21Konu 21 / 49
Trigonometri

Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

Dik olmayan üçgende kenar ve açı hesabı. Kosinüs teoremini Pisagor'dan, sinüs teoremini sinüslü alan bağıntısından elde ediyor; hangi veriyle hangi teoremin kullanılacağını, geniş açı ve iki çözüm tuzaklarını ve gerçek hayat problemlerini çalışıyoruz.

11. sınıf
AYT sıklığı
60 dk

LevhaSinüs ve Kosinüs TeoremleriSinüs ve Kosinüs Teoremleri

Bir göletin iki yakasındaki $A$ ve $B$ iskeleleri arasına halat çekilecek. Suyun üstünden ölçüm yapılamıyor; kıyıdaki $C$ noktasından $A$ ya $80$ metre, $B$ ye $50$ metre ölçülüyor ve iki yön arasındaki açı $60^\circ$ çıkıyor. Açı $90^\circ$ olsaydı Pisagor yeterdi. Değil; yine de bu üç ölçü $|AB|$ uzunluğunu tek bir değere kilitliyor. O değeri veren araç bu sayfanın ilk konusu: kosinüs teoremi.

Isınma

Başlamadan: Pisagor ve geniş açının sinüsü, kosinüsü

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Dik kenarları

5

12

birim olan dik üçgenin hipotenüsü kaç birimdir?

Açıklama

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ ve $\sqrt{169} = 13$ . Ayrıntısı Dik Üçgen sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\cos 120^\circ

değeri kaçtır?

Açıklama

$\cos(180^\circ - x) = -\cos x$ olduğundan $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}$ . Geniş açının kosinüsü negatiftir. Ayrıntısı Trigonometrik Fonksiyonlar sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\sin 150^\circ

değeri kaçtır?

Açıklama

$\sin(180^\circ - x) = \sin x$ olduğundan $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ . Bütünler iki açının sinüsleri eşittir; bu bilgi sayfanın ikinci yarısında çok işe yarayacak.

Temel

Kosinüs teoremi: Pisagor'un her üçgene uyan hâli

Önce adlandırma

Bu sayfadaki bütün formüller tek bir adlandırmaya dayanır: her kenar, tam karşısında duran köşeyle eşleşir.

Her kenar karşısındaki köşenin küçük harfini alır:

a

kenarı

A

açısının karşısındadır.

Açı açılınca karşı kenar uzar

İki çıtayı bir ucundan menteşeyle birleştir. Çıtaların boyu değişmez; menteşeyi açtıkça serbest uçlar birbirinden uzaklaşır. Demek ki iki kenar sabitken üçüncü kenarı belirleyen tek şey aradaki açıdır.

Sahnede $|AC| = 5$ ve $|AB| = 8$ sabit. Açı sürgüsünü $60^\circ$ , $90^\circ$ ve $120^\circ$ değerlerine getir ve $a^2$ ile $b^2 + c^2$ çubuklarını karşılaştır. Açı $90^\circ$ iken ikisi eşit: bu Pisagor. Dar açıda $a^2$ eksik kalıyor, geniş açıda fazla geliyor.

Kollar

5

8

birim. Aradaki açı

60^\circ

90^\circ

120^\circ

olunca karşı kenar

7

\sqrt{89}

\sqrt{129}

olur.

Aradaki açı	$60^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$
$a^2$	$49$	$89$	$129$
$b^2 + c^2 - a^2$	$40$	$0$	$-40$

Eksik ya da fazla kalan miktar rastgele değil: $40 = 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$ ve $-40 = 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ$ . Pisagor’a eklenen düzeltme terimi $2bc \cos A$ dır. Şimdi bunun nedenini görelim.

Pisagor’dan kosinüs teoremine

$C$ köşesinden $[AB]$ kenarına bir yükseklik indir; ayağına $H$ de. $ACH$ dik üçgeninde hipotenüs $b$ olduğundan $|CH| = b \sin A$ ve $|AH| = b \cos A$ olur. $[AB]$ kenarının geri kalanı $|HB| = c - b \cos A$ dır.

Yükseklik, üçgeni iki dik üçgene böler.

a

kenarı sağdaki dik üçgenin hipotenüsüdür.

$a$ kenarı $CHB$ dik üçgeninin hipotenüsüdür. Pisagor bağıntısını yaz ve $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ özdeşliğini kullan:

\begin{aligned} a^2 &= (b \sin A)^2 + (c - b \cos A)^2 \\ &= b^2 \sin^2 A + c^2 - 2bc \cos A + b^2 \cos^2 A \\ &= b^2 + c^2 - 2bc \cos A \end{aligned}

Sahnede yükseklik çizili; parçaların uzunlukları canlı yazıyor. Açıyı $90^\circ$ nin ötesine geçir: $H$ noktası $A$ nın soluna, üçgenin dışına düşüyor. $\cos A$ negatif olduğu için $c - b \cos A$ ifadesi kendiliğinden $c$ den büyük çıkıyor ve aynı eşitlik geçerli kalıyor.

$A = 90^\circ$ için $\cos A = 0$ olur ve teorem $a^2 = b^2 + c^2$ biçimine, yani Pisagor bağıntısına iner. Pisagor, kosinüs teoreminin özel hâlidir.

Örnek

kolay

Gölet: iki kenar ve aradaki açıdan üçüncü kenar

Kıyıdaki $C$ noktasından $A$ iskelesine $80$ m, $B$ iskelesine $50$ m ölçülüyor. $m(\widehat{ACB}) = 60^\circ$ olduğuna göre iki iskele arasındaki uzaklık kaç metredir?

Bilinenleri adlandır. Aranan $|AB|$ kenarı $C$ köşesinin karşısındadır, yani $c$ dir. Bilinen iki kenar $a = |BC| = 50$ ve $b = |AC| = 80$ ; bilinen açı tam da bu iki kenarın arasında. Bu durum kosinüs teoreminin doğrudan işidir.

