37Konu 37 / 49
Geometri

Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik

İki üçgenin ne zaman eş, ne zaman benzer olduğunu en az bilgiyle belirlemeyi öğreniyoruz; temel orantı teoremi, kelebek benzerliği, benzerlik oranı ile alan oranı ve gerçek hayat problemleriyle sınav düzeyine çıkıyoruz.

9. sınıf
AYT sıklığı
60 dk

LevhaÜçgenlerde Eşlik ve BenzerlikÜçgenlerde Eşlik ve Benzerlik

Okul bahçesindeki bayrak direğinin boyunu, direğe tırmanmadan ölçmek istiyorsun. Yere dik tuttuğun $1{,}5$ metrelik çubuğun gölgesi $2$ metre; aynı anda direğin gölgesi $12$ metre. Direğe hiç dokunmadan boyunun $9$ metre olduğunu söyleyebilirsin. Bunu mümkün kılan fikir benzerliktir: biçimi aynı, boyutu farklı iki üçgen.

Isınma

Başlamadan: açılar ve orantı

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu iç ters açılardan biri

65^\circ

ise diğeri kaç derecedir?

Açıklama

Paralel doğrularda iç ters açılar eştir, yöndeş açılar da eştir. Bu sayfadaki benzerliklerin çoğu bu iki bilgiyle kurulur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir üçgenin iki iç açısı

50^\circ

60^\circ

ise üçüncü iç açısı kaç derecedir?

Açıklama

İç açılar toplamı $180^\circ$ ‘dir: $180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$ . İki açı bilinince üçüncüsü kendiliğinden belli olur. Ayrıntısı Üçgende Açılar ve Kenarlar sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\dfrac{6}{9} = \dfrac{x}{12}

orantısında

x

kaçtır?

Açıklama

İçler dışlar çarpımı: $9x = 6 \cdot 12 = 72$ , $x = 8$ . Benzerlikte büyüklükler eklenerek değil, çarpılarak büyür.

Temel

Eş üçgenler ve benzerliğe ilk bakış

Eş üçgenler

İki üçgenden birini kesip öbürünün üstüne koyduğunda tam çakışıyorsa bu üçgenler eştir. Çakıştırmak için kaydırabilir, döndürebilir, hatta ters çevirebilirsin; uzunluklar ve açılar bu hareketlerde değişmez.

DEF

üçgeni,

ABC

üçgeninin çevrilip döndürülmüş kopyasıdır. Aynı sayıda çentik eş kenarları, aynı sayıda yay eş açıları gösterir.

Sahnede sürgüyle ikinci üçgeni birincinin üstüne taşı: önce ötelenir, sonra döner, en son ters çevrilir. Çakışma tamamlanınca altı eleman da tek tek eşleşir. Seçimi “bir kenarı uzun” yap ve yeniden dene; tek bir kenar bile farklıysa üçgenler çakışmaz.

Örnek

kolay

Yazım sırasından eş elemanları okuma

$\overset{\triangle}{ABC} \cong \overset{\triangle}{KLM}$ veriliyor. $|AB| = 7$ cm, $|BC| = 9$ cm, $|KM| = 6$ cm, $m(\widehat{A}) = 87^\circ$ ve $m(\widehat{L}) = 42^\circ$ olduğuna göre $ABC$ üçgeninin çevresi kaç cm, $m(\widehat{C})$ kaç derecedir?

Eşleşmeyi yazım sırasından oku, çünkü şekle bakmadan hangi elemanın hangisine karşılık geldiğini o söyler: $A \leftrightarrow K$ , $B \leftrightarrow L$ , $C \leftrightarrow M$ .

$[KM]$ kenarının harfleri $1.$ ve $3.$ sıradadır; karşılığı $[AC]$ olur. Öyleyse $|AC| = |KM| = 6$ cm ve çevre $7 + 9 + 6 = 22$ cm.

$L$ köşesinin karşılığı $B$ olduğundan $m(\widehat{B}) = 42^\circ$ . İç açılar toplamından $m(\widehat{C}) = 180^\circ - 87^\circ - 42^\circ = 51^\circ$ .

Sonuç

Çevre $22$ cm, $m(\widehat{C}) = 51^\circ$ .

Üç bilgi yeter: eşlik kuralları

Bir üçgenin üç kenarı ve üç açısı, yani altı elemanı vardır. İki üçgenin eş olduğunu söylemek için altısını da karşılaştırmak gerekmez; doğru seçilmiş üç eleman üçgeni tek biçimde belirler.

Her kuralda işaretli üç eleman verilir; kalan üç eleman kendiliğinden belirlenir.

Sahnede $[AB]$ kenarı sabit; $C$ köşesini sen yerleştiriyorsun. Seçtiğin kural, $C$ için iki yer çizer: bir kenar uzunluğu bir çember, bir açı bir ışın demektir. K.K.K., K.A.K. ve A.K.A. seçildiğinde bu iki çizgi tek noktada kesişir. K.K.A. seçildiğinde çember ışını iki noktada keser: aynı üç bilgiyle iki farklı üçgen.

m(\widehat{A}) = 30^\circ

|AB| = 8

|BC| = 5

: hem

ABC_1

hem

ABC_2

bu üç koşulu sağlar.

İki açısı eş olan üçgenlerin üçüncü açıları da eştir. Bu yüzden iki açı ile herhangi bir kenarın karşılıklı eşliği, A.K.A. kuralına indirgenir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

ABC

DEF

üçgenlerinde

|AB| = |DE|

|AC| = |DF|

veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi eklenirse üçgenlerin eş olduğu kesinleşir?

Açıklama

$[AB]$ ile $[AC]$ kenarlarının arasındaki açı $A$ açısıdır. $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$ eklenince K.A.K. sağlanır.

