38Konu 38 / 49
Geometri

Üçgende Açıortay, Kenarortay, Yükseklik ve Kenar Orta Dikme

Üçgenin yüksekliğini, kenarortayını, açıortayını ve kenar orta dikmesini tanıyıp her birinin kesişim noktasını buluyoruz; iç ve dış açıortay teoremlerini, ağırlık merkezinin 2'ye 1 oranını ve dikmeler toplamı özelliklerini sınav sorularına uyguluyoruz.

9. sınıf
AYT sıklığı
60 dk

LevhaÜçgende Açıortay, Kenarortay, Yükseklik ve Kenar Orta DikmeÜçgende Açıortay, Kenarortay, Yükseklik ve Kenar Orta Dikme

Kartondan bir üçgen kesip kalemin ucunda dengede tutmak istiyorsun. Kalemi rastgele bir yere koyarsan karton devrilir; tek bir nokta var ki orada kıpırdamadan durur. Sahnede noktayı sürükle: noktayı köşelere birleştiren üç parçanın alanı eşitlenince denge kuruluyor. O noktayı cetvelle nasıl bulacağını ve üçgenin benzer üç özel noktasını bu sayfada öğreneceksin.

Isınma

Başlamadan: alan, benzerlik, ikizkenar üçgen

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Yükseklikleri eşit olan iki üçgenden birinin tabanı

4

cm, öbürünün tabanı

6

cm’dir. Tabanı

4

cm olan üçgenin alanının öbürünün alanına oranı kaçtır?

Açıklama

Alan $\dfrac{\text{taban} \cdot \text{yükseklik}}{2}$ olduğundan, yükseklik aynıyken alanlar tabanlarla orantılıdır: $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ . Bu fikri sayfa boyunca kullanacağız. Ayrıntısı Üçgenin Alanı sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

ABC

üçgeninde

D

noktası

[AB]

kenarının,

E

noktası

[AC]

kenarının orta noktasıdır.

|BC| = 14

olduğuna göre

|DE|

kaçtır?

Açıklama

$ADE$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir (ortak açı ve $\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|AE|}{|AC|} = \dfrac{1}{2}$ ). Bu yüzden $DE \parallel BC$ ve $|DE| = \dfrac{14}{2} = 7$ . Bkz. Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

|AB| = |AC|

olan

ABC

ikizkenar üçgeninde

m(\widehat{BAC}) = 40^\circ

olduğuna göre

m(\widehat{ABC})

kaç derecedir?

Açıklama

Eş kenarların karşısındaki açılar eştir: $m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = \dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$ .

Temel

Dört yardımcı eleman ve kesişim noktaları

Üçgenin kenarları ve açıları temel elemanlarıdır. Bir köşeden ya da bir kenardan çizilen ve üçgeni incelemeye yarayan özel doğru parçalarına yardımcı eleman denir. Dört tane var: yükseklik, kenarortay, açıortay ve kenar orta dikme.

A

köşesinden

[BC]

kenarına üç farklı yolculuk: dik inen yükseklik, açıyı ortalayan açıortay, kenarın ortasına giden kenarortay.

Yükseklik ve diklik merkezi

Bir köşeden karşı kenara en kısa yoldan, yani dik inersen yüksekliği çizmiş olursun.

Alan hangi kenarla hesaplanırsa hesaplansın aynıdır: $a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c$ . Uzun kenara kısa yükseklik düşer.

Örnek

kolay

Aynı alan, iki farklı yükseklik

$ABC$ üçgeninde $|BC| = 10$ cm, $|AC| = 12$ cm ve $[BC]$ kenarına ait yükseklik $6$ cm’dir. $[AC]$ kenarına ait yükseklik kaç cm’dir?

Önce alanı bildiğin kenar ve yükseklikle yaz, çünkü ikisi de aynı üçgene ait: $\dfrac{10 \cdot 6}{2} = 30$ cm².

Aynı alanı öbür kenarla yaz: $\dfrac{12 \cdot h_b}{2} = 30$ . Buradan $12 \cdot h_b = 60$ olur.

Sonuç

$h_b = 5$ cm

Sahnede $A$ köşesini sürükle ya da açı sürgüsünü kullan. Üç yükseklik doğrusu her konumda tek noktada buluşuyor. Üçgen dar açılıyken bu nokta içeride; $B$ açısını $90^\circ$ yaptığında tam $B$ köşesine oturuyor; açı genişleyince üçgenin dışına çıkıyor.

A

köşesi kayarken diklik merkezi

H

: içeride, köşede, dışarıda.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Dik kenarları

[AB]

[AC]

olan bir dik üçgenin diklik merkezi neresidir?

Açıklama

$[AB] \perp [AC]$ olduğundan $[AB]$ , $C$ köşesine ait; $[AC]$ de $B$ köşesine ait yüksekliktir. İkisi $A$ noktasında kesişir; üçüncü yükseklik de $A$ köşesinden çıkar.

Kenarortay ve ağırlık merkezi

Kancadaki denge noktasını bulmanın yolu kenarların orta noktalarından geçer.

Sahnede üç kenarortay çizili. Köşelerden birini sürükle: üçgen ne kadar değişirse değişsin kesişim noktası $G$ her kenarortayın aynı yerinde kalıyor. Göstergelerde $|AG|$ ile $|GD|$ uzunluklarını izle; oran hiç değişmiyor.

Neden $2$ ‘ye $1$ ? $E$ ve $F$ kenarların orta noktaları ise ısınmadaki gibi $FE \parallel BC$ ve $|FE| = \dfrac{|BC|}{2}$ olur. Paralellik $GEF$ ile $GBC$ üçgenlerini benzer yapar; benzerlik oranı $\dfrac{1}{2}$ olduğundan $|GE| = \dfrac{|GB|}{2}$ bulunur.

