9Konu 9 / 49
Fonksiyonlar ve Cebir

Bire Bir, Örten, Bileşke ve Ters Fonksiyon

Bir fonksiyonun ne zaman bire bir ve örten olduğunu yatay doğru testiyle görüyor, iki fonksiyonu art arda uygulayıp bileşkeyi kuruyor, bir fonksiyonu geri alan ters fonksiyonu ve grafiğinin y = x doğrusuna göre simetrisini öğreniyoruz.

10. sınıf
AYT sıklığı
55 dk

LevhaBire Bir, Örten, Bileşke ve Ters FonksiyonBire Bir, Örten, Bileşke ve Ters Fonksiyon

Arkadaşınla bir şifre oyunu oynuyorsun: gönderdiğin her sayıyı önce $2$ ile çarpıp sonra $3$ ekliyorsun; $4$ yolladığında karşıya $11$ gidiyor. Arkadaşın $11$ sayısından $4$ ‘e nasıl geri döner? Kural “sayının karesini al” olsaydı ve karşıya $9$ gitseydi, $3$ mü yollamıştın, $-3$ mü? Bu sayfa iki işlemi art arda yapmayı (bileşke), yapılanı geri almayı (ters fonksiyon) ve geri almanın ne zaman mümkün olduğunu (bire bir ve örten) anlatıyor.

Isınma

Başlamadan: fonksiyonun değeri ve görüntü kümesi

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = 2x + 3

için

f(4)

kaçtır?

Açıklama

$x$ yerine $4$ yaz: $f(4) = 2 \cdot 4 + 3 = 11$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = x^2 - 1

olmak üzere

f(a) = 8

eşitliğini sağlayan

a

değerleri hangileridir?

Açıklama

$a^2 - 1 = 8$ ise $a^2 = 9$ , yani $a = 3$ ya da $a = -3$ . İki farklı girdi aynı çıktıyı veriyor; bu gözlem birazdan işimize yarayacak.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Gerçek sayılarda tanımlı

f(x) = x^2

fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Görüntü kümesi, fonksiyonun gerçekten aldığı değerlerin kümesidir. $x^2 \geq 0$ ve her $k \geq 0$ için $x = \sqrt{k}$ bu değeri verir. Tanım, değer ve görüntü kümesi Fonksiyonlar sayfasında anlatılıyor.

Temel

Bire bir, örten ve art arda iki fonksiyon

Bire bir fonksiyon

Şifre oyununda “karesini al” kuralı işe yaramadı, çünkü $3$ ve $-3$ aynı şifreyi üretti. Farklı girdilerin her zaman farklı çıktı verdiği fonksiyonlarda bu karışıklık olmaz; onlara bire bir denir.

Solda iki ok aynı elemana varıyor: bire bir değil. Sağda her elemana en çok bir ok geliyor: bire bir.

Örnek

kolay

Bire birliği cebirle gösterme

Gerçek sayılarda tanımlı $f(x) = 3x - 5$ ve $g(x) = x^2 - 4x$ fonksiyonları bire bir midir?

$f$ için tanımın ikinci biçimini kullan: iki girdinin görüntüleri eşit olsun, bakalım girdiler eşit çıkıyor mu. $3x_1 - 5 = 3x_2 - 5$ ise iki yana $5$ ekleyip $3$ ‘e bölünce $x_1 = x_2$ kalır.

Eşit görüntü yalnızca eşit girdiden gelebildiğine göre $f$ bire birdir.

$g$ için aynı eşitliği kurmaya gerek yok; bire bir olmadığını göstermek için tek bir karşı örnek yeter. $g(x) = x(x - 4)$ olduğundan $g(0) = 0$ ve $g(4) = 0$ : iki farklı girdi, aynı çıktı.

Sonuç

$f$ bire birdir, $g$ bire bir değildir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Gerçek sayılarda tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi bire birdir?

Açıklama

$7 - 2x_1 = 7 - 2x_2$ ise $x_1 = x_2$ . Eğimi sıfırdan farklı her doğrusal fonksiyon bire birdir; azalan olması bunu bozmaz.

Yatay doğru testi

Grafikte $f(x_1) = f(x_2) = k$ demek, $y = k$ yatay doğrusunun grafiği iki ayrı noktada kesmesi demektir. Bire birliği bu yüzden gözle denetleyebilirsin.

Sahnede $y = k$ doğrusunu sürgüyle yukarı aşağı gezdir ve kesişim sayacını izle. $f(x) = x^2$ için $k$ pozitifken sayaç $2$ gösteriyor. Düğmeyle $f(x) = 2x + 3$ ve $f(x) = x^3$ fonksiyonlarına geç: doğruyu nereye çekersen çek sayaç $1$ ‘de kalıyor.

y = k

doğrusu

y = x^2

parabolünü

x = -\sqrt{k}

x = \sqrt{k}

noktalarında keser: iki girdi, tek çıktı.

Örten fonksiyon

Bire birlik, değer kümesindeki bir elemana en çok bir ok gelmesini ister. Örtenlik öbür yandan bakar: değer kümesinde açıkta eleman kalmasın, her elemana en az bir ok gelsin.

Örtenlik yalnızca fonksiyonun kuralına değil, değer kümesi olarak neyi seçtiğine de bağlıdır. $f(x) = x^2$ kuralı $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ yazılırsa örten değildir ( $-1$ açıkta kalır), $\mathbb{R} \to [0, \infty)$ yazılırsa örtendir.

Sahnede $f(x) = x^2 - 4x$ eğrisinin $y$ eksenine düşen gölgesini izle: gölge $-4$ ‘ten yukarıyı kaplıyor, bu fonksiyonun görüntü kümesi. Değer kümesi düğmesini $\mathbb{R}$ konumuna al: $-4$ ‘ün altı açıkta kalıyor. $[-4, \infty)$ konumunda gölge değer kümesini tam örtüyor.

Örnek

kolay

Parabolde bire bir ve örtenlik

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2 - 4x$ fonksiyonu bire bir midir, örten midir? Tanım ve değer kümelerini nasıl seçersek aynı kural hem bire bir hem örten bir fonksiyon verir?

Grafiği tanımak için tam kareye tamamla: $x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$ . Kolları yukarı bakan, tepe noktası $T(2, -4)$ olan bir parabol (Parabol sayfasındaki yöntem).

Bire birlik için yatay doğru çek. $y = 0$ doğrusu grafiği $x = 0$ ve $x = 4$ noktalarında kesiyor: iki kesişim, bire bir değil.

Örtenlik için görüntü kümesine bak. $(x - 2)^2 \geq 0$ olduğundan fonksiyon $-4$ ‘ten küçük değer almaz; görüntü kümesi $[-4, \infty)$ . Değer kümesi $\mathbb{R}$ olduğu için $-5$ gibi sayılar açıkta kalıyor: örten değil.

