44Konu 44 / 49
Geometri

Çemberde Teğet, Dairenin Çevresi ve Alanı

Teğetin yarıçapa dikliğinden ve dış noktadan çizilen teğet parçalarının eşitliğinden iç ve dış teğet çemberlere; Arşimet'in fikriyle dairenin çevresi ve alanından yay uzunluğuna, daire dilimine ve daire parçasına uzanıyoruz.

11. sınıf
AYT sıklığı
60 dk

LevhaÇemberde Teğet, Dairenin Çevresi ve AlanıÇemberde Teğet, Dairenin Çevresi ve Alanı

Yarıçapı $35$ cm olan bir bisiklet tekerleği yerde kaymadan dönüyor. Tekerlek yere her an tek bir noktada değiyor; peki bir tam tur attığında bisiklet kaç santimetre ilerler? Sahnedeki tekerleği döndür: yere değen yay, zeminin üzerine açılıyor. Bu sayfa hem o tek değme noktasını (teğet) hem de açılan uzunluğu (çevre, yay) hesaplamayı öğretiyor.

Isınma

Başlamadan: dik üçgen, teğet ve oran

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Hipotenüsü

13

birim, dik kenarlarından biri

5

birim olan dik üçgenin öteki dik kenarı kaç birimdir?

Açıklama

$13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ ve $\sqrt{144} = 12$ . Bu sayfada teğet uzunluklarını hep böyle bulacağız.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir çemberin yarıçapı

6

cm, merkezinin

d

doğrusuna uzaklığı da

6

cm’dir.

d

doğrusu ile çemberin kaç ortak noktası vardır?

Açıklama

Uzaklık yarıçapa eşitse doğru çembere tek noktada değer: teğettir. Doğru ile çemberin durumları Çemberde Kiriş ve Açılar sayfasında anlatılıyor.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Merkez açısı

72^\circ

olan bir pasta dilimi, pastanın kaçta kaçıdır?

Açıklama

$\dfrac{72}{360} = \dfrac{1}{5}$ . Yay uzunluğu ve dilim alanı hesaplarının tamamı bu orana dayanır.

Temel

Teğet, çevre ve alan

Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir

Çembere tek noktada değen doğruya teğet, o noktaya değme noktası denir. Tekerleğin altındaki zemin tam böyle bir doğrudur. Teğetin değme noktası dışındaki bütün noktaları çemberin dışında kalır; yani merkeze en yakın noktası değme noktasıdır. Bir noktanın bir doğruya en kısa uzaklığı dik uzaklık olduğundan şu sonuç çıkar.

Teğet üzerindeki her

Q

noktası için

|OQ| > r

olur; en kısa uzaklık

[OT]

dikmesidir.

Sahnede $T$ noktasından geçen doğruyu çevir. Doğru yarıçapla dik açı yapmadığı her konumda çemberi ikinci bir noktada daha kesiyor, yani kesen oluyor. Açı tam $90^\circ$ olduğunda ikinci nokta $T$ ile çakışıyor ve doğru teğet oluyor.

Bu diklik, teğet sorularının neredeyse hepsinde bir dik üçgen verir: köşeleri merkez, değme noktası ve teğet üzerindeki nokta.

Örnek

kolay

Teğet parçasının uzunluğu

$O$ merkezli çemberin yarıçapı $5$ birimdir. Çemberin dışındaki $P$ noktası için $|OP| = 13$ birimdir. $P$ noktasından çembere çizilen teğet, çembere $T$ noktasında değiyor. $|PT|$ kaç birimdir?

$[OT]$ yarıçapını çiz. Teğet değme noktasındaki yarıçapa dik olduğundan $m(\widehat{OTP}) = 90^\circ$ ; yani $OTP$ bir dik üçgendir.

Dik açı $T$ köşesinde olduğu için hipotenüs, dik açının karşısındaki $[OP]$ kenarıdır. Pisagor teoremi:

$|PT|^2 = |OP|^2 - |OT|^2 = 13^2 - 5^2 = 144$

Sonuç

$|PT| = 12$ birim.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

PT

doğrusu

O

merkezli çembere

T

noktasında teğettir.

m(\widehat{TPO}) = 35^\circ

olduğuna göre

m(\widehat{TOP})

kaç derecedir?

Açıklama

$m(\widehat{OTP}) = 90^\circ$ olduğundan öteki iki açının toplamı $90^\circ$ dir: $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .

Dış noktadan çizilen iki teğet

Çemberin dışındaki bir noktadan çembere tam iki teğet çizilebilir. Noktadan değme noktasına kadar olan doğru parçasına teğet parçası denir.

Sahnede $P$ noktasını tut ve sürükle: çembere yaklaştır, uzaklaştır, çevresinde dolaştır. İki teğet parçasının uzunluk göstergeleri her konumda birbirine eşit kalıyor. $P$ çembere yaklaştıkça parçalar kısalıyor, aralarındaki açı büyüyor.

Nedenini görmek için $[OA]$ , $[OB]$ ve $[OP]$ parçalarını çiz. $OAP$ ve $OBP$ üçgenlerinin ikisi de dik üçgendir, hipotenüsleri ortaktır ve birer dik kenarları yarıçaptır. Pisagor teoreminden

$|PA|^2 = |OP|^2 - r^2 = |PB|^2$

OAP

OBP

dik üçgenleri eştir;

P

nerede olursa olsun

|PA| = |PB|

Son madde $OAPB$ dörtgeninden gelir: iç açılar toplamı $360^\circ$ dir ve $A$ ile $B$ köşelerindeki açılar $90^\circ$ dir.

Örnek

kolay

Teğetler arasındaki açı

$P$ noktasından $O$ merkezli çembere çizilen teğetler çembere $A$ ve $B$ noktalarında değiyor. $m(\widehat{APB}) = 40^\circ$ olduğuna göre $m(\widehat{AOB})$ ve $m(\widehat{OPA})$ kaçar derecedir?

$OAPB$ dörtgeninde $A$ ve $B$ köşelerindeki açılar $90^\circ$ dir, çünkü yarıçaplar teğetlere diktir. Dörtgenin iç açıları toplamı $360^\circ$ olduğundan

$m(\widehat{AOB}) = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 140^\circ$

$[PO]$ , $\widehat{APB}$ açısının açıortayıdır, çünkü $OAP$ ve $OBP$ üçgenleri eştir: $m(\widehat{OPA}) = \dfrac{40^\circ}{2} = 20^\circ$ .

Sonuç

$m(\widehat{AOB}) = 140^\circ$ ve $m(\widehat{OPA}) = 20^\circ$ . Sağlama: $OAP$ üçgeninde $90^\circ + 20^\circ + 70^\circ = 180^\circ$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir noktadan bir çembere çizilen iki teğet parçasının uzunlukları

3x - 1

x + 7

birimdir. Teğet parçalarından birinin uzunluğu kaç birimdir?

Açıklama

Teğet parçaları eşittir: $3x - 1 = x + 7$ , buradan $x = 4$ . Uzunluk $4 + 7 = 11$ birim.

Dairenin çevresi: $\pi$ nereden geliyor?

Çember yalnızca çizginin kendisidir; daire, çember ile iç bölgesinin birleşimidir. Çevre çembere, alan daireye aittir. Hangi çemberi alırsan al, çevresinin çapına oranı aynı sayıdır; bu sayıya $\pi$ denir.

