49Konu 49 / 49
Analitik Geometri

Çemberin Analitik İncelenmesi

Çemberi uzaklık tanımından denkleme çeviriyor, genel denklemden merkez ve yarıçapı okuyor, bir denklemin ne zaman çember belirttiğini buluyor; doğru ile çemberin durumunu, kesişim noktalarını, teğeti ve kiriş uzunluğunu hesaplıyoruz.

12. sınıf
AYT sıklığı
60 dk

LevhaÇemberin Analitik İncelenmesiÇemberin Analitik İncelenmesi

Bir baz istasyonu haritada $M(3, 2)$ noktasında duruyor ve çevresindeki $5$ km’lik alanı kapsıyor. Dümdüz bir kara yolu ise $3x + 4y = 32$ doğrusu boyunca uzanıyor. Bu yolun kaç kilometresi kapsama alanının içinde kalır? Elinde cetvel de pergel de yok; yalnızca bir merkez, bir yarıçap ve bir doğru denklemi var. Bu sayfa çemberi denklemle yazmayı ve bir doğruyla nerede buluştuğunu hesapla bulmayı öğretiyor.

Isınma

Başlamadan: uzaklık ve tam kare

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

A(1, 2)

B(4, 6)

noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Açıklama

$|AB| = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ . Çemberin denklemi bu formülün ta kendisidir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

P(1, 1)

noktasının

3x + 4y + 3 = 0

doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?

Açıklama

$d = \dfrac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 3|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{10}{5} = 2$ . Bu formülün ayrıntısı Doğrunun Analitik İncelenmesi sayfasındadır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x^2 - 6x = (x - 3)^2 - k

eşitliği her

x

için doğru olduğuna göre

k

kaçtır?

Açıklama

$(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$ olduğundan $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ . Kural: $x$ ‘in katsayısının yarısının karesini ekle ve çıkar.

Temel

Çemberin denklemi: uzaklıktan denkleme

Çember, bir uzaklık koşuludur

Çember, düzlemde sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesidir; bu sabit uzaklığa yarıçap denir. Baz istasyonunun kapsama sınırı tam olarak budur: istasyona uzaklığı $5$ km olan noktalar.

Analitik düzlemde “uzaklık” bir formüldür. Öyleyse “merkeze uzaklığı $r$ olan noktalar” cümlesi de bir denkleme dönüşür.

Sahnede $M(3, 2)$ merkezi ve sürükleyebildiğin bir $P$ noktası var. Gösterge $|PM|$ uzaklığını yazıyor. $P$ ‘yi gezdir: uzaklık tam $5$ olduğunda nokta iz bırakıyor. İzler birleşince çember ortaya çıkıyor; her konumda yatay fark, düşey fark ve yarıçap bir dik üçgen kuruyor.

Çember üzerindeki her

P(x, y)

noktası için dik kenarlar

x - a

y - b

, hipotenüs

r

'dir.

$P(x, y)$ noktasının $M(a, b)$ merkezine uzaklığı $\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$ ‘dir. Bunu $r$ ‘ye eşitleyip iki tarafın karesini alırsak kökten kurtuluruz.

Örnek

kolay

Merkez ve yarıçaptan denklem

Merkezi $M(2, -3)$ ve yarıçapı $4$ birim olan çemberin denklemini yaz. $A(2, 1)$ noktası bu çemberin üzerinde midir?

Standart denklemde $a = 2$ , $b = -3$ , $r = 4$ yaz. $y - b$ ifadesi $y - (-3) = y + 3$ olur; eksi ile eksi artıya döner.

Sağ tarafa yarıçapın kendisi değil karesi gelir, çünkü uzaklık formülünün karesini aldık: $r^2 = 16$ .

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$

Bir noktanın çember üzerinde olup olmadığını anlamak için koordinatlarını yerine koy: $A(2, 1)$ için $(2 - 2)^2 + (1 + 3)^2 = 0 + 16 = 16$ . Denklem sağlanıyor.

Sonuç

Denklem $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$ ‘dır ve $A(2, 1)$ çemberin üzerindedir.

Sahnedeki üç sürgü $a$ , $b$ ve $r$ değerlerini değiştiriyor; denklem canlı yazılıyor. $a$ ‘yı artır: çember sağa kayarken denklemde $(x - a)$ büyüyen bir sayıyı çıkarıyor. Merkezi sol tarafa, örneğin $a = -2$ ‘ye götür: parantez $(x + 2)$ oluyor. $r$ ‘yi değiştirince yalnızca sağ taraf, o da karesiyle değişiyor.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 49

çemberinin merkezi ve yarıçapı aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$x - 5 = 0$ ve $y + 2 = 0$ için $M(5, -2)$ . $r^2 = 49$ olduğundan $r = 7$ .

Yarıçap verilmediğinde

Soru her zaman merkezi ve yarıçapı hazır vermez. Bazen çemberin geçtiği bir nokta, bazen bir çapın uçları verilir. İkisinde de iş aynıdır: merkezi bul, sonra merkezden çember üzerindeki bir noktaya olan uzaklığı hesapla.