Örnek

kolay

Birbirini ortalayan iki doğru parçası

$[AB]$ ve $[CD]$ doğru parçaları $O$ noktasında birbirini ortalıyor. $|AC| = 8$ cm olduğuna göre $|BD|$ kaç cm’dir? $[AC]$ ile $[BD]$ paralel midir?

“Ortalıyor” sözünü eşitliğe çevir: $|AO| = |OB|$ ve $|CO| = |OD|$ . İki çift eş kenar bulduk.

Bu kenarların arasındaki açılara bak: $\widehat{AOC}$ ile $\widehat{BOD}$ ters açılardır, dolayısıyla eştir. K.A.K. kuralı sağlandı:

$\overset{\triangle}{AOC} \cong \overset{\triangle}{BOD}$

Eşleşme $A \leftrightarrow B$ , $O \leftrightarrow O$ , $C \leftrightarrow D$ olduğundan $[AC]$ kenarının karşılığı $[BD]$ ‘dir: $|BD| = 8$ cm.

Aynı eşleşmeden $m(\widehat{OAC}) = m(\widehat{OBD})$ . Bu açılar $AB$ keseninin oluşturduğu iç ters açılardır; eş olduklarına göre $[AC] \parallel [BD]$ .

Sonuç

$|BD| = 8$ cm ve $[AC] \parallel [BD]$ .

Eş kenar çiftleri ve aralarındaki ters açılar: K.A.K.

Eş üçgenlerin yardımcı elemanları

Bir köşeden karşı kenara inen dikmeye yükseklik, karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasına kenarortay, açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasına açıortay denir. Eş üçgenler tam çakıştığına göre bu yardımcı elemanlar da çakışır: karşılıklı yükseklikler, kenarortaylar ve açıortaylar eştir. Yardımcı elemanların kendi özellikleri Üçgenin Yardımcı Elemanları sayfasındadır.

Örnek

kolay

İkizkenar üçgende tabana inen yükseklik

$ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB| = |AC| = 13$ cm ve $|BC| = 10$ cm’dir. $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına inen yüksekliğin ayağı $H$ olduğuna göre $|BH|$ kaç cm’dir?

Yükseklik üçgeni $ABH$ ve $ACH$ diye ikiye ayırır. Bu ikisinin eş olduğunu gösterirsek $|BH| = |HC|$ çıkar.

İkizkenar üçgende taban açıları eştir: $m(\widehat{B}) = m(\widehat{C})$ . $H$ köşesindeki açıların ikisi de $90^\circ$ . İki açı eş olunca üçüncüler de eştir: $m(\widehat{BAH}) = m(\widehat{CAH})$ .

Şimdi A.K.A. hazır: $m(\widehat{B}) = m(\widehat{C})$ , $|AB| = |AC|$ ve $m(\widehat{BAH}) = m(\widehat{CAH})$ ; kenar bu iki açının arasındadır. $\overset{\triangle}{ABH} \cong \overset{\triangle}{ACH}$ .

Sonuç

$|BH| = |HC| = \dfrac{10}{2} = 5$ cm. İkizkenar üçgende tabana inen yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır.

Benzer üçgenler

Bir fotoğrafı telefonda iki parmağınla büyüttüğünde yüzler bozulmaz: açılar aynı kalır, bütün uzunluklar aynı sayıyla çarpılır. Harita, maket ve gölge de böyledir. Biçimi aynı, boyutu farklı olabilen şekillere benzer şekiller denir.

Açılar eş; kenar oranları

\dfrac{6}{9} = \dfrac{5}{7{,}5} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}

Sahnede $k$ sürgüsünü oynat. Üçgenin kopyası büyüyüp küçülürken açı göstergeleri hiç değişmiyor; üç kenarın oranı da her an aynı sayıyı, $k$ ‘yı gösteriyor. $k = 1$ konumunda kopya asıl üçgenin tam üstüne oturur.

Eşlik, benzerliğin özel bir durumudur: benzerlik oranı $k = 1$ olan benzer üçgenler eştir. Her eş üçgen çifti benzerdir, ama benzer üçgenler eş olmak zorunda değildir.

Örnek

kolay

Benzerlik oranından kenar bulma

$\overset{\triangle}{ABC} \sim \overset{\triangle}{DEF}$ veriliyor. $|AB| = 6$ cm, $|BC| = 9$ cm, $|AC| = 12$ cm ve $|DE| = 4$ cm olduğuna göre $DEF$ üçgeninin çevresi kaç cm’dir?

Önce iki uzunluğu da bilinen karşılıklı kenar çiftini bul: $[AB] \leftrightarrow [DE]$ . Benzerlik oranı $k = \dfrac{|AB|}{|DE|} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$ .

Diğer çiftler de aynı oranı verir. $\dfrac{9}{|EF|} = \dfrac{3}{2}$ eşitliğinden $|EF| = 6$ cm, $\dfrac{12}{|DF|} = \dfrac{3}{2}$ eşitliğinden $|DF| = 8$ cm.

Sonuç

$DEF$ üçgeninin çevresi $4 + 6 + 8 = 18$ cm’dir. Sağlama: çevrelerin oranı da $\dfrac{27}{18} = \dfrac{3}{2}$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\overset{\triangle}{ABC} \sim \overset{\triangle}{KLM}

|AB| = 10

|KL| = 4

|LM| = 6

ise

|BC|

kaçtır?

Açıklama

$k = \dfrac{|AB|}{|KL|} = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}$ . $[BC]$ kenarının karşılığı $[LM]$ ‘dir: $|BC| = 6 \cdot \dfrac{5}{2} = 15$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Açıklama

Eş üçgenlerde açılar eş, kenar oranları $1$ ‘dir; bu, $k = 1$ olan benzerliktir.