Bu oranı ilk kez sistemli biçimde hesaplayan Arşimet (MÖ 287–212) çemberi iki çokgenin arasına sıkıştırdı. Köşeleri çember üzerinde olan düzgün çokgenin çevresi çemberinkinden kısa, kenarları çembere teğet olan düzgün çokgenin çevresi çemberinkinden uzundur.

Altıgenlerle:

6r

ile

4\sqrt{3}\,r

arasında kalan çevre,

3

ile

3{,}47

arasında bir

\pi

verir.

İçteki düzgün altıgen altı eşkenar üçgenden oluşur, kenarı $r$ ve çevresi $6r$ dir. Buradan $2\pi r > 6r$ , yani $\pi > 3$ çıkar. Arşimet kenar sayısını $12$ , $24$ , $48$ ve $96$ yaparak aralığı daralttı ve $\dfrac{223}{71}$ ile $\dfrac{22}{7}$ arasında bir değer buldu.

Sahnede kenar sayısı sürgüsünü $6$ ‘dan $96$ ‘ya doğru çek. İçteki ve dıştaki çokgenin çevrelerinin çapa oranı iki yandan aynı sayıya yaklaşıyor: $3{,}14\ldots$ Çokgenler gözle çemberden ayırt edilemez olduğunda bile aradaki fark sıfır değildir; $\pi$ bu yüzden bir kesirle tam yazılamaz.

Örnek

kolay

Tekerlek bir turda ne kadar ilerler?

Yarıçapı $35$ cm olan bir bisiklet tekerleği kaymadan $50$ tam tur dönüyor. $\pi$ yerine $\dfrac{22}{7}$ alınırsa bisiklet kaç metre ilerler?

Tekerlek kaymadığı için yere değen her yay parçası, zeminde kendi uzunluğu kadar yol bırakır. Bir tam turda yere tekerleğin bütün çevresi değer; yani bir turda alınan yol çevreye eşittir.

Çevreyi hesapla:

$2 \cdot \dfrac{22}{7} \cdot 35 = 220 \text{ cm}$

$50$ turda alınan yol $50 \cdot 220 = 11\,000$ cm’dir. Santimetreyi metreye çevirmek için $100$ ‘e böl.

Sonuç

Bisiklet $110$ metre ilerler. Kancadaki sorunun yanıtı da burada: bir turda $220$ cm.

Dairenin alanı

Arşimet’in ikinci fikri alanı verir. Daireyi merkezden geçen kesimlerle eş dilimlere ayır ve dilimleri bir yukarı bir aşağı bakacak biçimde yan yana diz.

Dilimler inceldikçe dizilen şekil, tabanı

\pi r

ve yüksekliği

r

olan bir dikdörtgene yaklaşır.

Sahnede dilim sayısını artır ve “Diz” sürgüsünü sonuna kadar çek. Yayların yarısı üstte, yarısı altta kalıyor; yani taban çevrenin yarısı, $\pi r$ . Dilimler inceldikçe dalgalı kenar düzleşiyor, eğik kenar dikleşiyor ve şekil $\pi r$ ile $r$ kenarlı bir dikdörtgene dönüşüyor.

Örnek

kolay

Çevreden alana

Çevresi $10\pi$ cm olan dairenin alanı kaç santimetrekaredir?

Alan formülü yarıçap ister; önce çevreden yarıçapı bul: $2\pi r = 10\pi$ eşitliğinden $r = 5$ cm.

Yarıçapı alan formülünde yerine koy: $\pi r^2 = \pi \cdot 5^2$ .

Sonuç

Alan $25\pi$ santimetrekaredir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir dairenin yarıçapı

2

katına çıkarılırsa alanı kaç katına çıkar?

Açıklama

$\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$ . Yarıçap $k$ katına çıkınca çevre $k$ katına, alan $k^2$ katına çıkar.

Orta

İç ve dış teğet çemberler, yay ve dilim

Teğet parçalarını taşımak

“Teğet parçaları eşittir” kuralının gücü, uzunlukları bir kenardan ötekine taşımasındadır. Şekilde birden çok teğet varsa her dış noktayı ayrı ayrı düşün: o noktadan çıkan iki parça eştir.

Örnek

orta

Üçüncü teğetin kestiği üçgen

Yarıçapı $5$ birim olan $O$ merkezli çembere, $|OP| = 13$ birim olan $P$ noktasından $PA$ ve $PB$ teğetleri çiziliyor. Küçük $AB$ yayı üzerindeki bir $C$ noktasından çizilen teğet $[PA]$ parçasını $D$ , $[PB]$ parçasını $E$ noktasında kesiyor. $PDE$ üçgeninin çevresi kaç birimdir?

Önce $P$ noktasından çıkan teğet parçalarını bul. $OAP$ dik üçgeninde $|PA| = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ ve $|PB| = |PA| = 12$ .

Şimdi $D$ noktasına bak: $D$ den çembere iki teğet çıkıyor, biri $A$ noktasında öteki $C$ noktasında değiyor. O hâlde $|DC| = |DA|$ . Aynı nedenle $|EC| = |EB|$ .

Çevreyi yaz ve $[DE]$ kenarını $C$ noktasında ikiye böl:

\begin{aligned} |PD| + |DE| + |EP| &= |PD| + |DC| + |CE| + |EP| \\ &= \bigl(|PD| + |DA|\bigr) + \bigl(|EB| + |EP|\bigr) \\ &= |PA| + |PB| \end{aligned}

Sonuç

Çevre $12 + 12 = 24$ birimdir. $C$ noktasının yay üzerindeki yeri sonucu değiştirmez.

|DA| = |DC|

|EC| = |EB|

olduğundan

PDE

üçgeninin çevresi

|PA| + |PB|

kadardır.

Üçgenin iç teğet çemberi

Üçgenin her köşesi çemberin dışında bir noktadır ve o köşeden çıkan iki kenar çembere teğettir. Demek ki her köşeden çıkan iki teğet parçası eştir.

Kenarlar:

|AB| = x + y

|BC| = y + z

|CA| = z + x

Sahnede üçgenin köşelerini sürükle. Üçgen nasıl değişirse değişsin aynı renkli parçalar eşit kalıyor ve üç kenar altı parçadan oluşuyor. Göstergede $x + y + z$ toplamının hep çevrenin yarısı olduğunu izle.

Üç kenarı toplarsan $2(x + y + z)$ çıkar. Çevrenin yarısına $u$ dersen $x + y + z = u$ olur ve $y + z = |BC| = a$ olduğundan $x = u - a$ bulunur.

Örnek

orta

Değme noktasının yeri

$ABC$ üçgeninde $|AB| = 7$ , $|BC| = 8$ ve $|CA| = 9$ birimdir. İç teğet çember $[AB]$ kenarına $F$ noktasında değiyor. $|AF|$ kaç birimdir?

Formül ezberlemek yerine parçalara ad ver: $A$ , $B$ , $C$ köşelerinden çıkan teğet parçaları sırasıyla $x$ , $y$ , $z$ olsun. Kenarlar $x + y = 7$ , $y + z = 8$ , $z + x = 9$ olur.

Üç eşitliği topla: $2(x + y + z) = 24$ , yani $x + y + z = 12$ . Aradığımız $x$ için içinde $x$ olmayan eşitliği çıkar: $x = 12 - (y + z) = 12 - 8$ .