Onarmak için parabolün yalnızca sağ kolunu al: tanım kümesi $[2, \infty)$ olunca her yatay doğru en çok bir kez keser. Değer kümesini de görüntü kümesine eşitle: $[-4, \infty)$ .

Sonuç

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ne bire bir ne örtendir. $f: [2, \infty) \to [-4, \infty)$ , $f(x) = x^2 - 4x$ fonksiyonu ise hem bire bir hem örtendir.

f(x) = x^2 - 4x

: görüntü kümesi

[-4, \infty)

y = -5

doğrusu grafiği hiç kesmiyor; değer kümesi

\mathbb{R}

ise fonksiyon örten değil.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = |x| + 2

fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Açıklama

Grafik, köşesi $(0, 2)$ noktasında olan bir V’dir. $y = 3$ doğrusu iki noktada keser (bire bir değil), $y = 0$ doğrusu hiç kesmez (örten değil). Görüntü kümesi $[2, \infty)$ .

İki fonksiyonu art arda uygulamak

Şifre kuralın aslında iki küçük fonksiyonun art arda çalışmasıydı: önce $g(x) = 2x$ , sonra $f(x) = x + 3$ . Birinin çıktısı ötekinin girdisi oluyor: $4 \to 8 \to 11$ .

Sahnede üç sayı doğrusu alt alta duruyor: en üstte $x$ , ortada $g(x)$ , en altta $f(g(x))$ . $x$ sürgüsünü oynat; oklar girdiyi önce $g$ ile orta doğruya, oradan $f$ ile alt doğruya taşıyor. “Tek ok” düğmesi aradaki durağı gizleyip $x$ ‘i doğrudan sonuca bağlıyor: bu tek ok bileşke fonksiyondur.

g(x) = x + 1

f(x) = x^2

: önce

g

, sonra

f

. Alttaki ok ikisini tek adımda yapan

f \circ g

fonksiyonu.

Örnek

kolay

Bileşkenin bir noktadaki değeri

$f(x) = 2x - 1$ ve $g(x) = x^2 + 3$ olmak üzere $(f \circ g)(2)$ ve $(g \circ f)(2)$ değerlerini bul.

$(f \circ g)(2) = f(g(2))$ demektir; içteki fonksiyon önce çalışır. $g(2) = 2^2 + 3 = 7$ .

Bu çıktıyı $f$ ‘ye ver: $f(7) = 2 \cdot 7 - 1 = 13$ . Demek ki $(f \circ g)(2) = 13$ .

$(g \circ f)(2) = g(f(2))$ için sıra değişir, bu kez önce $f$ çalışır: $f(2) = 3$ , sonra $g(3) = 3^2 + 3 = 12$ .

Sonuç

$(f \circ g)(2) = 13$ ve $(g \circ f)(2) = 12$ . Sıra değişince sonuç da değişti.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = x + 2

g(x) = x^2 - 1

olmak üzere

(g \circ f)(2)

kaçtır?

Açıklama

$(g \circ f)(2) = g(f(2))$ . Önce $f(2) = 4$ , sonra $g(4) = 16 - 1 = 15$ .

Orta

Bileşkenin kuralı, özellikleri ve ters fonksiyon

Bileşkenin kuralını bulmak

Tek bir sayı yerine genel bir $x$ için hesap yaparsan bileşke fonksiyonun kuralını elde edersin. Yöntem aynıdır: dıştaki fonksiyonun kuralında $x$ gördüğün her yere içteki fonksiyonun kuralını, parantez içinde yaz.

Örnek

orta

Bileşke fonksiyonun kuralı

$f(x) = 3x - 2$ ve $g(x) = x^2 + 1$ olmak üzere $(f \circ g)(x)$ ve $(g \circ f)(x)$ fonksiyonlarının kurallarını bul.

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ . Dıştaki $f$ “girdiyi $3$ ile çarp, $2$ çıkar” diyor; girdi artık $x^2 + 1$ :

$f(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1) - 2 = 3x^2 + 1$

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ . Dıştaki $g$ “girdinin karesini al, $1$ ekle” diyor; girdi $3x - 2$ . Parantezi unutma, çünkü ifadenin tamamının karesi alınır:

$g(3x - 2) = (3x - 2)^2 + 1 = 9x^2 - 12x + 5$

Sayıyla sağla, çünkü açılım hataları burada yapılır. $x = 1$ için $g(1) = 2$ , $f(2) = 4$ ve kuraldan $3 \cdot 1 + 1 = 4$ . Öbürü: $f(1) = 1$ , $g(1) = 2$ ve kuraldan $9 - 12 + 5 = 2$ .

Sonuç

$(f \circ g)(x) = 3x^2 + 1$ ve $(g \circ f)(x) = 9x^2 - 12x + 5$

Değişme yok, birleşme var

Sahnede $f(x) = x^2$ ve $g(x) = x + 1$ için iki eğri var: $(f \circ g)(x) = (x + 1)^2$ ve $(g \circ f)(x) = x^2 + 1$ . $x$ sürgüsünü gezdir, iki değerin farkını izle. Fark yalnızca $x = 0$ konumunda sıfır oluyor; başka her yerde sıra sonucu değiştiriyor.

(f \circ g)(x) = (x + 1)^2

(g \circ f)(x) = x^2 + 1

: aynı iki fonksiyon, iki farklı sıra.

x = 1

için biri

4

, öbürü

2

veriyor.

Birleşme özelliğini bir örnekte gör: $f(x) = x^2$ , $g(x) = x + 1$ , $h(x) = 2x$ olsun. $(f \circ g)(x) = (x + 1)^2$ kuralına $h(x)$ yazınca $(2x + 1)^2$ çıkar. Önce $(g \circ h)(x) = 2x + 1$ bulup $f$ ‘ye verince de $(2x + 1)^2$ çıkar. İki yolda da girdi önce $h$ ‘den, sonra $g$ ‘den, en son $f$ ‘den geçiyor.

Örnek

orta

Kurye uygulaması: kilometreden puana

Bir kurye uygulamasında $x$ kilometrelik teslimatın ücreti $f(x) = 12x + 30$ TL’dir. Uygulama, ödenen her $t$ TL için $g(t) = \dfrac{t}{10}$ puan veriyor. Teslimat mesafesini doğrudan kazanılan puana çeviren fonksiyonu yaz. $45$ puan kazandıran teslimat kaç kilometredir?

Zinciri birimlerle kur: kilometre $\to$ TL $\to$ puan. Önce $f$ , sonra $g$ çalışıyor; aranan fonksiyon $g \circ f$ ‘dir. ( $f \circ g$ burada anlamsızdır: $g$ ‘nin çıktısı puandır, $f$ ise kilometre bekler.)