Orta

Benzerlik kuralları ve temel orantı teoremi

Benzerlik kuralları

Eşlikte olduğu gibi benzerlikte de bütün açıları ve kenarları denetlemek gerekmez. En çok kullanacağın kural yalnızca iki açı ister.

A.A. kuralında üçüncü açıya bakmaya gerek yoktur, çünkü iki açı eşse üçüncüsü de eştir. Kancadaki gölge probleminde de bu kural çalıştı: çubuk ve direk yere dik ( $90^\circ$ ), güneş ışınları paralel olduğu için ışınların yerle yaptığı açılar eş.

Sahnede iki üçgenin taban açıları ortak sürgülere bağlı: $\alpha$ ve $\beta$ . Sağdaki üçgenin tabanını üçüncü sürgüyle uzat ya da kısalt. Hangi açıları seçersen seç, üç kenar oranı aynı sayıyı gösteriyor: iki açı biçimi tamamen belirler.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Kenar uzunlukları

6

9

12

olan üçgen ile kenar uzunlukları

8

12

16

olan üçgen için hangisi doğrudur?

Açıklama

Kenarları küçükten büyüğe eşle: $\dfrac{6}{8} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4}$ . Üç oran eşit olduğundan K.K.K. ile benzerdirler.

Örnek

orta

Ortak açılı iki üçgen

$ABC$ üçgeninde $D \in [AB]$ , $E \in [AC]$ ve $m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB})$ ‘dir. $|AD| = 4$ , $|DB| = 6$ , $|AE| = 5$ ve $|BC| = 12$ birim olduğuna göre $|EC|$ ve $|DE|$ kaç birimdir?

İki üçgen ara: $ADE$ ve $ABC$ . $A$ açısı ikisinde de ortak, $m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{ACB})$ verilmiş. İki açı eş, yani A.A. ile benzerler.

Eşleşmeyi açılardan yaz, çünkü burada $[DE]$ ile $[BC]$ paralel değil ve alışılmış sıra tutmaz: $A \leftrightarrow A$ , $D \leftrightarrow C$ , $E \leftrightarrow B$ .

$\overset{\triangle}{ADE} \sim \overset{\triangle}{ACB} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{|AD|}{|AC|} = \dfrac{|AE|}{|AB|} = \dfrac{|DE|}{|CB|}$

$|AB| = 4 + 6 = 10$ . Ortadaki oran biliniyor: $\dfrac{|AE|}{|AB|} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ . Öyleyse $\dfrac{4}{|AC|} = \dfrac{1}{2}$ ve $|AC| = 8$ ; $|EC| = 8 - 5 = 3$ .

Aynı orandan $\dfrac{|DE|}{12} = \dfrac{1}{2}$ , $|DE| = 6$ .

Sonuç

$|EC| = 3$ birim, $|DE| = 6$ birim. $\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|AE|}{|AC|}$ yazsaydın $|AC| = 12{,}5$ bulurdun; bu, paralellik varmış gibi eşlemenin sonucudur.

\widehat{ADE}

\widehat{ACB}

eş:

D

köşesi

C

ile,

E

köşesi

B

ile eşleşir.

Temel orantı teoremi

Bir üçgenin bir kenarına paralel bir doğru çizdiğinde, tepede küçük bir üçgen oluşur. Bu küçük üçgen büyüğün benzeridir; çünkü tepe açısı ortaktır ve paralellik yöndeş açıları eş yapar.

[DE] \parallel [BC]

iken

ADE

üçgeni her konumda

ABC

üçgenine benzerdir.

İkinci eşitlik birinciden çıkar: $\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|AE|}{|AC|} = t$ ise $|AD| = t \cdot |AB|$ ve $|DB| = (1 - t) \cdot |AB|$ olur; aynısı $[AC]$ üzerinde de geçerlidir. İki tarafta da oran $\dfrac{t}{1 - t}$ çıkar.

Sahnede $D$ noktasını $[AB]$ üzerinde sürükle. $[DE]$ kenarı $[BC]$ ‘ye paralel kalarak kayıyor; $\dfrac{|AD|}{|DB|}$ ve $\dfrac{|AE|}{|EC|}$ göstergeleri birlikte değişiyor ama hep eşit. “Paralelliği boz” düğmesini aç ve $E$ ‘yi tek başına oynat: oranlar ayrıştığı anda $[DE]$ paralellikten çıkar. Karşıt teorem budur.

Bu ilişki, milattan önce 6. yüzyılda yaşayan Miletli Thales’in adıyla anılır. Thales’in, Mısır’da bir piramidin yüksekliğini piramidin ve bir çubuğun gölgelerini karşılaştırarak bulduğu anlatılır; kancadaki direk ölçümü aynı yöntemdir.

Örnek

orta

Paralel doğrunun ayırdığı parçalar

$ABC$ üçgeninde $D \in [AB]$ , $E \in [AC]$ ve $[DE] \parallel [BC]$ ‘dir. $|AD| = 6$ , $|DB| = 4$ , $|AE| = 9$ ve $|BC| = 15$ birim olduğuna göre $|EC|$ ve $|DE|$ kaç birimdir?

$|EC|$ bir parçadır; parçalar arasındaki oranı kullan, çünkü en kısa yol odur: $\dfrac{|AD|}{|DB|} = \dfrac{|AE|}{|EC|}$ , yani $\dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{|EC|}$ . Buradan $|EC| = 6$ .

$|DE|$ benzer üçgenin kenarıdır; bu kez bütün kenarla oranla: $\dfrac{|DE|}{|BC|} = \dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{6}{10}$ .

$|DE| = 15 \cdot \dfrac{6}{10} = 9$ .

Sonuç

$|EC| = 6$ birim, $|DE| = 9$ birim.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

ABC

üçgeninde

[DE] \parallel [BC]

D \in [AB]

E \in [AC]

|AD| = 2

|DB| = 6

|BC| = 12

ise

|DE|

kaçtır?