Örnek

kolay

Çapının uçları verilen çember

$A(-1, 2)$ ve $B(5, 10)$ noktaları bir çemberin çapının uçlarıdır. Bu çemberin denklemini yaz.

Merkez çapın orta noktasıdır, çünkü çap merkezden geçer ve merkez iki uca eşit uzaklıktadır:

$M\left(\dfrac{-1 + 5}{2}, \dfrac{2 + 10}{2}\right) = M(2, 6)$

Yarıçap, merkezin uçlardan birine uzaklığıdır. $B$ ile hesaplayalım: $r = \sqrt{(5 - 2)^2 + (10 - 6)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ .

Sağlama için çapın tamamına bak: $|AB| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ , yarısı $5$ . İki yol aynı yarıçapı veriyor.

Sonuç

$(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 25$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Merkezi

M(3, -4)

olan ve orijinden geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Yarıçap, merkezin orijine uzaklığıdır: $r = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$ . Denklem $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$ ; $(0, 0)$ yazınca $9 + 16 = 25$ sağlanır.

Nokta çemberin neresinde?

Bir noktayı denklemde yerine koyduğunda sol taraf, o noktanın merkeze uzaklığının karesini verir. Bu sayıyı $r^2$ ile karşılaştırmak, noktanın içeride mi dışarıda mı olduğunu söyler.

Sahnede düzlem, $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 - 25$ ifadesinin işaretine göre boyanmış: çemberin içi negatif, dışı pozitif, çember tam sıfır. $P$ noktasını sürükle; göstergede ifadenin değeri değişiyor. Sınırdan geçtiğin anda işaret değişiyor.

Merkeze uzaklık yarıçaptan küçükse nokta içeride, eşitse çemberin üzerinde, büyükse dışarıdadır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

P(4, 3)

noktası

(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 16

çemberine göre nerededir?

Açıklama

$(4 - 1)^2 + (3 + 1)^2 = 9 + 16 = 25$ . $25 > 16$ olduğundan nokta dış bölgededir; merkeze uzaklığı $5$ , yarıçap $4$ .

Orta

Genel denklem, doğru ile çember ve teğet

Genel denklem

Standart denklemdeki parantezleri açınca denklem başka bir kılığa girer. $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ için:

$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 25 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$

Bu biçime çemberin genel denklemi denir. Sınavda çember çoğunlukla böyle verilir; merkez ve yarıçap gizlidir, onları geri çıkarmak sana kalır.

Örnek

orta

Tam kareye tamamlayarak merkez ve yarıçap

$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ çemberinin merkezini ve yarıçapını bul.

Formülü ezberlemek yerine tam kareye tamamla; hata yapma olasılığı daha düşük. Önce $x$ ‘lileri ve $y$ ‘lileri grupla, sabiti karşıya at:

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12$

Her gruba, katsayının yarısının karesini ekle: $x$ için $\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2 = 9$ , $y$ için $\left(\dfrac{4}{2}\right)^2 = 4$ . Eşitlik bozulmasın diye aynı sayıları sağ tarafa da ekle:

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4$

Sol taraf artık iki tam kare: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ . Formülle sağlama: $-\dfrac{D}{2} = 3$ , $-\dfrac{E}{2} = -2$ ve $r = \dfrac{1}{2}\sqrt{36 + 16 + 48} = 5$ .

Sonuç

Merkez $M(3, -2)$ , yarıçap $5$ birimdir.

Her denklem çember mi?

Tam kareye tamamlayınca sağ tarafta $r^2$ kalmalı. Sağ taraf pozitif değilse ortada çember yoktur.

Sahnede $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ denkleminin $D$ , $E$ , $F$ sürgüleri var. $D$ ve $E$ merkezi taşıyor: merkez hep $\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$ noktasında. $F$ ‘yi büyüt: çember küçülüyor, $D^2 + E^2 - 4F = 0$ olduğu anda tek noktaya iniyor, sonra tümüyle kayboluyor.

x^2 + y^2 - 4x - 2y + F = 0

F

büyüdükçe yarıçap

\sqrt{5 - F}

küçülür;

F = 5

için geriye yalnızca merkez kalır.

Neden $A = B$ ? Standart denklemi açınca $x^2$ ve $y^2$ hep aynı katsayıyla ( $1$ ) çıkar. Katsayılar farklıysa denklem hiçbir çemberin açılımı olamaz.

Örnek

orta

Denklemin çember belirtmesi için parametreler

$a$ ve $c$ gerçek sayılar olmak üzere $(a - 1)x^2 + 3y^2 - 12x + 18y + c = 0$ denklemi bir çember belirtmektedir. $c$ alabileceği en büyük tam sayı değerini aldığında $a + c$ kaç olur?

Çember olması için $x^2$ ve $y^2$ katsayıları eşit olmalı: $a - 1 = 3$ , yani $a = 4$ .

Koşulu uygulamadan önce katsayıları $1$ yap; denklemi $3$ ‘e böl: $x^2 + y^2 - 4x + 6y + \dfrac{c}{3} = 0$ .

