{2} = 12$ metrekare; en büyük alan diye bir konum yok.

Tepe noktası tabana paralel doğru üzerinde kaydıkça biçim ve çevre değişir, alan

12

birimkare kalır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

[AB]

tabanı sabit bir üçgenin

C

köşesi,

AB

doğrusuna paralel bir doğru üzerinde kaydırılıyor. Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle değişmez?

Açıklama

Taban ve o tabana ait yükseklik (paralel doğrular arasındaki uzaklık) sabit kaldığı için alan değişmez. Çevre ve açılar değişir.

Orta

Sinüsle alan, alan oranları, benzerlik

İki kenar ve aradaki açı

Yükseklik verilmemişse onu bir açıyla üretebiliriz. $ABC$ üçgeninde $|AC| = b$ , $|AB| = c$ ve bu iki kenarın arasındaki açı $\alpha$ olsun. $C$ köşesinden inen yükseklik, hipotenüsü $b$ olan dik üçgenin $\alpha$ açısı karşısındaki kenarıdır: $h = b \cdot \sin\alpha$ .

Yükseklik

h = b \cdot \sin\alpha

olduğundan alan

\dfrac{c \cdot b \cdot \sin\alpha}{2}

olur.

Açı genişse yükseklik dışarı düşer ve dik üçgendeki açı $180^\circ - \alpha$ olur. $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ olduğundan formül aynen geçerlidir; örneğin $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ . Geniş açıların sinüsü Trigonometrik Fonksiyonlar sayfasında anlatılıyor.

Sahnede $5$ ve $7$ birimlik iki çubuk bir menteşeyle birleşik. Açı sürgüsünü $0^\circ$ ‘den $180^\circ$ ‘ye çek: alan önce büyüyor, $90^\circ$ ‘de en büyük değerine ulaşıyor, sonra küçülüyor. $40^\circ$ ile $140^\circ$ konumlarını karşılaştır; yükseklik, dolayısıyla alan aynı.

Örnek

orta

Geniş açıyla alan

$ABC$ üçgeninde $|AB| = 8$ birim, $|AC| = 5$ birim ve $m(\widehat{BAC}) = 150^\circ$ ‘dir. Üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Verilen açı, verilen iki kenarın arasında mı? $[AB]$ ve $[AC]$ kenarları $A$ köşesinde buluşuyor ve açı da $A$ köşesinde; sinüsle alan kuralı doğrudan uygulanır.

$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 150^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ .

$A(ABC) = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \dfrac{1}{2} = 10$ .

Sonuç

$10$ birimkare.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

İki kenarı

6

10

birim, bu kenarlar arasındaki açısı

30^\circ

olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Açıklama

$\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = 30 \cdot \dfrac{1}{2} = 15$ birimkare.

Aynı yükseklik: alanlar tabanlarla orantılı

Bir üçgeni bir köşesinden karşı kenara çizilen doğru parçasıyla ikiye böl. İki parçanın o köşeden inen yüksekliği ortaktır; alanlarını ayıran tek şey tabanlarıdır.

ABD

ADC

üçgenlerinin yüksekliği ortak; alanları

|BD| : |DC| = 3 : 5

oranındadır.

Sahnede $D$ noktasını $[BC]$ boyunca sürükle. İki parçanın alanları değişiyor ama oranları her an $|BD| : |DC|$ oranına eşit. $D$ noktasını tam ortaya getir: $[AD]$ kenarortay olur ve üçgen eş alanlı iki parçaya ayrılır.

Özel durum: kenarortay, karşı kenarı iki eş parçaya ayırdığı için üçgeni alanları eşit iki üçgene böler. Kenarortayın öteki özellikleri Üçgenin Yardımcı Elemanları sayfasındadır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

ABC

üçgeninde

D

noktası

[BC]

üzerindedir ve

\dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{2}{3}

‘tür.

A(ABD) = 10

birimkare ise

A(ADC)

kaç birimkaredir?

Açıklama

$\dfrac{10}{A(ADC)} = \dfrac{2}{3}$ olduğundan $A(ADC) = 15$ birimkare.

Aynı taban: alanlar yüksekliklerle orantılı

Bu kez taban ortak, tepe noktaları farklı yükseklikte. Alanı değiştiren tek şey yüksekliktir.

[BC]

tabanı ortak:

\dfrac{A(PBC)}{A(ABC)} = \dfrac{h_2}{h_1}

Sahnede $P$ noktasını yukarı aşağı sürükle. $PBC$ üçgeninin alanı, $P$ noktasının tabana uzaklığıyla aynı oranda büyüyüp küçülüyor. $P$ noktasını $[AD]$ üzerinde tutan düğmeyi aç: $\dfrac{A(PBC)}{A(ABC)}$ oranı $\dfrac{|PD|}{|AD|}$ oranına eşit kalıyor.