Açıklama

$|AB| = 2 + 6 = 8$ . $\dfrac{|DE|}{12} = \dfrac{2}{8}$ , $|DE| = 3$ .

Aynı fikir üçgen olmadan da çalışır: paralel üç doğru, kendilerini kesen iki doğru üzerinde orantılı parçalar ayırır. $d_1 \parallel d_2 \parallel d_3$ doğruları bir keseni sırasıyla $A$ , $B$ , $C$ , diğerini $D$ , $E$ , $F$ noktalarında kesiyorsa $\dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{|DE|}{|EF|}$ olur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Paralel üç doğru bir kesen üzerinde sırasıyla

4

6

birimlik, ikinci bir kesen üzerinde aynı sırayla

6

x

birimlik parçalar ayırıyor.

x

kaçtır?

Açıklama

$\dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{x}$ , $4x = 36$ , $x = 9$ .

Kelebek benzerliği

Paralel iki doğru parçasının uçlarını çapraz birleştirince, kesişim noktasında tepe tepeye duran iki üçgen oluşur. Kum saatine ya da kelebeğe benzediği için bu adla bilinir.

[AB] \parallel [CD]

A

ile

D

B

ile

C

köşelerindeki iç ters açılar eştir.

$[AB] \parallel [CD]$ ve $[AD] \cap [BC] = \{O\}$ olsun. $AD$ keseni $m(\widehat{OAB}) = m(\widehat{ODC})$ , $BC$ keseni $m(\widehat{OBA}) = m(\widehat{OCD})$ verir (iç ters açılar). A.A. ile

$\overset{\triangle}{AOB} \sim \overset{\triangle}{DOC} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{|AO|}{|DO|} = \dfrac{|BO|}{|CO|} = \dfrac{|AB|}{|DC|}$

Sahnede $O$ noktasını iki paralel doğru arasında sürükle. $O$ üst doğruya yaklaştıkça üstteki üçgen küçülür, alttaki büyür; üç oran göstergesi yine eşit kalır. $O$ tam ortadayken oran $1$ olur ve üçgenler eştir. “Yarım tur döndür” düğmesi alttaki üçgeni $O$ çevresinde döndürüp üsttekinin içine oturtur: kelebek, temel orantı şeklinin döndürülmüş hâlidir.

Örnek

orta

Kelebekte toplamı paylaştırma

$[AB] \parallel [CD]$ ‘dir; $[AD]$ ile $[BC]$ , $O$ noktasında kesişiyor. $|AB| = 6$ , $|CD| = 10$ , $|AO| = 4{,}5$ ve $|BC| = 16$ birim olduğuna göre $|OD|$ ve $|OB|$ kaç birimdir?

İç ters açılardan $\overset{\triangle}{AOB} \sim \overset{\triangle}{DOC}$ . Benzerlik oranı paralel kenarlardan okunur: $\dfrac{|AB|}{|DC|} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ .

$[AO]$ kenarının karşılığı $[DO]$ ‘dur: $\dfrac{4{,}5}{|OD|} = \dfrac{3}{5}$ , $|OD| = 7{,}5$ .

$[BO]$ ile $[CO]$ aynı doğru üzerindedir ve oranları $3 : 5$ ‘tir. Toplamları $|BC| = 16$ olduğuna göre $|BO| = 3t$ , $|CO| = 5t$ yaz: $8t = 16$ , $t = 2$ .

Sonuç

$|OD| = 7{,}5$ birim, $|OB| = 6$ birim.

Üstteki üçgenin kenarları alttakinin

\dfrac{3}{5}

katıdır.

Benzerlik oranı neleri taşır?

Benzer üçgenlerde yalnızca kenarlar değil, karşılıklı yükseklikler, kenarortaylar ve açıortaylar da aynı $k$ oranındadır. Yükseklik için nedeni kısa: iki üçgende yüksekliklerin ayırdığı dik üçgenler A.A. ile benzerdir ve hipotenüsleri $k$ oranındadır. Çevre, kenarların toplamı olduğundan çevrelerin oranı da $k$ ‘dır.

Alan ise farklı davranır. Alan, taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır; taban $k$ katına, yükseklik $k$ katına çıkınca alan $k \cdot k$ katına çıkar.

Tepeden başlayan benzer üçgenlerin kenarları

1 : 2 : 3

, alanları

1 : 4 : 9

oranındadır. Şeritler

1

3

5

parça içerir.

Sahnede $k$ sürgüsünü $1$ ‘den $6$ ‘ya çıkar. Büyük üçgen, kenarı $k$ katına çıkarken küçük üçgenin eş kopyalarıyla döşeniyor; sayaç her seferinde $k^2$ gösteriyor. “Şeritleri boya” düğmesi satırları ayırır: $1 + 3 + 5 + \dots$ tek sayıları toplanınca yine $k^2$ çıkar.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Benzerlik oranı

\dfrac{2}{3}

olan iki benzer üçgenden küçüğünün alanı

12

birimkare ise büyüğünün alanı kaç birimkaredir?

Açıklama

Alanlar oranı $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$ . $\dfrac{12}{S} = \dfrac{4}{9}$ , $S = 27$ .

Örnek

orta

Aynayla bina yüksekliği

Elif, bir binanın yüksekliğini bulmak için yere küçük bir ayna koyuyor ve geri çekilip aynada binanın tepesini gördüğü noktada duruyor. Elif’in gözleri yerden $1{,}6$ m yüksekte, Elif aynadan $2$ m, ayna binadan $15$ m uzakta. Işık aynaya geldiği açıyla yansıdığına göre binanın yüksekliği kaç metredir?