Kenarortaylar

G

noktasında kesişir:

|AG| = 2k

|GD| = k

. Altı küçük üçgenin alanları eşittir.

Örnek

kolay

Kenarortay üzerinde 2k ve k

$ABC$ üçgeninde $[AD]$ kenarortay, $G$ ağırlık merkezidir. $|AG| = 3x - 2$ ve $|GD| = x + 1$ olduğuna göre $|AD|$ kaç birimdir?

$G$ ağırlık merkezi olduğundan köşe tarafındaki parça öbürünün iki katıdır: $|AG| = 2 \cdot |GD|$ .

Verilenleri yerine yaz: $3x - 2 = 2(x + 1)$ . Buradan $3x - 2 = 2x + 2$ , yani $x = 4$ .

Parçaları bul: $|AG| = 3 \cdot 4 - 2 = 10$ ve $|GD| = 4 + 1 = 5$ . Oran gerçekten $2$ ‘ye $1$ ; kenarortay ikisinin toplamıdır.

Sonuç

$|AD| = 10 + 5 = 15$ birim

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

ABC

üçgeninde

G

ağırlık merkezi,

E

noktası

[AC]

kenarının orta noktasıdır.

|BG| = 10

olduğuna göre

|BE|

kaçtır?

Açıklama

$|BG| = 2k = 10$ ise $k = 5$ ve $|BE| = 3k = 15$ .

Açıortay

Bir açıyı iki eş açıya bölen ışına açıortay denir. Üçgende bu ışının köşe ile karşı kenar arasında kalan parçasıyla ilgileniriz.

Sahnede bir açı ve içinde bir $P$ noktası var. $P$ ‘den iki kola inen dikmelerin uzunlukları yazıyor. Noktayı açıortay boyunca kaydır: iki uzunluk hep eşit. Sonra noktayı açıortaydan ayır; eşitlik hemen bozuluyor.

Nedeni iki eş üçgen: $APH$ ve $APK$ dik üçgenlerinde $[AP]$ ortaktır ve $A$ köşesindeki açılar eştir. Açılar ve bir kenar eş olunca üçgenler eş olur; $|PH| = |PK|$ ve ayrıca $|AH| = |AK|$ çıkar.

P

açıortay üzerinde nereye giderse gitsin

|PH| = |PK|

Örnek

kolay

Açıortaydan kenara dikme

$B$ köşesi dik olan $ABC$ üçgeninde $A$ açısının açıortayı $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kesiyor. $|BD| = 3$ cm ve $|AC| = 10$ cm olduğuna göre $ADC$ üçgeninin alanı kaç cm²’dir?

$ADC$ üçgeninin $[AC]$ tabanını biliyoruz; ona ait yükseklik, $D$ noktasının $AC$ doğrusuna uzaklığıdır. Bu uzaklığı bulmalıyız.

$D$ açıortay üzerinde olduğundan açının iki koluna, yani $AB$ ve $AC$ doğrularına eşit uzaklıktadır. $DB \perp AB$ olduğu için $D$ ‘nin $AB$ ‘ye uzaklığı $|DB| = 3$ cm’dir.

Öyleyse $D$ ‘nin $AC$ ‘ye uzaklığı da $3$ cm’dir. Alan: $\dfrac{|AC| \cdot 3}{2} = \dfrac{10 \cdot 3}{2}$ .

Sonuç

$A(ADC) = 15$ cm²

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

P

noktası, köşesi

A

olan bir açının açıortayı üzerindedir.

P

‘den kollara inen dikmelerin ayakları

H

K

‘dir.

|AH| = 12

|PH| = 5

olduğuna göre

|AK| + |PK|

kaçtır?

Açıklama

$APH$ ve $APK$ üçgenleri eştir: $|AK| = |AH| = 12$ ve $|PK| = |PH| = 5$ . Toplam $17$ .

Kenar orta dikme

Son eleman bir köşeden çıkmak zorunda değildir; kenarın kendisine aittir.

Sahne, $A$ ve $B$ noktalarına olan uzaklık farkına göre boyanmış: $A$ ‘ya yakın bölge bir renk, $B$ ‘ye yakın bölge başka renk. İki rengin sınırı tam orta dikmedir. $P$ noktasını sürükle; sınırın üstündeyken $|PA| = |PB|$ oluyor.

Nedeni yine eşlik: $M$ orta nokta ise $PMA$ ve $PMB$ dik üçgenlerinde $|MA| = |MB|$ , $[PM]$ ortak ve aradaki açılar $90^\circ$ ‘dir (kenar-açı-kenar). Yani $P$ ile $[AB]$ her zaman bir ikizkenar üçgen kurar.

Örnek

kolay

Orta dikme ikizkenar üçgen üretir

$ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarının orta dikmesi $[AC]$ kenarını $D$ noktasında kesiyor. $|AB| = 7$ cm ve $|AC| = 11$ cm olduğuna göre $ABD$ üçgeninin çevresi kaç cm’dir?

$D$ noktası $[BC]$ ‘nin orta dikmesi üzerinde olduğundan uçlara eşit uzaklıktadır: $|DB| = |DC|$ .

Çevre $|AB| + |AD| + |DB|$ ‘dir. $|DB|$ yerine $|DC|$ yaz, çünkü o zaman $|AD| + |DC|$ toplamı $[AC]$ kenarının tamamı olur: $|AD| + |DC| = 11$ .

Sonuç

Çevre $= 7 + 11 = 18$ cm

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

P

noktası

[AB]

doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir.

|PA| = 2x + 1

|PB| = x + 6

olduğuna göre

x

kaçtır?