Örnek

orta

Tepe noktası bir doğru parçası üzerinde

$ABC$ üçgeninde $D$ noktası $[BC]$ üzerinde, $P$ noktası $[AD]$ üzerindedir ve $|AP| = 2 \cdot |PD|$ ‘dir. $A(ABC) = 45$ birimkare ise $A(PBC)$ kaç birimkaredir?

$ABC$ ve $PBC$ üçgenlerinin tabanı ortaktır: $[BC]$ . Alanların oranı, $A$ ve $P$ noktalarının $BC$ doğrusuna uzaklıklarının oranıdır.

$A$ ve $P$ noktalarından $BC$ doğrusuna inen dikmeler birbirine paraleldir; $D$ köşesini paylaşan iki benzer dik üçgen oluşur. Bu yüzden uzaklıkların oranı $\dfrac{|PD|}{|AD|}$ oranına eşittir.

$|PD| = k$ ise $|AP| = 2k$ ve $|AD| = 3k$ olur: $\dfrac{|PD|}{|AD|} = \dfrac{1}{3}$ .

Sonuç

$A(PBC) = \dfrac{1}{3} \cdot 45 = 15$ birimkare.

Örnek

orta

Tarlayı bölen çit

$ABC$ üçgeni biçimindeki bir tarlanın $[BC]$ sınırı üzerinde bir $D$ kuyusu vardır; $|BD| = 30$ m ve $|DC| = 50$ m’dir. Tarla $[AD]$ çitiyle ikiye ayrıldığında $ABD$ parçasının alanı $1200$ m² olarak ölçülüyor. Çitin tam orta noktasına dikilen $E$ direği $B$ ve $C$ köşelerine iple bağlanırsa $EBC$ üçgeninin alanı kaç metrekare olur?

Önce tarlanın tamamı. $ABD$ ve $ADC$ parçalarının $A$ köşesinden inen yüksekliği ortak olduğundan alanları $30 : 50 = 3 : 5$ oranındadır: $A(ADC) = 1200 \cdot \dfrac{5}{3} = 2000$ m².

$A(ABC) = 1200 + 2000 = 3200$ m².

Şimdi taban ortak: $EBC$ ile $ABC$ üçgenlerinin tabanı $[BC]$ . $E$ noktası $[AD]$ ‘nin ortasında olduğundan tabana uzaklığı $A$ ‘nınkinin yarısıdır.

Sonuç

$A(EBC) = \dfrac{3200}{2} = 1600$ m². Neden iki kural birden: önce yükseklik ortaktı, sonra taban.

Benzer üçgenlerde alan

Bir üçgenin bütün kenarlarını $k$ katına çıkarırsan yükseklikleri de $k$ katına çıkar. Alan taban ile yüksekliğin çarpımına bağlı olduğundan $k \cdot k = k^2$ katına çıkar.

Sahnede küçük üçgenin benzerlik oranını $1$ , $2$ , $3$ , $4$ yap. Büyüyen üçgenin içi küçük üçgenin eşleriyle döşeniyor: sırasıyla $1$ , $4$ , $9$ , $16$ parça. Kenar iki katına çıkınca alan dört katına çıkıyor.

Kenarlar

3

katına çıkınca üçgen

9

eş küçük üçgenden oluşur; şeritlerde

1

3

5

parça vardır.

Örnek

orta

Paralel doğru ve yamuğun alanı

$ABC$ üçgeninde $D$ noktası $[AB]$ , $E$ noktası $[AC]$ üzerindedir ve $DE \parallel BC$ ‘dir. $|AD| = 4$ birim, $|DB| = 6$ birim ve $A(ADE) = 8$ birimkare ise $DBCE$ dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?

$DE \parallel BC$ olduğundan $ADE$ ile $ABC$ üçgenlerinin açıları eşittir; üçgenler benzerdir. Benzerlik oranı karşılıklı kenarlardan okunur: $\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{4}{4 + 6} = \dfrac{2}{5}$ .

Dikkat: oran $\dfrac{|AD|}{|DB|} = \dfrac{4}{6}$ değildir; $[DB]$ küçük üçgenin kenarının karşılığı değil, aradaki parçadır.

Alanların oranı benzerlik oranının karesidir: $\dfrac{A(ADE)}{A(ABC)} = \dfrac{4}{25}$ . Buradan $A(ABC) = 8 \cdot \dfrac{25}{4} = 50$ .