Tam kareye tamamla: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4 + 9 - \dfrac{c}{3} = 13 - \dfrac{c}{3}$ . Sağ taraf $r^2$ olduğundan pozitif olmalı: $13 - \dfrac{c}{3} > 0$ , yani $c < 39$ .

$c = 39$ için sağ taraf sıfır olur; bu bir çember değil tek noktadır, o yüzden eşitlik alınmaz. En büyük tam sayı $c = 38$ ‘dir.

Sonuç

$a + c = 4 + 38 = 42$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x^2 + y^2 + 4x - 2y + k = 0

denklemi bir çember belirttiğine göre

k

için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Açıklama

$D^2 + E^2 - 4F = 16 + 4 - 4k > 0$ olmalı; buradan $k < 5$ . Tam kareyle: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 5 - k$ .

Doğru ile çemberin durumu

Bir doğru bir çemberi ya iki noktada keser, ya tek noktada değer (teğet), ya da hiç kesmez. Hangisinin olduğunu tek bir karşılaştırma söyler: merkezin doğruya uzaklığı ile yarıçap.

Sahnede $x^2 + y^2 = 25$ çemberi ve $3x + 4y = c$ doğrusu var. $c$ sürgüsü doğruyu kendine paralel kaydırıyor. Göstergede merkezin doğruya uzaklığı $d = \frac{|c|}{5}$ ve ortak nokta sayısı yazıyor. $d$ ile $r = 5$ ‘in yer değiştirdiği anı yakala: $c = 25$ ve $c = -25$ .

Merkezin doğruya uzaklığı

d

, yarıçap

r

ile karşılaştırılır.

İki yol aynı sonucu verir. Yalnızca durum soruluyorsa $d$ ile $r$ ‘yi karşılaştırmak kısadır; kesişim noktalarının kendisi isteniyorsa yerine koymak zorundasın.

Örnek

orta

Kesişim noktalarını bulma

$y = x + 1$ doğrusu ile $x^2 + y^2 = 25$ çemberinin ortak noktalarını bul.

Ortak nokta iki denklemi birden sağlar. Doğruda $y$ zaten yalnız; çember denkleminde $y$ yerine $x + 1$ yaz:

$x^2 + (x + 1)^2 = 25$

Aç ve düzenle: $2x^2 + 2x + 1 = 25$ , yani $2x^2 + 2x - 24 = 0$ . $2$ ‘ye böl: $x^2 + x - 12 = 0$ .

Çarpanlara ayır: $(x + 4)(x - 3) = 0$ . İki farklı kök var, demek ki doğru çemberi iki noktada kesiyor: $x = -4$ ve $x = 3$ .

$y$ değerlerini doğru denkleminden bul (çemberden bulursan işaret karışır): $x = 3$ için $y = 4$ , $x = -4$ için $y = -3$ . Sağlama: $9 + 16 = 25$ ve $16 + 9 = 25$ .

Sonuç

Ortak noktalar $(3, 4)$ ve $(-4, -3)$ ‘tür.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

3x + y = 10

doğrusu ile

x^2 + y^2 = 10

çemberinin durumu aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Merkez $(0, 0)$ , $r = \sqrt{10}$ . $d = \dfrac{|0 + 0 - 10|}{\sqrt{9 + 1}} = \dfrac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$ . $d = r$ olduğundan doğru teğettir; değme noktası $(3, 1)$ ‘dir.

Örnek

orta

Parametreye göre üç durum

$x + y = k$ doğrusunun $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 8$ çemberini iki farklı noktada kesmesi için $k$ hangi aralıkta olmalıdır? Doğru hangi $k$ değerlerinde teğet olur?

Kesişim noktaları sorulmuyor, yalnızca durum soruluyor; bu yüzden $d$ ile $r$ ‘yi karşılaştırmak en kısa yol. Merkez $M(1, 2)$ , yarıçap $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ .

Doğruyu $x + y - k = 0$ biçiminde yaz ve merkezin uzaklığını hesapla:

$d = \dfrac{|1 + 2 - k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{|3 - k|}{\sqrt{2}}$

İki noktada kesmesi için $d < r$ : $\dfrac{|3 - k|}{\sqrt{2}} < 2\sqrt{2}$ . İki tarafı $\sqrt{2}$ ile çarp: $|3 - k| < 4$ , yani $-1 < k < 7$ .

Teğetlik $d = r$ demektir: $|3 - k| = 4$ , buradan $k = -1$ ya da $k = 7$ . Aralığın uçları teğet durumlarıdır; bu yüzden aralık açıktır.

Sonuç

$-1 < k < 7$ için iki noktada keser; $k = -1$ ve $k = 7$ için teğettir.

Teğetin denklemi

Çemberde teğet, değme noktasına çizilen yarıçapa diktir (Çemberde Teğet ve Daire). Analitik düzlemde diklik, eğimlerin çarpımının $-1$ olması demektir. Bu tek bilgi teğetin denklemini verir.