$g$ ‘nin kuralında $t$ yerine $f(x)$ yaz:

$(g \circ f)(x) = \dfrac{12x + 30}{10} = 1{,}2x + 3$

$45$ puan için denklemi çöz: $1{,}2x + 3 = 45$ ise $1{,}2x = 42$ , $x = 35$ . Sağlama: $35$ km için ücret $12 \cdot 35 + 30 = 450$ TL, puan $450 : 10 = 45$ .

Sonuç

$(g \circ f)(x) = 1{,}2x + 3$ ; $45$ puan $35$ kilometrelik teslimattan gelir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = 2x + 1

g(x) = x - 4

olmak üzere

(f \circ g)(x)

aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$f(g(x)) = f(x - 4) = 2(x - 4) + 1 = 2x - 7$ .

Ters fonksiyon: yapılanı geri almak

Kancadaki soruya dön: $f(x) = 2x + 3$ ile şifrelenmiş $11$ sayısını çözmek için işlemleri ters sırayla geri alırsın. En son $3$ eklenmişti, önce onu çıkar; sonra $2$ ‘ye böl: $\dfrac{11 - 3}{2} = 4$ . Bu geri alma kuralı da bir fonksiyondur.

Sahnede üstteki sayı doğrusundan alttakine $f(x) = 2x + 3$ okları iniyor. “Geri al” düğmesine bas: oklar yön değiştiriyor, her çıktı geldiği girdiye dönüyor. Sonra fonksiyonu $x^2$ yap ve yeniden geri al: $9$ noktasından iki ok çıkıyor, negatif sayılardan hiç çıkmıyor. Bu geri dönüş bir fonksiyon değil.

İki koşul da gereklidir. $f$ bire bir değilse bir çıktıya iki girdi karşılık gelir; geri dönerken iki ok çıkar. $f$ örten değilse değer kümesinde açıkta kalan elemandan geri dönecek ok yoktur. İki durumda da geri dönüş fonksiyon olmaz.

Örnek

orta

Kesirli fonksiyonun tersi

$f: \mathbb{R} - \{3\} \to \mathbb{R} - \{2\}$ , $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ fonksiyonu bire bir ve örtendir. $f^{-1}(x)$ kuralını bul.

$y = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ yaz ve paydadan kurtul, çünkü $x$ hem payda hem paydada: $y(x - 3) = 2x + 1$ , yani $xy - 3y = 2x + 1$ .

$x$ içeren terimleri bir yana topla ve $x$ parantezine al: $xy - 2x = 3y + 1$ , $x(y - 2) = 3y + 1$ .

$y \neq 2$ olduğundan bölebiliriz: $x = \dfrac{3y + 1}{y - 2}$ . Değer kümesinden $2$ ‘nin neden çıkarıldığı da burada görülüyor.

Sağla: $f(4) = \dfrac{9}{1} = 9$ . Ters fonksiyon $9$ ‘u $4$ ‘e götürmeli: $\dfrac{3 \cdot 9 + 1}{9 - 2} = \dfrac{28}{7} = 4$ .

Sonuç

$f^{-1}(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$

İlk özellik çoğu soruda tersin kuralını bulmaktan kurtarır: $f^{-1}(b)$ soruluyorsa ” $f$ hangi girdide $b$ değerini alır?” diye sor ve $f(x) = b$ denklemini çöz.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Gerçek sayılarda tanımlı, bire bir ve örten

f(x) = x^3 + 1

fonksiyonu için

f^{-1}(9)

kaçtır?

Açıklama

$f^{-1}(9) = a$ ise $f(a) = 9$ : $a^3 + 1 = 9$ , $a^3 = 8$ , $a = 2$ . Tersin kuralını yazmaya gerek kalmadı.

Ters fonksiyonun grafiği

$f(a) = b$ ise $(a, b)$ noktası $f$ ‘nin grafiğindedir; $f^{-1}(b) = a$ olduğundan $(b, a)$ noktası da $f^{-1}$ ‘in grafiğindedir. Koordinatların yer değiştirmesi, noktanın $y = x$ doğrusuna göre yansıması demektir.

Sahnede $f(x) = ax + b$ doğrusu, tersi ve kesikli $y = x$ doğrusu var. $P$ noktasını $f$ üzerinde sürükle: ayna görüntüsü $P'$ koordinatları yer değiştirmiş olarak $f^{-1}$ üzerinde geziyor. $a$ ve $b$ sürgülerini oynat; doğru dikleştikçe tersi yatıklaşıyor, kesişim noktası da $y = x$ doğrusundan hiç ayrılmıyor.

Örnek

orta

Doğrusal fonksiyonun tersinin grafiği

Gerçek sayılarda tanımlı $f(x) = 2x - 4$ fonksiyonunun tersinin grafiğini çiz. $f$ ile $f^{-1}$ grafiklerinin kesiştiği noktayı bul.

$f$ ‘nin grafiğinden iki kolay nokta al; eksenleri kestiği noktalar işini görür: $(0, -4)$ ve $(2, 0)$ .

Koordinatları yer değiştir: $(-4, 0)$ ve $(0, 2)$ . $f^{-1}$ ‘in grafiği bu iki noktadan geçen doğrudur. Kuralla sağla: $f^{-1}(x) = \dfrac{x + 4}{2}$ , gerçekten $f^{-1}(-4) = 0$ ve $f^{-1}(0) = 2$ .

Kesişim için iki kuralı eşitle: $2x - 4 = \dfrac{x + 4}{2}$ ise $4x - 8 = x + 4$ , $x = 4$ ve $y = f(4) = 4$ .

Kesişim noktasının $y = x$ doğrusu üzerinde çıkması rastlantı değil: ayna üzerindeki nokta kendi görüntüsüdür. Bu yüzden $f(x) = x$ denklemi de aynı noktayı verir: $2x - 4 = x$ , $x = 4$ .

Sonuç

$f^{-1}$ ‘in grafiği $(-4, 0)$ ve $(0, 2)$ noktalarından geçen doğrudur; iki grafik $(4, 4)$ noktasında kesişir.

f(x) = 2x - 4

ve tersi:

(3, 2)

noktasının aynadaki görüntüsü

(2, 3)

. Üç doğru

(4, 4)

noktasında buluşuyor.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bire bir ve örten bir

f

fonksiyonunun grafiği

(5, -1)

noktasından geçiyor.

f^{-1}

‘in grafiği aşağıdaki noktalardan hangisinden kesinlikle geçer?

Açıklama

$f(5) = -1$ ise $f^{-1}(-1) = 5$ . Koordinatlar yer değiştirir: $(-1, 5)$ .