Sonuç

$A(DBCE) = 50 - 8 = 42$ birimkare.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Benzer iki üçgenin benzerlik oranı

\dfrac{3}{5}

‘tir. Küçük üçgenin alanı

18

birimkare ise büyük üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Açıklama

$\dfrac{18}{A} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}$ , buradan $A = 50$ birimkare.

İleri

Birleşik sorular ve tuzaklar

Tabana paralel şeritler

Bir üçgeni tabanına paralel doğrularla eşit yükseklikli $n$ şeride böl. Tepeden başlayan iç içe üçgenler birbirine benzerdir ve benzerlik oranları $1 : 2 : 3 : \dots$ olduğundan alanları $1 : 4 : 9 : \dots$ oranındadır. Şeritler bu alanların farklarıdır: $1,\ 4 - 1,\ 9 - 4,\ \dots$ yani $1 : 3 : 5 : 7 : \dots$

Sahnede şerit sayısını $2$ ‘den $6$ ‘ya kadar değiştir. Her şeridin üstünde kaç birim alan kapladığı yazıyor: $1, 3, 5, 7, \dots$ Sonra “eşit alan” düğmesine bas; paralel doğrular alanları eşitleyecek biçimde kayıyor ve tepeye yakın şeridin ötekilerden ne kadar yüksek olması gerektiğini görüyorsun.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir üçgen, tabanına paralel iki doğruyla eşit yükseklikli üç şeride ayrılıyor. Tepedeki küçük üçgenin alanı

4

birimkare ise en alttaki şeridin alanı kaç birimkaredir?

Açıklama

Şeritler $1 : 3 : 5$ oranındadır. Tepedeki parça $4$ ise en alttaki $5 \cdot 4 = 20$ birimkaredir.

Örnek

zor

Dört şeritli flama

Üçgen biçimindeki bir flama, tabanına paralel üç dikişle eşit yükseklikli dört şeride ayrılmış ve her şerit ayrı bir kumaştan dikilmiştir. En alttaki şerit için, tepedeki üçgen parçadan $54$ cm² fazla kumaş kullanılmıştır. Flamanın tamamı kaç santimetrekaredir?

Tepeden başlayan iç içe üçgenlerin yükseklikleri $1 : 2 : 3 : 4$ oranındadır. Dikişler tabana paralel olduğundan bu üçgenler benzerdir ve alanları $1 : 4 : 9 : 16$ oranındadır.

Tepedeki parça $k$ olsun. Şeritler ardışık farklardır: $k,\ 3k,\ 5k,\ 7k$ .

Verilen fark: $7k - k = 6k = 54$ , buradan $k = 9$ .

Sonuç

Flamanın alanı $16k = 144$ cm². Tuzak: şeritleri eşit alanlı sanmak ya da en alt şeridi $16k$ almak.

Ortak açılı üçgenler

İki üçgenin birer açısı ortaksa sinüsle alan kuralında $\sin\alpha$ sadeleşir; alanların oranı o açıyı oluşturan kenarların çarpımlarının oranıdır. Bunun için üçgenlerin benzer olması gerekmez.

Örnek

zor

Paralel olmayan kesen

$ABC$ üçgeninde $|AB| = 10$ birim, $|AC| = 6$ birimdir. $D$ noktası $[AB]$ üzerinde, $E$ noktası $[AC]$ üzerindedir; $|AD| = 4$ birim ve $|AE| = 3$ birimdir. $A(ABC) = 40$ birimkare ise $BCED$ dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?

Önce benzerlik var mı diye bak: $\dfrac{4}{10} \neq \dfrac{3}{6}$ olduğundan $DE$ , $BC$ ‘ye paralel değildir; $k^2$ kuralı kullanılamaz.

İki üçgenin $A$ açısı ortaktır. Alanları sinüsle yaz:

$\dfrac{A(ADE)}{A(ABC)} = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin\alpha}{\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \sin\alpha} = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}$

$A(ADE) = \dfrac{40}{5} = 8$ .

Sonuç

$A(BCED) = 40 - 8 = 32$ birimkare.

Sinüsle alan: iki açı, bir alan

Örnek

zor

Menteşeli gölgelik

Bir kafenin gölgeliği, uçları bir menteşeyle birleştirilmiş $4$ m ve $6$ m uzunluğunda iki çubuk ile bunların serbest uçlarını birleştiren gergin bir ipin arasına gerilen üçgen kumaştan oluşuyor. Kumaşın alanı $6\sqrt{3}$ m² olacak biçimde çubuklar arasındaki açı kaç farklı değere ayarlanabilir ve bu değerlerin toplamı kaç derecedir?