Sahnede $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$ çemberi üzerinde bir $T$ noktası var; onu çember boyunca sürükle ya da açı sürgüsünü kullan. Yarıçap ile teğet her konumda dik kalıyor; göstergede iki eğim ve çarpımları yazıyor. $T$ en üste ya da en sağa gelince ne olduğuna bak: biri yatay, öbürü düşey.

Örnek

orta

Değme noktası verilen teğet

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$ çemberine $T(4, 6)$ noktasında teğet olan doğrunun denklemini bul.

Önce $T$ ‘nin gerçekten çember üzerinde olduğunu denetle, çünkü yöntem yalnızca o zaman geçerli: $(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 = 9 + 16 = 25$ . Üzerinde.

Merkez $M(1, 2)$ . Yarıçapın eğimi: $m_{MT} = \dfrac{6 - 2}{4 - 1} = \dfrac{4}{3}$ .

Teğet yarıçapa dik olduğundan eğimi $-\dfrac{3}{4}$ ‘tür. $T(4, 6)$ noktasından geçen doğruyu yaz: $y - 6 = -\dfrac{3}{4}(x - 4)$ .

Paydadan kurtul: $4y - 24 = -3x + 12$ , yani $3x + 4y = 36$ . Sağlama: merkezin bu doğruya uzaklığı $\dfrac{|3 + 8 - 36|}{5} = 5 = r$ .

Sonuç

Teğetin denklemi $3x + 4y - 36 = 0$ ‘dır.

Yarıçapın eğimi

\frac{4}{3}

, teğetin eğimi

-\frac{3}{4}

: çarpımları

-1

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

n

pozitif bir gerçek sayı olmak üzere

y = 2x + n

doğrusu

x^2 + y^2 = 20

çemberine teğettir.

n

kaçtır?

Açıklama

Doğru $2x - y + n = 0$ , merkez $(0, 0)$ , $r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ . Teğetlik: $\dfrac{|n|}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ , buradan $|n| = 10$ ve $n > 0$ olduğundan $n = 10$ .

İleri

Sınav düzeyi: kirişler, eksenlere teğet çemberler ve en yakın nokta

Kiriş uzunluğu

Doğru çemberi iki noktada kesiyorsa arada bir kiriş oluşur. Kesişim noktalarını tek tek bulmadan kirişin uzunluğunu hesaplayabilirsin: merkezden kirişe inen dikme kirişi ortalar (Çemberde Kiriş ve Açılar), geriye bir dik üçgen kalır.

Kancadaki sahneye döndük: $M(3, 2)$ merkezli, $5$ yarıçaplı çember ve onu kesen doğru. $d$ sürgüsü doğruyu merkezden uzaklaştırıp yaklaştırıyor. Dik üçgenin kenarları $d$ , yarım kiriş ve $r$ ; göstergede kiriş uzunluğu $2\sqrt{25 - d^2}$ olarak güncelleniyor. $d = 0$ ‘da kiriş çaptır, $d = 5$ ‘te tek noktaya iner.

Örnek

zor

Baz istasyonu: yolun kapsama altındaki kısmı

Bir haritada $1$ birim $1$ km’dir. $M(3, 2)$ noktasındaki baz istasyonu $5$ km yarıçaplı dairesel bir alanı kapsıyor. $3x + 4y = 32$ doğrusu boyunca uzanan düz yolun kaç kilometresi kapsama alanının içindedir?

Kapsama alanının sınırı $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25$ çemberidir. Yolun içeride kalan kısmı, doğrunun bu çemberden ayırdığı kiriştir.

Önce yolun alana girip girmediğini denetle. Merkezin doğruya uzaklığı:

$d = \dfrac{|3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 - 32|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{15}{5} = 3$

$3 < 5$ olduğundan yol çemberi iki noktada keser.

Merkezden yola inen dikme kirişi ortalar. Dik üçgende yarım kiriş $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$ km’dir.

Kirişin tamamı $2 \cdot 4 = 8$ km. Sağlama: doğru çemberi $(8, 2)$ ve $\left(\dfrac{8}{5}, \dfrac{34}{5}\right)$ noktalarında keser; aralarındaki uzaklık $\sqrt{\left(\dfrac{32}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{24}{5}\right)^2} = \dfrac{40}{5} = 8$ .

Sonuç

Yolun $8$ km’lik kısmı kapsama alanının içindedir.

3

–

4

–

5

dik üçgeni: merkezin yola uzaklığı

3

, yarıçap

5

, yarım kiriş

4

Eksenlere teğet çemberler

Bir çember $x$ -eksenine teğetse merkezinin $x$ -eksenine uzaklığı yarıçapa eşittir. Merkez $M(a, b)$ için bu uzaklık $|b|$ ‘dir. Aynı düşünce $y$ -ekseni için $|a|$ verir.

Sahnede merkezi $(r, r)$ olan, iki eksene de teğet bir çember ve sabit $A(1, 2)$ noktası var. $r$ sürgüsünü küçükten büyüğe çek: çember köşeden dışarı doğru şişiyor ve $A$ ‘nın üzerinden iki kez geçiyor. Bu iki değeri oku. Sonra bölge düğmesiyle merkezi öbür bölgelere taşı: $(-r, r)$ , $(-r, -r)$ , $(r, -r)$ .