Sonuç

$|AF| = x = 4$ birim. Sağlama: $y = 3$ , $z = 5$ ve $4 + 3 = 7$ , $3 + 5 = 8$ , $5 + 4 = 9$ .

İç teğet çemberin yarıçapı alanla bulunur. Merkezi üç köşeye birleştirirsen üçgen, tabanları kenarlar ve yükseklikleri $r$ olan üç üçgene ayrılır.

Alan

= \dfrac{a \cdot r}{2} + \dfrac{b \cdot r}{2} + \dfrac{c \cdot r}{2} = u \cdot r

Örnek

orta

İç teğet çemberin yarıçapı

$ABC$ üçgeninde $|AB| = 13$ , $|BC| = 14$ , $|CA| = 15$ birim ve $[BC]$ kenarına ait yükseklik $12$ birimdir. Bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Yarıçap için iki şey gerekir: alan ve yarı çevre. Alanı verilen yükseklikten bul: $\dfrac{14 \cdot 12}{2} = 84$ birimkare.

Yarı çevre: $u = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ birim.

$\text{Alan} = u \cdot r$ eşitliğinde yerine koy: $84 = 21 \cdot r$ .

Sonuç

$r = 4$ birim.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Kenar uzunlukları

5

12

13

birim olan dik üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç birimdir?

Açıklama

$r = \dfrac{5 + 12 - 13}{2} = 2$ . Alanla sağlama: $\text{Alan} = 30$ , $u = 15$ ve $30 = 15 \cdot 2$ .

Üçgenin dış teğet çemberi

A

köşesinin karşısındaki dış teğet çember:

|BK| = |BT|

|CL| = |CT|

|AK| = |AL|

Aynı kural burada da işler. $A$ dan çıkan iki teğet parçası eşittir: $|AK| = |AL|$ . Toplamlarını yaz ve $B$ ile $C$ den çıkan parçaları $[BC]$ kenarına taşı:

$|AK| + |AL| = |AB| + |BT| + |AC| + |CT| = |AB| + |AC| + |BC|$

Yani $|AK| = |AL| = u$ : köşeden karşıdaki dış teğet çemberin değme noktasına uzaklık yarı çevre kadardır.

Örnek

orta

Dış teğet çemberde teğet parçası

$ABC$ üçgeninde $|AB| = 7$ , $|AC| = 9$ ve $|BC| = 6$ birimdir. $[BC]$ kenarına dıştan teğet olan çember, $[AB]$ kenarının $B$ ötesindeki uzantısına $K$ noktasında değiyor. $|BK|$ kaç birimdir?

Çember $BC$ doğrusuna $T$ , $AC$ nin uzantısına $L$ noktasında değsin. $B$ den çıkan parçalar eşittir: $|BK| = |BT|$ ; $C$ den çıkanlar da: $|CL| = |CT|$ .

$A$ dan çıkan iki parça eşittir ve toplamları üçgenin çevresidir, çünkü $|BK| + |CL| = |BT| + |CT| = |BC|$ :

$|AK| + |AL| = 7 + 9 + 6 = 22 \quad \Rightarrow \quad |AK| = 11$

$K$ noktası $[AB]$ nin uzantısında olduğundan $|AK| = |AB| + |BK|$ , yani $11 = 7 + |BK|$ .

Sonuç

$|BK| = 4$ birim. Sağlama: $|BT| = 4$ , $|CT| = 6 - 4 = 2$ , $|AL| = 9 + 2 = 11$ .

Yay uzunluğu ve daire dilimi

Dilim, dairenin bir kesridir: merkez açı $\alpha$ derece ise dairenin $\dfrac{\alpha}{360}$ kadarıdır. Yay çevrenin, dilimin alanı daire alanının aynı kesridir.

Merkez açı iki katına çıkarsa yay da alan da iki katına çıkar.

Sahnede merkez açı sürgüsünü oynat. Kesir göstergesi $\dfrac{\alpha}{360}$ değiştikçe yay uzunluğu ve alan aynı kesirle değişiyor. Sonra yarıçap sürgüsüne geç: yarıçap iki katına çıkınca yayın $2$ , alanın $4$ katına çıktığına dikkat et.

Üçüncü eşitlik ilk ikisinin oranından gelir ve dilimi “tabanı $\ell$ , yüksekliği $r$ olan üçgen” gibi düşündürür. Açı radyan cinsinden $\theta$ olarak verilirse aynı kural $\ell = r \cdot \theta$ biçimini alır.

Örnek

orta

Yaydan açıya, açıdan alana

Yarıçapı $9$ cm olan bir dairede bir daire diliminin yay uzunluğu $4\pi$ cm’dir. Bu dilimin merkez açısı kaç derecedir ve alanı kaç santimetrekaredir?

Yay, çevrenin kaçta kaçı? Çevre $2\pi \cdot 9 = 18\pi$ cm olduğundan kesir $\dfrac{4\pi}{18\pi} = \dfrac{2}{9}$ dur.

Merkez açı tam turun aynı kesridir: $360^\circ \cdot \dfrac{2}{9} = 80^\circ$ .

Alan da dairenin aynı kesridir: $\pi \cdot 9^2 \cdot \dfrac{2}{9} = 18\pi$ . Kısa yoldan sağlama: $\dfrac{\ell \cdot r}{2} = \dfrac{4\pi \cdot 9}{2} = 18\pi$ .

Sonuç

Merkez açı $80^\circ$ , alan $18\pi$ santimetrekaredir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Yarıçapı

12

cm olan çemberde

30^\circ

lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğu kaç santimetredir?

Açıklama

$\dfrac{30}{360} = \dfrac{1}{12}$ . Çevre $24\pi$ olduğundan yay $24\pi \cdot \dfrac{1}{12} = 2\pi$ cm.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Yarıçapı

6

cm olan bir dairede alanı

6\pi

santimetrekare olan daire diliminin merkez açısı kaç derecedir?

Açıklama

Dairenin alanı $36\pi$ dir. Dilim bunun $\dfrac{6\pi}{36\pi} = \dfrac{1}{6}$ sı, açı da $360^\circ \cdot \dfrac{1}{6} = 60^\circ$ .

Örnek

orta

Silecek camın ne kadarını siler?

Bir otobüsün sileceğinde kol, dönme noktasından ucuna kadar $50$ cm’dir. Kolun dönme noktasına yakın $10$ cm’lik kısmında lastik yoktur, kalan $40$ cm’lik kısım lastiktir. Kol $120^\circ$ döndüğünde lastiğin sildiği bölgenin alanı kaç santimetrekaredir?

Lastiğin dış ucu $50$ cm, iç ucu $10$ cm yarıçaplı birer yay çizer. Silinen bölge, büyük dilimden küçük dilim çıkarılınca kalan halka dilimidir; lastiğin boyunu yarıçap sanıp $\pi \cdot 40^2$ ile başlamak tuzaktır.

İki dilimin de merkez açısı $120^\circ$ , yani kesir $\dfrac{120}{360} = \dfrac{1}{3}$ tür:

$\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot 50^2 - \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot 10^2 = \dfrac{\pi}{3} \cdot (2500 - 100)$

Sonuç

Silinen alan $800\pi$ santimetrekaredir.

Lastiğin taradığı bölge iki dilimin farkıdır:

\dfrac{1}{3}\pi\,(50^2 - 10^2)

İleri

Sınav düzeyi: daire parçası, birleşik ve bağlamlı sorular

Daire parçası

Bir kiriş ile ayırdığı yay arasında kalan bölgeye daire parçası denir. Kendi formülü yoktur; bildiğin iki alanın farkıdır.

