13Konu 13 / 49
Fonksiyonlar ve Cebir

İkinci Dereceden Denklemler ve Karmaşık Sayılar

İkinci dereceden denklemi çarpanlara ayırarak, tam kareye tamamlayarak, değişken değiştirerek ve diskriminantla çözüyoruz; diskriminant negatifken ortaya çıkan karmaşık kökleri, kökler toplamı ile çarpımını ve kökleri verilen denklemi yazmayı öğreniyoruz.

10. sınıf
AYT sıklığı
60 dk

Levhaİkinci Dereceden Denklemler ve Karmaşık Sayılarİkinci Dereceden Denklemler ve Karmaşık Sayılar

Elinde $20$ metre çit var ve bununla dikdörtgen bir bahçe çevireceksin. Bir kenar $x$ metre ise öbür kenar $10 - x$ metredir; alan $x \cdot (10 - x)$ olur. Alanın $21$ metrekare olması için $x$ kaç olmalı? Sahnede $x$ sürgüsünü oynat: $21$ metrekareye iki ayrı yerde, $25$ metrekareye tek bir yerde ulaşıyorsun, $30$ metrekareye ise hiç ulaşamıyorsun. Bu sayfa o üç durumun nedenini açıklıyor.

Isınma

Başlamadan: çarpanlar ve tam kare

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x^2 + 5x + 6

ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Çarpımı $6$ , toplamı $5$ olan iki sayı $2$ ve $3$ ‘tür: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$ . Ayrıntısı Çarpanlara Ayırma sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(x - 4)^2

ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ özdeşliğinde $a = x$ , $b = 4$ : $x^2 - 8x + 16$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

a

b

gerçek sayıları için

a \cdot b = 0

ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Açıklama

Bir çarpım ancak çarpanlardan en az biri sıfırsa sıfır olur. Bu sayfadaki ilk çözüm yöntemi bu özelliğe dayanıyor.

Temel

Denklem, kök ve çarpanlara ayırarak çözüm

İkinci dereceden denklem nedir?

Çit sorusunda aradığımız $x$ için $x \cdot (10 - x) = 21$ olmalı. Parantezi açıp her şeyi bir yana toplarsak $x^2 - 10x + 21 = 0$ elde ederiz. Bilinmeyenin en büyük kuvveti $2$ olduğu için buna ikinci dereceden denklem denir.

$a \neq 0$ koşulu şart: $a = 0$ olursa $x^2$ terimi kaybolur ve denklem birinci dereceden olur. $b$ ya da $c$ ise sıfır olabilir; $x^2 - 9 = 0$ ve $x^2 + 4x = 0$ da ikinci dereceden denklemdir.

Sahnede $x$ değiştikçe $x^2 - 10x + 21$ ifadesinin aldığı değeri izle. İfade çoğu yerde sıfırdan farklı; yalnızca $x = 3$ ve $x = 7$ iken sıfır oluyor. Kök, ifadeyi sıfır yapan $x$ değeridir: grafikte eğrinin $x$ eksenine dokunduğu yer.

Bu denklemler çok eskidir. Brahmagupta 7. yüzyılda genel bir çözüm kuralı yazdı; Harezmî ve Abdulhamid İbn Türk 9. yüzyılda denklemleri türlerine ayırıp çözümlerini şekil çizerek gerekçelendirdi. Harezmî’nin çizimini orta bölümde kendin yapacaksın.

Örnek

kolay

Verilen kökü yerine yazmak

$mx^2 - (m + 1)x - 6 = 0$ denkleminin köklerinden biri $2$ olduğuna göre $m$ kaçtır?

Kök denklemi sağlar; bu yüzden $x$ yerine $2$ yazınca eşitlik doğru olmalı:

$m \cdot 2^2 - (m + 1) \cdot 2 - 6 = 0$

Sadeleştir: $4m - 2m - 2 - 6 = 0$ , yani $2m = 8$ .

Kontrol et, çünkü işaret hatası bu adımda sık olur: $m = 4$ için denklem $4x^2 - 5x - 6 = 0$ olur ve $4 \cdot 4 - 5 \cdot 2 - 6 = 0$ sağlanır.

Sonuç

$m = 4$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdakilerden hangisi

x

değişkenine göre ikinci dereceden bir denklemdir?

Açıklama

$x(x - 1) = 5$ açılınca $x^2 - x - 5 = 0$ olur: $a = 1$ , $b = -1$ , $c = -5$ . Dereceye karar vermeden önce denklemi $ax^2 + bx + c = 0$ biçimine getir.

Sıfır çarpım özelliği ve çarpanlara ayırma

İki sayının çarpımı sıfırsa en az biri sıfırdır. Denklemin sol yanını iki çarpanın çarpımı olarak yazabilirsek ikinci dereceden bir denklem iki tane birinci dereceden denkleme dönüşür.

Sahnede bir $x^2$ karesi, beş tane $x$ şeridi ve altı birim kare var. Düğmeye basınca parçalar tek bir dikdörtgene diziliyor: kenarları $x + 3$ ve $x + 2$ . Sürgüyle $x$ uzunluğunu değiştir; parçalar büyüyüp küçülse de dikdörtgen bozulmuyor. Çarpanlara ayırmak, toplamı çarpım olarak yeniden yazmaktır.

x^2 + 5x + 6

parçaları tek dikdörtgene dizilir:

(x + 3)(x + 2)

Örnek

kolay

Çit sorusunu çözmek

$20$ metre çitle çevrilen dikdörtgen bahçenin alanı $21$ metrekaredir. Bahçenin kenar uzunlukları kaç metredir?

Çevre $20$ olduğundan iki komşu kenarın toplamı $10$ ‘dur. Bir kenara $x$ dersek öbürü $10 - x$ olur ve alan koşulu $x(10 - x) = 21$ verir.

Sıfır çarpım özelliğini kullanabilmek için her şeyi bir yana topla: $10x - x^2 = 21$ , yani $x^2 - 10x + 21 = 0$ .

Çarpımı $21$ , toplamı $-10$ olan iki sayı ara: $-3$ ve $-7$ . Böylece $(x - 3)(x - 7) = 0$ .

Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitle: $x = 3$ veya $x = 7$ . $x = 3$ ise öbür kenar $7$ , $x = 7$ ise öbür kenar $3$ olur; iki kök aynı bahçeyi anlatır.

Sonuç

Kenarlar $3$ metre ve $7$ metredir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x^2 - 6x = 0

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Ortak çarpan $x$ ‘tir: $x(x - 6) = 0$ . Buradan $x = 0$ veya $x = 6$ .