İki kenar ve aradaki açı var: $A = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin\theta = 12\sin\theta$ .

$12\sin\theta = 6\sqrt{3}$ olduğundan $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Bir üçgenin açısı $0^\circ$ ile $180^\circ$ arasındadır ve bu aralıkta sinüsü $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ olan iki açı vardır: $60^\circ$ ve $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ . Yalnızca $60^\circ$ demek eksik yanıttır.

Sonuç

İki değer: $60^\circ$ ve $120^\circ$ ; toplamları $180^\circ$ . Kumaşın alanı en çok $12$ m² olabilir ( $\theta = 90^\circ$ ).

Yükseklikler ve üçgen eşitsizliği

$a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c = 2A$ eşitliği, kenarların yüksekliklerle ters orantılı olduğunu söyler: $a = \dfrac{2A}{h_a}$ . Yükseklikler verilip kenarlar sorulduğunda ya da “böyle bir üçgen var mı” dendiğinde bu geçiş kullanılır. Üçgen eşitsizliği için bkz. Üçgende Açılar ve Kenarlar.

Örnek

zor

Üçüncü yükseklik kaç olabilir?

Bir üçgenin iki yüksekliği $3$ birim ve $4$ birimdir. Üçüncü yüksekliğin uzunluğu bir tam sayı olduğuna göre kaç farklı değer alabilir?

Yüksekliklere üçgen eşitsizliği uygulanmaz; kenarlara uygulanır. Alan $A$ , üçüncü yükseklik $h$ olsun. Kenarlar: $\dfrac{2A}{3}$ , $\dfrac{2A}{4}$ ve $\dfrac{2A}{h}$ .

Üçgen eşitsizliği: bir kenar, öbür ikisinin farkından büyük ve toplamından küçüktür. Her terimi $2A$ ile sadeleştir:

$\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{h} < \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{12} < \dfrac{1}{h} < \dfrac{7}{12}$

Pozitif sayılarda ters çevirince eşitsizlik yön değiştirir: $\dfrac{12}{7} < h < 12$ . $\dfrac{12}{7}$ yaklaşık $1{,}71$ ‘dir.

Sonuç

$h \in \{2, 3, \dots, 11\}$ : $10$ farklı değer.

Sahnede dene

Sahnede açıyı öyle ayarla ki alan en büyük değerinin tam yarısı olsun. İki ayrı konum bulacaksın: $30^\circ$ ve $150^\circ$ . İkisinde de $\sin\alpha = \dfrac{1}{2}$ ; üçüncü kenar ise çok farklı.

Özet

Taban ve yükseklik: $A = \dfrac{a \cdot h_a}{2}$ . Yükseklik, tabanın doğrusuna dik iner; geniş açılı üçgende dışarıda kalabilir.
Tek alan, üç yazılış: $a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c$ . Dik üçgende $A = \dfrac{\text{dik kenarların çarpımı}}{2}$ ve $h_c = \dfrac{a \cdot b}{c}$ . Eşkenar üçgende $A = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .
Paralel doğru: tepe noktası tabana paralel doğru üzerinde kayarsa alan değişmez.
Sinüsle alan: $A = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin\alpha$ ; $\alpha$ iki kenarın arasındaki açıdır ve $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ .
Aynı yükseklik: alanlar tabanlarla orantılı. Kenarortay üçgeni eş alanlı iki parçaya böler.
Aynı taban: alanlar yüksekliklerle orantılı.
Benzerlik: oran $k$ ise alanların oranı $k^2$ . Eşit yükseklikli paralel şeritler $1 : 3 : 5 : \dots$
Ortak açı: alanların oranı, o açıyı oluşturan kenarların çarpımlarının oranıdır.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

4 çıkmış soru6 özgün soru

2025 AYTSoru 32

Zor

Özel üçgenler ve alan oranı

Kenarları kırmızı bir eşkenar üçgen ile kenarları mavi bir eşkenar üçgen şekildeki gibi çizilmiştir: her üçgenin bir köşesi, öbür üçgenin bir kenarının üzerindedir.

Bu şekilde sarıya boyalı üçgenin alanı, griye boyalı üçgenin alanının $4$ katıdır.

Buna göre kenarları kırmızı renkli olan üçgenin alanının kenarları mavi renkli olan üçgenin alanına oranı kaçtır?