Daire parçası

=

daire dilimi

-

ikizkenar üçgen

Sahnede merkez açıyı değiştir. Dilim, üçgen ve daire parçasının alanları ayrı ayrı gösteriliyor. Açı $180^\circ$ olduğunda üçgen kayboluyor ve parça yarım daire oluyor. Açı $180^\circ$ yi geçince üçgen artık dilimin dışında kalıyor: büyük parçanın alanı, dilim ile üçgenin toplamıdır.

Örnek

zor

Kirişten daire parçasına

Yarıçapı $6$ cm olan bir çemberde $[AB]$ kirişinin uzunluğu $6\sqrt{3}$ cm’dir. $[AB]$ kirişi ile küçük $AB$ yayı arasında kalan bölgenin alanı kaç santimetrekaredir?

Merkez açıyı bilmiyoruz; kirişten bulacağız. Merkezden kirişe inen dikme kirişi ortalar: yarım kiriş $3\sqrt{3}$ , hipotenüs $6$ . Dikmenin uzunluğu $\sqrt{36 - 27} = 3$ cm’dir.

Kenarları $3$ , $3\sqrt{3}$ , $6$ olan dik üçgen $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ üçgenidir; merkezdeki açısı, $3\sqrt{3}$ lük kenarın karşısındaki $60^\circ$ dir. Merkez açı bunun iki katıdır: $m(\widehat{AOB}) = 120^\circ$ .

Dilimin alanı: $\pi \cdot 6^2 \cdot \dfrac{120}{360} = 12\pi$ . Üçgenin alanı, taban kiriş ve yükseklik dikme alınarak: $\dfrac{6\sqrt{3} \cdot 3}{2} = 9\sqrt{3}$ .

Sonuç

Daire parçasının alanı $12\pi - 9\sqrt{3}$ santimetrekaredir (yaklaşık $22{,}1$ ).

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Yarıçapı

4

cm olan dairede, merkez açısı

90^\circ

olan dilimin kirişi ile yayı arasında kalan daire parçasının alanı kaç santimetrekaredir?

Açıklama

Dilim: $\dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 16 = 4\pi$ . Üçgen ikizkenar dik üçgendir: $\dfrac{4 \cdot 4}{2} = 8$ . Fark $4\pi - 8$ .

Teğet ile dilim aynı şekilde

Teğet soruları ile alan soruları çoğu zaman tek şekilde birleşir. Köprü hep aynıdır: teğet yarıçapa dik olduğundan merkez açıyı dik üçgenden bulursun, sonra dilimi hesaplarsın.

Örnek

zor

İki teğet ile yay arasındaki bölge

Yarıçapı $4$ birim olan $O$ merkezli çembere, $|OP| = 8$ birim olan $P$ noktasından $PA$ ve $PB$ teğetleri çiziliyor. Teğet parçaları ile küçük $AB$ yayı arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

$OAP$ dik üçgeninde ( $A$ köşesi dik) $|OA| = 4$ ve $|OP| = 8$ . Dik kenar hipotenüsün yarısı olduğundan karşısındaki açı $30^\circ$ dir: $m(\widehat{OPA}) = 30^\circ$ ve $m(\widehat{AOP}) = 60^\circ$ . Teğet parçası $|PA| = 4\sqrt{3}$ .

$[OP]$ açıortay olduğundan $m(\widehat{AOB}) = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$ . Aranan bölge, $OAPB$ dörtgeninden $120^\circ$ lik dilimin çıkarılmasıyla bulunur.

Dörtgen iki eş dik üçgendir: $2 \cdot \dfrac{4 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}$ . Dilim: $\pi \cdot 4^2 \cdot \dfrac{120}{360} = \dfrac{16\pi}{3}$ .

Sonuç

Alan $16\sqrt{3} - \dfrac{16\pi}{3}$ birimkaredir (yaklaşık $10{,}96$ ).

Boyalı bölge

=

OAPB

dörtgeni

-

120^\circ

lik dilim

Bağlamlı sorular

Günlük hayat sorularında formül değişmez; iş, bölgenin hangi dilimlerden oluştuğunu görmektir. Şekli kendin çiz, her parçanın merkezini ve yarıçapını ayrı ayrı yaz.

Örnek

zor

Kulübeye bağlı keçi

Tabanı kenarı $6$ m olan kare biçimindeki bir kulübenin dış köşelerinden birine $8$ m uzunluğunda bir iple keçi bağlanmıştır. Kulübenin çevresi düz bir çayırdır ve keçi kulübeye giremez. Keçinin otlayabileceği bölgenin alanı kaç metrekaredir?

Bağlı olduğu köşede kulübe $90^\circ$ lik bir açıyı kapatır. Kalan $270^\circ$ lik yönde ip gergin ve engelsizdir: yarıçapı $8$ m olan dairenin $\dfrac{3}{4}$ ü.

$\dfrac{3}{4} \cdot \pi \cdot 8^2 = 48\pi$

Keçi duvar boyunca yürüyüp komşu köşeye varınca ipin $6$ m’si duvara yaslanır, geriye $8 - 6 = 2$ m kalır. Köşeyi dönünce bu $2$ m ile, kulübenin öbür duvarı engel olana kadar $90^\circ$ lik bir dilim tarar. Bu, iki komşu köşede de olur:

$2 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \pi \cdot 2^2 = 2\pi$

Kalan ip $2$ m, duvar $6$ m olduğundan keçi üçüncü bir köşeye ulaşamaz; başka parça yoktur. Parçalar üst üste binmez, alanları topla.

Sonuç

Otlanabilen alan $48\pi + 2\pi = 50\pi$ metrekaredir.

Büyük parça dairenin dörtte üçü; köşeleri dönünce kalan

2

m'lik iple iki çeyrek daire eklenir.

Aynı uzunluktaki bir yay, merkez açısına göre çok farklı çemberlere ait olabilir. Uzunluk sabitken merkez açı büyürse yarıçap küçülür.

Sahnede uzunluğu sabit bir teli büküyorsun. Merkez açı sürgüsünü $60^\circ$ den $360^\circ$ ye götür: tel hep aynı uzunlukta kalırken yarıçap küçülüyor, uçlar birbirine yaklaşıyor ve yayın orta noktası kirişten uzaklaşıyor. $360^\circ$ de uçlar birleşiyor: tel tam bir çember.

Örnek

zor

Bükülen tel

$12\pi$ cm uzunluğundaki bir tel, önce merkez açısı $120^\circ$ olan bir çember yayı biçiminde bükülüyor. Sonra aynı tel yarım çember biçimine getiriliyor. Telin iki ucu arasındaki uzaklık ilk duruma göre kaç santimetre kısalır?

Telin uzunluğu iki durumda da yay uzunluğudur; değişen yarıçaptır. İlk durumda yay, çevrenin $\dfrac{120}{360} = \dfrac{1}{3}$ üdür: $\dfrac{2\pi r_1}{3} = 12\pi$ , buradan $r_1 = 18$ cm.

İlk durumda uçlar arası uzaklık, $120^\circ$ lik merkez açının kirişidir. Merkezden kirişe inen dikme $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ üçgeni verir: yarım kiriş $9\sqrt{3}$ , kiriş $18\sqrt{3}$ cm.