Teoremi $C$ açısı için yaz, çünkü aranan kenar onun karşısında:

$c^2 = 50^2 + 80^2 - 2 \cdot 50 \cdot 80 \cdot \cos 60^\circ$

$\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$ yerine koy: $c^2 = 2500 + 6400 - 4000 = 4900$ . Uzunluk pozitif olduğundan $c = 70$ .

Sonuç

İskeleler arasındaki uzaklık $70$ metredir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir

ABC

üçgeninde

b = 3

c = 5

m(\widehat{A}) = 120^\circ

dir.

a

kaç birimdir?

Açıklama

$a^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 34 + 15 = 49$ , buradan $a = 7$ .

Üç kenardan açı

Teoremde dört büyüklük var: üç kenar ve bir açı. Üç kenarı biliyorsan aynı eşitlikten açının kosinüsünü çekersin.

Sahnede $b = 7$ ve $c = 8$ sabit, $a$ kenarı sürgüde. Kenarların üzerine kurulu kareler alanları karşılaştırıyor. $a$ değerini $13$ e getir: $a^2 = 169$ , $b^2 + c^2 = 113$ ; fark negatif ve açı $120^\circ$ . $a$ yı küçülttükçe açının önce dik, sonra dar olduğunu izle.

Örnek

kolay

Üç kenardan en büyük açı

Kenar uzunlukları $7$ , $8$ ve $13$ birim olan üçgenin en büyük açısı kaç derecedir?

En büyük açı en uzun kenarın karşısındadır. O hâlde aranan açı $13$ birimlik kenarın karşısındaki açıdır; ona $A$ diyelim: $a = 13$ , $b = 7$ , $c = 8$ .

Kosinüsünü yaz. Payda karşı kenarın karesi çıkarılır, paydada açının kolları çarpılır:

$\cos A = \dfrac{7^2 + 8^2 - 13^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \dfrac{49 + 64 - 169}{112} = \dfrac{-56}{112} = -\dfrac{1}{2}$

Kosinüs negatif çıktı; açı geniş. $0^\circ$ ile $180^\circ$ arasında kosinüsü $-\dfrac{1}{2}$ olan tek açı $120^\circ$ dir.

Sonuç

En büyük açı $120^\circ$ dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Kenar uzunlukları

5

6

8

birim olan üçgen nasıl bir üçgendir?

Açıklama

Yalnızca en uzun kenara bakmak yeter: $8^2 = 64$ ve $5^2 + 6^2 = 61$ . Fark negatif olduğundan $\cos A = \dfrac{61 - 64}{2 \cdot 5 \cdot 6}$ negatiftir; en büyük açı geniştir.

Orta

Sinüslü alan bağıntısı ve sinüs teoremi

İki kenar ve aradaki açıyla alan

Üçgenin alanı taban çarpı yüksekliğin yarısıdır. Yükseklik verilmemişse onu az önceki dik üçgenden okuruz: $[AB]$ tabanına inen yükseklik $h = b \sin A$ idi. Tabanı $c$ alınca alan $\dfrac{1}{2} \cdot c \cdot b \sin A$ olur.

Sahnede $b = 5$ ve $c = 8$ sabit; açıyı değiştirdikçe yükseklik ve alan canlı hesaplanıyor. Alan $90^\circ$ de en büyük değerine, $20$ birimkareye ulaşıyor. Sonra açıyı $30^\circ$ ve $150^\circ$ yap: iki durumda da alan $10$ birimkare. Bütünler açılar aynı yüksekliği verir.

Aynı

b

c

kenarları, biri

50^\circ

biri

130^\circ

C

C'

tabana aynı uzaklıkta, alanlar eşit.

Geniş açıda yükseklik üçgenin dışına düşer ama uzunluğu yine $b \sin A$ dır, çünkü $\sin(180^\circ - A) = \sin A$ . Formül açının dar ya da geniş olmasına bakmaz.

Örnek

orta

Üçgen çiçeklik

Bir parkın köşesindeki üçgen çiçekliğin iki kenarı $12$ m ve $10$ m, bu kenarlar arasındaki açı $30^\circ$ dir. Metrekareye $8$ lale soğanı dikilecektir. Kaç soğan gerekir?

İki kenar ve aralarındaki açı verilmiş; yükseklik aramaya gerek yok, sinüslü alan bağıntısı doğrudan uygulanır.

$\text{Alan} = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = 60 \cdot \dfrac{1}{2} = 30 \ \text{m}^2$

Metrekareye $8$ soğan düştüğüne göre $30 \cdot 8 = 240$ soğan gerekir. Açı $150^\circ$ olsaydı sonuç değişmezdi, çünkü $\sin 150^\circ$ de $\dfrac{1}{2}$ dir.

Sonuç

$240$ lale soğanı gerekir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

İki kenarı

4

6

birim, bu kenarlar arasındaki açısı

60^\circ

olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Açıklama

$\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ .

Sinüs teoremi

Aynı üçgenin alanı üç ayrı biçimde yazılabiliyor; üçü de aynı sayı. Bu eşitliği kurcalamak yeni bir teorem verir:

$\dfrac{1}{2} \, bc \sin A = \dfrac{1}{2} \, ac \sin B = \dfrac{1}{2} \, ab \sin C$

Her tarafı $\dfrac{1}{2} \, abc$ ile böl. Birinci ifadede $bc$ sadeleşir ve $\dfrac{\sin A}{a}$ kalır; ötekiler de aynı biçimde sadeleşir: $\dfrac{\sin A}{a} = \dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin C}{c}$ . Kesirleri ters çevirince alışılmış yazım çıkar.

Aynı yükseklik iki dik üçgenden okunur:

b \sin A = a \sin B

. İki tarafı

\sin A \cdot \sin B

ile bölünce sinüs teoremi çıkar.