İpucu

Kırmızı üçgenin bir kenarı mavi üçgenin tabanına dik. Öbür kenarların yatayla yaptığı açıları yazınca sarı ve gri üçgenlerin ikisi de $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ üçgeni çıkar.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

1. Açılar. Kırmızı üçgenin bir kenarı mavi üçgenin tabanına diktir (düşey). Öbür iki kırmızı kenar bu kenarla $60^\circ$ , dolayısıyla yatayla $30^\circ$ açı yapar. Mavi üçgenin yan kenarları yatayla $60^\circ$ açı yapar. Yatayla $30^\circ$ ve $60^\circ$ yapan iki doğru, eğimleri zıt yöndeyse birbirine diktir.

2. Sarı üçgen. Köşeleri: kırmızı üçgenin sol köşesi ( $60^\circ$ ), mavi üçgenin tepe köşesi ve bir kırmızı kenar ile mavi sol kenarın kesiştiği nokta (burada açı $90^\circ$ ). Hipotenüsü, kırmızı üçgenin üst kenarının sol köşeden mavi tepeye kadar olan parçasıdır; uzunluğu $u$ olsun. Dik kenarlar $\dfrac{u}{2}$ ve $\dfrac{u\sqrt{3}}{2}$ :

$\text{sarı} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{u}{2} \cdot \dfrac{u\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{8}u^2$

3. Gri üçgen. Köşeleri: mavi tepe (burada kırmızı üst kenar ile mavi sağ kenar dik kesişir), kırmızı üçgenin üst köşesi ( $60^\circ$ ) ve kırmızı düşey kenar ile mavi sağ kenarın kesiştiği nokta. Kırmızı üst kenarın kalan parçası $k$ olsun; bu, $60^\circ$ 'ye komşu kısa dik kenardır, öbür dik kenar $k\sqrt{3}$ 'tür:

$\text{gri} = \dfrac{1}{2} \cdot k \cdot k\sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}k^2$

4. Alan oranından kenara. $\dfrac{\sqrt{3}}{8}u^2 = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}k^2$ olduğundan $u^2 = 16k^2$ , $u = 4k$ . Kırmızı üçgenin kenarı $u + k = 5k$ 'dir.

5. Mavi üçgenin kenarı. Kırmızı üçgenin üst köşesi, tabandan $5k$ yüksektedir (düşey kenarın ucu). Mavi tepe bu köşeden, yatayla $30^\circ$ yapan kenar boyunca $k$ kadar geridedir; yüksekliği $5k - k\sin 30^\circ = \dfrac{9k}{2}$ olur. Bu, mavi eşkenar üçgenin yüksekliğidir: kenarı $s$ ise $\dfrac{s\sqrt{3}}{2} = \dfrac{9k}{2}$ , $s = 3\sqrt{3}\,k$ .

6. Oran. Eşkenar üçgenler benzerdir; alanları kenarlarının karesiyle orantılıdır:

$\dfrac{(5k)^2}{(3\sqrt{3}\,k)^2} = \dfrac{25}{27}$

Tuzak: alan oranı $4$ iken uzunluk oranını da $4$ almak. Sarı ve gri üçgen benzerdir ama karşılaştırılan kenarlar ( $u$ hipotenüs, $k$ kısa dik kenar) karşılıklı kenarlar değildir; alanları ayrı ayrı yazmak en güvenli yoldur.

Cevap: D

2023 AYTSoru 32

Orta

Paralel şeritlerde benzerlik ve alan

Bir okulda sınıflara asılmak üzere eşkenar üçgen biçiminde bir poster tasarlanıyor. Poster, şekildeki gibi tabanına paralel iki doğruyla üç bölmeye ayrılmıştır ve bu bölmelerin yükseklikleri birbirine eşittir.

Okul müdürü, bölmelerin alanlarının içlerinde yazan yüzde değerleriyle doğru orantılı olmasını istiyor. Bunun üzerine posterin alanı değiştirilmeden bölmeler yeniden düzenleniyor. Son durumda "Davranış" bölmesinin alanı ilk duruma göre $24$ birimkare artmıştır.

Buna göre, posterin alanı kaç birimkaredir?

İpucu

İlk durumda yükseklikler eşit ama alanlar eşit değil. Tepeden başlayan iç içe benzer üçgenlerin alan oranlarından "Davranış" bölmesinin posterin kaçta kaçı olduğunu bul.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

1. İlk durum. Tabana paralel doğrular, tepe köşesini paylaşan iç içe benzer üçgenler oluşturur. Bölme yükseklikleri eşit olduğundan bu üçgenlerin benzerlik oranları $1 : 2 : 3$ , alanları $1 : 4 : 9$ oranındadır. Bölmeler yukarıdan aşağıya $k$ , $4k - k = 3k$ , $9k - 4k = 5k$ olur; posterin alanı $S = 9k$ 'dir. "Davranış" (en üstteki) bölmenin alanı $\dfrac{S}{9}$ 'dur.