Açıklama

$|PA| = |PB|$ olduğundan $2x + 1 = x + 6$ , yani $x = 5$ . Sağlama: iki uzaklık da $11$ .

Orta

Teoremler: açıortay oranları, alanlar, özel üçgenler

İç açıortay teoremi

Açıortay karşı kenarı ortadan bölmez; komşu kenarlarla orantılı böler. Uzun kenarın yanına uzun parça düşer.

Nedeni iki alan hesabıdır. $ABD$ ve $ADC$ üçgenlerinin $A$ ‘dan inen yüksekliği ortaktır; alanları $|BD|$ ve $|DC|$ ile orantılıdır. Öte yandan $D$ açıortay üzerinde olduğundan $AB$ ve $AC$ ‘ye uzaklığı eşittir; aynı alanlar bu kez $|AB|$ ve $|AC|$ ile orantılıdır. İki oran aynı şeyi ölçtüğüne göre eşittir.

Alanlar oranı iki yoldan:

\dfrac{m}{n}

(ortak yükseklik

A

'dan) ve

\dfrac{c}{b}

(

D

'den inen eş dikmeler).

Sahnede $A$ köşesini sürükle. Açıortayın ayağı $D$ , $[BC]$ üzerinde kayıyor. Göstergede iki oran yan yana: $\dfrac{|BD|}{|DC|}$ ve $\dfrac{|AB|}{|AC|}$ . Üçgeni nasıl bozarsan boz ikisi aynı sayı. $|AB| = |AC|$ yaptığında $D$ tam ortaya geliyor.

Örnek

orta

Açıortayın ayırdığı parçalar

$ABC$ üçgeninde $|AB| = 6$ , $|AC| = 9$ ‘dur. $A$ açısının açıortayı $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kesiyor ve $|DC| = |BD| + 2$ oluyor. $|BC|$ kaç birimdir?

Açıortay görünce parçaları komşu kenarlarla eşle: $[BD]$ parçası $[AB]$ kenarının, $[DC]$ parçası $[AC]$ kenarının yanındadır.

$|BD| = x$ dersek $|DC| = x + 2$ olur. Teorem: $\dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ .

İçler dışlar çarpımı: $3x = 2x + 4$ , yani $x = 4$ . Parçalar $4$ ve $6$ ; oranları $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ , tutuyor.

Sonuç

$|BC| = 4 + 6 = 10$ birim

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

ABC

üçgeninde

|AB| = 8

|AC| = 12

|BC| = 15

‘tir.

A

açısının açıortayı

[BC]

‘yi

D

‘de kestiğine göre

|BD|

kaçtır?

Açıklama

$\dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ . Parçalar $2k$ ve $3k$ : $5k = 15$ , $k = 3$ . $|BD| = 6$ , $|DC| = 9$ .

Dış açıortay teoremi

Bir kenarı köşenin ötesine uzatınca oluşan açı dış açıdır. Onu ortalayan doğru da karşı kenarın uzantısını bir noktada keser.

A

köşesindeki dış açıortay,

[BC]

kenarının uzantısını kısa kenarın tarafında (

B

ötesinde)

E

noktasında keser.

Gerekçe iç açıortaydakiyle aynıdır: $E$ dış açıortay üzerinde olduğundan $AB$ ve $AC$ doğrularına eşit uzaklıktadır. $EAB$ ve $EAC$ üçgenlerinin alanları bir yandan $|EB|$ ve $|EC|$ ile, öte yandan $|AB|$ ve $|AC|$ ile orantılıdır.

Sahnede $|AB|$ sürgüsünü $|AC|$ ‘ye doğru yaklaştır. İki kenar birbirine yaklaştıkça $E$ noktası hızla uzaklaşıyor ve kamera onu izlemek için geri çekiliyor. Kenarlar eşit olduğu anda dış açıortay $BC$ ‘ye paralel kalıyor; kesişim noktası yok.

Örnek

orta

Dış açıortayın kestiği nokta

$ABC$ üçgeninde $|AB| = 4$ , $|AC| = 6$ ve $|BC| = 5$ ‘tir. $A$ köşesinin dış açıortayı $BC$ doğrusunu $E$ noktasında kesiyor. $|EB|$ kaç birimdir?

Önce $E$ ‘nin yerini belirle. $|AB|$ kısa kenar olduğundan $E$ noktası $B$ ‘nin ötesindedir; sıra $E$ , $B$ , $C$ biçimindedir. Bu yüzden $|EC| = |EB| + 5$ .

$|EB| = x$ de ve teoremi yaz; iki uzaklık da $E$ ‘den başlar:

$\dfrac{x}{x + 5} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$

İçler dışlar çarpımı: $3x = 2x + 10$ , yani $x = 10$ . Sağlama: $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ .

Sonuç

$|EB| = 10$ birim

Ağırlık merkezi ve alanlar

Bir kenarortay üçgeni iki parçaya ayırır. Parçaların tabanları eşittir (kenarın iki yarısı), yükseklikleri ortaktır; öyleyse alanları da eşittir.

Kancadaki karton da bu yüzden dengede durur. Kenarortay, karşı kenara paralel her ince şeridi tam ortasından keser; karton kenarortay boyunca konan bir cetvelin üstünde devrilmez. Üç kenarortayın ortak noktası $G$ ‘de ise kalemin ucunda durur.

Örnek

orta

Altı eş parçadan ikisi

Alanı $48$ cm² olan $ABC$ üçgeninde $G$ ağırlık merkezidir. $E$ ve $F$ sırasıyla $[AC]$ ve $[AB]$ kenarlarının orta noktalarıdır. $AFGE$ dörtgeninin alanı kaç cm²’dir?