İleri

Sınav düzeyi: grafikten bileşke, kuralı çözmek ve tuzaklar

Grafikten bileşke okumak

Kuralı verilmeyen, yalnızca grafiği çizilmiş bir fonksiyonda da bileşke hesaplanır. $(f \circ f)(x) = k$ gibi bir denklemi dıştan içe çöz: önce dıştaki $f$ ‘nin hangi girdilerde $k$ verdiğini bul, sonra içteki $f$ ‘nin o girdileri hangi $x$ değerlerinde ürettiğine bak. Her adım bir yatay doğru çekmektir.

Sahnede $[0, 4]$ aralığında tanımlı $f$ grafiği ve $y = x$ doğrusu var. $x$ noktasını sürükle: yol önce grafiğe çıkıp $f(x)$ değerini buluyor, $y = x$ doğrusundan dönerek bu değeri yeniden girdi yapıyor ve $f(f(x))$ değerine varıyor. ” $f \circ f$ eğrisi” düğmesi bütün $x$ değerleri için sonucu çiziyor; $y = 1$ doğrusunun bu eğriyi dört yerde kestiğini say.

Örnek

zor

Grafikten bileşke denklemi

Aşağıda $[0, 4]$ aralığında tanımlı $f$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafik $(0, 4)$ , $(1, 1)$ , $(2, 0)$ , $(3, 1)$ ve $(4, 4)$ noktalarından geçmektedir. Buna göre $(f \circ f)(x) = 1$ eşitliğini sağlayan kaç farklı $x$ değeri vardır?

İçteki değere bir ad ver: $u = f(x)$ . Denklem $f(u) = 1$ olur. Grafikte $y = 1$ doğrusunu çek: eğriyi $u = 1$ ve $u = 3$ noktalarında kesiyor.

Şimdi içteki fonksiyona dön: $f(x) = 1$ ya da $f(x) = 3$ olmalı. İlki için aynı yatay doğru yine iki çözüm verir: $x = 1$ ve $x = 3$ .

$f(x) = 3$ için $y = 3$ doğrusunu çek. Eğri solda $4$ ‘ten $0$ ‘a inerken bir kez, sağda $0$ ‘dan $4$ ‘e çıkarken bir kez $3$ değerinden geçer: biri $(0, 1)$ , öbürü $(3, 4)$ aralığında iki çözüm daha.

Dört çözümün birbirinden farklı olduğunu denetle: ikisi tam sayı ( $1$ ve $3$ ), ikisi tam sayı değil ve farklı aralıklarda. Çakışan yok.

Sonuç

$(f \circ f)(x) = 1$ eşitliği $4$ farklı $x$ değeri için sağlanır.

Önce

f(u) = 1

u = 1

u = 3

. Sonra

f(x) = 1

f(x) = 3

doğruları ikişer noktada keser: toplam dört çözüm.

İçi dolu verilen fonksiyonu açmak

Soru $f(x)$ yerine $f(2x - 1)$ gibi bir ifadenin kuralını verebilir. Bu aslında bir bileşkedir: $g(x) = 2x - 1$ için $(f \circ g)(x)$ verilmiş, $f$ isteniyor. İçteki ifadeye yeni bir ad vermek kuralı açar.

Örnek

zor

f(2x − 1) verilmiş, f isteniyor

Gerçek sayılarda tanımlı $f$ fonksiyonu her $x$ için $f(2x - 1) = 6x + 5$ eşitliğini sağlıyor. $f(x)$ kuralını ve $f^{-1}(20)$ değerini bul.

İçteki ifadeye $t$ de: $t = 2x - 1$ . Sağ tarafı da $t$ cinsinden yazabilmek için $x$ ‘i çöz: $x = \dfrac{t + 1}{2}$ .

Yerine yaz: $f(t) = 6 \cdot \dfrac{t + 1}{2} + 5 = 3t + 8$ . Harfin adı önemli değil: $f(x) = 3x + 8$ .

$f^{-1}(20)$ için ” $f$ hangi girdide $20$ olur?” diye sor: $3x + 8 = 20$ , $x = 4$ .

Kuralı hiç bulmadan da olurdu: $6x + 5 = 20$ ise $x = \dfrac{5}{2}$ ; bu anda $f$ ‘nin içindeki ifade $2 \cdot \dfrac{5}{2} - 1 = 4$ ‘tür. Yani $f(4) = 20$ .

Sonuç

$f(x) = 3x + 8$ ve $f^{-1}(20) = 4$

Bileşkenin tersi ve bileşkeden fonksiyon çekmek

Sabah önce çorabını, sonra ayakkabını giyersin; akşam çıkarırken sıra tersine döner: önce ayakkabı, sonra çorap. Bileşkenin tersi de böyle çalışır.

Sahnede üç sayı doğrusu arasında önce $g(x) = 2x$ , sonra $f(x) = x + 3$ okları iniyor. “Geri al” düğmesine bas: dönüş yolunda önce $f^{-1}$ ( $3$ çıkar), sonra $g^{-1}$ ( $2$ ‘ye böl) çalışıyor ve sayı başladığı yere dönüyor. “Yanlış sıra” düğmesi önce $2$ ‘ye bölüp sonra $3$ çıkarıyor; sayı başka bir yere düşüyor.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = x + 3

g(x) = 2x

olmak üzere

(f \circ g)^{-1}(11)

kaçtır?

Açıklama

$(f \circ g)(x) = 2x + 3$ . $2x + 3 = 11$ ise $x = 4$ . Kuralla: $g^{-1}(f^{-1}(11)) = g^{-1}(8) = 4$ .

Bir bileşke ve bileşenlerinden biri verilip öbürü istenirse, bilinen fonksiyonu tersiyle “soyarsın”. Hangi yandan soyacağın, bilinen fonksiyonun içte mi dışta mı olduğuna bağlıdır.

Örnek

zor

Bileşkeden içteki ve dıştaki fonksiyonu bulma

$f(x) = 2x + 1$ olmak üzere $(f \circ g)(x) = 6x - 5$ ve $(h \circ f)(x) = 6x - 5$ eşitlikleri veriliyor. $g(x)$ ve $h(x)$ kurallarını bul.

İlk eşitlikte bilinen $f$ dışta, aranan $g$ içte: $f(g(x)) = 2 \cdot g(x) + 1$ . Bunu $6x - 5$ ‘e eşitle; bu, $g(x)$ bilinmeyenli bir denklemdir: $2 \cdot g(x) + 1 = 6x - 5$ .

Çöz: $g(x) = \dfrac{6x - 6}{2} = 3x - 3$ . Yaptığımız şey iki yana $f^{-1}$ uygulamaktır: $g = f^{-1} \circ (f \circ g)$ .