Baş katsayı $1$ değilse çarpanların başına da katsayı gelir. İki özdeşlik de işi çok kısaltır: iki kare farkı $u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)$ ve tam kare $u^2 \pm 2uv + v^2 = (u \pm v)^2$ .

Örnek

kolay

Baş katsayı 1 değilken

$2x^2 + x - 6 = 0$ denkleminin çözüm kümesini bul.

$2x^2$ terimi $2x \cdot x$ olarak ayrılır, çünkü başka tam sayı seçeneği yok. Sabit terim $-6$ için çarpımı $-6$ olan çiftleri dene: çapraz çarpımların toplamı $+x$ vermeli.

$(2x - 3)(x + 2)$ çiftini dene: çapraz çarpımlar $2x \cdot 2 = 4x$ ve $-3 \cdot x = -3x$ ; toplamları $x$ . Tuttu:

$2x^2 + x - 6 = (2x - 3)(x + 2)$

Her çarpanı sıfıra eşitle: $2x - 3 = 0$ ise $x = \dfrac{3}{2}$ ; $x + 2 = 0$ ise $x = -2$ .

Sonuç

Çözüm kümesi $\left\{-2, \dfrac{3}{2}\right\}$

Tam kare çıkan denklemlerde iki çarpan aynıdır: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0$ yalnızca $x = 3$ ile sağlanır. Bu köke çakışık kök (çift katlı kök) denir; çözüm kümesi tek elemanlıdır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

4x^2 - 25 = 0

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

İki kare farkı: $(2x - 5)(2x + 5) = 0$ . Buradan $x = \dfrac{5}{2}$ veya $x = -\dfrac{5}{2}$ .

Orta

Tam kare, diskriminant ve karmaşık kökler

Tam kareye tamamlama

$x^2 - 6x + 2 = 0$ denklemini tam sayılarla çarpanlara ayıramazsın. Her denklemde çalışan bir yol gerekiyor. Harezmî’nin fikri şuydu: $x^2 + 10x = 39$ denkleminin sol yanını bir kareye benzet, eksik parçayı ekle.

Sahnede kenarı $x$ olan kare ve iki yanında $5 \cdot x$ boyutlu birer dikdörtgen var; toplam alan $x^2 + 10x$ . Şekil kare olmaya çok yakın, sağ üst köşesi eksik. Düğmeyle $5 \cdot 5 = 25$ birimlik köşeyi ekle: kenarı $x + 5$ olan tam bir kare oluşur ve alanı $39 + 25 = 64$ ‘tür. O hâlde $x + 5 = 8$ , yani $x = 3$ .

x^2 + 10x = 39

: eksik köşe eklenince

(x + 5)^2 = 64

Uzunluk negatif olamadığı için şekil yalnızca $x + 5 = 8$ kökünü gösterir. Cebirde $x + 5 = -8$ de olur ve ikinci kök $x = -13$ çıkar.

Örnek

orta

Çarpanlara ayrılmayan denklem

$x^2 - 6x + 2 = 0$ denkleminin köklerini bul.

Çarpımı $2$ , toplamı $-6$ olan tam sayı çifti yok; bu yüzden tam kareye tamamlıyoruz. Sabiti öbür yana at: $x^2 - 6x = -2$ .

$x$ ‘in katsayısının yarısı $-3$ , karesi $9$ . İki yana $9$ ekle:

$x^2 - 6x + 9 = 7 \quad \Longrightarrow \quad (x - 3)^2 = 7$

Karesi $7$ olan iki sayı var: $x - 3 = \sqrt{7}$ veya $x - 3 = -\sqrt{7}$ .

Sonuç

$x = 3 + \sqrt{7}$ veya $x = 3 - \sqrt{7}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x^2 + 8x

ifadesini tam kare yapmak için hangi sayı eklenmelidir?

Açıklama

Katsayının yarısı $4$ , karesi $16$ : $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$ .

Diskriminant ve kök formülü

Tam kareye tamamlamayı harflerle bir kez yaparsak her denklemde kullanılacak hazır bir formül çıkar. $ax^2 + bx + c = 0$ denklemini $a$ ‘ya bölüp kareye tamamlayınca şu eşitliğe varılır:

$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

Sol taraf bir kare, sağdaki payda da pozitif. Gerçek kök olup olmadığına tek başına $b^2 - 4ac$ sayısının işareti karar verir.

Sahnede $y = x^2 - 4x + c$ eğrisi var ve $c$ sürgüsü eğriyi yukarı aşağı taşıyor. $c$ küçükken eğri $x$ eksenini iki yerde kesiyor. $c = 4$ olduğunda iki kök $x = 2$ noktasında birleşiyor; $c$ daha da büyüyünce eğri eksenden kopuyor. Göstergedeki $\Delta = 16 - 4c$ değerinin işaretini izle.

y = x^2 - 4x + c

için

c = 2

c = 4

c = 6

: iki kök, çakışık kök, gerçek kök yok.

Kancadaki üç durum buydu. $x(10 - x) = A$ denklemi $x^2 - 10x + A = 0$ demektir ve $\Delta = 100 - 4A$ olur: $A = 21$ için pozitif, $A = 25$ için sıfır, $A = 30$ için negatif.

Örnek

orta

Kök formülünü uygulamak

$2x^2 - 3x - 1 = 0$ denkleminin köklerini bul.

Katsayıları işaretleriyle oku, çünkü hataların çoğu burada yapılır: $a = 2$ , $b = -3$ , $c = -1$ .

Diskriminantı hesapla. $-4ac$ teriminde iki eksi çarpılıyor:

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 + 8 = 17$

$\Delta > 0$ olduğundan iki farklı gerçek kök var. Formülde $-b = 3$ :

$x_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Sonuç

$x_1 = \dfrac{3 - \sqrt{17}}{4}$ ve $x_2 = \dfrac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

3x^2 - 2x - 1 = 0

denkleminin diskriminantı kaçtır?

Açıklama

$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$ . Kökler $\dfrac{2 \pm 4}{6}$ , yani $1$ ve $-\dfrac{1}{3}$ .

Örnek

orta

Kök sayısından parametre bulmak

$(m - 1)x^2 - 4x + 2 = 0$ denkleminin iki farklı gerçek kökü vardır. $m$ ‘nin alabileceği pozitif tam sayı değerlerini bul.

İki farklı gerçek kök $\Delta > 0$ demektir. Kökleri bulmamız istenmiyor; bu yüzden yalnızca diskriminantı yazmak yeter:

$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot (m - 1) \cdot 2 = 24 - 8m$

$24 - 8m > 0$ eşitsizliğinden $m < 3$ çıkar. Pozitif tam sayı adayları $1$ ve $2$ .