Sahnede $C$ köşesini sürükle ya da açı sürgülerini oynat. Kenarlar ve açılar sürekli değişiyor; ama alttaki üç çubuk, yani $\dfrac{a}{\sin A}$ , $\dfrac{b}{\sin B}$ ve $\dfrac{c}{\sin C}$ oranları her an aynı boyda kalıyor. Büyük açının karşısında büyük kenar durduğunu da izle.

Örnek

orta

Bir kenar ve iki açıdan öteki kenar

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{A}) = 45^\circ$ , $m(\widehat{B}) = 30^\circ$ ve $|BC| = 6\sqrt{2}$ birimdir. $|AC|$ kaç birimdir?

Neden sinüs teoremi? Verilenler bir kenar ile onun karşısındaki açı ( $a = |BC|$ ve $A$ ) ve ikinci bir açıdır. Bir kenar–karşı açı çifti tam olarak biliniyorsa oran bellidir.

Aranan $|AC|$ kenarı $B$ köşesinin karşısındadır, yani $b$ dir. Eşleşmeyi doğru kur:

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} \quad \Longrightarrow \quad \dfrac{6\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \dfrac{b}{\sin 30^\circ}$

$\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ olduğundan sol taraf $6\sqrt{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{2}} = 12$ dir. O hâlde $b = 12 \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \dfrac{1}{2} = 6$ .

Sonuç

$|AC| = 6$ birimdir. Küçük açının ( $30^\circ$ ) karşısındaki kenar daha kısa çıktı; beklendiği gibi.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir

ABC

üçgeninde

m(\widehat{A}) = 30^\circ

m(\widehat{B}) = 45^\circ

a = 10

birimdir.

b

kaç birimdir?

Açıklama

$\dfrac{10}{\sin 30^\circ} = \dfrac{b}{\sin 45^\circ}$ . Sol taraf $20$ olduğundan $b = 20 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ .

Sinüs teoremi bir orantı olduğu için şöyle de okunur: $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$ . Sinüslerin oranı verilmişse kenarların oranı da verilmiş demektir.

Örnek

orta

Sinüslerin oranından açıya: iki teorem art arda

Bir $ABC$ üçgeninde $\sin A : \sin B : \sin C = 4 : 5 : 6$ dır. Bu üçgenin en büyük açısının kosinüsü kaçtır?

Sinüs teoremine göre kenarlar sinüslerle orantılıdır. Bu yüzden bir $k$ pozitif sayısı için $a = 4k$ , $b = 5k$ , $c = 6k$ yazabiliriz.

En büyük açı en uzun kenarın karşısındadır: $C$ . Üç kenar belli olduğuna göre açıyı kosinüs teoremi verir:

$\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \dfrac{16k^2 + 25k^2 - 36k^2}{2 \cdot 4k \cdot 5k}$

Pay $5k^2$ , payda $40k^2$ ; $k^2$ sadeleşir. Oran bilgisi yeterlidir, kenarların gerçek uzunluklarına gerek kalmaz.

Sonuç

$\cos C = \dfrac{1}{8}$ . Pozitif olduğundan en büyük açı bile dardır; üçgen dar açılıdır.

Hangi veriyle hangi teorem?

Soruyu okuyunca önce elindekileri say. Karar çoğu zaman tek bir soruya bağlıdır: elimde bir kenarla karşısındaki açı çift olarak var mı?

İki kenar ve aralarındaki açı: üçüncü kenar için kosinüs teoremi, alan için sinüslü alan bağıntısı.
Üç kenar: açı için kosinüs teoremi.
Bir kenar ve iki açı: üçüncü açıyı $180^\circ$ den bul, sonra sinüs teoremi.
İki kenar ve bunlardan birinin karşısındaki açı: sinüs teoremi ya da bilinmeyen kenar için kosinüs teoremi. Bu durumda iki farklı üçgen çıkabilir; ileri bölümde ele alacağız.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir üçgende

b

c

kenarları ve

A

açısı biliniyor.

a

kenarını tek adımda hangi bağıntı verir?

Açıklama

Bilinen açı, bilinen iki kenarın arasında. $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ eşitliğinde tek bilinmeyen $a$ dır.

Ulaşılamayan uzaklığı ölçmek

Haritacılar bir noktaya gitmeden uzaklığını bulmak için iki ayrı yerden o noktaya bakar ve yalnızca açıları ölçer. Bilinen tek uzunluk, iki gözlem noktası arasındaki tabandır. Bu yönteme nirengi denir ve arkasındaki hesap sinüs teoremidir.

Sahnede kıyıdaki $A$ ve $B$ gözlemcileri arasında $600$ m var; tekne $T$ açıkta. $A$ ve $B$ deki açıları sürgülerle değiştir ya da tekneyi sürükle. Üçüncü açı $180^\circ$ den tamamlanıyor, uzaklıklar sinüs teoremiyle canlı hesaplanıyor.

Örnek

orta

Kıyıdan tekneye uzaklık

Düz bir kıyıda aralarında $600$ m bulunan $A$ ve $B$ gözlemcileri açıktaki bir tekneye bakıyor. $A$ gözlemcisi tekneyi kıyı çizgisiyle $60^\circ$ , $B$ gözlemcisi $75^\circ$ açı yapan doğrultuda görüyor. Teknenin $B$ gözlemcisine uzaklığı kaç metredir?

Tekneye $T$ de. $ABT$ üçgeninde iki açı biliniyor; üçüncüsü $m(\widehat{T}) = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ$ . Bilinen kenar $|AB| = 600$ ve karşısındaki açı $T$ : oran belli oldu.

Aranan $|BT|$ kenarının karşısında $A$ köşesi vardır. Sinüs teoremi:

$\dfrac{|BT|}{\sin 60^\circ} = \dfrac{600}{\sin 45^\circ}$

$|BT| = 600 \cdot \dfrac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = 600 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{2}} = 600 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 300\sqrt{6}$

Sonuç

$|BT| = 300\sqrt{6}$ m; yaklaşık $735$ metre. $\sin 75^\circ$ değerine hiç gerek kalmadı, çünkü sorulan kenar $60^\circ$ nin karşısındaydı.