İkinci eşitlikte bilinen $f$ içte: $h(2x + 1) = 6x - 5$ . Bu, az önceki “içi dolu fonksiyon” kalıbı. $t = 2x + 1$ de, $x = \dfrac{t - 1}{2}$ yaz: $h(t) = 3(t - 1) - 5 = 3t - 8$ .

Sağla: $f(g(x)) = 2(3x - 3) + 1 = 6x - 5$ ve $h(f(x)) = 3(2x + 1) - 8 = 6x - 5$ .

Sonuç

$g(x) = 3x - 3$ ve $h(x) = 3x - 8$ . Aynı bileşke, $f$ ‘nin içte ya da dışta olmasına göre farklı fonksiyonlar verdi.

Örnek

zor

Sıcaklık birimleri: Fahrenheit'ten kelvine

Celsius cinsinden $x$ derece olan sıcaklık Fahrenheit cinsinden $f(x) = \dfrac{9x}{5} + 32$ , kelvin cinsinden $k(x) = x + 273$ olarak ifade ediliyor. Fahrenheit cinsinden verilen sıcaklığı kelvine çeviren $h$ fonksiyonunun kuralını yaz ve $50$ Fahrenheit derecenin kaç kelvin olduğunu bul.

Elimizdeki iki fonksiyon da Celsius’tan başlıyor; bize Fahrenheit $\to$ Celsius $\to$ kelvin zinciri gerek. İlk halka $f$ ‘nin tersidir, ikinci halka $k$ : $h = k \circ f^{-1}$ .

$f^{-1}$ için $y = \dfrac{9x}{5} + 32$ eşitliğinden $x$ ‘i çöz: $x = \dfrac{5(y - 32)}{9}$ . Yani $f^{-1}(x) = \dfrac{5(x - 32)}{9}$ .

Bu çıktıyı $k$ ‘ye ver: $h(x) = k\bigl(f^{-1}(x)\bigr) = \dfrac{5(x - 32)}{9} + 273$ .

$x = 50$ yaz: $\dfrac{5 \cdot 18}{9} + 273 = 10 + 273 = 283$ . Sağlama: $10$ Celsius derece için $f(10) = 18 + 32 = 50$ ve $k(10) = 283$ .

Sonuç

$h(x) = \dfrac{5(x - 32)}{9} + 273$ ; $50$ Fahrenheit derece $283$ kelvindir.

Doğrusal fonksiyonda bileşke eşitliği

$f(x) = ax + b$ biçimindeki bir fonksiyonun kendisiyle bileşkesi yine doğrusaldır: $(f \circ f)(x) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b$ . Bir eşitlik her $x$ için sağlanıyorsa iki yandaki $x$ katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı eşit olmalıdır; sınav soruları bu iki denklemi kurdurur.

Örnek

zor

Kendisiyle bileşkesi verilen doğrusal fonksiyon

Gerçek sayılarda tanımlı, artan ve doğrusal bir $f$ fonksiyonu her $x$ için $(f \circ f)(x) = 9x + 8$ eşitliğini sağlıyor. $f(2)$ kaçtır?

$f(x) = ax + b$ yaz ve bileşkeyi aç: $(f \circ f)(x) = a^2x + ab + b$ . Bu ifade her $x$ için $9x + 8$ ‘e eşit.

$x$ ‘in katsayıları: $a^2 = 9$ , yani $a = 3$ ya da $a = -3$ . İki aday var; burada tek değerle devam etmek en sık yapılan hatadır.

Sabit terimler: $b(a + 1) = 8$ . $a = 3$ için $b = 2$ , $a = -3$ için $b = -4$ . İki fonksiyon da eşitliği sağlar: $f(x) = 3x + 2$ ve $f(x) = -3x - 4$ .

“Artan” koşulu eğimin pozitif olmasını ister; $f(x) = 3x + 2$ kalır. Sağlama: $f(f(x)) = 3(3x + 2) + 2 = 9x + 8$ .

Sonuç

$f(2) = 3 \cdot 2 + 2 = 8$

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Bire bir: farklı girdiler farklı çıktı verir; $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ . Her yatay doğru grafiği en çok bir noktada keser.
Örten: görüntü kümesi değer kümesine eşittir, $f(A) = B$ . Değer kümesindeki her $k$ için $y = k$ doğrusu grafiği en az bir noktada keser.
$a \neq 0$ için $f(x) = ax + b$ fonksiyonu $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ bire bir ve örtendir.
Bileşke: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ; önce $g$ , sonra $f$ . Değişme yok, birleşme var; $I(x) = x$ etkisiz eleman.
Ters: yalnızca bire bir ve örten fonksiyonun tersi fonksiyondur. $f(a) = b \iff f^{-1}(b) = a$ ve $f^{-1} \circ f = f \circ f^{-1} = I$ .
$f(x) = ax + b \implies f^{-1}(x) = \dfrac{x - b}{a}$ ve $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} \implies f^{-1}(x) = \dfrac{-dx + b}{cx - a}$ .
$f$ ile $f^{-1}$ grafikleri $y = x$ doğrusuna göre simetriktir: $(a, b) \leftrightarrow (b, a)$ .
$(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$ . $f(ax + b)$ verilmişse içteki ifadeye $t$ de.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

7 çıkmış soru6 özgün soru

2026 AYTSoru 7

Kolay

Bileşkenin değeri

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu

$f(x) = 3x - 89$

eşitliğini sağlıyor.

Buna göre $(f \circ f)(41)$ değeri kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

$(f \circ f)(41) = f(f(41))$ ; içteki değer önce hesaplanır.

1. $f(41) = 3 \cdot 41 - 89 = 123 - 89 = 34$ .

2. $f(34) = 3 \cdot 34 - 89 = 102 - 89 = 13$ .

$(f \circ f)(41) = 13$

Kuralı açmak daha uzun ve hataya açıktır: $(f \circ f)(x) = 3(3x - 89) - 89 = 9x - 356$ ve $9 \cdot 41 - 356 = 13$ . Tek bir değer isteniyorsa sayıyla adım adım git.

Cevap: A

2023 AYTSoru 17

Kolay

Bileşke ve bire birlik

Gerçel sayılar kümesinde $f$ ve $g$ fonksiyonları

$f(x) = \dfrac{3x + 4}{2}$

$g(x) = \dfrac{2x - 4}{3}$

kurallarıyla tanımlanıyor.

$(f \circ g)(a) = f(a) = b$ olduğuna göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Bire birliği kullan. $f$ doğrusal olduğundan bire birdir: $f(g(a)) = f(a)$ ise girdiler eşittir, $g(a) = a$ .

$\dfrac{2a - 4}{3} = a \implies 2a - 4 = 3a \implies a = -4$

2. $b$ değeri. $b = f(a) = f(-4) = \dfrac{3 \cdot (-4) + 4}{2} = -4$ .