Dörtgeni tanıdık parçalara böl: $[AG]$ çizilince $AFGE$ dörtgeni $AFG$ ve $AGE$ üçgenlerine ayrılır. Bunlar üç kenarortayın oluşturduğu altı küçük üçgenden ikisidir.

Altı küçük üçgenin alanları eşittir; her biri $\dfrac{48}{6} = 8$ cm²’dir.

Sonuç

$A(AFGE) = 8 + 8 = 16$ cm²

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

ABC

üçgeninde

G

ağırlık merkezidir.

A(GBC) = 12

cm² olduğuna göre

A(ABC)

kaç cm²’dir?

Açıklama

$G$ köşelere birleştirilince üçgen eşit alanlı üç parçaya ayrılır: $A(ABC) = 3 \cdot 12 = 36$ cm².

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay

Kenarortayın uzunluğu genelde kenarlardan kolayca okunmaz. Dik üçgen bunun güzel bir istisnasıdır.

Sahnede dik üçgen, aynısının ters çevrilmiş bir kopyasıyla dikdörtgene tamamlanıyor. Hipotenüs dikdörtgenin bir köşegeni, kenarortayın uzantısı öbür köşegeni oluyor. Dik köşeyi sürükle: hipotenüsün orta noktası üç köşeye de hep aynı uzaklıkta kalıyor.

Nedeni dikdörtgendir: köşegenler eşit uzunluktadır ve birbirini ortalar. $[AD]$ yarım köşegen, $[BD]$ ve $[DC]$ de öbür köşegenin yarılarıdır.

Dik üçgen dikdörtgenin yarısıdır;

[AD]

yarım köşegendir.

Örnek

orta

Dik köşeden ağırlık merkezine

Dik kenarları $10$ cm ve $24$ cm olan bir dik üçgende ağırlık merkezinin dik açının köşesine uzaklığı kaç cm’dir?

Ağırlık merkezi kenarortay üzerindedir. Dik köşeden çıkan kenarortay hipotenüse gider; o hâlde önce hipotenüsü bul. Pisagor teoremi (Dik Üçgen): $\sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{676} = 26$ cm.

Hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır: $\dfrac{26}{2} = 13$ cm.

$G$ bu kenarortayı köşeden başlayarak $2$ ‘ye $1$ böler; istenen uzaklık kenarortayın $\dfrac{2}{3}$ ‘üdür.

Sonuç

$\dfrac{2}{3} \cdot 13 = \dfrac{26}{3}$ cm

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Hipotenüsü

18

cm olan bir dik üçgende ağırlık merkezinin hipotenüsün orta noktasına uzaklığı kaç cm’dir?

Açıklama

Kenarortay $\dfrac{18}{2} = 9$ cm. $G$ ‘den kenarın ortasına olan parça kenarortayın üçte biridir: $3$ cm.

Kenar orta dikmeler tek noktada kesişir

$O$ noktası $[AB]$ ‘nin orta dikmesi üzerindeyse $|OA| = |OB|$ , $[BC]$ ‘nin orta dikmesi üzerindeyse $|OB| = |OC|$ olur. İkisinin kesiştiği noktada $|OA| = |OC|$ çıkar; kuralın tersi gereği $O$ , $[AC]$ ‘nin orta dikmesi üzerindedir de. Üçüncü orta dikme aynı noktadan geçmek zorundadır.

Üç orta dikme

O

noktasında buluşur:

|OA| = |OB| = |OC|

Örnek

orta

Üç köye eşit uzaklıkta su deposu

Düz bir ovada $A$ , $B$ ve $C$ köyleri bir üçgenin köşelerindedir. $A$ köyünden $B$ ‘ye giden yol $6$ km, $C$ ‘ye giden yol $8$ km’dir ve bu iki yol birbirine diktir. Üç köye de eşit uzaklıkta bir su deposu kurulacaktır. Deponun her köye uzaklığı kaç km olur?

“Üç köşeye eşit uzaklık” ifadesi kenar orta dikmelerin kesişim noktasını tarif eder. Burada üçgen $A$ köşesinde diktir.

Dik üçgende bu nokta hipotenüsün orta noktasıdır, çünkü hipotenüse ait kenarortay kuralı $|AD| = |BD| = |DC|$ verir. Hipotenüs: $|BC| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ km.

Depo $[BC]$ yolunun tam ortasına kurulur; her köye uzaklığı hipotenüsün yarısıdır.

Sonuç

$\dfrac{10}{2} = 5$ km

İkizkenar ve eşkenar üçgende dikmeler toplamı

Alanı parçalayarak yazmak, açıortay teoremini verdiği gibi iki sonuç daha verir.

Sahnede ikizkenar üçgenin tabanında bir $P$ noktası var. $P$ ‘yi taban boyunca sürükle: bir dikme uzarken öbürü tam o kadar kısalıyor. Yandaki çubuk iki dikmeyi uç uca ekliyor; boyu hep eş kenara ait yükseklik kadar. Düğmeyle eşkenar üçgene geç ve noktayı içeride gezdir.

|PD| + |PE| = |BH|

P

tabanda nerede olursa olsun.

İkizkenar için neden: $[AP]$ üçgeni ikiye ayırır. $|AB| = |AC| = b$ ise $\dfrac{b \cdot |PD|}{2} + \dfrac{b \cdot |PE|}{2} = \dfrac{b \cdot h_b}{2}$ ; her terimi $\dfrac{b}{2}$ ile sadeleştirince $|PD| + |PE| = h_b$ kalır. Eşkenar üçgende aynı hesap üç parçayla yapılır.