İleri

Sınav düzeyi: birleşik sorular ve tuzaklar

Kenar bağıntısından açıya

Soruda kenarlar arasında $a^2$ , $b^2$ , $c^2$ ve $bc$ içeren bir eşitlik görürsen onu kosinüs teoreminin kalıbına sok. Katsayıları karşılaştırmak açının kosinüsünü verir; kenarların tek tek kaç olduğunu bilmen gerekmez.

Örnek

zor

Çarpım biçiminde verilen bağıntı ve alan

Bir $ABC$ üçgeninde $(a + b + c)(b + c - a) = 3bc$ ve $b \cdot c = 20$ dir. Bu üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Sol taraf iki kare farkıdır: $(b + c) + a$ ile $(b + c) - a$ çarpılıyor. Açınca $(b + c)^2 - a^2 = b^2 + 2bc + c^2 - a^2$ elde edilir.

Eşitliği düzenle: $b^2 + 2bc + c^2 - a^2 = 3bc$ , yani $b^2 + c^2 - a^2 = bc$ . Sol taraf kosinüs teoreminde $2bc \cos A$ ya eşittir.

$2bc \cos A = bc$ ve $bc \neq 0$ olduğundan $\cos A = \dfrac{1}{2}$ , yani $A = 60^\circ$ . Açı bulundu; $b$ ile $c$ de tam bu açının kolları.

Sinüslü alan bağıntısı: $\dfrac{1}{2} \, bc \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Sonuç

Alan $5\sqrt{3}$ birimkaredir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir

ABC

üçgeninde

a^2 = b^2 + c^2 + bc

dir.

m(\widehat{A})

kaç derecedir?

Açıklama

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ ile karşılaştır: $-2 \cos A = 1$ , $\cos A = -\dfrac{1}{2}$ , $A = 120^\circ$ .

İki kenar ve karşı açı: iki üçgen çıkabilir

İki kenar ve bunlardan birinin karşısındaki açı verildiğinde üçgen her zaman tek değildir. $A$ açısı ve $|AC|$ belli olsun. $[BC]$ kenarını $C$ ye iğnelenmiş bir çubuk gibi düşün: çubuk sallanırken $A$ dan çıkan ışına iki ayrı noktada değebilir.

Sahnede $A = 30^\circ$ ve $|AC| = 8$ sabit; $|BC|$ sürgüde. $C$ nin ışına uzaklığı $8 \cdot \sin 30^\circ = 4$ . Çubuk $4$ ten kısaysa ışına yetişmiyor: üçgen yok. Tam $4$ iken tek bir dik üçgen var. $4$ ile $8$ arasında iki üçgen, $8$ ve üstünde yine tek üçgen oluşuyor.

A = 30^\circ

|AC| = 8

|BC| = 5

: yay ışını iki noktada keser, veriler iki farklı üçgene uyar.

Örnek

zor

Aynı verilere uyan iki üçgen

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{A}) = 30^\circ$ , $|AC| = 8$ birim ve $|BC| = 5$ birimdir. $|AB|$ uzunluğunun alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Bilinen açı, bilinen iki kenarın arasında değil; $|BC|$ nin karşısında. Bu, iki üçgen çıkabilecek durumdur. Hiçbir çözümü kaçırmamanın güvenli yolu, bilinmeyen kenarı $c = |AB|$ alıp kosinüs teoremini $A$ açısı için yazmaktır.

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ eşitliğinde $a = 5$ , $b = 8$ , $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ :

$25 = 64 + c^2 - 2 \cdot 8 \cdot c \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \Longrightarrow \quad c^2 - 8\sqrt{3} \, c + 39 = 0$

İkinci dereceden denklemi çöz. Diskriminant $(8\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 39 = 192 - 156 = 36$ pozitiftir:

$c = \dfrac{8\sqrt{3} \pm 6}{2} = 4\sqrt{3} \pm 3$

İki kök de pozitif mi diye bak, çünkü uzunluk negatif olamaz. $4\sqrt{3}$ yaklaşık $6{,}93$ olduğundan kökler yaklaşık $9{,}93$ ve $3{,}93$ ; ikisi de geçerli. Şekildeki $B_1$ ve $B_2$ bunlardır.

Sonuç

$|AB|$ ya $4\sqrt{3} + 3$ ya da $4\sqrt{3} - 3$ olabilir; toplamları $8\sqrt{3}$ tür.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

m(\widehat{A}) = 30^\circ

|AC| = 8

birim olan

ABC

üçgeninde

|BC| = 10

birim ise bu verilere uyan kaç farklı üçgen vardır?

Açıklama

$|BC|$ kenarı $|AC|$ den uzun olduğundan $B$ açısı $A$ dan küçüktür, yani dar olmak zorundadır; geniş aday elenir. Denklemle de görülür: $c^2 - 8\sqrt{3} \, c - 36 = 0$ denkleminin kökler çarpımı negatiftir, köklerden yalnızca biri pozitiftir.

Aynı açı, iki üçgen

Şeklin içinde bir doğru parçası üçgeni ikiye bölüyorsa, bir açı çoğu zaman iki üçgenin birden açısıdır. O açının kosinüsünü bilgisi tam olan üçgende bul, ötekinde kullan.

Örnek

zor

Ortak açıyı taşımak

$ABC$ üçgeninde $|AB| = 5$ , $|AC| = 7$ ve $|BC| = 8$ birimdir. $[BC]$ üzerindeki $D$ noktası için $|BD| = 3$ birim olduğuna göre $|AD| = x$ kaç birimdir?