$a \cdot b = (-4) \cdot (-4) = 16$

İkinci yol: $f(g(x)) = \dfrac{3 \cdot \frac{2x - 4}{3} + 4}{2} = \dfrac{2x}{2} = x$ . Yani $g$ , $f$ 'nin tersidir ve $(f \circ g)(a) = a$ . Eşitlik zinciri $a = f(a) = b$ olur; $a = \dfrac{3a + 4}{2}$ denkleminden yine $a = -4$ , $b = -4$ .

Tuzak: iki negatif sayının çarpımını $-16$ ya da toplamı ( $-8$ ) ile karıştırmak.

Cevap: E

2022 AYTSoru 7

Orta

Grafikten bileşke

$f$ , $g$ ve $h$ fonksiyonları $[0, 6]$ kapalı aralığında tanımlı ve süreklidir. Bu fonksiyonların grafiklerinin bir bölümü dik koordinat düzleminde şekildeki gibi verilmiştir; $2$ ile $3$ arasındaki kısım görünmemektedir.

Bu fonksiyonlar

$(f \circ g)(1) < (f \circ h)(1) < (g \circ h)(1)$

eşitsizliklerini sağlamaktadır.

Buna göre I, II ve III numaralı grafikler sırasıyla hangi fonksiyonlara aittir?

İpucu

İçteki değerleri grafiğin sol tarafından oku: $g(1)$ ve $h(1)$ kaç? Eşitsizlik bu sayılarla yeniden yazılınca sağ taraftaki parçalar hakkında ne söylüyor?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. İçteki değerler. $1$ sayısı $[0, 2]$ aralığındadır; burada grafikler adlarıyla verilmiş: $g(1) = 5$ ve $h(1) = 4$ . Eşitsizlik şuna dönüşür:

$f(5) < f(4) < g(4)$

2. Bu değerler nerede? $4$ ve $5$ sayıları $[3, 6]$ aralığındadır; yani $f(4)$ , $f(5)$ ve $g(4)$ değerleri I, II, III numaralı parçaların üzerindedir.

3. $f(5) < f(4)$ . Girdi büyürken değer küçülmüş: $f$ bu aralıkta azalan parçadır. III artan olduğundan $f$ , I ya da II'dir.

4. $f(4) < g(4)$ . $x = 4$ 'te $g$ 'nin grafiği $f$ 'ninkinin üstündedir. En üstteki parça I olduğundan $f$ , I olamaz (üstünde parça yok). Öyleyse $f$ = II ve onun üstündeki tek parça $g$ = I'dir. Geriye kalan III, $h$ 'dir.

I – II – III sırasıyla $g$ – $f$ – $h$ .

Tuzak: soldaki yatay parçaları sağdakilere "aynı hizada devam ediyor" diye eşleştirmek. Kapalı şeridin altında grafiklerin nasıl ilerlediği bilinmiyor; eşleştirmeyi yalnızca eşitsizlik yapar.

Cevap: B

2021 AYTSoru 7

Orta

Grafikten bileşke

$[0, 5]$ kapalı aralığında tanımlı $f(x)$ fonksiyonunun dik koordinat düzlemindeki grafiği şekilde gösterilmiştir.

$(f \circ f \circ f)(x)$ fonksiyonu en büyük değerine $x = a$ noktasında ulaştığına göre, $a$ sayısı aşağıdaki açık aralıkların hangisindedir?

İpucu

Üçlü bileşkenin alabileceği en büyük değer, en dıştaki $f$ 'nin en büyük değeridir. Bu değeri veren girdiyi bul ve zinciri geriye doğru iki kez daha izle.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. En dıştaki $f$ . Grafikte $f$ 'nin en büyük değeri $5$ 'tir ve yalnızca tek bir noktada alınır; bu noktanın apsisine $m$ diyelim: $1 < m < 2$ . Bileşke en çok $5$ olabilir ve bunun için ortadaki değer $m$ olmalıdır:

$f(f(a)) = m$

2. Ortadaki $f$ . $f(u) = m$ ve $1 < m < 2$ . Grafik $1$ ile $2$ arasındaki değerleri yalnızca $u$ , $3$ ile $4$ arasındayken alır ( $f(4) = 1$ ve $f(3)$ , $2$ 'den büyük). Öyleyse $f(a) = u$ ve $3 < u < 4$ .

3. En içteki $f$ . $f(a)$ , $3$ ile $4$ arasında olmalı. $[0, 2]$ aralığında grafik $4$ 'ün altına inmez ve $f(2) = 4$ 'tür. $x = 2$ 'den sonra fonksiyon azalır ve $x = 3$ 'e gelmeden $3$ 'ün altına iner. Dolayısıyla $3 < f(a) < 4$ koşulu yalnızca $2$ ile $3$ arasındaki $a$ değerlerinde sağlanır.

$a \in (2, 3)$

Zincir: $a \to u \to m \to 5$ ; her okta grafiği bir kez tersten okuduk.

Tuzak: $f$ 'nin tepe noktasının apsisini ( $1$ ile $2$ arası) doğrudan cevap sanmak. O değer en dıştaki $f$ 'nin girdisidir, $a$ 'nın kendisi değil.

Cevap: C

2020 AYTSoru 13

Orta

Doğrusal fonksiyonda bileşke eşitliği

$a$ ve $b$ sıfırdan farklı birer tam sayıdır. Gerçel sayılar kümesinde bir $f$ fonksiyonu

$f(x) = ax + b$

kuralıyla tanımlanıyor ve

$(f \circ f)(x) = f(x + 2) + f(x)$

eşitliğini sağlıyor.

Buna göre $f(3)$ değeri kaçtır?

İpucu

Eşitlik her $x$ için sağlanıyor. İki yanı $ax + b$ kuralıyla aç; $x$ 'in katsayılarını ve sabit terimleri ayrı ayrı eşitle.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Sol yan. $(f \circ f)(x) = f(ax + b) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b$ .

2. Sağ yan. $f(x + 2) + f(x) = a(x + 2) + b + ax + b = 2ax + 2a + 2b$ .

3. Katsayıları eşitle. Eşitlik her $x$ için doğru olduğundan

$x$ 'in katsayıları: $a^2 = 2a$ . $a \neq 0$ olduğundan $a = 2$ .
Sabit terimler: $ab + b = 2a + 2b$ . $a = 2$ yazınca $3b = 4 + 2b$ , $b = 4$ .

4. Sonuç. $f(x) = 2x + 4$ ve $f(3) = 10$ .

Kontrol: $f(f(x)) = 2(2x + 4) + 4 = 4x + 12$ ; $f(x + 2) + f(x) = (2x + 8) + (2x + 4) = 4x + 12$ .