Tuzak baş katsayıda: $m = 1$ için $x^2$ terimi yok olur, denklem $-4x + 2 = 0$ biçiminde birinci dereceden kalır ve tek kökü olur. Bu yüzden $m \neq 1$ .

Sonuç

$m = 2$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x^2 - 4x + 5 = 0

denkleminin kaç tane gerçek kökü vardır?

Açıklama

$\Delta = 16 - 20 = -4$ negatiftir. Tam kareyle de görülür: $(x - 2)^2 = -1$ ; bir gerçek sayının karesi negatif olamaz.

Değişken değiştirme

Bazı denklemler ikinci dereceden görünmez ama içinde tekrar eden bir ifade vardır. O ifadeye yeni bir ad verince denklem ikinci dereceye iner. Örneğin $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ denkleminde $x^4 = (x^2)^2$ olduğundan $t = x^2$ dersek $t^2 - 5t + 4 = 0$ kalır.

Sahnenin üst yarısında $t^2 - 5t + 4$ eğrisi, alt yarısında $x^4 - 5x^2 + 4$ eğrisi var. Üstte bir $t$ kökü seç: $t = 1$ aşağıda $x = -1$ ve $x = 1$ köklerini, $t = 4$ ise $x = -2$ ve $x = 2$ köklerini yakıyor. Sabit terim sürgüsünü negatife çek: $t$ köklerinden biri negatif olunca ona karşılık gelen $x$ kökleri kayboluyor.

x^4 - 5x^2 + 4 = 0

t = x^2

için bulunan her pozitif kök iki

x

kökü verir.

Örnek

orta

Tekrar eden ifadeye ad vermek

$(x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x) - 3 = 0$ denkleminin çözüm kümesini bul.

Parantezleri açmak dördüncü dereceden bir ifade verir; bunun yerine tekrar eden $x^2 - 2x$ ifadesine $t$ de. Denklem $t^2 - 2t - 3 = 0$ olur.

Çarpanlara ayır: $(t - 3)(t + 1) = 0$ , yani $t = 3$ veya $t = -1$ . İş bitmedi, çünkü soru $x$ ‘i soruyor.

$t = 3$ için $x^2 - 2x - 3 = 0$ , yani $(x - 3)(x + 1) = 0$ : $x = 3$ veya $x = -1$ .

$t = -1$ için $x^2 - 2x + 1 = 0$ , yani $(x - 1)^2 = 0$ : $x = 1$ (çakışık kök).

Sonuç

Çözüm kümesi $\{-1, 1, 3\}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x^4 - 3x^2 - 4 = 0

denkleminin kaç farklı gerçek kökü vardır?

Açıklama

$t = x^2$ ile $t^2 - 3t - 4 = (t - 4)(t + 1) = 0$ . $t = 4$ için $x = \pm 2$ ; $t = -1$ için gerçek $x$ yok. İki gerçek kök vardır.

Karmaşık sayılar: negatif diskriminantın kökleri

$x^2 + 1 = 0$ denklemini düşün: $x^2 = -1$ olmalı, ama hiçbir gerçek sayının karesi negatif değildir. Gerçek sayılar bu denklemi çözmeye yetmiyor. Çözüm, sayı kümesini genişletmek: karesi $-1$ olan yeni bir sayı tanımlanır.

$b = 0$ alınırsa $a + i \cdot 0 = a$ olur; yani her gerçek sayı aynı zamanda bir karmaşık sayıdır. Karmaşık sayılar kümesi $\mathbb{C}$ ile gösterilir ve $\mathbb{R}$ ‘yi kapsar. Eşlenik almak yalnızca sanal kısmın işaretini değiştirir: $2 + 3i$ sayısının eşleniği $2 - 3i$ ‘dir.

Negatif bir sayının karekökü artık yazılabilir: $(6i)^2 = 36 \cdot i^2 = -36$ olduğundan $x^2 = -36$ denkleminin kökleri $6i$ ve $-6i$ ‘dir. Kök formülünde $\Delta < 0$ iken $\sqrt{\Delta}$ yerine $i\sqrt{-\Delta}$ gelir.

Sahnede $(x - 2)^2$ eğrisi ve yatay bir $k$ çizgisi var; $(x - 2)^2 = k$ denkleminin kökleri kesişim noktalarıdır. $k$ pozitifken kökler $2 \pm \sqrt{k}$ . Sürgüyle $k$ değerini sıfırın altına indir: çizgi eğrinin altında kalır, kesişim kalmaz. Göstergede kökler $2 \pm i\sqrt{-k}$ biçimine geçer: gerçek kısım hep $2$ , sanal kısımlar zıt.

Örnek

orta

Karmaşık kökleri bulmak

$x^2 - 4x + 13 = 0$ denkleminin karmaşık sayılar kümesindeki köklerini bul.

Diskriminantı hesapla: $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$ . Negatif çıktı; gerçek kök yok, kökler karmaşık.

$\sqrt{\Delta}$ yerine $i\sqrt{36} = 6i$ yaz, çünkü $(6i)^2 = -36$ :

$x_{1,2} = \dfrac{4 \pm 6i}{2}$

Payın iki terimini de $2$ ‘ye böl: $x = 2 \pm 3i$ . Tam kareyle sağlama: $(x - 2)^2 = -9$ ise $x - 2 = \pm 3i$ .

Sonuç

$x_1 = 2 + 3i$ ve $x_2 = 2 - 3i$ (birbirinin eşleniği)

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Gerçek katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri

3 - 2i

ise öbür kökü aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Katsayılar gerçek ve $\Delta < 0$ iken kökler $\dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ biçimindedir: gerçek kısımlar aynı, sanal kısımlar zıt. Öbür kök eşlenik olan $3 + 2i$ ‘dir.

İleri

Kök ve katsayı bağıntıları, denklem yazma, problemler

Kökler toplamı ve kökler çarpımı

Kök formülüne bir daha bak: kökler $-\dfrac{b}{2a}$ sayısının iki yanında, ondan eşit uzaklıkta durur. Bu simetri, kökleri tek tek bulmadan toplamlarını söylememizi sağlar.

Kökler

-\dfrac{b}{2a}

noktasına göre simetriktir; toplamda

\sqrt{\Delta}

terimleri birbirini götürür.

Toplarken $\pm\sqrt{\Delta}$ terimleri birbirini götürür ve $x_1 + x_2 = \dfrac{-2b}{2a}$ kalır. Çarpımda payda iki kare farkı oluşur:

$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{(-b)^2 - \Delta}{4a^2} = \dfrac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \dfrac{c}{a}$

Sahnede sayı doğrusu üzerinde iki kök var; ikisini de sürükleyebilirsin. Göstergede toplam, çarpım ve bu köklere sahip $x^2 - (\text{toplam})x + \text{çarpım} = 0$ denklemi canlı olarak yazılıyor; eğri de köklerden geçecek biçimde yeniden çiziliyor. Köklerden birini negatife çek ve çarpımın işaretine bak; kökleri üst üste getir ve denklemin tam kareye dönüştüğünü gör.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

2x^2 - 6x - 5 = 0

denkleminin kökler toplamı kaçtır?