2. Son durum. Alanlar yüzdelerle orantılıdır; "Davranış" bölmesi posterin yüzde $20$ 'sidir: $\dfrac{S}{5}$ .

3. Denklem.

$\dfrac{S}{5} - \dfrac{S}{9} = 24 \Rightarrow \dfrac{4S}{45} = 24 \Rightarrow S = 270$

Posterin alanı $270$ birimkaredir.

Tuzak: ilk durumda eşit yükseklikli bölmelerin alanlarını eşit ( $\dfrac{S}{3}$ ) saymak. Posterin eşkenar olması sonucu etkilemez; yalnızca benzerlik kullanılır.

Cevap: A

2019 AYTSoru 33

Orta

Benzer dik üçgenlerde alan oranı

$ABC$ ve $BCD$ dik üçgenlerinin $[BC]$ kenarı ortaktır. Bu üçgenler şekildeki gibi çizilmiş, ortaya çıkan iki bölgeden biri sarıya, öbürü maviye boyanmıştır.

$m(\widehat{DCA}) = m(\widehat{BAC}) = x$

olduğuna göre, sarı bölgenin alanının mavi bölgenin alanına oranının $x$ türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

İki dik üçgenin açılarını $x$ cinsinden yaz. Açıları aynı çıkıyorsa üçgenler benzerdir; alanların oranı benzerlik oranının karesidir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

1. Açıları yaz. $ABC$ üçgeninde $C$ açısı $90^\circ$ , $A$ açısı $x$ , $B$ açısı $90^\circ - x$ 'tir. $m(\widehat{ACB}) = 90^\circ$ ve $m(\widehat{DCA}) = x$ olduğundan $m(\widehat{BCD}) = 90^\circ - x$ ; $BCD$ üçgeninde $D$ açısı $90^\circ$ olduğuna göre $B$ köşesindeki açı $x$ 'tir.

2. Benzerlik. İki üçgenin açıları da $x$ , $90^\circ - x$ , $90^\circ$ 'dir; mavi $BCD$ üçgeni $ABC$ üçgenine benzerdir. Benzerlik oranı hipotenüslerin oranıdır: mavi üçgenin hipotenüsü $[BC]$ , büyük üçgenin hipotenüsü $[AB]$ .

$k = \dfrac{|BC|}{|AB|} = \sin x$

( $ABC$ dik üçgeninde $x$ açısının karşısındaki kenar $[BC]$ 'dir.)

3. Alanlar. $A(ABC) = S$ olsun. Mavi alan $k^2 \cdot S = S\sin^2 x$ , sarı alan $S - S\sin^2 x = S\cos^2 x$ .

$\dfrac{\text{sarı}}{\text{mavi}} = \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x$

Tuzak: oranı $\sin x$ (karesiz) almak ya da sarı bölgeyi $ABC$ üçgeninin tamamı saymak; ikincisi $\cosec^2 x$ seçeneğine götürür.

Cevap: D

2019 AYTSoru 36

Zor

Kenarortay ve eş alanlar

Bir beşgenin iç bölgesinde bir nokta seçiliyor. Bu nokta, beşgenin her kenarının orta noktasına ve köşelerinden birine şekildeki gibi birleştiriliyor. Oluşan altı bölgenin birimkare türünden alanları bölgelerin içine yazılmıştır.

Buna göre, $A - B$ farkı kaçtır?

İpucu

İçteki noktayı beşgenin öbür dört köşesine de birleştirdiğini düşün. Her kenarda, noktadan kenarın ortasına giden parça bir kenarortaydır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. Yardımcı çizim. İçteki nokta $P$ olsun. $P$ 'yi beşgenin beş köşesine birleştirince beşgen, tabanları beşgenin kenarları olan beş üçgene ayrılır. $P$ 'den bir kenarın orta noktasına giden doğru parçası o üçgenin kenarortayıdır ve üçgeni eş alanlı iki parçaya böler (tabanlar eşit, yükseklik ortak).

2. Yarımları adlandır. $B$ üçgeninin bulunduğu kenardan başlayıp $4$ , $8$ , $7$ , $5$ yazılı bölgeler yönünde ilerleyerek kenarlara ait yarım alanlar sırayla $s_1, s_2, s_3, s_4, s_5$ olsun. $P$ zaten sol köşeye birleştirildiği için o köşedeki iki bölge birer yarımdır: $B = s_1$ , $A = s_5$ . Öbür bölgeler komşu iki kenarın birer yarımından oluşur:

$s_1 + s_2 = 4, \quad s_2 + s_3 = 8, \quad s_3 + s_4 = 7, \quad s_4 + s_5 = 5$

3. Farkı kur. Eşitlikleri bir artı bir eksi işaretle topla; aradaki terimler götürür:

$A - B = s_5 - s_1 = (s_4 + s_5) - (s_3 + s_4) + (s_2 + s_3) - (s_1 + s_2) = 5 - 7 + 8 - 4 = 2$

Tuzak: şekil ölçekli değildir; alanları şekilden kestirmeye çalışma.