İki dik üçgen var: biri Elif’in gözü, ayakları ve ayna arasında; öbürü binanın tepesi, binanın dibi ve ayna arasında. İkisinde de yere dik bir kenar bulunduğundan birer açı $90^\circ$ .

Işığın gelme açısı yansıma açısına eşit olduğundan, aynadaki iki açı da eştir. İki açı eş: A.A. ile üçgenler benzer.

Karşılıklı kenarları eşle: yükseklikler birbirine ( $1{,}6$ ile $h$ ), yerdeki uzaklıklar birbirine ( $2$ ile $15$ ) karşılık gelir.

$\dfrac{1{,}6}{h} = \dfrac{2}{15}$

$2h = 1{,}6 \cdot 15 = 24$ , $h = 12$ .

Sonuç

Binanın yüksekliği $12$ metredir.

Aynadaki eş açılar ve yere dik iki kenar: A.A.

Örnek

orta

Alan oranından uzunluğa

$ABC$ üçgeninde $D \in [AB]$ , $E \in [AC]$ ve $[DE] \parallel [BC]$ ‘dir. $ADE$ üçgeninin alanı $18$ birimkare, $DBCE$ dörtgeninin alanı $32$ birimkare ve $|AB| = 20$ birim olduğuna göre $|DB|$ kaç birimdir?

Benzer olan $ADE$ ile $ABC$ ‘dir; dörtgen bir üçgen değildir ve orana doğrudan girmez. Önce büyük üçgenin alanını bul: $A(ABC) = 18 + 32 = 50$ .

Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: $k^2 = \dfrac{18}{50} = \dfrac{9}{25}$ . Uzunluğa dönerken karekök al: $k = \dfrac{3}{5}$ .

$\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{3}{5}$ olduğundan $|AD| = 20 \cdot \dfrac{3}{5} = 12$ .

Sonuç

$|DB| = 20 - 12 = 8$ birim.

İleri

Birleşik sorular ve gerçek hayat problemleri

Dik üçgende yükseklik: iç içe üç benzer üçgen

Dik üçgende dik köşeden hipotenüse yükseklik indirildiğinde oluşan iki küçük üçgen hem birbirine hem büyük üçgene benzer. Nedeni açılardır: küçük üçgenlerin her biri büyük üçgenle bir dar açıyı paylaşır ve bir dik açı taşır.

ABH

CAH

CBA

üçgenlerinin açıları

\alpha

\beta

90^\circ

'dir.

Örnek

zor

Yükseklik iki benzerlik verir

$ABC$ üçgeninde $m(\widehat{A}) = 90^\circ$ ve $[AH] \perp [BC]$ ‘dir. $|BH| = 4$ ve $|HC| = 9$ birim olduğuna göre $|AH|$ ve $|AB|$ kaç birimdir?

Açıları adlandır: $m(\widehat{B}) = \alpha$ , $m(\widehat{C}) = \beta$ ve $\alpha + \beta = 90^\circ$ . $ABH$ dik üçgeninde $m(\widehat{BAH}) = 90^\circ - \alpha = \beta$ ; $ACH$ dik üçgeninde $m(\widehat{HAC}) = 90^\circ - \beta = \alpha$ .

$|AH|$ için iki küçük üçgeni kullan, çünkü $[AH]$ ikisinin de kenarıdır. Açıları $\alpha$ , $\beta$ , $90^\circ$ sırasıyla eşle: $\overset{\triangle}{ABH} \sim \overset{\triangle}{CAH}$ . $\beta$ ‘nın karşısındaki kenarların oranı, $\alpha$ ‘nın karşısındaki kenarların oranına eşittir:

$\dfrac{|BH|}{|AH|} = \dfrac{|AH|}{|CH|} \quad\Rightarrow\quad |AH|^2 = 4 \cdot 9 = 36$

$|AB|$ için küçük üçgen $ABH$ ile büyük üçgen $CBA$ ‘yı kullan; $B$ açısı ortaktır. $\overset{\triangle}{ABH} \sim \overset{\triangle}{CBA}$ benzerliğinde hipotenüsler ve $\beta$ ‘nın karşısındaki kenarlar oranlanır:

$\dfrac{|AB|}{|CB|} = \dfrac{|BH|}{|BA|} \quad\Rightarrow\quad |AB|^2 = 4 \cdot 13 = 52$

Sonuç

$|AH| = 6$ birim, $|AB| = 2\sqrt{13}$ birim. Bu iki bağıntı Öklid teoremi adıyla Dik Üçgen sayfasında yeniden karşına çıkar; kaynağı bu benzerliklerdir.

Üçgenin içine yerleştirilen kare

Örnek

zor

Üçgen arsaya kare havuz

Üçgen biçimindeki bir arsanın bir kenarı $30$ m, bu kenara ait yüksekliği $20$ m’dir. Arsaya, bir kenarı bu $30$ metrelik kenarın üzerinde, diğer iki köşesi arsanın öbür iki kenarı üzerinde olan kare biçiminde bir havuz yapılacaktır. Havuzun alanı kaç metrekaredir?

Karenin kenarına $x$ de. Karenin üst kenarı tabana paraleldir; bu kenar tepede, arsanın bütününe benzeyen küçük bir üçgen ayırır (tepe açısı ortak, yöndeş açılar eş).

Küçük üçgenin tabanı karenin üst kenarıdır: $x$ . Yüksekliği, büyük yükseklikten karenin kenarı çıkınca kalan kısımdır: $20 - x$ .

Benzer üçgenlerde tabanların oranı yüksekliklerin oranına eşittir, çünkü ikisi de $k$ ‘dır:

$\dfrac{x}{30} = \dfrac{20 - x}{20}$

İçler dışlar çarpımı: $20x = 600 - 30x$ , $50x = 600$ , $x = 12$ . Sağlama: $\dfrac{12}{30} = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}$ .