Üç parçanın tabanları eşit; alanları toplanınca

x + y + z = h

çıkar.

Örnek

orta

Tabandaki noktadan iki dikme

$|AB| = |AC| = 13$ cm, $|BC| = 10$ cm olan $ABC$ üçgeninde $P$ noktası $[BC]$ üzerindedir. $P$ ‘den $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarına inen dikmelerin uzunlukları toplamı kaç cm’dir?

Toplam, eş kenara ait yüksekliğe eşittir; $P$ ‘nin yeri önemli değil. O hâlde $h_b$ gerekli, onu alandan bulacağız.

İkizkenar üçgende tepeden tabana inen yükseklik tabanı ortalar: $5$ - $12$ - $13$ üçgeninden $h_a = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ cm. Alan: $\dfrac{10 \cdot 12}{2} = 60$ cm².

Aynı alanı eş kenarla yaz: $\dfrac{13 \cdot h_b}{2} = 60$ , yani $h_b = \dfrac{120}{13}$ .

Sonuç

Dikmeler toplamı $\dfrac{120}{13}$ cm’dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir eşkenar üçgenin içindeki bir noktanın kenarlara uzaklıkları

2

cm,

3

cm ve

4

cm’dir. Bu üçgenin yüksekliği kaç cm’dir?

Açıklama

Eşkenar üçgende iç noktadan kenarlara inen dikmelerin toplamı yüksekliktir: $2 + 3 + 4 = 9$ cm.

İleri

Birleşik sorular, koordinatlar ve tuzaklar

Dört nokta bir arada

Şimdiye dek dört kesişim noktası gördün. Hangi doğruların kesişimi olduklarını ve neye eşit uzaklıkta olduklarını karıştırmamak, zor soruların yarısıdır.

Kesişen doğrular	Nokta	Özelliği	Geniş açılı üçgende
Kenarortaylar	Ağırlık merkezi $G$	Kenarortayı $2$ ‘ye $1$ böler	İçeride
İç açıortaylar	Açıortayların kesişimi	Üç kenara eşit uzaklıkta	İçeride
Kenar orta dikmeler	Çevrel çemberin merkezi	Üç köşeye eşit uzaklıkta	Dışarıda
Yükseklikler	Diklik merkezi	Karşı kenara dik doğrular üzerinde	Dışarıda

İç açıortayların tek noktada kesişmesi de eş uzaklıkla açıklanır: $A$ ve $B$ açıortaylarının kesiştiği nokta hem $AB$ ile $AC$ ‘ye hem $AB$ ile $BC$ ‘ye eşit uzaklıktadır; öyleyse $AC$ ile $BC$ ‘ye de eşit uzaklıktadır ve $C$ açıortayı üzerindedir.

Sahnede dört nokta aynı üçgende, her biri kendi rengi ve etiketiyle. Köşeyi sürükleyip üçgeni genişlet: ikisi dışarı kaçıyor, ikisi hep içeride kalıyor. “Eşkenar” düğmesine bas; dört nokta tek noktada üst üste biniyor, çünkü eşkenar üçgende yükseklik, kenarortay, açıortay ve orta dikme aynı doğrudur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Geniş açılı bir üçgende aşağıdaki noktalardan hangileri üçgenin dışındadır?

Açıklama

Kenarortaylar ve iç açıortaylar köşeden karşı kenara üçgenin içinden gider; kesişimleri içeridedir. Yükseklik doğruları ile orta dikmeler geniş açılı üçgende dışarıda kesişir.

İç ve dış açıortay birlikte

Örnek

zor

İki açıortay, bir dik üçgen

$ABC$ üçgeninde $|AB| = 4$ , $|AC| = 6$ , $|BC| = 5$ ‘tir. $A$ köşesinin iç açıortayı $[BC]$ kenarını $D$ noktasında, dış açıortayı $BC$ doğrusunu $E$ noktasında kesiyor. $M$ , $[DE]$ ‘nin orta noktası olduğuna göre $|AM|$ kaç birimdir?

İç açıortay teoremi: $\dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ . Parçalar $2k$ ve $3k$ , toplamları $5$ ; öyleyse $|BD| = 2$ , $|DC| = 3$ .

Dış açıortay teoremi: $E$ kısa kenar tarafında, $B$ ‘nin ötesindedir. $|EB| = x$ için $\dfrac{x}{x + 5} = \dfrac{2}{3}$ , buradan $x = 10$ .

$E$ , $B$ , $D$ aynı doğru üzerinde bu sırada olduğundan $|DE| = |EB| + |BD| = 10 + 2 = 12$ .

Aynı köşenin iç ve dış açıortayları diktir; yani $DAE$ üçgeni $A$ köşesinde dik, hipotenüsü $[DE]$ ‘dir. $[AM]$ hipotenüse ait kenarortaydır ve hipotenüsün yarısına eşittir.

Sonuç

$|AM| = \dfrac{12}{2} = 6$ birim

AD \perp AE

olduğundan

M

noktası

D

A

E

'ye eşit uzaklıktadır.

Bu soruda açıortayın uzunluğunu hiç hesaplamadık. Soru açıortay verip uzunluk soruyorsa oran, eş uzaklık ya da dik üçgen arar; hazır bir uzunluk formülü beklemez.

Üç kenara eşit uzaklık

Örnek

zor

Parkın ortasındaki çeşme

Üçgen biçimindeki bir parkın kenarları boyunca $60$ m, $80$ m ve $100$ m uzunluğunda üç yürüyüş yolu vardır. Parkın içine, üç yola da eşit uzaklıkta olacak biçimde bir çeşme yapılacaktır. Çeşmenin yollara uzaklığı kaç metredir?