$ABD$ üçgeninde iki kenar biliniyor ( $5$ ve $3$ ), aralarındaki açı $B$ bilinmiyor. Ama $B$ aynı zamanda üç kenarı bilinen $ABC$ üçgeninin açısıdır. Önce büyük üçgende $\cos B$ yi bul.

$B$ açısının kolları $5$ ve $8$ , karşısındaki kenar $7$ :

$\cos B = \dfrac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}$

Şimdi $ABD$ üçgeninde kosinüs teoremi. $x$ kenarı $B$ açısının karşısında, kollar $5$ ve $3$ :

$x^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \dfrac{1}{2} = 25 + 9 - 15 = 19$

Sonuç

$|AD| = \sqrt{19}$ birimdir.

Bağlam içinde: pergel

Pergelin iki kolu ile uçları arasındaki açıklık bir üçgen oluşturur. Açıklık, çizilen çemberin yarıçapıdır; kollar sabit, menteşe açısı değişkendir. Bu, sayfanın başındaki menteşe düzeneğinin ta kendisi.

Sahnede kolları $13$ cm ve $15$ cm olan bir pergel yandan görünüyor. Açıklık sürgüsünü değiştir: kollar arasındaki açı kosinüs teoremiyle, tepe noktasının kâğıda yüksekliği ise $13 \cdot \sin \theta$ ile canlı hesaplanıyor. Açıklık $14$ cm iken yüksekliği oku, sonra aşağıdaki örnekle karşılaştır.

Örnek

zor

Pergelin tepe noktası kâğıttan ne kadar yüksekte?

Kollarının uzunlukları $13$ cm ve $15$ cm olan bir pergelle yarıçapı $14$ cm olan bir çember çiziliyor. Çizim sırasında pergelin tepe noktası kâğıttan kaç cm yüksektedir? (Sivri uç $13$ cm lik koldadır; iki uç da kâğıda değmektedir.)

Modeli kur. Sivri uç $S$ , kalem ucu $K$ , tepe noktası $T$ olsun. Uçlar arasındaki uzaklık yarıçaptır: $|SK| = 14$ . $STK$ üçgeninin üç kenarı belli: $13$ , $14$ , $15$ .

Yükseklik, $T$ den $[SK]$ ye inen dikmedir. Onu $STH$ dik üçgeninden $|TH| = 13 \cdot \sin \theta$ olarak okuruz; burada $\theta$ , $S$ köşesindeki açıdır. Önce $\cos \theta$ yı kosinüs teoremiyle bul; kollar $13$ ve $14$ , karşı kenar $15$ :

$\cos \theta = \dfrac{13^2 + 14^2 - 15^2}{2 \cdot 13 \cdot 14} = \dfrac{169 + 196 - 225}{364} = \dfrac{140}{364} = \dfrac{5}{13}$

$\theta$ bir üçgenin açısı olduğundan sinüsü pozitiftir: $\sin \theta = \sqrt{1 - \dfrac{25}{169}} = \dfrac{12}{13}$ .

$|TH| = 13 \cdot \dfrac{12}{13} = 12$ . Sağlama: $H$ noktası $S$ den $13 \cdot \dfrac{5}{13} = 5$ cm ötededir; $|HK| = 9$ ve $9^2 + 12^2 = 15^2$ tutuyor.

Sonuç

Tepe noktası kâğıttan $12$ cm yüksektedir.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Adlandırma: $a$ kenarı $A$ açısının karşısındadır. Bütün formüller kenar–karşı açı eşleşmesiyle kurulur.
Kosinüs teoremi: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ . Açı, kullanılan iki kenarın arasındaki açıdır; $A = 90^\circ$ için Pisagor’a iner.
Üç kenardan açı: $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ . Pay negatifse açı geniştir.
Geniş açı: kosinüs negatif olduğundan $-2bc \cos A$ terimi toplanır; sinüs ise pozitif kalır.
Sinüslü alan: $\text{Alan} = \dfrac{1}{2} \, bc \sin A$ . Bütünler açılar aynı alanı verir.
Sinüs teoremi: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$ , yani $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$ .
Seçim: iki kenar ve aradaki açı ya da üç kenar varsa kosinüs; bir kenar–karşı açı çifti varsa sinüs teoremi.
İki kenar ve karşı açı: iki üçgen çıkabilir. Bilinmeyen kenar için kosinüs teoremini ikinci dereceden denklem olarak çöz ve pozitif kökleri al.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

3 çıkmış soru8 özgün soru

2026 AYTSoru 29

Orta

Özel üçgen koşulları ve kosinüs teoremi

Kenarları $a$ , $b$ ve $c$ ile adlandırılan bir üçgende $c$ kenarının karşısındaki açının ölçüsü $60^\circ$ dir. Bu açı değiştirilmeden, $c$ kenarının uzunluğunun değişmesine izin verilerek;

$a$ kenarı aynı bırakılıp $b$ kenarı $3$ birim uzatılırsa bir eşkenar üçgen,
$b$ kenarı aynı bırakılıp $a$ kenarı $2$ birim uzatılırsa bir dik üçgen

elde ediliyor.

Buna göre, başlangıçtaki üçgende $c$ kenarının uzunluğu kaç birimdir?

İpucu

$60^\circ$ lik açı $a$ ile $b$ kenarlarının arasındadır ve iki durumda da yerinde kalır. Her durum, $a$ ile $b$ arasında bir denklem verir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. Açının yeri. $c$ nin karşısındaki açı, $a$ ve $b$ kenarlarının arasındaki açıdır. İki değişiklikte de bu açı $60^\circ$ kalır; değişen, kollarının uzunluğudur.

2. Eşkenar üçgen koşulu. Kollar $a$ ve $b + 3$ olur. Eşkenar üçgende bütün kenarlar eşittir:

$a = b + 3$

3. Dik üçgen koşulu. Kollar $a + 2$ ve $b$ olur; aralarındaki açı $60^\circ$ ve üçgen dik. Dik açı $60^\circ$ lik köşede olamaz; o hâlde üçgen $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ üçgenidir ve $60^\circ$ lik açının kollarından biri hipotenüs, öteki onun yarısıdır (kısa dik kenar). $a + 2 = b + 5$ olduğundan uzun olan $a + 2$ dir; hipotenüs odur:

$a + 2 = 2b$

(Tersi, yani $b = 2(a + 2) = 2b + 10$ , negatif uzunluk verir.)