Sonuç

Havuzun alanı $12^2 = 144$ metrekaredir.

Karenin üstünde kalan üçgen, arsanın bütününe benzer: taban

x

, yükseklik

20 - x

Çapraz gerilen teller

Örnek

zor

İki direk, iki tel

Düz bir zemine dik duran $6$ m ve $3$ m boyundaki iki direğin her birinin tepesinden öbürünün dibine birer tel geriliyor. Tellerin kesiştiği nokta yerden kaç metre yüksektedir?

Adlandır: uzun direk $[AC]$ ( $|AC| = 6$ ), kısa direk $[BD]$ ( $|BD| = 3$ ), teller $[CB]$ ve $[DA]$ , kesişim $P$ , $P$ ‘den yere inen dikmenin ayağı $H$ ve $|PH| = h$ . Direkler arası uzaklık verilmemiş; ona $d$ de, $|AH| = m$ ve $|HB| = n$ olsun, yani $m + n = d$ .

$[PH]$ ve $[AC]$ yere dik olduğundan paraleldir. $B$ köşesini paylaşan $BPH$ ve $BCA$ üçgenleri A.A. ile benzerdir:

$\dfrac{h}{6} = \dfrac{n}{d}$

Aynı biçimde $[PH] \parallel [BD]$ ; $A$ köşesini paylaşan $APH$ ve $ADB$ üçgenleri benzerdir:

$\dfrac{h}{3} = \dfrac{m}{d}$

İki eşitliği taraf tarafa topla; sağ taraf $\dfrac{m + n}{d} = 1$ olur ve $d$ kendiliğinden kaybolur:

$\dfrac{h}{6} + \dfrac{h}{3} = 1 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{3h}{6} = 1$

Sonuç

$h = 2$ metre. Sonuç direklerin arasındaki uzaklığa bağlı değildir.

[PH]

iki direğe de paraleldir:

B

köşesinden bir,

A

köşesinden bir benzerlik.

Sahnede sağdaki direği yatay sürükleyerek uzaklaştır ya da yaklaştır. Teller yatıyor, kesişim noktası sağa sola kayıyor, ama yükseklik göstergesi $2{,}00$ ‘da kalıyor. Sonra direk boylarını sürgülerle değiştir ve göstergeyi $\dfrac{a \cdot b}{a + b}$ ile karşılaştır.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Eşlik: karşılıklı kenarlar ve açılar eş; yazım sırası eşleşmeyi verir. Kurallar: K.K.K., K.A.K., A.K.A. K.K.A. ve A.A.A. eşlik vermez.
Benzerlik: açılar eş, kenarlar orantılı; oran $k$ . Kurallar: A.A., K.A.K., K.K.K. $k = 1$ ise üçgenler eştir.
Karşılıklı kenarlar eş açıların karşısındadır; üçgen adlarını açı eşleşmesine göre yaz.
Temel orantı: $[DE] \parallel [BC]$ ise $\dfrac{|AD|}{|DB|} = \dfrac{|AE|}{|EC|}$ ve $\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|AE|}{|AC|} = \dfrac{|DE|}{|BC|}$ ; karşıtı da doğrudur.
Kelebek: $[AB] \parallel [CD]$ , $[AD] \cap [BC] = \{O\}$ ise $\dfrac{|AO|}{|DO|} = \dfrac{|BO|}{|CO|} = \dfrac{|AB|}{|DC|}$ .
Yükseklik, kenarortay, açıortay ve çevre oranı $k$ ; alan oranı $k^2$ .
Gölge, ayna ve iç içe şekil problemlerinde önce iki eş açıyı bul, sonra oranı kur.

Sorular

Şimdi sıra sende

8 özgün soru

Özgün soru1

Kolay

Eşlik koşulları

$\overset{\triangle}{ABC} \cong \overset{\triangle}{PRS}$ olmak üzere $|AB| = 7$ cm, $|PS| = 9$ cm ve $ABC$ üçgeninin çevresi $28$ cm'dir.

Buna göre $|RS|$ kaç cm'dir?

Çözüm

1. Eşleşme. Yazım sırasından $A \leftrightarrow P$ , $B \leftrightarrow R$ , $C \leftrightarrow S$ .

2. $[PS]$ kenarının karşılığı. $P$ ve $S$ sırasıyla $A$ ve $C$ ile eşleşir: $|AC| = |PS| = 9$ cm.

3. Üçüncü kenar. $|BC| = 28 - 7 - 9 = 12$ cm.

4. $[RS]$ kenarının karşılığı $[BC]$ 'dir: $|RS| = 12$ cm.

Çeldiriciler: $7$ , $[RS]$ kenarını $[AB]$ ile eşleyince; $16$ , bilinen iki kenar toplanınca; $19$ , $28 - 9$ ile yetinince; $14$ , çevrenin yarısı alınınca çıkar.

Cevap: B

Özgün soru2

Kolay

Temel orantı teoremi

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $D \in [AB]$ , $E \in [AC]$ ve $[DE] \parallel [BC]$ 'dir.

$|AD| = 4$ birim, $|DB| = 6$ birim ve $|DE| = 6$ birimdir.

Buna göre $|BC|$ kaç birimdir?

Çözüm

$[DE] \parallel [BC]$ olduğundan $\overset{\triangle}{ADE} \sim \overset{\triangle}{ABC}$ (A.A.: $A$ açısı ortak, yöndeş açılar eş).