Açıklama

$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-6}{2} = 3$ . Çarpım ise $\dfrac{c}{a} = -\dfrac{5}{2}$ ‘dir.

Köklerle kurulan başka ifadeler de toplam ve çarpım cinsinden yazılır. En çok kullanılan ikisi: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ ve $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$ .

Örnek

zor

Kökleri bulmadan köklerin kareleri toplamı

$x^2 - (m + 2)x + 2m - 1 = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ ‘dir. $x_1^2 + x_2^2 = 15$ olduğuna göre $m$ ‘nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

Kökleri $m$ cinsinden bulmak köklü ifadeler getirir; bunun yerine toplam ve çarpımı yaz: $x_1 + x_2 = m + 2$ , $x_1 x_2 = 2m - 1$ .

Kareler toplamını bu ikisine bağla, çünkü $(x_1 + x_2)^2$ açılımında fazladan $2x_1x_2$ vardır:

$x_1^2 + x_2^2 = (m + 2)^2 - 2(2m - 1) = m^2 + 4m + 4 - 4m + 2 = m^2 + 6$

$m^2 + 6 = 15$ ise $m^2 = 9$ , yani $m = 3$ veya $m = -3$ .

Sağlama: $m = 3$ için toplam $5$ , çarpım $5$ ve $25 - 10 = 15$ . $m = -3$ için toplam $-1$ , çarpım $-7$ ve $1 + 14 = 15$ .

Sonuç

$3 \cdot (-3) = -9$

Kökleri verilen denklemi yazma

Bağıntıları tersinden okuyabilirsin. Baş katsayıyı $1$ alırsan $b = -(x_1 + x_2)$ ve $c = x_1 x_2$ olur; yani kökleri biliyorsan denklemi yazabilirsin. Aynı sonuç $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ çarpımını açınca da çıkar.

Örnek

zor

Yeni kökler, yeni denklem

$x^2 - 3x - 2 = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ ‘dir. Kökleri $2x_1 + 1$ ve $2x_2 + 1$ olan ikinci dereceden bir denklem yaz.

Eski denklemden toplam ve çarpımı oku: $x_1 + x_2 = 3$ , $x_1 x_2 = -2$ . Kökleri bulmaya gerek yok; yeni denklem için yalnızca yeni toplam ve yeni çarpım lazım.

Yeni toplam: $(2x_1 + 1) + (2x_2 + 1) = 2(x_1 + x_2) + 2 = 2 \cdot 3 + 2 = 8$ .

Yeni çarpım için parantezleri aç; ortadaki terimi unutma:

$(2x_1 + 1)(2x_2 + 1) = 4x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1$

Kalıba yerleştir: $x^2 - (\text{toplam})x + \text{çarpım} = 0$ .

Sonuç

$x^2 - 8x - 1 = 0$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Köklerinden biri

1 + 2i

olan, gerçek katsayılı ve baş katsayısı

1

olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Öbür kök eşlenik olan $1 - 2i$ ‘dir; yani $x - 1 = \pm 2i$ . İki yanın karesi: $(x - 1)^2 = (2i)^2 = -4$ . Açınca $x^2 - 2x + 5 = 0$ .

Kökleri parametre olan denklemler

Sınav sorularında kökler çoğu kez sayı olarak verilmez; denklemin kendi katsayılarına bağlanır. Yol hep aynıdır: verilen bilgiyi toplam ve çarpım bağıntılarına çevir, iki bilinmeyenli sistemi çöz.

Örnek

zor

Kökler katsayıların kendisi

$a$ ve $b$ sıfırdan farklı gerçek sayılardır. $x^2 + ax + b = 0$ denkleminin kökleri $a$ ve $b$ olduğuna göre $a - b$ kaçtır?

Kökler $a$ ve $b$ ise kökler toplamı $a + b$ , kökler çarpımı $a \cdot b$ ‘dir. Bağıntılardan toplam $-a$ , çarpım $b$ olmalı.

Çarpım bağıntısından başla, çünkü tek bilinmeyene iner: $a \cdot b = b$ . $b \neq 0$ olduğundan iki yanı $b$ ‘ye bölebiliriz: $a = 1$ .

Toplam bağıntısı: $a + b = -a$ , yani $1 + b = -1$ ve $b = -2$ .

Sağlama: $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) = 0$ denkleminin kökleri $1$ ve $-2$ ; gerçekten $a$ ve $b$ .

Sonuç

$a - b = 1 - (-2) = 3$

Problemlerde ikinci dereceden denklem

Alan, hareket ve fiyat problemlerinde iki değişken çarpılınca denklem ikinci dereceden olur. Denklem iki kök verir ama problem her zaman ikisini de kabul etmez: uzunluk negatif olamaz, süre geriye akmaz, yol bahçeden geniş olamaz.

Sahnede $25$ metre yükseklikten yukarı atılan bir top var; yüksekliği $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$ metre. Yatay çizgiyi sürgüyle bir $H$ yüksekliğine getir: top o yükseklikten çıkarken ve inerken iki kez geçer, $45$ metreye yalnızca bir kez değer, daha yukarıya hiç çıkmaz. $H = 0$ için köklerden biri $t = -1$ çıkar; atıştan önceki bu an modelin dışındadır.

Örnek

zor

Yukarı atılan top

Bir binanın çatısından yukarı doğru atılan topun $t$ saniye sonraki yüksekliği $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$ metredir. Top atıldıktan kaç saniye sonra yere düşer ve hangi anlarda $40$ metre yükseklikte bulunur?

Yere düşmek, yüksekliğin sıfır olması demektir: $-5t^2 + 20t + 25 = 0$ . Hesap kolaylaşsın diye iki yanı $-5$ ‘e böl: $t^2 - 4t - 5 = 0$ .

Çarpanlara ayır: $(t - 5)(t + 1) = 0$ , yani $t = 5$ veya $t = -1$ . Top $t = 0$ anında atıldığı için negatif süre anlamsızdır; $t = 5$ alınır.

$40$ metre için $-5t^2 + 20t + 25 = 40$ yaz ve sağ tarafı sıfırla: $-5t^2 + 20t - 15 = 0$ , yani $t^2 - 4t + 3 = 0$ .