İkinci durumda yay yarım çemberdir: $\pi r_2 = 12\pi$ , buradan $r_2 = 12$ cm. Uçlar arası uzaklık çaptır: $24$ cm.

Sonuç

Uzaklık $18\sqrt{3} - 24$ cm kısalır (yaklaşık $7{,}2$ cm).

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aynı merkezli iki çemberin yarıçapları

3

cm ve

5

cm’dir. İki çember arasında kalan halkanın alanı kaç santimetrekaredir?

Açıklama

Halka, büyük daireden küçük dairenin çıkarılmasıdır: $\pi \cdot 5^2 - \pi \cdot 3^2 = 25\pi - 9\pi = 16\pi$ .

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Teğet değme noktasındaki yarıçapa diktir. Merkez, değme noktası ve dış nokta bir dik üçgen verir; dik açı değme noktasındadır.
Bir dış noktadan çıkan iki teğet parçası eşittir; $[PO]$ açıortaydır ve $m(\widehat{APB}) + m(\widehat{AOB}) = 180^\circ$ .
İç teğet çember: köşelerden değme noktalarına uzaklıklar $u - a$ , $u - b$ , $u - c$ ; $\text{Alan} = u \cdot r$ . Dik üçgende $r = \dfrac{a + b - c}{2}$ .
Dış teğet çember: bir kenara ve öteki iki kenarın uzantılarına teğettir; köşeden karşıdaki dış teğet çemberin değme noktasına uzaklık $u$ dur.
Çevre $2\pi r$ , alan $\pi r^2$ . Yarıçap $k$ katına çıkınca çevre $k$ , alan $k^2$ katına çıkar.
Yay uzunluğu $2\pi r \cdot \dfrac{\alpha}{360}$ , dilim alanı $\pi r^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360} = \dfrac{\ell \cdot r}{2}$ .
Daire parçası $=$ dilim $-$ üçgen. Halka $= \pi (R^2 - r^2)$ . Karmaşık bölgeleri dilimlere ve üçgenlere ayır.
Kaymadan dönen tekerlekte alınan yol, yere değen yayın uzunluğudur; bir tam turda çevre kadardır.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

8 çıkmış soru5 özgün soru

2026 AYTSoru 33

Orta

Dönen tekerlek ve yay uzunluğu

Daire biçimindeki bir bisiklet tekerleğinin merkezine bağlı kırmızı ve mavi parçalar ile siyah bir jant telinin başlangıçtaki görünümü şekildeki gibidir. Bisiklet ilerlerken kırmızı ve mavi parçaların bisiklete göre konumu değişmiyor; siyah jant teli ise tekerleğin merkezi etrafında dönüyor.

Bisiklet hep aynı yönde ilerliyor ve siyah tel,

başlangıçtan itibaren $90$ cm yol alınıp durulduğunda ilk kez mavi parçayla,
başlangıçtan itibaren $130$ cm yol alınıp durulduğunda ilk kez kırmızı parçayla,
başlangıçtan itibaren $290$ cm yol alınıp durulduğunda ikinci kez mavi parçayla

üst üste geliyor.

Buna göre kırmızı ve mavi parçalar arasındaki dar açının ölçüsü kaç derecedir?

İpucu

Siyah tel mavi parçayla iki kez üst üste geliyor. Bu iki an arasında tekerlek kaç tur dönmüştür ve bisiklet ne kadar yol almıştır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 36)

Çözüm

Kaymadan dönen tekerlekte alınan yol, yere değen yayın uzunluğudur; yani alınan yol ile telin dönme açısı doğru orantılıdır ve bir tam turda çevre kadar yol alınır.

1. Çevre. Tel mavi parçayla ilk kez $90$ cm'de, ikinci kez $290$ cm'de üst üste geliyor. Arada tam bir tur dönmüştür:

\text{Çevre} = 290 - 90 = 200 \text{ cm}

2. Maviden kırmızıya. Tel mavi parçadan kırmızı parçaya $130 - 90 = 40$ cm'lik yolda geçiyor. Bu, bir turun $\dfrac{40}{200} = \dfrac{1}{5}$ idir:

360^\circ \cdot \dfrac{1}{5} = 72^\circ

$72^\circ < 90^\circ$ olduğundan iki parça arasındaki dar açı $72^\circ$ dir.

Tuzak: açıyı şekilden tahmin etmek. Şekil ölçekli değildir; cevap yalnızca verilen yollardan bulunur. Başlangıçtaki $90$ cm'yi orana katmak da hatadır, çünkü telin başlangıç konumu bilinmez.

Cevap: D

2025 AYTSoru 34

Zor

Daire parçası ve alan oranı

Şekilde $[AB]$ çaplı bir yarım çember verilmiştir. $C$ noktası $[AB]$ doğru parçasının, $D$ noktası yarım çemberin üzerindedir ve $m(\widehat{BAD}) = 18^\circ$ dir.

Şekilde sarıya boyalı bölgenin alanı maviye boyalı bölgenin alanının $4$ katına eşit olduğuna göre $\dfrac{|AC|}{|BC|}$ oranı kaçtır?

İpucu

Merkezi $O$ ile adlandır ve $[OD]$ yarıçapını çiz. $18^\circ$ lik çevre açının gördüğü yayın merkez açısı kaç derecedir? İki boyalı bölgeyi de "dilim eksi üçgen" olarak yaz ve dilimlerin oranına dikkat et.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

Merkez $O$ , yarıçap $r$ olsun; $[OD]$ yi çiz.

1. Merkez açılar. $\widehat{BAD}$ çevre açısı $DB$ yayını görür; aynı yayı gören merkez açı iki katıdır: $m(\widehat{BOD}) = 36^\circ$ . Öyleyse $m(\widehat{AOD}) = 144^\circ$ . $D$ noktasının $AB$ doğrusuna uzaklığına $h$ diyelim.

2. Sarı bölge. $[AD]$ kirişinin ayırdığı daire parçasıdır: $144^\circ$ lik dilimden $AOD$ üçgeni çıkar. Üçgende taban $|AO| = r$ , yükseklik $h$ :

S = \dfrac{144}{360}\pi r^2 - \dfrac{r \cdot h}{2} = \dfrac{2\pi r^2}{5} - \dfrac{r \cdot h}{2}

3. Mavi bölge. $C$ noktası $O$ ile $B$ arasındadır. Bölge, $36^\circ$ lik $BOD$ diliminden $OCD$ üçgeninin çıkarılmasıdır (taban $|OC|$ , yükseklik $h$ ):

M = \dfrac{36}{360}\pi r^2 - \dfrac{|OC| \cdot h}{2} = \dfrac{\pi r^2}{10} - \dfrac{|OC| \cdot h}{2}

4. Koşul. $S = 4M$ yazınca dilim terimleri eşit çıkar, çünkü $4 \cdot \dfrac{\pi r^2}{10} = \dfrac{2\pi r^2}{5}$ . Geriye üçgenler kalır:

\dfrac{r \cdot h}{2} = 4 \cdot \dfrac{|OC| \cdot h}{2} \quad \Rightarrow \quad |OC| = \dfrac{r}{4}

5. Oran. $|AC| = r + \dfrac{r}{4} = \dfrac{5r}{4}$ ve $|BC| = r - \dfrac{r}{4} = \dfrac{3r}{4}$ olduğundan $\dfrac{|AC|}{|BC|} = \dfrac{5}{3}$ .