Üç kenara eşit uzaklıktaki iç nokta, iç açıortayların kesişim noktasıdır. Uzaklığa $r$ diyelim; $r$ , çeşmeden her kenara inen dikmenin uzunluğudur.

Çeşmeyi üç köşeye birleştir. Park, tabanları $60$ , $80$ , $100$ ve yükseklikleri $r$ olan üç üçgene ayrılır. Alanları toplamı parkın alanıdır:

$\dfrac{60r}{2} + \dfrac{80r}{2} + \dfrac{100r}{2} = 120r$

Parkın alanını ayrıca bul. $60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 100^2$ olduğundan üçgen diktir; dik kenarlar $60$ ve $80$ ‘dir. Alan $\dfrac{60 \cdot 80}{2} = 2400$ m².

İki ifadeyi eşitle: $120r = 2400$ .

Sonuç

$r = 20$ m

Bu nokta, üçgenin kenarlarına içten teğet olan çemberin merkezidir; çemberle ilgili kısmı Çemberde Teğet sayfasında.

Koordinat düzleminde ağırlık merkezi ve diklik merkezi

ÖSYM bu konunun noktalarını çoğunlukla analitik düzleme taşıyarak sorar. Gereken iki araç Noktanın ve Doğrunun Analitik İncelenmesi sayfasındadır: ağırlık merkezinin koordinatları ve dik doğruların eğimleri.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Köşeleri

A(1, 5)

B(-2, 0)

C(7, 1)

olan üçgenin ağırlık merkezi hangi noktadır?

Açıklama

$\dfrac{1 + (-2) + 7}{3} = 2$ ve $\dfrac{5 + 0 + 1}{3} = 2$ . $G(2, 2)$ .

Örnek

zor

Diklik merkezinin koordinatları

Köşeleri $A(0, 6)$ , $B(-2, 0)$ ve $C(8, 0)$ olan üçgenin diklik merkezinin koordinatlarını bul.

İki yüksekliğin kesişimi yeterlidir. Kolay olanı seç: $[BC]$ kenarı $x$ ekseni üzerindedir, ona dik olan ve $A(0, 6)$ ‘dan geçen yükseklik $x = 0$ doğrusudur ( $y$ ekseni).

İkinci yükseklik $B$ ‘den çıkar ve $AC$ ‘ye diktir. $AC$ ‘nin eğimi $\dfrac{0 - 6}{8 - 0} = -\dfrac{3}{4}$ ‘tür. Dik doğruların eğimleri çarpımı $-1$ olduğundan yüksekliğin eğimi $\dfrac{4}{3}$ ‘tür.

$B(-2, 0)$ ‘dan geçen, eğimi $\dfrac{4}{3}$ olan doğru: $y = \dfrac{4}{3}(x + 2)$ . $x = 0$ için $y = \dfrac{8}{3}$ .

Sağlama, üçüncü yükseklikle: $AB$ ‘nin eğimi $3$ , $C(8, 0)$ ‘dan geçen dikme $y = -\dfrac{1}{3}(x - 8)$ ; $x = 0$ için yine $y = \dfrac{8}{3}$ .

Sonuç

Diklik merkezi $H\left(0, \dfrac{8}{3}\right)$ noktasıdır.

Dik kesişen kenarortaylar

Örnek

zor

Kenarortaylardan kenara

$ABC$ üçgeninde $[BE]$ ve $[CF]$ kenarortayları $G$ noktasında dik kesişiyor. $|BE| = 9$ cm ve $|CF| = 12$ cm olduğuna göre $|BC|$ kaç cm’dir ve $ABC$ üçgeninin alanı kaç cm²’dir?

Kenarortayların kesişimi ağırlık merkezidir; köşe tarafındaki parçalar kenarortayların $\dfrac{2}{3}$ ‘üdür: $|BG| = \dfrac{2}{3} \cdot 9 = 6$ ve $|CG| = \dfrac{2}{3} \cdot 12 = 8$ .

Kenarortaylar dik kesiştiğinden $GBC$ üçgeni $G$ köşesinde diktir. Pisagor: $|BC| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ cm.

$A(GBC) = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$ cm². $G$ köşelere birleştirilince üçgen eşit alanlı üç parçaya ayrılır; $GBC$ bunlardan biridir.

Sonuç

$|BC| = 10$ cm ve $A(ABC) = 3 \cdot 24 = 72$ cm²

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Yükseklik: köşeden karşı kenara dik. $a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c$ . Diklik merkezi dar açılıda içeride, dik üçgende dik köşede, geniş açılıda dışarıda.
Kenarortay: köşeden karşı kenarın ortasına. $|AG| = 2|GD|$ ; kenarortay alanı ikiye, üç kenarortay altıya böler. $G$ koordinatları köşelerin ortalamasıdır.
Dik üçgen: hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır.
Açıortay: üzerindeki nokta açının kollarına eşit uzaklıkta. İç: $\dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|}$ . Dış: $\dfrac{|EB|}{|EC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|}$ . İç ve dış açıortay birbirine dik.
Kenar orta dikme: üzerindeki nokta uçlara eşit uzaklıkta. Üçü, köşelere eşit uzaklıktaki noktada kesişir.
Dikmeler toplamı: ikizkenarda tabandan eş kenarlara inenler $h_b$ eder; eşkenarda içten üç kenara inenler $h$ eder.
Açıortay ve kenarortay uzunluk formülleri program dışı.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

1 çıkmış soru7 özgün soru

2021 AYTSoru 32

Zor

Ağırlık merkezi ve diklik merkezi

Dik koordinat düzleminde köşelerinden biri orijin olan bir üçgen veriliyor. Bu üçgenin ağırlık merkezi $(0, 6)$ , diklik merkezi $(0, 8)$ noktasıdır.