$(t - 1)(t - 3) = 0$ : $t = 1$ ve $t = 3$ . İkisi de $0$ ile $5$ arasında olduğundan ikisi de geçerli: top çıkarken ve inerken $40$ metreden geçer.

Sonuç

Top $5$ . saniyede yere düşer; $1$ . ve $3$ . saniyelerde $40$ metre yüksekliktedir.

Topun yüksekliği:

t = -1

kökü atıştan öncesine düşer,

40

metreden iki kez geçilir.

Örnek

zor

Bahçenin içindeki yürüyüş yolu

Kenarları $30$ metre ve $20$ metre olan dikdörtgen bir bahçenin içine, kenarlar boyunca her yerde aynı genişlikte bir yürüyüş yolu yapılıyor. Ortada kalan çim alan $375$ metrekare olduğuna göre yolun genişliği kaç metredir?

Yolun genişliğine $x$ de. Yol her kenarın iki ucundan da yer aldığı için çimin kenarları $30 - 2x$ ve $20 - 2x$ olur.

Alan koşulunu yaz ve aç:

$(30 - 2x)(20 - 2x) = 375 \quad \Longrightarrow \quad 4x^2 - 100x + 225 = 0$

Katsayılar büyük; diskriminantla çöz: $\Delta = 100^2 - 4 \cdot 4 \cdot 225 = 10000 - 3600 = 6400$ ve $\sqrt{\Delta} = 80$ .

$x = \dfrac{100 \pm 80}{8} \quad \Longrightarrow \quad x = \dfrac{45}{2} \ \text{veya} \ x = \dfrac{5}{2}$

İki kök de pozitif ama $x = \dfrac{45}{2}$ olamaz: $20 - 2x$ negatif çıkar, yol bahçeye sığmaz. Geçerli kök $x = \dfrac{5}{2}$ ; sağlama: $25 \cdot 15 = 375$ .

Sonuç

Yolun genişliği $2{,}5$ metredir.

Yol her kenardan

x

kadar yer alır; çimin kenarları

30 - 2x

20 - 2x

olur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı

132

‘dir. Bu sayılardan küçük olanı kaçtır?

Açıklama

Küçük sayı $x$ ise $x(x + 1) = 132$ , yani $x^2 + x - 132 = (x + 12)(x - 11) = 0$ . Pozitif kök $x = 11$ ; sayılar $11$ ve $12$ .

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Denklem: $ax^2 + bx + c = 0$ , $a \neq 0$ . Kök, denklemi sağlayan değerdir; verilen kök yerine yazılır.
Çarpanlara ayırma: her şeyi bir yana topla, çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitle. İki yanı $x$ ‘e bölme.
Tam kare: $x^2 + bx$ ifadesine $\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$ ekle; karekök alırken $\pm$ yaz.
Diskriminant: $\Delta = b^2 - 4ac$ ve $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ . $\Delta > 0$ iki farklı kök, $\Delta = 0$ çakışık kök, $\Delta < 0$ gerçek kök yok.
Değişken değiştirme: tekrar eden ifadeye $t$ de, sonra $x$ ‘e geri dön.
Karmaşık sayı: $i^2 = -1$ , $z = a + ib$ , eşleniği $\bar{z} = a - ib$ . $\Delta < 0$ iken kökler birbirinin eşleniğidir.
Bağıntılar: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ , $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ ; kökleri verilen denklem $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$ .
Problemler: denklemi kur, çöz, bağlama uymayan kökü ele.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

9 çıkmış soru6 özgün soru

2026 AYTSoru 11

Orta

Diskriminant ve kök bağıntıları

$a$ negatif bir gerçel sayıdır. $ax^2 - ax - 1 = 0$ denkleminde diskriminant, kökler toplamının $12$ katıdır.

Buna göre bu denklemin kökler çarpımı kaçtır?

İpucu

Kökler toplamını hesapla; $a$ 'ya bağlı olmadığını göreceksin. Sonra diskriminantı $a$ cinsinden yazıp eşitle.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

1. Kökler toplamı. $-\dfrac{b}{a}$ kuralında $x$ 'in katsayısı $-a$ 'dır: $-\dfrac{-a}{a} = 1$ .

2. Diskriminant. $\Delta = (-a)^2 - 4 \cdot a \cdot (-1) = a^2 + 4a$ .

3. Koşul. $\Delta = 12 \cdot 1$ :

$a^2 + 4a - 12 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (a + 6)(a - 2) = 0$

$a$ negatif olduğundan $a = -6$ .

4. Kökler çarpımı. $\dfrac{c}{a} = \dfrac{-1}{-6} = \dfrac{1}{6}$ .

Sağlama: $a = -6$ için $\Delta = 36 - 24 = 12$ ve kökler toplamı $1$ ; $12 = 12 \cdot 1$ .

Tuzak: $a = 2$ kökünü almak $-\dfrac{1}{2}$ verir; seçeneklerdeki $\dfrac{1}{2}$ işareti de karıştıranlar içindir.

Cevap: D

2025 AYTSoru 11

Zor

Diskriminant ve çakışık kök

$a$ ile $b$ pozitif gerçel sayılardır.

$\begin{aligned} &x^2 + ax + b = 0 \\ &ax^2 + (b + 3)x + a = 0 \end{aligned}$

Bu denklemlerin her birinin çözüm kümesi tek elemanlıdır.

Buna göre $a + b$ toplamının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

İpucu

İkinci dereceden bir denklemin çözüm kümesinin tek elemanlı olması, kökün çakışık olması demektir. Her iki denklem için $\Delta = 0$ yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Koşulu çevir. $a > 0$ olduğundan ikinci denklem de ikinci derecedendir. Tek elemanlı çözüm kümesi çakışık kök, yani $\Delta = 0$ demektir.

2. Birinci denklem. $a^2 - 4b = 0$ , yani $b = \dfrac{a^2}{4}$ .

3. İkinci denklem. $(b + 3)^2 - 4 \cdot a \cdot a = 0$ , yani $(b + 3)^2 = (2a)^2$ . $a$ ve $b$ pozitif olduğundan $b + 3$ de $2a$ da pozitiftir; $b + 3 = 2a$ .

4. Birleştir. $\dfrac{a^2}{4} + 3 = 2a$ eşitliğini $4$ ile çarp:

$a^2 - 8a + 12 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (a - 2)(a - 6) = 0$

$a = 2$ için $b = 1$ ve $a + b = 3$ . $a = 6$ için $b = 9$ ve $a + b = 15$ . İki durumda da $a$ ve $b$ pozitiftir.

5. Çarpım. $3 \cdot 15 = 45$ .