Neden $C$ merkezin sağında? $C$ noktası $A$ ile $O$ arasında olsaydı mavi bölge dilim artı üçgen olurdu ve $S = 4M$ eşitliği sağlanamazdı. Tuzak: $h$ yi hesaplamaya çalışmak; $h$ iki tarafta da vardır ve sadeleşir.

Cevap: B

2024 AYTSoru 33

Kolay

Daire dilimlerinin alan oranı

Bir restoranda pizza hamuru daire biçiminde açılıyor, sonra hamurun üzerine onunla aynı merkezli daire biçiminde turuncu renkli malzemeli kısım yapılıyor. Ali ile Ayşe'nin sipariş ettiği pizzanın üstten görünümü şekildeki gibidir.

Ayşe pizzayı $8$ eş dilime ayırıyor; $3$ dilimi kendisi alıyor, $5$ dilimi Ali'ye veriyor. Ali dilimlerinin tamamını, Ayşe ise dilimlerinin yalnızca turuncu kısımlarını yiyor. Üstten görünümde Ali'nin yediği kısımların alanı, Ayşe'nin yediği kısımların alanının $2{,}4$ katıdır.

Buna göre bu pizzanın yarıçapının, turuncu kısmının yarıçapına oranı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

Pizzanın yarıçapı $R$ , turuncu kısmın yarıçapı $r$ olsun. Her dilim, merkez açısı $45^\circ$ olan bir daire dilimidir; yani ait olduğu dairenin $\dfrac{1}{8}$ idir.

Ali: $5$ dilimin tamamı, $\dfrac{5}{8}\pi R^2$ .

Ayşe: $3$ dilimin yalnızca turuncu kısmı, $\dfrac{3}{8}\pi r^2$ .

\dfrac{5}{8}\pi R^2 = 2{,}4 \cdot \dfrac{3}{8}\pi r^2 \quad \Rightarrow \quad 5R^2 = 7{,}2\,r^2 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{R^2}{r^2} = 1{,}44

$1{,}44 = \dfrac{36}{25}$ olduğundan $\dfrac{R}{r} = \dfrac{6}{5}$ .

Tuzak: alanların oranı yarıçapların karelerinin oranıdır; karekök almayı unutursan $\dfrac{36}{25}$ te kalırsın. Ayşe'nin alanını da tam dilim üzerinden değil, küçük daire üzerinden yazmalısın.

Cevap: D

2024 AYTSoru 34

Zor

Yay uzunluğu ve yarıçap

Çember yayı biçimindeki bir telin merkez açısı $120^\circ$ dir. Telin uçları dikdörtgen biçimindeki bir tablonun üst kenarına tutturuluyor ve tablo, telin orta noktası duvardaki çiviye gelecek biçimde Şekil 1'deki gibi asılıyor; tablonun uzun kenarları zemine paralel duruyor.

Sonra tel sökülüyor, bükülerek yarım çember biçimine getiriliyor ve yeniden tabloya tutturuluyor. Tablo aynı çiviye, yine telin orta noktası çiviye gelecek biçimde Şekil 2'deki gibi asılıyor; uzun kenarları yine zemine paralel duruyor. Son durumda tablonun zeminden yüksekliği ilk duruma göre $8$ birim azalıyor.

Buna göre telin uzunluğu kaç birimdir?

İpucu

Çivi yerinden oynamıyor. Tablonun üst kenarı çividen ne kadar aşağıda? Bu, yayın orta noktasının uçları birleştiren kirişe uzaklığıdır; iki durum için yarıçap cinsinden yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

Telin uzunluğu $L$ olsun. İki durumda da çivi aynı yerdedir ve yayın orta noktası çividedir. Tablonun üst kenarı, telin uçlarını birleştiren kirişin üzerindedir; tablonun çividen ne kadar aşağıda durduğu, yayın orta noktasının kirişe uzaklığıdır.

Şekil 1. Yay, çevrenin $\dfrac{120}{360} = \dfrac{1}{3}$ üdür: $\dfrac{2\pi r_1}{3} = L$ , yani $r_1 = \dfrac{3L}{2\pi}$ . Merkezden kirişe inen dikme, $120^\circ$ lik merkez açıyı ikiye böler ve $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ üçgeni verir: merkezin kirişe uzaklığı $\dfrac{r_1}{2}$ dir. Yayın orta noktasının kirişe uzaklığı

r_1 - \dfrac{r_1}{2} = \dfrac{r_1}{2} = \dfrac{3L}{4\pi}

Şekil 2. Yay yarım çemberdir: $\pi r_2 = L$ , yani $r_2 = \dfrac{L}{\pi}$ . Kiriş çaptır; yayın orta noktasının çapa uzaklığı yarıçaptır: $\dfrac{L}{\pi}$ .

Fark. Tablo ikinci durumda bu iki uzaklığın farkı kadar aşağıdadır:

\dfrac{L}{\pi} - \dfrac{3L}{4\pi} = \dfrac{L}{4\pi} = 8 \quad \Rightarrow \quad L = 32\pi

Sağlama: $r_1 = 48$ ve uzaklık $24$ ; $r_2 = 32$ ve uzaklık $32$ ; fark $8$ .

Tuzak: tel bükülünce uzunluğu değişmez ama yarıçapı değişir. İki durumda aynı yarıçapı kullanmak soruyu çözümsüz bırakır.

Cevap: C

2023 AYTSoru 35

Orta

Daire dilimi ve üçgen

Yarıçapı $r$ birim olan çeyrek daire biçimindeki bir kâğıt, önce Şekil 1'deki gibi kendisini iki eş parçaya ayıran doğru boyunca kesiliyor ve parçalardan biri atılıyor. Kalan parça Şekil 2'de gösterilen doğru boyunca bir kez daha kesiliyor ve Şekil 3'teki iki parça elde ediliyor. Bu iki parçadan büyük olanın üst yüzü maviye, küçük olanın üst yüzü sarıya boyanıyor.

Buna göre, maviye boyalı alanın sarıya boyalı alana oranı kaçtır?

İpucu

İlk kesimden sonra elde kalan parçanın merkez açısı kaç derecedir? İkinci kesim bu dilimden nasıl bir üçgen ayırıyor?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

1. İlk kesim. Çeyrek dairenin merkez açısı $90^\circ$ dir; iki eş parçaya bölününce kalan parça merkez açısı $45^\circ$ olan daire dilimidir:

\pi r^2 \cdot \dfrac{45}{360} = \dfrac{\pi r^2}{8}

2. İkinci kesim. Kesim doğrusu yarıçaplardan birine orta noktasında diktir. Merkez tarafında kalan parça bir dik üçgendir; merkezdeki açısı $45^\circ$ olduğundan ikizkenardır ve dik kenarları $\dfrac{r}{2}$ dir:

\text{Sarı} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{r}{2} \cdot \dfrac{r}{2} = \dfrac{r^2}{8}

3. Mavi parça. Dilimden üçgen çıkarılır:

\text{Mavi} = \dfrac{\pi r^2}{8} - \dfrac{r^2}{8} = \dfrac{(\pi - 1)\,r^2}{8}

4. Oran. $\dfrac{\text{Mavi}}{\text{Sarı}} = \pi - 1$ .

Tuzak: oranı dilimin tamamı ile üçgen arasında kurmak $\pi$ verir (A seçeneği). Mavi parça dilimin tamamı değil, üçgen çıkarıldıktan sonra kalanıdır.