Örnek

zor

İki eksene teğet, merkezi bir doğru üzerinde

Dik koordinat düzleminde hem $x$ -eksenine hem $y$ -eksenine teğet olan ve merkezi $x + 2y = 6$ doğrusu üzerinde bulunan çemberlerin yarıçapları toplamı kaç birimdir?

İki eksene teğet çemberin merkezi eksenlere eşit uzaklıktadır: $|a| = |b| = r$ . Bu, dört bölgenin her biri için ayrı bir merkez biçimi demektir: $(r, r)$ , $(-r, r)$ , $(-r, -r)$ , $(r, -r)$ . Soru bölge belirtmediği için hepsini denemelisin.

Birinci bölge, $(r, r)$ : $r + 2r = 6$ , $r = 2$ . Merkez $(2, 2)$ .

İkinci bölge, $(-r, r)$ : $-r + 2r = 6$ , $r = 6$ . Merkez $(-6, 6)$ .

Üçüncü bölge, $(-r, -r)$ : $-3r = 6$ ve dördüncü bölge, $(r, -r)$ : $-r = 6$ . İkisinde de $r$ negatif çıkıyor; yarıçap negatif olamaz, bu bölgelerde çember yok.

Sonuç

İki çember vardır; yarıçapları $2$ ve $6$ , toplamları $8$ birimdir.

x + 2y = 6

doğrusu birinci ve ikinci bölgede eksenlere eşit uzaklıktaki birer noktadan geçer:

(2, 2)

(-6, 6)

Çembere en yakın ve en uzak nokta

Bir $P$ noktasından çembere en kısa yol merkeze doğru gider. $P$ dışarıdaysa $PM$ doğru parçası çemberi bir noktada keser; en yakın nokta odur ve uzaklık $|PM| - r$ ‘dir. En uzak nokta aynı doğrunun öbür ucundadır: $|PM| + r$ .

Aynı fikir doğrular için de geçerli: çemberi kesmeyen bir doğrunun çembere en kısa uzaklığı $d - r$ ‘dir.

Örnek

zor

Gölet ile yürüyüş yolu arasındaki en kısa mesafe

Bir parkın planı dik koordinat düzlemine çizilmiştir; planda $1$ birim $10$ metredir. Dairesel göletin kıyısı $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$ çemberi, yürüyüş yolu ise $3x + 4y = 58$ doğrusudur. Yol ile gölet kıyısı arasındaki en kısa mesafe kaç metredir? Kıyının yola en yakın noktasının koordinatları nedir?

Göleti tanı: tam kareye tamamla. $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 12 + 4 + 9 = 25$ . Merkez $M(2, 3)$ , yarıçap $5$ birim.

Merkezin yola uzaklığı: $d = \dfrac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 58|}{5} = \dfrac{40}{5} = 8$ birim. $8 > 5$ olduğundan yol göleti kesmiyor.

En kısa yol, merkezden doğruya inen dikme üzerindedir. Bu dikmenin ilk $5$ birimi göletin içinde kalır; kıyı ile yol arasında $8 - 5 = 3$ birim, yani $30$ metre vardır.

En yakın kıyı noktası $K$ , merkezden yola doğru $5$ birim gidince bulunur. Yolun eğimi $-\dfrac{3}{4}$ olduğundan dikmenin eğimi $\dfrac{4}{3}$ ‘tür: $3$ birim sağa, $4$ birim yukarı gidince tam $5$ birim yol alınır. $K = (2 + 3, 3 + 4) = (5, 7)$ . Sağlama: $K$ ‘nin yola uzaklığı $\dfrac{|15 + 28 - 58|}{5} = 3$ .

Sonuç

En kısa mesafe $30$ metredir; kıyının yola en yakın noktası $K(5, 7)$ ‘dir.

Merkezden yola inen dikme

8

birim;

5

birimi yarıçap, kalan

3

birim en kısa mesafe.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Orijinden

(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 9

çemberine çizilen teğet parçasının uzunluğu kaç birimdir?

Açıklama

$|OM| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ , $r = 3$ . Dik üçgende $|OT| = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ .

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Standart denklem: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ ; merkez $M(a, b)$ , yarıçap $r$ . İşaretler ters okunur, sağ taraf $r^2$ ‘dir.
Genel denklem: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ ; merkez $\left(-\dfrac{D}{2}, -\dfrac{E}{2}\right)$ , $r = \dfrac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$ . En güvenli yol tam kareye tamamlamaktır.
Çember belirtme: $x^2$ ve $y^2$ katsayıları eşit ve sıfırdan farklı; $1$ yapıldıktan sonra $D^2 + E^2 - 4F > 0$ . Sıfırsa tek nokta, negatifse boş küme.
Noktanın konumu: $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2$ sayısı $r^2$ ‘den küçükse iç, eşitse üzerinde, büyükse dış.
Doğru ile çember: merkezin doğruya uzaklığı $d$ için $d < r$ iki nokta, $d = r$ teğet, $d > r$ ortak nokta yok. Kesişim noktaları yerine koyarak bulunur.
Teğet: değme noktasında yarıçapa diktir; yarıçapın eğimi ile teğetin eğiminin çarpımı $-1$ ‘dir.
Kiriş: $2\sqrt{r^2 - d^2}$ . Eksene teğetlik: $r = |b|$ ( $x$ -ekseni), $r = |a|$ ( $y$ -ekseni).
En yakın / en uzak nokta: dış nokta için $|PM| - r$ ve $|PM| + r$ ; kesmeyen doğru için $d - r$ .