Tuzak: soru $a$ 'nın ya da $b$ 'nin değil, $a + b$ toplamının değerlerinin çarpımını istiyor. $2 \cdot 6 = 12$ ya da $1 \cdot 9 = 9$ hesaplamak yanlış sonuca götürür.

Cevap: C

2024 AYTSoru 10

Orta

Kökleri verilen denklemi yazma

$a$ ile $b$ pozitif gerçel sayılardır.

$\begin{aligned} &ax^2 - 2x + b = 0 \\ &bx^2 - 3bx + a = 0 \end{aligned}$

Bu iki denklemin her birinde kökler toplamı, kökler çarpımından $1$ fazladır.

Buna göre kökleri $a$ ve $b$ olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisi olabilir?

İpucu

Her denklem için "toplam = çarpım + 1" eşitliğini katsayılarla yaz; iki eşitlikten $a$ ve $b$ çıkar. Sonra $x^2 - (a + b)x + ab = 0$ kalıbını kullan.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Birinci denklem. Toplam $\dfrac{2}{a}$ , çarpım $\dfrac{b}{a}$ :

$\dfrac{2}{a} = \dfrac{b}{a} + 1 \quad \Longrightarrow \quad 2 = b + a$

2. İkinci denklem. Toplam $\dfrac{3b}{b} = 3$ , çarpım $\dfrac{a}{b}$ :

$3 = \dfrac{a}{b} + 1 \quad \Longrightarrow \quad a = 2b$

3. $a$ ve $b$ . $2b + b = 2$ olduğundan $b = \dfrac{2}{3}$ ve $a = \dfrac{4}{3}$ . Buradan $a + b = 2$ ve $a \cdot b = \dfrac{8}{9}$ .

4. Denklemi yaz. Kökleri $a$ ve $b$ olan denklem

$x^2 - 2x + \dfrac{8}{9} = 0$

olur. Seçeneklerde baş katsayı $9$ olduğundan iki yan $9$ ile çarpılır: $9x^2 - 18x + 8 = 0$ .

Tuzak: B ve C seçenekleri toplam ile çarpımın yerini ya da değerini karıştıranlar içindir. $x$ 'in katsayısı $-9(a + b) = -18$ , sabit terim $9ab = 8$ olmalı.

Cevap: E

2023 AYTSoru 20

Kolay

Problemlerde ikinci dereceden denklem

Ahmet Amca'nın tarlası dikdörtgen biçimindedir ve kenar uzunlukları $x + 20$ metre ile $2x + 30$ metredir. Ahmet Amca bu tarlanın, şekilde gösterildiği gibi bir kenarı $x$ metre olan kare biçimindeki bölümüne ayçiçeği ekmiştir.

Tarlanın ayçiçeği ekilmeyen bölümünün alanı 1400 metrekare olduğuna göre tarlanın tamamının çevresi kaç metredir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 30)

Çözüm

1. Alanları yaz. Tarlanın alanı $(x + 20)(2x + 30)$ , ayçiçeği ekili karenin alanı $x^2$ 'dir. Farkları $1400$ :

$(x + 20)(2x + 30) - x^2 = 1400$

2. Aç ve düzenle. $(x + 20)(2x + 30) = 2x^2 + 70x + 600$ olduğundan

$x^2 + 70x + 600 = 1400 \quad \Longrightarrow \quad x^2 + 70x - 800 = 0$

3. Çarpanlara ayır. Çarpımı $-800$ , toplamı $70$ olan sayılar $80$ ve $-10$ : $(x + 80)(x - 10) = 0$ . Uzunluk negatif olamayacağından $x = 10$ .

4. Çevre. Kenarlar $x + 20 = 30$ metre ve $2x + 30 = 50$ metre:

$2 \cdot (30 + 50) = 160$

Sağlama: $30 \cdot 50 - 10^2 = 1500 - 100 = 1400$ .

Cevap: C

2022 AYTSoru 10

Kolay

Kökler toplamı ve çarpımı

$a$ ile $b$ gerçel sayılardır.

$\begin{aligned} &x^2 - 2x + a = 0 \\ &x^2 - x + b = 0 \end{aligned}$

Birinci denklemin kökler toplamı, ikinci denklemin köklerinden biridir. İkinci denklemin kökler çarpımı da birinci denklemin köklerinden biridir.

Buna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Birinci denklemin kökler toplamı. $-\dfrac{b}{a}$ kuralıyla $-\dfrac{-2}{1} = 2$ . Bu sayı $a$ 'ya bağlı değil.

2. $2$ , ikinci denklemin köküdür. Yerine yaz: $2^2 - 2 + b = 0$ , yani $b = -2$ .

3. İkinci denklemin kökler çarpımı. $\dfrac{c}{a}$ kuralıyla $b = -2$ .

4. $-2$ , birinci denklemin köküdür. Yerine yaz: $(-2)^2 - 2 \cdot (-2) + a = 0$ , yani $4 + 4 + a = 0$ ve $a = -8$ .

$a + b = -8 + (-2) = -10$

Sağlama: $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)$ ve $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ ; birincinin kökleri arasında $-2$ , ikincinin kökleri arasında $2$ var.

Cevap: D

2021 AYTSoru 9

Orta

Diskriminant

$x^2 - 2x + c = 0$

denkleminin diskriminantı, aynı denklemin köklerinden birine eşittir.

Buna göre $c$ gerçel sayısının alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

İpucu

Diskriminantı $c$ cinsinden yaz ve denklemde $x$ yerine koy. Çıkan denklem $c$ 'ye göre ikinci derecedendir; $c$ değerlerini tek tek bulman gerekmez.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Diskriminant. $\Delta = (-2)^2 - 4c = 4 - 4c$ .

2. Kök denklemi sağlar. $x$ yerine $\Delta$ yazılır: $\Delta^2 - 2\Delta + c = 0$ .

$(4 - 4c)^2 - 2(4 - 4c) + c = 0$

$16 - 32c + 16c^2 - 8 + 8c + c = 0 \quad \Longrightarrow \quad 16c^2 - 23c + 8 = 0$

3. Değerlerin çarpımı. Bu, $c$ 'ye göre ikinci dereceden bir denklemdir. Diskriminantı $23^2 - 4 \cdot 16 \cdot 8 = 529 - 512 = 17$ pozitif olduğundan iki farklı gerçel $c$ değeri vardır. Çarpımları kökler çarpımıdır:

$\dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}$

Tuzak: $c$ değerlerini kök formülüyle bulmaya çalışmak ( $\sqrt{17}$ çıkar). Soru yalnızca çarpımı istiyor; bağıntı yeter.

Cevap: D

2020 AYTSoru 18

Orta

Kökler toplamı ve çarpımı

$a$ ile $b$ pozitif gerçel sayılardır.