Cevap: B

2021 AYTSoru 36

Orta

İç teğet çemberin yarıçapı

Mehmet, yarıçapı $2$ cm olan küre biçimindeki bir tenis topunu, deseni özdeş şekillerden oluşan bir tel örgüye doğru fırlatıyor. Top, tel örgüye hiç değmeden örgünün içinden geçiyor.

Tel örgünün bir gözü için üç olasılık şekilde gösterilmiştir:

I. her kenarı $5$ cm olan kare,
II. her kenarı $6$ cm olan eşkenar üçgen,
III. her kenarı $4$ cm ve bir iç açısı $60^\circ$ olan eşkenar dörtgen.

Buna göre, bu tel örgünün görünümü I, II ve III numaralı şekillerden hangileri olabilir?

İpucu

Topun gözden değmeden geçmesi için, gözün içine sığan en büyük çemberin yarıçapı topun yarıçapından büyük olmalı. Bu çember, şeklin kenarlarına teğet olan çemberdir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

Topun en geniş kesiti $2$ cm yarıçaplı bir dairedir. Top tele değmeden geçtiğine göre gözün içine çizilebilecek en büyük çemberin, yani kenarlara teğet olan iç teğet çemberin yarıçapı $2$ cm'den büyük olmalıdır.

I. Kare. İç teğet çemberin çapı kenara eşittir: $r = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$ . $2{,}5 > 2$ olduğundan top geçebilir.

II. Eşkenar üçgen. Alan $\dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ , yarı çevre $u = 9$ . $\text{Alan} = u \cdot r$ eşitliğinden $r = \sqrt{3}$ , yaklaşık $1{,}73$ . $1{,}73 < 2$ olduğundan top geçemez.

III. Eşkenar dörtgen. $60^\circ$ lik açı, dörtgeni kenarı $4$ cm olan iki eşkenar üçgene böler. Karşılıklı iki kenar arasındaki uzaklık bu üçgenin yüksekliğidir: $2\sqrt{3}$ . İç teğet çember karşılıklı kenarlara teğet olduğundan çapı $2\sqrt{3}$ , yarıçapı $\sqrt{3}$ tür; top yine geçemez.

Yalnız I olabilir.

Tuzak: III. şekilde kenar uzunluğuna ya da köşegene bakıp " $4 \geq 4$ " diye karar vermek. Belirleyici olan köşegen değil, kenarlara teğet çemberin yarıçapıdır.

Cevap: A

2020 AYTSoru 35

Zor

Daire dilimi ve daire parçası

Şekilde $A$ merkezli, $[AC]$ yarıçaplı bir yarım çember ile $B$ merkezli, $[BC]$ yarıçaplı bir yarım çember çizilmiştir. $B$ noktası $A$ merkezli çemberin, $A$ noktası da $B$ merkezli çemberin üzerindedir.

$|AC| = |BC| = 12$ birim

Buna göre, boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

İpucu

$[AB]$ parçasını çiz: $ABC$ nasıl bir üçgen? İki yayın kesiştiği öbür noktayı da $A$ ve $B$ ile birleştir; boyalı bölgeyi bir üçgen, bir daire dilimi ve bir daire parçasına ayır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

1. Eşkenar üçgenler. $B$ noktası $A$ merkezli çemberin üzerinde olduğundan $|AB| = |AC| = 12$ . $|BC| = 12$ ile birlikte $ABC$ eşkenar üçgendir. İki yayın kesiştiği öbür nokta $K$ olsun: $|AK| = |BK| = |AB| = 12$ , yani $ABK$ de eşkenar üçgendir.

2. Bölgeyi parçala. Boyalı bölge üç parçadan oluşur:

$ABC$ eşkenar üçgeni,
$A$ merkezli, $60^\circ$ lik $BAK$ daire dilimi,
$B$ merkezli çemberde $[AK]$ kirişi ile $AK$ yayı arasındaki daire parçası (merkez açısı $60^\circ$ ).

3. Alanlar.

\text{Üçgen} = \dfrac{12^2\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3} \qquad \text{Dilim} = \pi \cdot 12^2 \cdot \dfrac{60}{360} = 24\pi

Daire parçası, aynı büyüklükte bir dilimden $ABK$ eşkenar üçgeninin çıkarılmasıdır: $24\pi - 36\sqrt{3}$ .

4. Topla.

36\sqrt{3} + 24\pi + 24\pi - 36\sqrt{3} = 48\pi

Tuzak: bölgenin sınırındaki $AK$ yayı $B$ merkezli çembere aittir; onu $A$ merkezli dilimin parçası sanıp daire parçasını unutursan $24\pi + 36\sqrt{3}$ gibi seçeneklerde olmayan bir sonuç çıkar.

Cevap: C

2019 AYTSoru 38

Zor

Daire dilimlerinin alanları toplamı

Düzlemdeki bir $ABC$ dik üçgeninin her köşesi merkez alınarak $r$ yarıçaplı birer daire çiziliyor; bu üç daire birbirini kesmiyor. Üçgenin kenarlarının dairelerin içinde kalmayan parçalarının uzunlukları $2$ birim, $3$ birim ve $5$ birimdir.

Buna göre, dairelerin içinde kalıp üçgenin dışında olan bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

İpucu

Her kenarın iki ucundan $r$ kadarlık kısım dairelerin içindedir; kenarları $r$ cinsinden yaz. Dairelerin üçgenin içinde kalan kısımları hangi açılara sahip dilimlerdir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. Kenarları yaz. Daireler birbirini kesmediğinden her kenarın iki ucunda $r$ birimlik kısım dairelerin içinde kalır. Kenar uzunlukları $2 + 2r$ , $3 + 2r$ ve $5 + 2r$ olur; en uzunu hipotenüstür.

2. Pisagor teoremi.

(2 + 2r)^2 + (3 + 2r)^2 = (5 + 2r)^2

Açınca $8r^2 + 20r + 13 = 4r^2 + 20r + 25$ , yani $4r^2 = 12$ ve $r^2 = 3$ .

3. Üçgenin içinde kalan kısımlar. Her dairenin üçgenin içinde kalan kısmı, merkez açısı o köşedeki iç açı olan bir daire dilimidir. İç açıların toplamı $180^\circ$ olduğundan üç dilim birlikte yarım daire eder: $\dfrac{\pi r^2}{2}$ .

4. İstenen alan. Üç dairenin toplam alanından bu yarım daire çıkarılır:

3\pi r^2 - \dfrac{\pi r^2}{2} = \dfrac{5\pi r^2}{2} = \dfrac{5\pi \cdot 3}{2} = \dfrac{15\pi}{2}

Tuzak: $r$ yi bulmaya gerek yoktur, $r^2 = 3$ yeterlidir. Üç dilimin toplamını hesaplamak için açıları tek tek bilmek de gerekmez.

Cevap: E

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Teğet parçası ve Pisagor

Yarıçapı $8$ cm olan $O$ merkezli çembere, dışındaki bir $P$ noktasından çizilen teğet parçasının uzunluğu $15$ cm'dir.

Buna göre, $P$ noktasının çembere en kısa uzaklığı kaç cm'dir?