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

8 çıkmış soru6 özgün soru

2026 AYTSoru 39

Orta

Eksene teğetlik ve eksenden ayrılan kiriş

Dik koordinat düzleminde bir çember $x$ -eksenine teğettir ve $y$ -eksenini 2 noktada kesmektedir. Bu çember 6 birim sola kaydırıldığında $y$ -eksenini yine aynı noktalarda kesmekte, 5 birim aşağı kaydırıldığında ise merkezi $x$ -ekseni üzerine gelmektedir.

Buna göre, başlangıçtaki çemberin $y$ -eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?

İpucu

Kaydırma yalnızca merkezi taşır, yarıçap değişmez. Her bilgiyi merkezin bir koordinatına çevir; sonra $y$ -ekseninin taşıdığı kirişi Pisagor ile bul.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 37)

Çözüm

Merkez $M(a, b)$ , yarıçap $r$ olsun.

1. Aşağı kaydırma. $5$ birim aşağı inince merkez $(a, b - 5)$ olur ve $x$ -ekseni üzerindedir: $b = 5$ .

2. Teğetlik. Çember $x$ -eksenine teğet olduğundan $r = |b| = 5$ .

3. Sola kaydırma. $6$ birim sola kayınca merkez $(a - 6, 5)$ olur. İki çember eş ve $y$ -eksenini aynı noktalarda kesiyor; bu ancak merkezler $y$ -eksenine göre simetrikse olur: $a - 6 = -a$ , $a = 3$ .

4. Kiriş. Merkezin $y$ -eksenine uzaklığı $3$ , yarıçap $5$ : kiriş $2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2 \cdot 4 = 8$ .

Sağlama: $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$ denkleminde $x = 0$ için $(y - 5)^2 = 16$ ; $y = 1$ ve $y = 9$ , fark $8$ .

Cevap: D

2025 AYTSoru 37

Orta

Doğru ile çemberin durumu

Dik koordinat düzleminde çizilen bir çember hakkında şunlar bilinmektedir:

$d_1 : y - \dfrac{4x}{3} - 46 = 0$ doğrusu ile tek ortak noktası vardır.
$d_2 : y - \dfrac{4x}{3} - 6 = 0$ doğrusu ile iki ortak noktası vardır.
$d_3 : y - \dfrac{4x}{3} - 1 = 0$ doğrusu ile ortak noktası yoktur.

Buna göre, bu çemberin yarıçapı birim türünden aşağıdakilerden hangisi olabilir?

İpucu

Üç doğrunun eğimlerine bak. Çember ilk doğruya teğet olduğuna göre tamamı o doğrunun bir yanındadır; öteki doğruların bu doğruya uzaklıklarını çapla karşılaştır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. Doğrular paralel. Üçünün de eğimi $\dfrac{4}{3}$ 'tür. Paydadan kurtulunca: $d_1 : 4x - 3y + 138 = 0$ , $d_2 : 4x - 3y + 18 = 0$ , $d_3 : 4x - 3y + 3 = 0$ .

2. Aralarındaki uzaklıklar. Paralel doğrular için $\dfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ :

$|d_1 d_2| = \dfrac{|138 - 18|}{5} = 24 \qquad |d_1 d_3| = \dfrac{|138 - 3|}{5} = 27$

$d_2$ ve $d_3$ , $d_1$ 'in aynı yanındadır; sıra $d_1$ , $d_2$ , $d_3$ biçimindedir.

3. Çemberi yerleştir. Çember $d_1$ 'e teğettir; tamamı $d_1$ 'in bir yanında kalır ve merkezi $d_1$ 'den $r$ birim uzaktadır. $d_2$ 'yi kesebilmesi için $d_2$ ile aynı yanda olmalıdır. O zaman merkezin $d_2$ 'ye uzaklığı $|24 - r|$ , $d_3$ 'e uzaklığı $|27 - r|$ olur.

4. Koşullar. $d_2$ keser: $|24 - r| < r$ , yani $r > 12$ . $d_3$ kesmez: $|27 - r| > r$ , yani $r < 13{,}5$ .

$12 < r < 13{,}5$

Seçeneklerden yalnızca $13$ bu aralıktadır.

Kısaca: çember $d_1$ 'den en çok $2r$ uzağa erişir; $24 < 2r < 27$ .