$[DE]$ ile $[BC]$ benzer üçgenlerin karşılıklı kenarlarıdır; oran üçgenlerin bütün kenarlarıyla kurulur. $|AB| = 4 + 6 = 10$ :

$\dfrac{|DE|}{|BC|} = \dfrac{|AD|}{|AB|} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{6}{|BC|} = \dfrac{4}{10} \quad\Rightarrow\quad |BC| = 15$

Çeldirici: $\dfrac{6}{|BC|} = \dfrac{4}{6}$ yazılırsa (parçaların oranı) $9$ çıkar; bu oran $[DE]$ ve $[BC]$ için geçerli değildir.

Cevap: C

Özgün soru3

Orta

Eşlik koşulları

$ABC$ ve $DEF$ üçgenlerinde $|AB| = |DE|$ ve $m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})$ olduğu biliniyor.

Bu bilgilere aşağıdakilerden hangisi eklenirse $ABC$ ve $DEF$ üçgenlerinin eş olduğu kesin olarak söylenemez?

İpucu

Her seçenekte elindeki üç bilginin hangi kurala (K.A.K., A.K.A., K.K.K.) uyduğuna bak. Açı, bilinen iki kenarın arasında mı?

Çözüm

Verilen: bir kenar ( $[AB]$ ) ve bu kenarın bir ucundaki açı ( $B$ ).

A) $|BC| = |EF|$ : $B$ açısı $[AB]$ ile $[BC]$ kenarlarının arasındadır. K.A.K. sağlanır.
B) $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$ : $[AB]$ kenarı $A$ ve $B$ açılarının arasındadır. A.K.A. sağlanır.
C) $m(\widehat{C}) = m(\widehat{F})$ : iki açı eş olunca üçüncüler de eştir, yani $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$ . Yine A.K.A.
D) $|AC| = |DF|$ : iki kenar ve bu kenarların arasında olmayan bir açı (K.K.A.). Bu bilgi üçgeni tek biçimde belirlemez; aynı verilerle iki farklı üçgen çizilebilir. Eşlik kesin değildir.
E) $|AB| = |AC|$ ise $m(\widehat{C}) = m(\widehat{B})$ ; aynı biçimde $m(\widehat{F}) = m(\widehat{E})$ . Öyleyse $m(\widehat{C}) = m(\widehat{F})$ olur ve C seçeneğindeki duruma döner: üçgenler eştir.

Cevap D'dir.

Cevap: D

Özgün soru4

Orta

Benzerlik koşulları

Şekilde $[AB] \parallel [DC]$ 'dir; $[AC]$ ile $[BD]$ doğru parçaları $O$ noktasında kesişmektedir.

$|AB| = 6$ birim, $|DC| = 9$ birim ve $|AC| = 10$ birimdir.

Buna göre $|AO|$ kaç birimdir?

İpucu

Paralel kenarlar iç ters açıları eş yapar. Hangi iki üçgen benzer, $[AO]$ kenarının karşılığı hangi kenar?

Çözüm

1. Benzerlik. $[AB] \parallel [DC]$ olduğundan $AC$ keseni için $m(\widehat{OAB}) = m(\widehat{OCD})$ , $BD$ keseni için $m(\widehat{OBA}) = m(\widehat{ODC})$ (iç ters açılar). A.A. ile

$\overset{\triangle}{AOB} \sim \overset{\triangle}{COD}$

2. Oran. Benzerlik oranı paralel kenarlardan: $\dfrac{|AB|}{|CD|} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ . $[AO]$ kenarının karşılığı $[CO]$ 'dur: $\dfrac{|AO|}{|OC|} = \dfrac{2}{3}$ .

3. Toplamı paylaştır. $|AO| = 2t$ , $|OC| = 3t$ ve $|AO| + |OC| = |AC| = 10$ : $5t = 10$ , $t = 2$ .

$|AO| = 4$ birim.

Çeldiriciler: $5$ , $O$ noktası orta nokta sanılınca; $6$ , uzun parça ( $|OC|$ ) işaretlenince çıkar.

Cevap: A

Özgün soru5

Orta

Benzerlik koşulları

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $D \in [AB]$ ve $m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{ABC})$ 'dir.

$|AD| = 4$ birim ve $|DB| = 5$ birimdir.

Buna göre $|AC|$ kaç birimdir?

İpucu

$A$ açısı hem $ACD$ hem $ABC$ üçgeninde var. İkinci eş açı çifti verilmiş; üçgenlerin adını açı eşleşmesine göre yaz.

Çözüm

1. Benzer üçgenler. $ACD$ ve $ABC$ üçgenlerinde $A$ açısı ortaktır ve $m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{ABC})$ verilmiştir. A.A. ile benzerdirler.

2. Eşleşme. $A \leftrightarrow A$ ; $ACD$ üçgeninin $C$ köşesindeki açı $ABC$ üçgeninin $B$ köşesindeki açıya eş: $C \leftrightarrow B$ ; kalan köşeler $D \leftrightarrow C$ .

$\overset{\triangle}{ACD} \sim \overset{\triangle}{ABC} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{|AC|}{|AB|} = \dfrac{|AD|}{|AC|}$

3. Hesap. $|AB| = 4 + 5 = 9$ :

$|AC|^2 = |AD| \cdot |AB| = 4 \cdot 9 = 36 \quad\Rightarrow\quad |AC| = 6$

Çeldiriciler: $|AC|^2 = 4 \cdot 5$ yazılırsa $2\sqrt{5}$ , $|AC|^2 = 5 \cdot 9$ yazılırsa $3\sqrt{5}$ çıkar. Orana giren, parça $[DB]$ değil bütün kenar $[AB]$ 'dir.

Cevap: C

Özgün soru6

Orta

Uygulama problemleri

Boyu $1{,}5$ m olan Deniz, düz bir yolda yere dik duran bir sokak lambasının altından uzaklaşmaktadır. Deniz lamba direğinden $6$ m uzaktayken gölgesinin boyu $2$ m'dir.

Deniz aynı doğrultuda $3$ m daha uzaklaştığında gölgesinin boyu kaç metre olur?