Buna göre, üçgenin alanı kaç birimkaredir?

İpucu

Orijindeki köşeden çıkan yükseklik diklik merkezinden geçer. Bu yükseklik hangi doğrunun üzerindedir ve karşı kenar için ne söyler?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

Köşeler $O(0, 0)$ , $A(x_1, y_1)$ , $B(x_2, y_2)$ olsun.

1. Ağırlık merkezi. Koordinatlar köşelerin ortalamasıdır: $\dfrac{x_1 + x_2}{3} = 0$ ve $\dfrac{y_1 + y_2}{3} = 6$ . Yani $x_1 + x_2 = 0$ ve $y_1 + y_2 = 18$ .

2. Orijinden çıkan yükseklik. Her yükseklik doğrusu diklik merkezi $H(0, 8)$ 'den geçer. $O$ köşesinden çıkan yükseklik $O$ ve $H$ 'den geçtiğine göre $y$ ekseni üzerindedir. $[AB]$ kenarı bu yüksekliğe diktir, yani yataydır: $y_1 = y_2 = 9$ . Köşeler $A(-t, 9)$ ve $B(t, 9)$ biçimindedir ( $t > 0$ ).

3. İkinci yükseklik. $A$ köşesinden çıkan yükseklik de $H$ 'den geçer ve $OB$ kenarına diktir. Eğimler çarpımı $-1$ olmalı:

$m_{AH} \cdot m_{OB} = \dfrac{8 - 9}{0 - (-t)} \cdot \dfrac{9}{t} = -\dfrac{9}{t^2} = -1 \quad\Rightarrow\quad t = 3$

4. Alan. $|AB| = 6$ ; $O$ noktasının $y = 9$ doğrusuna uzaklığı $9$ 'dur.

$\text{Alan} = \dfrac{6 \cdot 9}{2} = 27$

Sağlama: $A(-3, 9)$ , $B(3, 9)$ , $O(0, 0)$ için ağırlık merkezi $\left(0, \dfrac{18}{3}\right) = (0, 6)$ çıkar.

Cevap: D

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

İç açıortay teoremi

$ABC$ üçgeninde $|AB| = 10$ birim, $|AC| = 15$ birim ve $|BC| = 20$ birimdir. $A$ açısının açıortayı $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir.

Buna göre, $|BD|$ kaç birimdir?

Çözüm

İç açıortay teoremi: açıortay karşı kenarı komşu kenarlarla orantılı böler.

$\dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$

$|BD| = 2k$ , $|DC| = 3k$ dersek $5k = 20$ , $k = 4$ olur. $|BD| = 2 \cdot 4 = 8$ birim.

Çeldiriciler: $10$ , $D$ 'yi orta nokta saymaktan; $12$ , oranı ters kurmaktan ( $|DC|$ uzunluğu) çıkar.

Cevap: B

Özgün soru2

Kolay

Kenar orta dikme

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $M$ noktası $[BC]$ kenarının orta noktasıdır. $[BC]$ kenarının orta dikmesi $[AC]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir. $|AB| = 9$ cm ve $ABD$ üçgeninin çevresi $24$ cm'dir.

Buna göre, $|AC|$ kaç cm'dir?

Çözüm

$D$ noktası $[BC]$ 'nin orta dikmesi üzerindedir; orta dikme üzerindeki her nokta uçlara eşit uzaklıktadır: $|DB| = |DC|$ .

$ABD$ üçgeninin çevresi:

$|AB| + |AD| + |DB| = 9 + |AD| + |DC| = 9 + |AC|$

çünkü $D$ noktası $[AC]$ üzerinde olduğundan $|AD| + |DC| = |AC|$ 'dir. $9 + |AC| = 24$ eşitliğinden $|AC| = 15$ cm.

Cevap: C

Özgün soru3

Orta

Dış açıortay teoremi

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 90^\circ$ , $|AB| = 6$ birim ve $|BC| = 8$ birimdir. $A$ köşesindeki dış açının açıortayı, $[CB]$ kenarının uzantısını $E$ noktasında kesmektedir.

Buna göre, $|AE|$ kaç birimdir?

İpucu

Önce $|EB|$ uzunluğunu bul; bunun için $[AC]$ kenarı gerekir. Sonra $ABE$ üçgeninin nasıl bir üçgen olduğuna bak.

Çözüm

1. Hipotenüs. $ABC$ dik üçgeninde $|AC| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ .

2. Dış açıortay teoremi. $|AB| < |AC|$ olduğundan $E$ noktası $B$ 'nin ötesindedir ve $|EC| = |EB| + 8$ 'dir. $|EB| = x$ için

$\dfrac{|EB|}{|EC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{x}{x + 8} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$

$5x = 3x + 24$ , yani $x = 12$ .

3. Pisagor. $E$ , $B$ , $C$ aynı doğru üzerinde ve $AB \perp BC$ olduğundan $ABE$ üçgeni de $B$ köşesinde diktir:

$|AE| = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$

Tuzak: $12$ sayısı $|EB|$ 'dir; soru $|AE|$ 'yi istiyor. Açıortayın uzunluğunu formülle değil, şekildeki dik üçgenle bulduk.

Cevap: B

Özgün soru4

Orta

İkizkenar üçgende dikmeler toplamı

$|AB| = |AC| = 10$ cm ve $|BC| = 12$ cm olan $ABC$ üçgeninde $P$ noktası $[BC]$ kenarı üzerindedir. $P$ noktasının $AB$ doğrusuna uzaklığı $3{,}6$ cm'dir.