Cevap: B

2025 AYTSoru 39

Orta

Genel denklemden merkez bulma

$m$ ve $n$ gerçel sayılardır. Dik koordinat düzleminde

$x^2 + y^2 - 2x + 6y = n$

çemberi $A(4, 1)$ noktasından geçmektedir. Aynı düzlemdeki $y = mx$ doğrusu bu çemberi $B$ ve $C$ noktalarında kesmektedir.

$m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$ olduğuna göre $m + n$ toplamı kaçtır?

İpucu

$A$ , $B$ ve $C$ noktalarının üçü de çemberin üzerinde. Çember üzerindeki bir köşeden $90^\circ$ ile görülen kiriş hangi kiriştir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 36)

Çözüm

1. $n$ . $A(4, 1)$ çemberin üzerindedir: $16 + 1 - 8 + 6 = n$ , $n = 15$ .

2. Merkez. Tam kareye tamamla: $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 15 + 1 + 9 = 25$ . Merkez $M(1, -3)$ , yarıçap $5$ .

3. Dik açının anlamı. $\widehat{BAC}$ bir çevre açıdır ve $[BC]$ kirişini görür. Çevre açı $90^\circ$ ise gördüğü yay $180^\circ$ 'dir; yani $[BC]$ çaptır (Çemberde Kiriş ve Açılar). Çap merkezden geçer: $y = mx$ doğrusu $M(1, -3)$ noktasından geçmelidir.

4. $m$ . $-3 = m \cdot 1$ , $m = -3$ .

$m + n = -3 + 15 = 12$

Not: soruda $m$ harfi hem açı ölçüsü gösteriminde hem doğrunun eğimi olarak geçiyor; kitapçıkta da böyledir, karıştırma.

Cevap: E

2024 AYTSoru 39

Zor

Teğetlik ve iç bölge

Dik koordinat düzleminde bir çember, $y = x$ doğrusuna $B(7, 7)$ noktasında teğettir. $A(11, 9)$ noktası bu çemberin iç bölgesindedir.

Buna göre, bu çemberin yarıçapının birim türünden alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

İpucu

Merkez, değme noktasında teğete dik olan doğrunun üzerindedir. Merkezi tek bir harfle yaz; iç bölgede olmak, merkeze uzaklığın yarıçaptan küçük olması demektir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 36)

Çözüm

1. Merkez nerede? Yarıçap değme noktasında teğete diktir. $y = x$ doğrusunun eğimi $1$ olduğundan merkez, $B(7, 7)$ 'den geçen ve eğimi $-1$ olan doğrunun üzerindedir: $M(7 + t, 7 - t)$ .

2. Yarıçap. $r = |MB| = \sqrt{t^2 + t^2} = |t|\sqrt{2}$ , yani $r^2 = 2t^2$ .

3. $A$ iç bölgede. $|MA|^2 < r^2$ :

$(11 - 7 - t)^2 + (9 - 7 + t)^2 < 2t^2 \;\Longrightarrow\; (4 - t)^2 + (2 + t)^2 < 2t^2$

Sol taraf $20 - 4t + 2t^2$ olur. Buradan $20 - 4t < 0$ , yani $t > 5$ .

4. Yarıçap. $r = t\sqrt{2} > 5\sqrt{2}$ . $5\sqrt{2} = \sqrt{50}$ sayısı $7$ ile $8$ arasındadır ( $49 < 50 < 64$ ); bu yüzden yarıçapın en küçük tam sayı değeri $8$ 'dir.

Tuzak: $r = 5\sqrt{2}$ iken $A$ çemberin üzerindedir, iç bölgesinde değil; eşitlik dahil edilmez. Zaten $5\sqrt{2}$ tam sayı da değildir.

Cevap: B

2022 AYTSoru 37

Orta

Eksenlere teğet çember

Dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde, hem $x$ -eksenine hem $y$ -eksenine teğet olan iki farklı çember çizilmiştir. Şekilde görüldüğü gibi bu çemberlerin ikisi de $A(1, 2)$ noktasından geçmektedir.

Buna göre, bu çemberlerin yarıçapları toplamı kaç birimdir?

İpucu

Birinci bölgede iki eksene de teğet olan çemberin merkezi yarıçapı cinsinden nasıl yazılır? Denklemi tek bilinmeyenle kur ve $A$ noktasını yerine koy.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 36)

Çözüm

1. Merkezi yarıçapla yaz. Birinci bölgede iki eksene de teğet olan çemberin merkezi eksenlere $r$ birim uzaklıktadır: $M(r, r)$ . Denklem:

$(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$

2. $A(1, 2)$ çemberin üzerinde.

$(1 - r)^2 + (2 - r)^2 = r^2 \;\Longrightarrow\; 1 - 2r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2 \;\Longrightarrow\; r^2 - 6r + 5 = 0$

3. Kökler. $(r - 1)(r - 5) = 0$ ; yarıçaplar $1$ ve $5$ 'tir. Toplam $6$ .

Kısa yol: iki yarıçap bu denklemin kökleridir; kökler toplamı doğrudan $6$ 'dır.