Cevap: C

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Hipotenüse ait yükseklik

Dik kenarları $9$ birim ve $12$ birim olan bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik kaç birimdir?

Çözüm

Hipotenüs: $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$ birim.

Alanı iki yoldan yaz. Dik kenarlarla: $\dfrac{9 \cdot 12}{2} = 54$ . Hipotenüs ve ona ait $h$ yüksekliğiyle: $\dfrac{15 \cdot h}{2}$ .

$\dfrac{15 \cdot h}{2} = 54 \Rightarrow h = \dfrac{108}{15} = 7{,}2$

Tuzak: $7{,}5$ , hipotenüsün yarısıdır (hipotenüse ait kenarortay); yükseklik değildir.

Cevap: B

Özgün soru2

Kolay

Sinüsle alan

$ABC$ üçgeninde $|AB| = 6$ birim, $|AC| = 4\sqrt{2}$ birim ve $m(\widehat{BAC}) = 135^\circ$ 'dir.

Buna göre $ABC$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Çözüm

Verilen açı, verilen iki kenarın arasındadır; sinüsle alan kuralı uygulanır. $\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 135^\circ) = \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

$A(ABC) = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$

Tuzak: sinüsü yazmayı unutmak $12\sqrt{2}$ , baştaki $\dfrac{1}{2}$ çarpanını unutmak $24$ verir.

Cevap: C

Özgün soru3

Orta

Aynı yükseklikli üçgenlerde alan oranı

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $D$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir ve $|BD| = 2 \cdot |DC|$ 'dir. $E$ noktası $[AD]$ doğru parçasının orta noktasıdır.

$EDC$ üçgeninin alanı $5$ birimkare olduğuna göre $ABC$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

İpucu

Küçükten büyüğe iki adımda çık: önce $C$ köşesinden bakarak $ADC$ üçgenine, sonra $A$ köşesinden bakarak $ABC$ üçgenine.

Çözüm

1. $EDC$ 'den $ADC$ 'ye. $EDC$ ve $AEC$ üçgenlerinin $C$ köşesinden $AD$ doğrusuna inen yüksekliği ortaktır; tabanları $|ED| = |AE|$ eşittir. Alanları da eşittir: $A(ADC) = 5 + 5 = 10$ . (Başka bir deyişle $[CE]$ , $ADC$ üçgeninin kenarortayıdır.)

2. $ADC$ 'den $ABC$ 'ye. $ABD$ ve $ADC$ üçgenlerinin $A$ köşesinden inen yüksekliği ortaktır; alanları tabanlarıyla orantılıdır: $\dfrac{A(ABD)}{A(ADC)} = \dfrac{|BD|}{|DC|} = 2$ , yani $A(ABD) = 20$ .

3. Topla. $A(ABC) = 20 + 10 = 30$ birimkare.

Tuzak: $|BD| = 2|DC|$ bilgisini $A(ABC) = 2 \cdot A(ADC)$ diye okumak ( $20$ ). $[DC]$ , $[BC]$ 'nin yarısı değil üçte biridir.

Cevap: D

Özgün soru4

Orta

Benzerlikte alan

Alanı $72$ cm² olan $ABC$ üçgeni biçimindeki bir kâğıt, $[BC]$ kenarına paralel $DE$ doğrusu boyunca şekildeki gibi katlanıyor. Katlama sonunda $A$ köşesi, $[BC]$ kenarı üzerindeki $A'$ noktasına geliyor.

Buna göre katlanmış kâğıtta tek kat olarak kalan bölgenin alanı kaç santimetrekaredir?

İpucu

Katlama bir yansımadır: $A$ ile $A'$ noktaları $DE$ doğrusuna eşit uzaklıktadır. Buradan $ADE$ üçgeninin yüksekliğinin, büyük üçgenin yüksekliğinin kaçta kaçı olduğunu bul.

Çözüm

1. Katlama çizgisi nerede? $A'$ , $A$ noktasının $DE$ doğrusuna göre yansımasıdır; ikisi de $DE$ 'ye eşit uzaklıktadır. $A'$ noktası $BC$ üzerinde olduğundan $DE$ doğrusu, $A$ 'dan inen yüksekliğin tam ortasından geçer.