$2ax^2 - 5bx + 8b = 0$

denkleminin kökleri $a$ ve $b$ sayılarıdır.

Buna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

İpucu

Baş katsayı $2a$ ; toplam ve çarpım bağıntılarında ona bölmeyi unutma. Çarpım bağıntısı tek bilinmeyene iner, oradan başla.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Bağıntıları yaz. Baş katsayı $2a$ , $x$ 'in katsayısı $-5b$ , sabit terim $8b$ :

$a + b = \dfrac{5b}{2a} \qquad a \cdot b = \dfrac{8b}{2a} = \dfrac{4b}{a}$

2. Çarpımdan $a$ . $b > 0$ olduğundan iki yan $b$ 'ye bölünür: $a = \dfrac{4}{a}$ , yani $a^2 = 4$ . $a$ pozitif olduğundan $a = 2$ .

3. Toplamdan $b$ . $2 + b = \dfrac{5b}{4}$ ise $8 + 4b = 5b$ ve $b = 8$ .

4. Sağlama. Denklem $4x^2 - 40x + 64 = 0$ , yani $x^2 - 10x + 16 = (x - 2)(x - 8) = 0$ olur; kökler $2$ ve $8$ .

$a + b = 10$

Tuzak: toplamı $5b$ , çarpımı $8b$ almak. Baş katsayı $1$ değil, $2a$ 'dır.

Cevap: C

2019 AYTSoru 13

Zor

Kökler toplamı ve çarpımı

$P(x)$ ; gerçel katsayılı, ikinci dereceden ve baş katsayısı $1$ olan bir polinomdur. Bu polinomun birbirinden farklı iki kökü vardır ve bu kökler $P(0)$ ile $P(-1)$ sayılarıdır.

Buna göre $P(2)$ değeri kaçtır?

İpucu

$P(x) = x^2 + bx + c$ yaz. $P(0)$ ve $P(-1)$ değerlerini $b$ ile $c$ cinsinden bul; sonra bu iki sayının toplamını ve çarpımını bağıntılarla eşitle.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Polinomu yaz. $P(x) = x^2 + bx + c$ olsun. Kökler:

$P(0) = c \qquad P(-1) = 1 - b + c$

2. Kökler çarpımı. Çarpım $c$ olmalı: $c \cdot (1 - b + c) = c$ . Buradan $c = 0$ ya da $1 - b + c = 1$ çıkar.

3. $c = 0$ olamaz. $c = 0$ ise kökler toplamı $0 + (1 - b) = -b$ olmalıdır; bu $1 = 0$ verir, çelişki. O hâlde $1 - b + c = 1$ , yani $b = c$ ve köklerden biri $1$ 'dir.

4. Kökler toplamı. $c + 1 = -b = -c$ olduğundan $c = -\dfrac{1}{2}$ ve $b = -\dfrac{1}{2}$ .

$P(x) = x^2 - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}$

Sağlama: $P(0) = -\dfrac{1}{2}$ ve $P(-1) = 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 1$ ; bu iki sayının toplamı $\dfrac{1}{2}$ , çarpımı $-\dfrac{1}{2}$ , yani gerçekten polinomun farklı iki kökü.

5. İstenen değer.

$P(2) = 4 - 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$

Tuzak: $c \cdot (\ldots) = c$ eşitliğinde $c$ 'yi incelemeden sadeleştirmek. Burada $c = 0$ durumu ayrıca elenmelidir.

Cevap: C

2018 AYTSoru 14

Orta

Kökü denklemde yerine yazma

$m$ ile $n$ , sıfırdan ve birbirinden farklı iki gerçel sayıdır.

$x^2 + (m + 1)x + n - m = 0$

denkleminin bir kökü $m - n$ sayısına eşittir.

Buna göre $\dfrac{n}{m}$ oranı kaçtır?

İpucu

Sabit terim $n - m$ , verilen kök ise $m - n$ . Bu ikisi birbirinin ters işaretlisi; kökler çarpımı sana öbür kökü hemen verir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Öbür kökü bul. Kökler çarpımı $\dfrac{c}{a} = n - m$ 'dir. Köklerden biri $m - n$ olduğundan öbür kök $x_2$ için

$(m - n) \cdot x_2 = n - m$

olur. $m \neq n$ olduğu için iki yan $m - n$ 'ye bölünür: $x_2 = -1$ .

2. Kökler toplamını kullan. Toplam $-\dfrac{b}{a} = -(m + 1)$ olmalı:

$(m - n) + (-1) = -(m + 1) \quad \Longrightarrow \quad m - n = -m \quad \Longrightarrow \quad n = 2m$

3. Oran. $m \neq 0$ olduğundan $\dfrac{n}{m} = 2$ .

Sağlama: $m = 1$ , $n = 2$ için denklem $x^2 + 2x + 1 = 0$ olur; kökü $-1 = m - n$ .

İkinci yol: $x = m - n$ doğrudan yerine yazılırsa $(m - n)$ ortak çarpan çıkar ve $(m - n)(2m - n) = 0$ bulunur. Tuzak, $m - n$ çarpanını sıfıra eşitlemektir; soru $m \neq n$ diyerek bunu yasaklıyor.

Cevap: A

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Çarpanlara ayırarak çözüm

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

denkleminin büyük kökü, küçük kökünün kaç katıdır?

Çözüm

1. Çarpanlara ayır. $3x^2 = 3x \cdot x$ ve $3 = (-1) \cdot (-3)$ ile dene: $(3x - 1)(x - 3)$ . Çapraz çarpımlar $-9x$ ve $-x$ ; toplamları $-10x$ . Tuttu.

2. Kökler. $3x - 1 = 0$ ise $x = \dfrac{1}{3}$ ; $x - 3 = 0$ ise $x = 3$ .

3. Oran. $3 : \dfrac{1}{3} = 9$ .

Sağlama: kökler toplamı $\dfrac{10}{3}$ , çarpımı $1$ ; $3 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{10}{3}$ ve $3 \cdot \dfrac{1}{3} = 1$ .

A seçeneği büyük kökün kendisi, E seçeneği kökler toplamıdır.

Cevap: C

Özgün soru2

Kolay

Karmaşık kökler

$x^2 - 6x + 13 = 0$

denkleminin karmaşık sayılar kümesindeki kökleri aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

1. Diskriminant. $\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16$ . Negatif; kökler karmaşık ve birbirinin eşleniği.

2. Formül. $\sqrt{\Delta}$ yerine $i\sqrt{16} = 4i$ yazılır:

$x_{1,2} = \dfrac{6 \pm 4i}{2} = 3 \pm 2i$

Sağlama (tam kare): $x^2 - 6x + 9 = -4$ , yani $(x - 3)^2 = -4$ ve $x - 3 = \pm 2i$ .