Çözüm

Değme noktası $T$ olsun. Teğet yarıçapa dik olduğundan $OTP$ dik üçgendir ve dik açı $T$ köşesindedir:

|OP| = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{289} = 17

$P$ noktasına en yakın çember noktası $[OP]$ üzerindedir; uzaklık $|OP| - r = 17 - 8 = 9$ cm.

Çeldiriciler: $17$ merkeze uzaklıkta durmak, $15$ teğet parçasını en kısa uzaklık sanmak, $7$ teğet parçasından yarıçapı çıkarmak, $23$ ikisini toplamaktır.

Cevap: B

Özgün soru2

Kolay

Yay uzunluğu

Bir duvar saatinin yelkovanı $12$ cm uzunluğundadır.

Buna göre, yelkovanın ucu $25$ dakikada kaç cm yol alır?

Çözüm

Yelkovan $60$ dakikada bir tam tur atar. $25$ dakika, turun $\dfrac{25}{60} = \dfrac{5}{12}$ sidir (merkez açı $150^\circ$ ).

Ucun çizdiği çemberin çevresi $2\pi \cdot 12 = 24\pi$ cm'dir. Alınan yol bu çevrenin $\dfrac{5}{12}$ sidir:

24\pi \cdot \dfrac{5}{12} = 10\pi

Çeldiriciler: $5\pi$ çevreyi $\pi r$ almak, $12\pi$ süreyi yarım saat saymak, $24\pi$ kesirle çarpmayı unutmak, $60\pi$ yay yerine dilimin alanını hesaplamaktır.

Cevap: B

Özgün soru3

Orta

İç teğet çember ve teğet parçaları

Şekilde $B$ köşesi dik olan $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi çizilmiştir. Çemberin yarıçapı $2$ birimdir ve çember $[AC]$ kenarına $F$ noktasında değmektedir. $|AF| = 3$ birimdir.

Buna göre, $|FC|$ kaç birimdir?

İpucu

Dik köşeden çıkan teğet parçaları neye eşittir? Üç kenarı teğet parçaları cinsinden yaz, sonra Pisagor teoremini kullan.

Çözüm

1. Teğet parçaları. Bir köşeden çıkan iki teğet parçası eşittir. $A$ dan çıkanlar $3$ , $C$ den çıkanlar $|FC| = x$ olsun. $B$ köşesi dik olduğundan, $B$ ile iki değme noktası ve çemberin merkezi bir kare oluşturur; $B$ den çıkan parçalar yarıçapa eşittir: $2$ .

2. Kenarlar. $|AB| = 3 + 2 = 5$ , $|BC| = 2 + x$ , $|AC| = 3 + x$ .

3. Pisagor teoremi.

5^2 + (2 + x)^2 = (3 + x)^2 \quad \Rightarrow \quad 25 + 4 + 4x = 9 + 6x \quad \Rightarrow \quad x = 10

$|FC| = 10$ birim. Sağlama: kenarlar $5$ , $12$ , $13$ olur ve $r = \dfrac{5 + 12 - 13}{2} = 2$ .

Çeldiriciler: $12$ sorulan parça yerine $|BC|$ kenarını, $13$ hipotenüsü yazmaktır.

Cevap: C

Özgün soru4

Orta

Teğet parçalarının eşitliği

Şekildeki $ABCD$ dörtgeninin dört kenarı da aynı çembere teğettir. $|AB| = 9$ , $|BC| = 7$ ve $|CD| = 11$ birimdir.

Buna göre, $|DA| = x$ kaç birimdir?

İpucu

Her köşeden çıkan iki teğet parçası eşittir. Dört köşenin parçalarına ad ver ve kenarları bu adlarla yaz; karşılıklı kenarların toplamlarını karşılaştır.

Çözüm

$A$ , $B$ , $C$ , $D$ köşelerinden çıkan teğet parçaları sırasıyla $p$ , $q$ , $s$ , $t$ olsun (her köşeden çıkan iki parça eşittir). Kenarlar:

|AB| = p + q, \quad |BC| = q + s, \quad |CD| = s + t, \quad |DA| = t + p

Karşılıklı kenarları topla:

|AB| + |CD| = p + q + s + t = |BC| + |DA|

Sayıları yerine koy: $9 + 11 = 7 + x$ , buradan $x = 13$ .

Çeldiriciler: komşu kenarları eşleştirmek $9 + 7 = 11 + x$ ile $5$ , $9 + x = 7 + 11$ ile $9$ verir. Toplamlar karşılıklı kenarlar arasında eşittir.

Cevap: D

Özgün soru5

Zor

Teğet ve yay uzunluğu

Yarıçapı $6$ cm olan daire biçimindeki bir makaranın merkezi $O$ noktasıdır. Makaranın dışındaki $P$ noktası için $|OP| = 12$ cm'dir. Gergin bir ip şekildeki gibi $P$ noktasından çıkıp makaranın çevresini dolaşıyor ve yeniden $P$ noktasına dönüyor; ipin makaraya değmeyen kısımları makaraya teğet iki doğru parçasıdır.

Buna göre, ipin uzunluğu kaç cm'dir?

İpucu

İp iki teğet parçası ile bir yaydan oluşur. Önce $OAP$ dik üçgeninden teğet parçasını ve $m(\widehat{AOP})$ açısını bul; sonra ipin hangi yaya sarıldığına karar ver.

Çözüm

İp makaraya $A$ ve $B$ noktalarında değsin.

1. Teğet parçaları. $OAP$ dik üçgeninde ( $A$ köşesi dik) $|OA| = 6$ ve $|OP| = 12$ :

|PA| = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}

$|PB| = |PA|$ olduğundan iki doğru parçası toplam $12\sqrt{3}$ cm'dir.

2. Merkez açı. Dik kenar $|OA|$ , hipotenüsün yarısıdır; karşısındaki açı $m(\widehat{OPA}) = 30^\circ$ , dolayısıyla $m(\widehat{AOP}) = 60^\circ$ ve $m(\widehat{AOB}) = 120^\circ$ dir.

3. Sarılan yay. İp makaranın $P$ noktasına uzak tarafını dolaşır; yani küçük $AB$ yayına değil, büyük $AB$ yayına sarılıdır: $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$ .

2\pi \cdot 6 \cdot \dfrac{240}{360} = 8\pi

4. Toplam. $12\sqrt{3} + 8\pi$ cm.

Çeldiriciler: A küçük yayı ( $120^\circ$ ) almak, C tek teğet parçası yazmak, D teğet parçasını $|OP|$ ile karıştırmak, E bütün çevreyi eklemektir.

Cevap: B

Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir

Teğet parçasının uzunluğu

Dış noktadan çizilen iki teğet

Teğetler arasındaki açı

Dairenin çevresi: π\piπ nereden geliyor?

Tekerlek bir turda ne kadar ilerler?

Dairenin alanı

Çevreden alana

Teğet parçalarını taşımak

Üçüncü teğetin kestiği üçgen

Üçgenin iç teğet çemberi

Değme noktasının yeri

İç teğet çemberin yarıçapı

Üçgenin dış teğet çemberi

Dış teğet çemberde teğet parçası

Yay uzunluğu ve daire dilimi

Yaydan açıya, açıdan alana

Silecek camın ne kadarını siler?

Daire parçası

Kirişten daire parçasına

Teğet ile dilim aynı şekilde

İki teğet ile yay arasındaki bölge

Bağlamlı sorular

Kulübeye bağlı keçi

Bükülen tel

Özgün sorular

Dairenin çevresi: $\pi$ nereden geliyor?