2. Benzerlik. $DE \parallel BC$ olduğundan $ADE$ üçgeni $ABC$ üçgenine benzerdir; benzerlik oranı yüksekliklerin oranıdır: $k = \dfrac{1}{2}$ . Alan oranı $k^2 = \dfrac{1}{4}$ :

$A(ADE) = \dfrac{72}{4} = 18$

3. Katlanmış şekil. Kâğıt artık $DBCE$ yamuğunu kaplar: $72 - 18 = 54$ cm². Katlanan parça ( $DA'E$ üçgeni, $18$ cm²) bu yamuğun üstüne biner; orası çift kattır.

4. Tek kat. $54 - 18 = 36$ cm².

Tuzak: benzerlik oranı $\dfrac{1}{2}$ diye $ADE$ üçgeninin alanını $36$ almak; doğru alan $18$ 'dir, $36$ sonucu ise yamuktan çift katlı bölge çıkarılınca bulunur.

Cevap: C

Özgün soru5

Zor

Yükseklikler ve üçgen eşitsizliği

Bir üçgenin iki yüksekliğinin uzunlukları $6$ birim ve $8$ birimdir. Üçüncü yüksekliğin uzunluğu birim türünden bir tam sayıdır.

Buna göre üçüncü yüksekliğin alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

İpucu

Üçgen eşitsizliği yüksekliklere değil kenarlara uygulanır. Kenarları alan ve yükseklik cinsinden yaz: kenar, yükseklikle ters orantılıdır.

Çözüm

1. Kenarlara geç. Üçgenin alanı $A$ , üçüncü yükseklik $h$ olsun. Kenar $\cdot$ yükseklik $= 2A$ olduğundan kenarlar $\dfrac{2A}{6}$ , $\dfrac{2A}{8}$ ve $\dfrac{2A}{h}$ 'dir.

2. Üçgen eşitsizliği. Üçüncü kenar, öbür ikisinin farkından büyük, toplamından küçüktür. $2A$ ile sadeleştir:

$\dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{h} < \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{8} \Rightarrow \dfrac{1}{24} < \dfrac{1}{h} < \dfrac{7}{24}$

3. Ters çevir. Pozitif sayılarda ters çevirince yön değişir: $\dfrac{24}{7} < h < 24$ . $\dfrac{24}{7}$ yaklaşık $3{,}43$ 'tür.

4. Tam sayılar. En küçük değer $4$ , en büyük değer $23$ ; toplam $27$ .

Tuzak: uçları dahil etmek ( $h = 24$ için üçgen yassılaşıp doğru parçasına döner) ya da eşitsizliği doğrudan yüksekliklere uygulayıp $2 < h < 14$ yazmak.

Cevap: D

Özgün soru6

Zor

Benzerlikte alan

Üçgen biçimindeki bir bahçenin bir kenarı yol kıyısındadır ve bu kenara ait yüksekliği $6\sqrt{3}$ metredir. Bahçe, yola paralel iki çitle alanları birbirine eşit üç bölüme ayrılacaktır.

Buna göre iki çit arasındaki uzaklık kaç metredir?

İpucu

Yolun karşısındaki köşeden başlayan iç içe benzer üçgenlere bak: alanları bütünün $\dfrac{1}{3}$ 'ü ve $\dfrac{2}{3}$ 'ü. Alan oranından yükseklik oranına geçerken karekök alınır.

Çözüm

1. Benzer üçgenler. Çitler tabana (yola) paralel olduğundan, karşı köşe ile her çit arasında kalan üçgen bahçenin tamamına benzerdir. Köşeye yakın çitin kestiği üçgenin alanı bütünün $\dfrac{1}{3}$ 'ü, öbür çitin kestiği üçgenin alanı $\dfrac{2}{3}$ 'üdür.

2. Alandan uzunluğa. Alan oranı $k^2$ ise yükseklik oranı $k$ 'dir. Çitlerin köşeye uzaklıkları $h_1$ ve $h_2$ olsun, $H = 6\sqrt{3}$ :

$h_1 = H \cdot \sqrt{\dfrac{1}{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6, \qquad h_2 = H \cdot \sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{2}$

3. Fark. $h_2 - h_1 = 6\sqrt{2} - 6 = 6(\sqrt{2} - 1)$ metre (yaklaşık $2{,}49$ m).

Tuzak: yüksekliği üç eşit parçaya bölmek ( $2\sqrt{3}$ ); o zaman alanlar eşit değil, $1 : 3 : 5$ oranında olur. $6(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ ise ikinci çit ile yol arasındaki uzaklıktır.

Cevap: B