Tuzak: $a^2 = 2a$ eşitliğinde $a = 0$ kökünü de almak. Soru $a \neq 0$ diyerek bu kökü baştan elemiştir.

Cevap: D

2019 AYTSoru 9

Orta

Grafikten bileşke

$[0, 2]$ aralığında tanımlı bir $f$ fonksiyonunun dik koordinat düzlemindeki grafiği şekildeki gibidir.

I. $(f \circ f)(x) = 2$
II. $(f \circ f)(x) = 1$
III. $(f \circ f)(x) = 0$

Bu eşitliklerden hangileri yalnızca iki farklı $x$ değeri için sağlanır?

İpucu

Önce $f(u) = k$ denkleminin $k$ değerine göre kaç çözümü olduğunu grafikten say. Sonra her eşitliği dıştan içe çöz: $f(u) = \ldots$ , ardından $f(x) = u$ .

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Grafiği oku. $f(0) = f(2) = 0$ ve $f(1) = 2$ . Fonksiyon $[0, 1]$ aralığında $0$ 'dan $2$ 'ye artıyor, $[1, 2]$ aralığında $2$ 'den $0$ 'a azalıyor. Bir yatay doğru çekince:

$0 \leq k < 2$ ise $f(u) = k$ denkleminin iki çözümü var (biri solda, biri sağda),
$k = 2$ ise tek çözüm var: $u = 1$ .

2. Her eşitliği dıştan içe çöz ( $u = f(x)$ ).

I. $f(u) = 2$ ise $u = 1$ . $f(x) = 1$ denkleminin iki çözümü var. İki değer.
II. $f(u) = 1$ ise $u$ iki değer alır: biri $(0, 1)$ , öbürü $(1, 2)$ aralığında. Bu iki değerin her biri için $f(x) = u$ denkleminin iki çözümü var: $2 + 2 = 4$ değer.
III. $f(u) = 0$ ise $u = 0$ ya da $u = 2$ . $f(x) = 0$ için $x = 0$ ve $x = 2$ ; $f(x) = 2$ için $x = 1$ . Üç değer.

Yalnızca I, tam iki farklı $x$ değeri için sağlanır.

Tuzak: III'te $f(x) = 2$ denkleminin tek çözümlü olduğunu gözden kaçırıp dört saymak ya da $f(x) = 0$ ile yetinip iki saymak.

Cevap: A

2018 AYTSoru 7

Orta

İçi dolu verilen fonksiyon ve ters

$a$ ve $b$ sıfırdan farklı gerçel sayılardır. Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu için

$f(ax + b) = x$

$f(a) = \dfrac{b}{a}$

eşitlikleri sağlanıyor.

Buna göre $f(0)$ değeri kaçtır?

İpucu

$f$ , " $a$ ile çarp, $b$ ekle" işlemini geri alıyor. İçteki ifadeye $t$ deyip $f(t)$ kuralını $a$ ve $b$ cinsinden yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 26)

Çözüm

1. $f$ 'nin kuralını aç. $t = ax + b$ denirse $x = \dfrac{t - b}{a}$ olur ( $a \neq 0$ ). Buna göre

$f(t) = \dfrac{t - b}{a}$

Yani $f$ , $x \mapsto ax + b$ fonksiyonunun tersidir.

2. İkinci eşitliği kullan. $f(a) = \dfrac{a - b}{a}$ ve bu değer $\dfrac{b}{a}$ 'ya eşit: $a - b = b$ , yani $a = 2b$ .

3. İstenen değer.

$f(0) = \dfrac{0 - b}{a} = \dfrac{-b}{2b} = -\dfrac{1}{2}$

Kontrol: $b = 1$ , $a = 2$ alınırsa $f(t) = \dfrac{t - 1}{2}$ ; $f(2x + 1) = x$ ve $f(2) = \dfrac{1}{2} = \dfrac{b}{a}$ sağlanır.

Tuzak: $a$ ve $b$ ayrı ayrı bulunamaz; yalnızca oranları bellidir ve soru da yalnızca bu orana bağlı bir değer ister.

Cevap: A

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Bire bir ve örten fonksiyon

Gerçel sayılar kümesinden gerçel sayılar kümesine tanımlı

I. $f(x) = x^2 + 1$
II. $g(x) = 5 - 3x$
III. $h(x) = x^3$

fonksiyonlarından hangileri hem bire bir hem örtendir?

Çözüm

Her fonksiyon için şunu sor: $y = k$ yatay doğrusu grafiği her $k$ için tam bir noktada kesiyor mu?

I. $f(1) = f(-1) = 2$ olduğundan bire bir değildir. $x^2 + 1 \geq 1$ olduğundan $0$ gibi değerleri almaz; örten de değildir.
II. $5 - 3x = k$ denkleminin her $k$ için tek çözümü vardır: $x = \dfrac{5 - k}{3}$ . Bire bir ve örtendir (eğimi sıfırdan farklı doğrusal fonksiyon).
III. $x^3 = k$ denkleminin her gerçel $k$ için tek çözümü vardır: $x = \sqrt[3]{k}$ . Bire bir ve örtendir.

Yanıt: II ve III.

Tuzak: II azalan diye bire bir saymamak. Bire birlik artan ya da azalan olmaya değil, farklı girdilerin farklı çıktı vermesine bakar.

Cevap: D

Özgün soru2

Kolay

Ters fonksiyonun değeri

Dik koordinat düzleminde doğrusal $f$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafik $x$ eksenini $-2$ apsisli noktada, $y$ eksenini $4$ ordinatlı noktada kesmektedir.

Buna göre $f^{-1}(6) + f^{-1}(0)$ toplamı kaçtır?

Çözüm

1. $f^{-1}(0)$ . Grafik $(-2, 0)$ noktasından geçiyor: $f(-2) = 0$ , öyleyse $f^{-1}(0) = -2$ . Kural gerekmedi.

2. $f$ 'nin kuralı. $(-2, 0)$ ve $(0, 4)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi $\dfrac{4 - 0}{0 - (-2)} = 2$ , $y$ eksenini kestiği değer $4$ : $f(x) = 2x + 4$ .

3. $f^{-1}(6)$ . " $f$ hangi girdide $6$ olur?" $2x + 4 = 6$ ise $x = 1$ . Öyleyse $f^{-1}(6) = 1$ .

$f^{-1}(6) + f^{-1}(0) = 1 + (-2) = -1$

Tuzaklar: $f(6) + f(0) = 16 + 4 = 20$ hesaplamak (ters yerine fonksiyonun kendisi); $f^{-1}(0)$ yerine $f(0) = 4$ alıp $5$ bulmak.

Cevap: B

Özgün soru3

Orta

Kesirli fonksiyonun tersi

$a$ bir gerçel sayı olmak üzere

$f: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} - \{a\}, \qquad f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$

fonksiyonu bire bir ve örtendir.