İpucu

Lambanın yüksekliği verilmemiş; önce ilk konumdaki benzerlikten onu bul. Büyük üçgenin tabanı, direkten gölgenin ucuna kadar olan uzunluktur.

Çözüm

Lamba, Deniz'in başı ve gölgenin ucu aynı ışın üzerindedir. Direk ve Deniz yere dik olduğundan, gölgenin ucunu köşe kabul eden iki dik üçgen A.A. ile benzerdir (uçtaki açı ortak).

1. Lambanın yüksekliği. İlk konumda küçük üçgenin tabanı $2$ m (gölge), büyük üçgenin tabanı $6 + 2 = 8$ m'dir. Lambanın yüksekliği $H$ olsun:

$\dfrac{1{,}5}{H} = \dfrac{2}{8} \quad\Rightarrow\quad H = 6 \text{ m}$

2. Yeni konum. Deniz direkten $6 + 3 = 9$ m uzaktadır. Gölgenin boyu $s$ olsun; büyük üçgenin tabanı $9 + s$ :

$\dfrac{1{,}5}{6} = \dfrac{s}{9 + s} \quad\Rightarrow\quad 9 + s = 4s \quad\Rightarrow\quad s = 3$

Gölgenin boyu $3$ m olur.

Sağlama: iki konumda da gölge, direğe uzaklığın üçte biridir ( $\dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{9}$ ). Çeldirici: gölgeye de $3$ m eklenirse $5$ çıkar; gölge uzaklıkla toplanarak değil, orantılı büyür.

Cevap: B

Özgün soru7

Zor

Benzerlik oranı ve alan oranı

Şekildeki $ABCD$ dörtgeninde $[AB] \parallel [DC]$ 'dir; $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenleri $O$ noktasında kesişmektedir.

$|AB| = 4$ birim, $|DC| = 6$ birim ve $AOB$ üçgeninin alanı $8$ birimkaredir.

Buna göre $ABCD$ dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?

İpucu

$AOB$ ile $COD$ benzerdir; alanları benzerlik oranının karesiyle orantılıdır. Yandaki üçgenler için aynı yüksekliği paylaşan üçgenlerin tabanlarına bak.

Çözüm

1. Karşılıklı iki üçgen (benzerlik). $[AB] \parallel [DC]$ olduğundan iç ters açılarla $\overset{\triangle}{AOB} \sim \overset{\triangle}{COD}$ ; benzerlik oranı $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ . Alanlar oranı $\dfrac{4}{9}$ :

$\dfrac{8}{A(COD)} = \dfrac{4}{9} \quad\Rightarrow\quad A(COD) = 18$

2. Yan üçgenler (ortak yükseklik). Aynı benzerlikten $\dfrac{|BO|}{|OD|} = \dfrac{2}{3}$ . $AOB$ ve $AOD$ üçgenlerinin tabanları $[BO]$ ve $[OD]$ aynı doğru üzerindedir, $A$ köşesinden inen yükseklikleri ortaktır; alanları tabanlarıyla orantılıdır:

$\dfrac{A(AOB)}{A(AOD)} = \dfrac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad A(AOD) = 12$

Aynı yolla $\dfrac{|AO|}{|OC|} = \dfrac{2}{3}$ olduğundan $A(BOC) = 12$ .

3. Topla. $8 + 18 + 12 + 12 = 50$ birimkare.

Çeldiriciler: yan üçgenlerden biri unutulursa $38$ ; $A(COD)$ için kare alınmadan $\dfrac{3}{2}$ ile çarpılırsa ( $12$ ) $44$ çıkar.

Cevap: C

Özgün soru8

Zor

Benzerlik oranı ve alan oranı

Şekildeki $ABC$ üçgeninde $D \in [AB]$ , $E \in [AC]$ , $F \in [BC]$ olmak üzere $[DE] \parallel [BC]$ ve $[DF] \parallel [AC]$ 'dir.

$\dfrac{|AD|}{|DB|} = \dfrac{2}{3}$ ve $ABC$ üçgeninin alanı $75$ birimkaredir.

Buna göre $DFCE$ paralelkenarının alanı kaç birimkaredir?

İpucu

Paralelkenarın alanını doğrudan arama. Üçgenden iki küçük üçgeni çıkar: ikisi de $ABC$ üçgenine benzer.

Çözüm

$|AD| = 2t$ , $|DB| = 3t$ , $|AB| = 5t$ olsun.

1. Üstteki üçgen. $[DE] \parallel [BC]$ olduğundan $\overset{\triangle}{ADE} \sim \overset{\triangle}{ABC}$ ; benzerlik oranı $\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{2}{5}$ , alan oranı $\dfrac{4}{25}$ :

$A(ADE) = 75 \cdot \dfrac{4}{25} = 12$

2. Soldaki üçgen. $[DF] \parallel [AC]$ olduğundan $\overset{\triangle}{DBF} \sim \overset{\triangle}{ABC}$ ( $B$ açısı ortak, yöndeş açılar eş); benzerlik oranı $\dfrac{|BD|}{|BA|} = \dfrac{3}{5}$ , alan oranı $\dfrac{9}{25}$ :

$A(DBF) = 75 \cdot \dfrac{9}{25} = 27$

3. Kalan. $A(DFCE) = 75 - 12 - 27 = 36$ birimkare.

Çeldiriciler: $A(DBF)$ işaretlenirse $27$ , $75 \cdot \dfrac{2}{5}$ alınırsa $30$ , $75 \cdot \dfrac{3}{5}$ alınırsa $45$ bulunur. Alan oranında kare almayı unutursan iki küçük üçgenin toplamı $75$ eder ve paralelkenara yer kalmaz; bu, hatayı fark etmenin yoludur.

Cevap: D