A seçeneği sanal kısmı, D seçeneği her iki kısmı da $2$ 'ye bölmeyi unutanlar içindir. B'de $-b$ yerine $b$ alınmıştır. E, $\Delta$ 'yı $+16$ sanınca çıkar.

Cevap: C

Özgün soru3

Orta

Değişken değiştirme

$(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0$

denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi kaç elemanlıdır?

İpucu

Tekrar eden $x^2 - 4x$ ifadesine $t$ de. Bulduğun her $t$ değeri için $x$ 'e geri dön ve o denklemin diskriminantına bak.

Çözüm

1. Değişken değiştir. $t = x^2 - 4x$ ile denklem $t^2 + 9t + 20 = 0$ olur: $(t + 4)(t + 5) = 0$ , yani $t = -4$ veya $t = -5$ .

2. $t = -4$ . $x^2 - 4x + 4 = 0$ , yani $(x - 2)^2 = 0$ . Çakışık kök: $x = 2$ .

3. $t = -5$ . $x^2 - 4x + 5 = 0$ için $\Delta = 16 - 20 = -4$ . Negatif; gerçek kök yok.

4. Sonuç. Gerçek sayılardaki çözüm kümesi $\{2\}$ ; bir elemanlıdır.

Sağlama: $x = 2$ için $x^2 - 4x = -4$ ve $16 - 36 + 20 = 0$ .

Tuzak: $t$ için iki kök bulup "her biri iki $x$ verir" diyerek $4$ demek. Çakışık kök kümede bir kez yazılır; negatif diskriminant gerçek kök vermez.

Cevap: B

Özgün soru4

Orta

Kökleri verilen denklemi yazma

$x^2 - 6x + 2 = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ 'dir.

Buna göre kökleri $x_1^2$ ve $x_2^2$ olan ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

Kökleri bulma. Yeni denklemin kökler toplamı $x_1^2 + x_2^2$ , kökler çarpımı $(x_1 x_2)^2$ ; ikisini de eski toplam ve çarpımdan hesapla.

Çözüm

1. Eski bağıntılar. $x_1 + x_2 = 6$ ve $x_1 x_2 = 2$ .

2. Yeni toplam.

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 36 - 4 = 32$

3. Yeni çarpım. $x_1^2 \cdot x_2^2 = (x_1x_2)^2 = 4$ .

4. Denklem. $x^2 - (\text{toplam})x + \text{çarpım} = 0$ kalıbıyla $x^2 - 32x + 4 = 0$ .

Sağlama: eski kökler $3 \pm \sqrt{7}$ ; kareleri $16 \pm 6\sqrt{7}$ . Toplamları $32$ , çarpımları $256 - 252 = 4$ .

A'da $-2x_1x_2$ unutulmuş, E'de çıkarmak yerine eklenmiş, B'de çarpımın karesi alınmamış, C'de toplamın işareti ters yazılmıştır.

Cevap: D

Özgün soru5

Zor

Problemlerde ikinci dereceden denklem

Dikdörtgen biçimindeki bir kartonun kısa kenarı $x$ santimetre, uzun kenarı $x + 6$ santimetredir. Kartonun dört köşesinden şekildeki gibi bir kenarı $2$ santimetre olan birer kare kesilip atılıyor; kalan parça kesikli çizgilerden katlanarak üstü açık, dikdörtgenler prizması biçiminde bir kutu yapılıyor.

Kutunun hacmi 110 santimetreküp olduğuna göre kartonun kesilmeden önceki alanı kaç santimetrekaredir?

İpucu

Her kenarın iki ucundan $2$ santimetre gider; kutunun taban kenarları $x - 4$ ve $x + 2$ , yüksekliği $2$ olur.

Çözüm

1. Kutunun boyutları. Köşe kareleri her kenardan toplam $4$ santimetre götürür. Taban kenarları $x - 4$ ve $(x + 6) - 4 = x + 2$ ; yükseklik $2$ santimetredir.

2. Hacim denklemi.

$2 \cdot (x - 4)(x + 2) = 110 \quad \Longrightarrow \quad (x - 4)(x + 2) = 55$

3. Aç ve çöz. $x^2 - 2x - 8 = 55$ , yani $x^2 - 2x - 63 = 0$ . Çarpımı $-63$ , toplamı $-2$ olan sayılar $-9$ ve $7$ :

$(x - 9)(x + 7) = 0$

Uzunluk negatif olamayacağından $x = 9$ . (Ayrıca $x - 4 > 0$ koşulu da sağlanıyor.)

4. Kartonun alanı. Kenarlar $9$ ve $15$ santimetre: $9 \cdot 15 = 135$ .

Sağlama: taban $5 \times 11$ , yükseklik $2$ ; hacim $5 \cdot 11 \cdot 2 = 110$ .

Tuzak: sağ taraf sıfır değilken $(x - 4)(x + 2) = 55$ eşitliğinde çarpanları tek tek $55$ 'e eşitlemek. Sıfır çarpım özelliği yalnızca sağ taraf $0$ iken kullanılır.

Cevap: C

Özgün soru6

Zor

Kökler toplamı ve çarpımı

$k$ bir gerçek sayıdır.

$x^2 - (k + 1)x + k = 0$

denkleminin köklerinden biri öbürünün $3$ katıdır.

Buna göre $k$ 'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

İpucu

Denklemi çarpanlara ayırmayı dene: çarpımı $k$ , toplamı $k + 1$ olan iki sayı hangileri? Sonra "hangi kök hangisinin $3$ katı" sorusunun iki yanıtını da düşün.

Çözüm

1. Kökleri bul. Çarpımı $k$ , toplamı $k + 1$ olan sayılar $1$ ve $k$ 'dir:

$x^2 - (k + 1)x + k = (x - 1)(x - k)$

Kökler $1$ ve $k$ .

2. İki durum. Hangi kökün büyük olduğu söylenmemiş.

$k = 3 \cdot 1$ ise $k = 3$ .
$1 = 3 \cdot k$ ise $k = \dfrac{1}{3}$ .

3. Toplam. $3 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{10}{3}$ .

Sağlama (bağıntılarla): kökler $p$ ve $3p$ olsun. $4p = k + 1$ ve $3p^2 = k$ eşitliklerinden $3(k + 1)^2 = 16k$ , yani $3k^2 - 10k + 3 = 0$ bulunur; $k$ değerlerinin toplamı $\dfrac{10}{3}$ 'tür.

Tuzak: yalnızca $k = 3$ durumunu görüp C'yi işaretlemek.

Cevap: D