Buna göre $a + f^{-1}(4)$ toplamı kaçtır?

İpucu

$a$ , fonksiyonun hiçbir $x$ için alamadığı değerdir: $\dfrac{3x + 1}{x - 2} = k$ denklemi hangi $k$ için çözümsüz kalır? $f^{-1}(4)$ için tersin kuralına gerek yok.

Çözüm

1. $a$ değeri. Fonksiyon örten olduğuna göre değer kümesinden çıkarılan $a$ , $f$ 'nin alamadığı tek değerdir. $\dfrac{3x + 1}{x - 2} = k$ denklemini çöz: $3x + 1 = kx - 2k$ , $x(3 - k) = -2k - 1$ . $k = 3$ için sol yan $0$ , sağ yan $-7$ olur; çözüm yoktur. Öyleyse $a = 3$ .

(Kısa yol: $f^{-1}(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ kuralının paydasını sıfır yapan değer.)

2. $f^{-1}(4)$ . $f(x) = 4$ denklemini çöz: $3x + 1 = 4(x - 2) = 4x - 8$ , $x = 9$ . Öyleyse $f^{-1}(4) = 9$ .

$a + f^{-1}(4) = 3 + 9 = 12$

Kontrol: $f(9) = \dfrac{28}{7} = 4$ .

Tuzak: $a$ için tanım kümesinden çıkarılan $2$ 'yi almak ( $2 + 9 = 11$ ). $2$ , $f$ 'nin paydasını; $a$ ise $f^{-1}$ 'in paydasını sıfır yapar.

Cevap: D

Özgün soru4

Orta

Bileşkeden fonksiyon bulma

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları için

$g(x) = 2x + 1$

$(f \circ g)(x) = 6x - 5$

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre $(g \circ f)(2)$ değeri kaçtır?

İpucu

$(g \circ f)(2) = g(f(2))$ için önce $f(2)$ gerekir. $f(g(x)) = 6x - 5$ eşitliğinde $g(x)$ 'i $2$ yapan $x$ değerini bul.

Çözüm

1. $f(2)$ . $f(2x + 1) = 6x - 5$ . İçteki ifade $2$ olsun: $2x + 1 = 2$ , $x = \dfrac{1}{2}$ . Bu değeri sağ yana yaz:

$f(2) = 6 \cdot \dfrac{1}{2} - 5 = -2$

2. Dıştaki $g$ . $g(-2) = 2 \cdot (-2) + 1 = -3$ .

$(g \circ f)(2) = -3$

Kuralla sağlama: $t = 2x + 1$ için $x = \dfrac{t - 1}{2}$ ve $f(t) = 3(t - 1) - 5 = 3t - 8$ ; $f(2) = -2$ .

Tuzaklar: verilen kurala doğrudan $x = 2$ yazıp $7$ bulmak (bu $(f \circ g)(2)$ değeridir, sıra ters); $f(2) = -2$ değerinde durup $g$ 'yi uygulamamak.

Cevap: B

Özgün soru5

Zor

Bileşke ve ters birlikte

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı doğrusal bir $f$ fonksiyonu her $x$ gerçel sayısı için

$(f \circ f)(x) = 4x + 9$

eşitliğini sağlıyor. $c$ gerçel sayısı için $f^{-1}(c) = c$ olduğu biliniyor.

Buna göre $c$ kaçtır?

İpucu

$f^{-1}(c) = c$ eşitliğini $f$ cinsinden yaz. $f$ , $c$ sayısını yerinde bırakıyorsa $f \circ f$ ona ne yapar?

Çözüm

1. Tersi kaldır. $f^{-1}(c) = c$ ise tanım gereği $f(c) = c$ .

2. $f$ 'yi bir kez daha uygula. $f(f(c)) = f(c) = c$ . Öte yandan $(f \circ f)(c) = 4c + 9$ . İkisini eşitle:

$4c + 9 = c \implies c = -3$

3. Böyle bir $f$ var mı? $f(x) = ax + b$ için $(f \circ f)(x) = a^2x + ab + b$ ; $a^2 = 4$ ve $b(a + 1) = 9$ . İki fonksiyon çıkar: $f(x) = 2x + 3$ ve $f(x) = -2x - 9$ . İkisinde de $f(-3) = -3$ : $2 \cdot (-3) + 3 = -3$ ve $-2 \cdot (-3) - 9 = -3$ .

Tuzak: yalnızca $a = 2$ kökünü alıp tek fonksiyonla ilerlemek. Bu soruda iki fonksiyon aynı $c$ değerini verir, ama bunu görmek için ya ikisini de denemek ya da 2. adımdaki kısa yolu kullanmak gerekir.

Cevap: B

Özgün soru6

Zor

Bağlamlı bileşke ve ters

Bir mağazada etiket fiyatı $x$ TL olan üründe iki kampanya birlikte geçerlidir: fiyatın dörtte biri kadar indirim ve $60$ TL değerinde kupon. Kasa, kampanyaları önce kupon, sonra indirim sırasıyla uyguluyor.

Bu mağazadan bir ürün alan Deniz kasada $300$ TL ödüyor.

Kasa kampanyaları önce indirim, sonra kupon sırasıyla uygulasaydı Deniz aynı ürüne kaç TL öderdi?

İpucu

İndirimi $f(x) = \dfrac{3x}{4}$ , kuponu $g(x) = x - 60$ fonksiyonu olarak yaz. Kasanın uyguladığı bileşke hangisi? Etiket fiyatını bulmak için bu bileşkeyi geri al.

Çözüm

1. Fonksiyonlar. İndirim: $f(x) = \dfrac{3x}{4}$ . Kupon: $g(x) = x - 60$ .

2. Kasanın yaptığı. Önce kupon, sonra indirim: $(f \circ g)(x) = \dfrac{3(x - 60)}{4}$ .

3. Etiket fiyatı. Ödenen tutardan geriye git:

$\dfrac{3(x - 60)}{4} = 300 \implies x - 60 = 400 \implies x = 460$

4. Öbür sıra. Önce indirim, sonra kupon: $(g \circ f)(460) = \dfrac{3 \cdot 460}{4} - 60 = 345 - 60 = 285$ .

Deniz $285$ TL öderdi.

Neden daha ucuz? $(f \circ g)(x) = \dfrac{3x}{4} - 45$ ve $(g \circ f)(x) = \dfrac{3x}{4} - 60$ . Kupon önce kullanılınca indirim kuponun da dörtte birini götürür; fark her fiyatta $15$ TL'dir.

Tuzaklar: sıranın önemsiz olduğunu düşünüp $300$ demek; $345$ (kuponu düşmeyi unutmak); farkı ters yöne ekleyip $315$ bulmak.

Cevap: B