4. Kenarlar. $b + 5 = 2b$ eşitliğinden $b = 5$ ve $a = 8$ .

5. Kosinüs teoremi. Başlangıçtaki üçgende $8$ ve $5$ birimlik kenarların arasındaki açı $60^\circ$ :

$c^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 25 - 40 = 49, \qquad c = 7$

Tuzak: dik üçgende hangi kenarın hipotenüs olduğunu sınamadan $b = 2(a + 2)$ yazmak.

Cevap: D

2025 AYTSoru 29

Orta

Kenar bağıntısından açı

$ABC$ üçgeninde kenar uzunlukları $|BC| = a$ birim, $|AC| = b$ birim, $|AB| = c$ birimdir ve bu uzunluklar arasında

$2a^2 = 2b^2 + 2c^2 + 3bc$

bağıntısı vardır.

$m(\widehat{BAC}) = x$ olduğuna göre $\tan x$ kaçtır?

İpucu

Eşitliği $a^2 = \dots$ biçimine getir ve $A$ açısı için yazılmış kosinüs teoremiyle yan yana koy. $bc$ teriminin katsayısı sana $\cos x$ değerini söyler.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

1. Kalıba sok. Eşitliğin iki tarafını $2$ ye böl:

$a^2 = b^2 + c^2 + \dfrac{3}{2} \, bc$

2. Kosinüs teoremiyle karşılaştır. $a$ kenarı $A$ köşesinin karşısındadır; $m(\widehat{BAC}) = x$ için teorem $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos x$ der. İki eşitlikte $bc$ nin katsayıları aynı olmalıdır:

$-2 \cos x = \dfrac{3}{2} \quad \Longrightarrow \quad \cos x = -\dfrac{3}{4}$

Kosinüs negatif; $x$ geniş açıdır.

3. Sinüsü bul. $x$ bir üçgenin iç açısıdır, $0^\circ$ ile $180^\circ$ arasındadır; sinüsü pozitiftir:

$\sin x = \sqrt{1 - \dfrac{9}{16}} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$

4. Tanjant.

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{\sqrt{7}}{4} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{7}}{3}$

Tuzak: karşılaştırmada eksi işaretini kaçırıp $\cos x = \dfrac{3}{4}$ almak. O zaman $\tan x$ pozitif çıkar ve seçeneklerde yoktur. Kural olarak aklında tut: $bc$ teriminin katsayısı pozitifse açı geniştir.

Cevap: E

2021 AYTSoru 28

Kolay

Üç kenardan açı (kosinüs teoremi)

Ali, pergelinin sivri ucunu kâğıt üzerinde bir noktaya yerleştiriyor ve açıklığını hiç değiştirmeden çapı $21$ cm olan bir çember çiziyor.

Pergelin kollarının uzunlukları $7{,}5$ cm ve $12$ cm olduğuna göre, kollar arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

1. Üçgeni gör. Sivri uç çemberin merkezinde, kalem ucu çemberin üzerindedir. İki uç arasındaki uzaklık yarıçaptır: $\dfrac{21}{2} = 10{,}5$ cm. Pergelin kolları ve bu açıklık, kenarları $7{,}5$ ; $12$ ve $10{,}5$ cm olan bir üçgen oluşturur.

2. Sayıları sadeleştir. Üç uzunluk da $1{,}5$ in katıdır: $7{,}5 = 5 \cdot 1{,}5$ , $12 = 8 \cdot 1{,}5$ , $10{,}5 = 7 \cdot 1{,}5$ . Açılar benzer üçgende değişmediğinden kenarları $5$ , $8$ , $7$ olan üçgenle çalışabiliriz.

3. Kosinüs teoremi. Kollar arasındaki açıya $\alpha$ diyelim. Bu açının kolları $5$ ve $8$ , karşısındaki kenar $7$ dir:

$\cos\alpha = \dfrac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \dfrac{25 + 64 - 49}{80} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}$

Buradan $\alpha = 60^\circ$ .

Tuzak: verilen $21$ cm çaptır; üçgenin kenarı yarıçaptır. Çapı kenar alırsan $7{,}5 + 12 = 19{,}5$ , $21$ den küçük olduğu için üçgen bile oluşmaz.

Cevap: C

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Sinüs teoremi

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{A}) = 45^\circ$ , $m(\widehat{C}) = 60^\circ$ ve $|BC| = 4\sqrt{2}$ birimdir.

Buna göre $|AB|$ kaç birimdir?

Çözüm

1. Eşleştir. $[BC]$ kenarının karşısında $A$ köşesi, $[AB]$ kenarının karşısında $C$ köşesi vardır. Bir kenar–karşı açı çifti ( $|BC|$ ile $A$ ) tam olarak bilindiğinden sinüs teoremi kullanılır.

2. Oranı kur.

$\dfrac{|AB|}{\sin 60^\circ} = \dfrac{|BC|}{\sin 45^\circ} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = 8$

3. Hesapla. $|AB| = 8 \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ .

Denetim: $60^\circ$ , $45^\circ$ den büyük; karşısındaki kenar da daha uzun olmalı. $4\sqrt{3}$ yaklaşık $6{,}93$ , $4\sqrt{2}$ yaklaşık $5{,}66$ ; tutarlı. Oranı ters kurarsan $\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$ , sinüs yerine kosinüs kullanırsan $4$ çıkar.

Cevap: D

Özgün soru2

Kolay

Sinüslü alan bağıntısı

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 8$ birim, $|AC| = 5\sqrt{3}$ birim ve $m(\widehat{BAC}) = 120^\circ$ dir.