Buna göre, $P$ noktasının $AC$ doğrusuna uzaklığı kaç cm'dir?

İpucu

İki uzaklığın toplamı $P$ 'nin yerine bağlı değildir. Toplamın eşit olduğu yüksekliği alandan bulabilirsin.

Çözüm

1. Kural. İkizkenar üçgenin tabanındaki bir noktadan eş kenarlara inen dikmelerin toplamı, eş kenara ait yüksekliğe ( $h_b$ ) eşittir.

2. Alan. Tepeden tabana inen yükseklik tabanı ortalar: $6$ - $8$ - $10$ üçgeninden $h_a = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ cm. Alan $\dfrac{12 \cdot 8}{2} = 48$ cm².

3. Eş kenara ait yükseklik. $\dfrac{10 \cdot h_b}{2} = 48$ eşitliğinden $h_b = 9{,}6$ cm.

4. İstenen uzaklık. $3{,}6 + d = 9{,}6$ , yani $d = 6$ cm.

Tuzak: toplamı tabana ait yükseklik olan $8$ cm'ye eşitlemek ( $4{,}4$ cevabı). Toplam, dikmelerin indiği kenarlara ait yüksekliğe eşittir.

Cevap: C

Özgün soru5

Orta

Eşkenar üçgende dikmeler toplamı

Eşkenar üçgen biçimindeki bir bahçenin içine bir fıskiye yerleştirilmiştir. Fıskiyenin bahçenin üç kenarına olan uzaklıkları $2\sqrt{3}$ m, $3\sqrt{3}$ m ve $4\sqrt{3}$ m olarak ölçülmüştür.

Buna göre, bahçenin çevresi kaç metredir?

İpucu

Üç uzaklığın toplamı üçgenin hangi elemanına eşittir? O elemandan kenar uzunluğuna $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ üçgeniyle geç.

Çözüm

1. Yükseklik. Eşkenar üçgenin içindeki bir noktadan kenarlara inen dikmelerin toplamı yüksekliğe eşittir:

$h = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \text{ m}$

2. Kenar. Kenarı $a$ olan eşkenar üçgende yükseklik, üçgeni iki $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ üçgenine ayırır ve $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ 'dir. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ eşitliğinden $a = 18$ m.

3. Çevre. $3 \cdot 18 = 54$ m.

Sağlama (alanla): fıskiye köşelere birleştirilince alan $\dfrac{18 \cdot 9\sqrt{3}}{2} = 81\sqrt{3}$ m² olur; bu, kenarı $18$ olan eşkenar üçgenin alanı $\dfrac{18^2\sqrt{3}}{4} = 81\sqrt{3}$ ile aynıdır.

Cevap: D

Özgün soru6

Orta

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay

$m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$ olan $ABC$ üçgeninde $G$ ağırlık merkezidir. $|AG| = 4$ birim ve $|AB| = 6$ birimdir.

Buna göre, $ABC$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

İpucu

$[AG]$ , $A$ köşesinden çıkan kenarortayın bir parçasıdır. Bu kenarortay hangi kenara gider ve o kenarla arasında nasıl bir bağıntı vardır?

Çözüm

1. Kenarortay. $A$ 'dan çıkan kenarortay $[AD]$ olsun ( $D$ , $[BC]$ 'nin orta noktası). $|AG| = \dfrac{2}{3}|AD|$ olduğundan $|AD| = 4 \cdot \dfrac{3}{2} = 6$ .

2. Hipotenüs. $A$ açısı dik olduğundan $[BC]$ hipotenüstür ve hipotenüse ait kenarortay onun yarısıdır: $|BC| = 2 \cdot 6 = 12$ .

3. Öbür dik kenar. Pisagor: $|AC| = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ .

4. Alan. Dik kenarlar çarpımının yarısı:

$\dfrac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$

Tuzak: $|AG| = 4$ 'ü kenarortayın tamamı sayarsan hipotenüs $8$ , alan $6\sqrt{7}$ çıkar; seçeneklerde olmaması hatayı fark ettirir.

Cevap: C

Özgün soru7

Zor

Açıortay ve kenarortay birlikte

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $[AD]$ iç açıortay, $[BE]$ kenarortaydır ve bu iki doğru parçası $K$ noktasında dik kesişmektedir. $|AB| = 6$ birim ve $|BC| = 15$ birimdir.

Buna göre, $|DC|$ kaç birimdir?

İpucu

$ABE$ üçgenine bak: $A$ köşesinden çıkan açıortay karşı kenara dik. Böyle bir üçgen için ne söyleyebilirsin?

Çözüm

1. Gizli ikizkenar üçgen. $ABE$ üçgeninde $[AK]$ , $A$ açısının açıortayıdır ve $[BE]$ kenarına diktir. $AKB$ ve $AKE$ dik üçgenlerinde $[AK]$ ortak, $A$ köşesindeki açılar eş, $K$ köşesindeki açılar $90^\circ$ 'dir (açı-kenar-açı); üçgenler eştir. Öyleyse $|AE| = |AB| = 6$ .

2. $[AC]$ kenarı. $[BE]$ kenarortay olduğundan $E$ , $[AC]$ 'nin orta noktasıdır: $|AC| = 2 \cdot 6 = 12$ .

3. İç açıortay teoremi.

$\dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$

$|BD| = k$ , $|DC| = 2k$ için $3k = 15$ , $k = 5$ .

$|DC| = 2 \cdot 5 = 10$

Tuzak: $7{,}5$ cevabı $D$ 'yi orta nokta saymaktan gelir. Kenarı ortalayan $E$ 'dir; $D$ açıortayın ayağıdır ve kenarı $1$ 'e $2$ oranında böler.

Cevap: D