Bu üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Çözüm

İki kenar ve aralarındaki açı verilmiş; sinüslü alan bağıntısı doğrudan uygulanır:

$\text{Alan} = \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin 120^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ dir (geniş açının sinüsü pozitiftir). $\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$ ve $20\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{20 \cdot 3}{2} = 30$ .

Tuzak: $\sin 120^\circ$ yerine $\dfrac{1}{2}$ yazmak ( $10\sqrt{3}$ çıkar) ya da sinüsle çarpmayı unutmak ( $20\sqrt{3}$ çıkar).

Cevap: B

Özgün soru3

Orta

Kosinüs teoremi, gerçek hayat problemi

Bir limandan aynı anda iki tekne hareket ediyor. Teknelerden biri saatte $7$ km, öteki saatte $15$ km sabit hızla, aralarında $60^\circ$ lik açı bulunan iki doğrusal rota boyunca ilerliyor.

Hareketten $2$ saat sonra iki tekne arasındaki uzaklık kaç km olur?

İpucu

Liman ve iki teknenin $2$ saat sonraki konumları bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin hangi kenarlarını ve hangi açısını biliyorsun?

Çözüm

1. Üçgeni kur. $2$ saatte tekneler limandan $2 \cdot 7 = 14$ km ve $2 \cdot 15 = 30$ km uzaklaşır. Liman $L$ , tekneler $P$ ve $R$ olsun: $|LP| = 14$ , $|LR| = 30$ , $m(\widehat{PLR}) = 60^\circ$ .

2. Kosinüs teoremi. İki kenar ve aralarındaki açı biliniyor; aranan, açının karşısındaki kenar:

$|PR|^2 = 14^2 + 30^2 - 2 \cdot 14 \cdot 30 \cdot \cos 60^\circ = 196 + 900 - 420 = 676$

$|PR| = \sqrt{676} = 26$ km.

Kısa yol: uzaklıklar hızlarla orantılıdır. Kenarları $7$ ve $15$ , aradaki açısı $60^\circ$ olan üçgende üçüncü kenar $\sqrt{49 + 225 - 105} = 13$ tür; $2$ saat sonunda her şey $2$ katına çıkar: $26$ .

Tuzak: süreyi unutmak ( $13$ ), Pisagor uygulamak ( $2\sqrt{274}$ ) ya da düzeltme terimini toplamak ( $2\sqrt{379}$ ).

Cevap: C

Özgün soru4

Orta

Üç kenardan açı ve alan

Kenar uzunlukları $5$ , $7$ ve $8$ birim olan bir üçgen veriliyor.

Bu üçgenin alanı kaç birimkaredir?

İpucu

Alan için iki kenar ve aralarındaki açının sinüsü gerekir. Önce üç kenardan bir açının kosinüsünü bul; hangi açıyı seçersen sayılar güzel çıkar, dene.

Çözüm

1. Bir açı bul. $7$ birimlik kenarın karşısındaki açıya $\alpha$ diyelim; kolları $5$ ve $8$ dir. Kosinüs teoremi:

$\cos\alpha = \dfrac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \dfrac{25 + 64 - 49}{80} = \dfrac{1}{2}$

Buradan $\alpha = 60^\circ$ .

2. Alan. $\alpha$ açısı $5$ ve $8$ birimlik kenarların arasındadır:

$\text{Alan} = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

Neden bu açı? Ortanca kenarın karşısındaki açıyı seçmek zorunlu değildir; hangi açıyı seçersen seç aynı alan çıkar, ama öteki açıların kosinüsleri ( $\dfrac{11}{14}$ ve $\dfrac{1}{7}$ ) sinüse geçerken daha çok işlem ister.

Tuzak: sinüs yerine bulduğun kosinüsü kullanmak ( $10$ ) ya da sinüsle çarpmayı unutmak ( $20$ ).

Cevap: B

Özgün soru5

Zor

Sinüs ve kosinüs teoremi birlikte

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{A}) = 2 \cdot m(\widehat{B})$ , $|BC| = 6$ birim ve $|AC| = 4$ birimdir.

Buna göre $|AB|$ kaç birimdir?

İpucu

Verilen iki kenarın karşılarındaki açılar $2B$ ve $B$ dir. Sinüs teoremini bu çift için yaz; iki kat açı formülü $\cos B$ yi verir.

Çözüm

1. Sinüs teoremi. $|BC| = a = 6$ kenarı $A$ nın, $|AC| = b = 4$ kenarı $B$ nin karşısındadır ve $A = 2B$ :

$\dfrac{6}{\sin 2B} = \dfrac{4}{\sin B}$

2. İki kat açı. $\sin 2B = 2 \sin B \cos B$ yaz (bkz. Toplam, Fark ve İki Kat Açı Formülleri). İçler dışlar çarpımı: $6 \sin B = 8 \sin B \cos B$ . $\sin B \neq 0$ olduğundan

$\cos B = \dfrac{3}{4}$

3. Kosinüs teoremi. $c = |AB|$ olsun. $B$ açısının kolları $a = 6$ ve $c$ , karşısındaki kenar $b = 4$ :

$4^2 = 6^2 + c^2 - 2 \cdot 6 \cdot c \cdot \dfrac{3}{4} \quad \Longrightarrow \quad c^2 - 9c + 20 = 0$

$(c - 4)(c - 5) = 0$ ; adaylar $c = 4$ ve $c = 5$ .

4. Adayları sına. $c = 4$ olsaydı $b = c$ olur, üçgen ikizkenar çıkar ve $B = C$ olurdu. $A = 2B$ ile birlikte $4B = 180^\circ$ , $B = 45^\circ$ ve $\cos B = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ gerekir; bu, $\cos B = \dfrac{3}{4}$ ile çelişir. Geriye $c = 5$ kalır.

Sağlama: $c = 5$ için $\cos A = \dfrac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \dfrac{1}{8}$ ve $\cos 2B = 2\cos^2 B - 1 = 2 \cdot \dfrac{9}{16} - 1 = \dfrac{1}{8}$ ; gerçekten $A = 2B$ .

Tuzak: ikinci dereceden denklemin iki pozitif kökünden ilkini sınamadan işaretlemek. Kosinüs teoremi yalnızca $\cos B$ bilgisini kullandı; $A = 2B$ koşulunu sağlayan kök ayrıca seçilmelidir.

Cevap: B

Özgün soru6

Zor

İki kenar ve karşı açı (iki üçgen)

$m(\widehat{A}) = 45^\circ$ , $|AC| = 4\sqrt{2}$ birim ve $|BC| = 5$ birim olacak biçimde birbirine eş olmayan iki farklı $ABC$ üçgeni çizilebiliyor.

Bu iki üçgenin alanları toplamı kaç birimkaredir?

İpucu

Bilinmeyen kenar $|AB| = c$ olsun ve kosinüs teoremini $A$ açısı için yaz. $c$ için ikinci dereceden bir denklem çıkar; iki kökü iki üçgene karşılık gelir.

Çözüm

1. Denklemi kur. $a = |BC| = 5$ , $b = |AC| = 4\sqrt{2}$ , $c = |AB|$ . Kosinüs teoremi $A$ için:

$5^2 = (4\sqrt{2})^2 + c^2 - 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot c \cdot \cos 45^\circ$

$(4\sqrt{2})^2 = 32$ ve $2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 8$ olduğundan $25 = 32 + c^2 - 8c$ , yani

$c^2 - 8c + 7 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (c - 1)(c - 7) = 0$

2. İki üçgen. $c = 1$ ve $c = 7$ ; ikisi de pozitif olduğundan iki üçgen de vardır.

3. Alanlar. $A$ açısı $b$ ve $c$ kenarlarının arasındadır:

$\text{Alan} = \dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot c \cdot \sin 45^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot c = 2c$

$c = 1$ için alan $2$ , $c = 7$ için alan $14$ birimkaredir. Toplam $2 + 14 = 16$ .

Kısa yol: alan $2c$ olduğuna göre toplam $2(c_1 + c_2)$ dir; kökler toplamı $8$ olduğundan sonuç $16$ .

Tuzak: sinüs teoremiyle $\sin B = \dfrac{4}{5}$ bulup yalnızca dar açıyı almak. O zaman tek üçgen ( $14$ ) bulunur.

Cevap: D

Özgün soru7

Zor

Kosinüs teoremini iki üçgende kullanma

$ABC$ üçgeninde $|AB| = 7$ birim, $|AC| = 9$ birim ve $|BC| = 8$ birimdir. $D$ noktası $[BC]$ kenarının orta noktasıdır.

Buna göre $|AD| = x$ kaç birimdir?

İpucu

$D$ köşesindeki $\widehat{ADB}$ ve $\widehat{ADC}$ açıları bütünlerdir; kosinüsleri ters işaretlidir. Kosinüs teoremini iki küçük üçgende yazıp taraf tarafa topla.

Çözüm

1. Bütünler açılar. $m(\widehat{ADB}) = \theta$ olsun. $B$ , $D$ , $C$ doğrusal olduğundan $m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - \theta$ ve $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$ .

2. İki kosinüs teoremi. $|BD| = |DC| = 4$ .

$ABD$ üçgeninde ( $\theta$ nın karşısında $7$ ): $\;49 = x^2 + 16 - 8x \cos\theta$

$ADC$ üçgeninde ( $180^\circ - \theta$ nın karşısında $9$ ): $\;81 = x^2 + 16 + 8x \cos\theta$

3. Topla. Kosinüslü terimler birbirini götürür:

$130 = 2x^2 + 32 \quad \Longrightarrow \quad x^2 = 49, \qquad x = 7$

Sağlama: $x = 7$ ise $ABD$ üçgeni ikizkenardır ( $7$ , $7$ , $4$ ) ve $\cos\theta = \dfrac{2}{7}$ olur; ikinci eşitlik $49 + 16 + 8 \cdot 7 \cdot \dfrac{2}{7} = 81$ verir, tutuyor.

Tuzak: iki küçük üçgende aynı açıyı kullandığını sanıp ikinci eşitlikte işareti değiştirmemek.

Cevap: B

Özgün soru8

Orta

Sinüs teoremi, gerçek hayat problemi

Bir ormanda aralarında $12$ km bulunan $A$ ve $B$ yangın gözetleme kulelerinden aynı anda bir duman görülüyor. Dumanın bulunduğu $Y$ noktası için $m(\widehat{YAB}) = 45^\circ$ ve $m(\widehat{YBA}) = 105^\circ$ ölçülüyor.

Buna göre duman $B$ kulesine kaç km uzaklıktadır?

İpucu

Bilinen $12$ km lik kenarın karşısındaki açı hangisi? Onu bulunca bir kenar–karşı açı çiftin olur.

Çözüm

1. Üçüncü açı. $m(\widehat{AYB}) = 180^\circ - 45^\circ - 105^\circ = 30^\circ$ . Bilinen $|AB| = 12$ kenarı bu açının karşısındadır.

2. Sinüs teoremi. Aranan $|BY|$ kenarının karşısında $A$ köşesi ( $45^\circ$ ) vardır:

$\dfrac{|BY|}{\sin 45^\circ} = \dfrac{12}{\sin 30^\circ} = 24$

3. Hesapla. $|BY| = 24 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$ km (yaklaşık $17$ km).

Tuzak: $|BY|$ kenarını komşusu olan $105^\circ$ lik açıyla eşleştirmek. $\sin 105^\circ$ gerekmez; sorulan kenar $45^\circ$ nin karşısındadır. Oranı ters kurarsan $6\sqrt{2}$ çıkar.

Cevap: C