Sağlama: $r = 5$ için $(1 - 5)^2 + (2 - 5)^2 = 16 + 9 = 25$ .

Cevap: B

2021 AYTSoru 39

Orta

Doğru ile çemberin durumu

Dik koordinat düzleminde denklemi

$x^2 - 26x + y^2 + 144 = 0$

olan çember ile $y = mx$ doğrusunun iki farklı ortak noktası vardır.

Buna göre, $m$ sayısının alabileceği bütün değerlerin oluşturduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

Önce tam kareye tamamlayıp merkezi ve yarıçapı bul. İki noktada kesmek, merkezin doğruya uzaklığının yarıçaptan küçük olması demektir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 36)

Çözüm

1. Çemberi tanı. $x$ 'li terimleri tam kareye tamamla:

$(x - 13)^2 + y^2 = 169 - 144 = 25$

Merkez $M(13, 0)$ , yarıçap $r = 5$ .

2. Koşulu kur. Doğru $mx - y = 0$ biçimindedir. İki farklı noktada kesmesi için $d < r$ olmalı:

$\dfrac{|13m|}{\sqrt{m^2 + 1}} < 5$

3. Çöz. İki taraf da negatif olmadığından kare alınabilir: $169m^2 < 25m^2 + 25$ , yani $144m^2 < 25$ ve $m^2 < \dfrac{25}{144}$ .

$-\dfrac{5}{12} < m < \dfrac{5}{12}$

Sağlama (yerine koyma). $y = mx$ yazılırsa $(1 + m^2)x^2 - 26x + 144 = 0$ olur. $\Delta = 676 - 576(1 + m^2) > 0$ koşulu yine $m^2 < \dfrac{25}{144}$ verir.

Geometrik bakış: orijinden çembere çizilen teğetlerde $5$ – $12$ – $13$ üçgeni oluşur; teğetin eğimi $\pm\dfrac{5}{12}$ 'dir.

Cevap: D

2019 AYTSoru 37

Orta

Eksene teğetlik ve eksenden ayrılan kiriş

Dik koordinat düzleminde bir çember, $x + y = 4$ doğrusu tarafından iki eş parçaya ayrılmaktadır. Bu çemberin $x$ -ekseniyle yalnızca bir, $y$ -ekseniyle ise iki farklı ortak noktası vardır.

Çemberin $y$ -ekseni üzerindeki iki noktası arasındaki uzaklık 4 birim olduğuna göre, çemberin çevresi kaç birimdir?

İpucu

Bir çemberi iki eş parçaya ayıran doğru merkezden geçer. Eksenle tek ortak nokta teğetlik, iki ortak nokta kiriş demektir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

Merkez $M(a, b)$ , yarıçap $r$ olsun. Her cümle bir denklem verir.

1. Eş iki parça. Çemberi iki eş parçaya ayıran doğru çaptır, yani merkezden geçer: $a + b = 4$ .

2. $x$ -ekseniyle tek nokta. Çember $x$ -eksenine teğettir; merkezin eksene uzaklığı yarıçaptır: $r = |b|$ .

3. $y$ -ekseninde $4$ birimlik kiriş. Merkezin $y$ -eksenine uzaklığı $|a|$ 'dır. Dikme kirişi ortalar; yarım kiriş $2$ olduğundan $r^2 = a^2 + 2^2$ .

4. Çöz. $b^2 = a^2 + 4$ , yani $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) = 4$ . $a + b = 4$ olduğundan $b - a = 1$ . Buradan $b = \dfrac{5}{2}$ , $a = \dfrac{3}{2}$ ve $r = \dfrac{5}{2}$ .

5. Çevre. $2\pi r = 5\pi$ .

Sağlama: $(x - 1{,}5)^2 + (y - 2{,}5)^2 = 6{,}25$ çemberinde $x = 0$ için $(y - 2{,}5)^2 = 4$ ; $y = 0{,}5$ ve $y = 4{,}5$ , aradaki uzaklık $4$ .

Cevap: B

2018 AYTSoru 34

Orta

Çembere en yakın nokta

Dik koordinat düzleminde iki çemberden birinin merkezi $(12, 0)$ , ötekinin merkezi $(0, 9)$ noktasıdır. Bu iki çemberin tek ortak noktası $(4, 6)$ noktasıdır.

Buna göre, çemberlerin her birinin orijine en yakın noktası alındığında bu iki nokta arasındaki uzaklık kaç birimdir?

İpucu

Ortak nokta iki çemberin de üzerindedir; yarıçapları buradan bul. Bir çemberin dışındaki noktaya en yakın noktası, o noktayı merkeze birleştiren doğru parçasının üzerindedir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

1. Yarıçaplar. $(4, 6)$ iki çemberin de üzerinde olduğundan her merkezin bu noktaya uzaklığı o çemberin yarıçapıdır:

$r_1 = \sqrt{(12 - 4)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{64 + 36} = 10 \qquad r_2 = \sqrt{(0 - 4)^2 + (9 - 6)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$

2. Orijin nerede? Orijinin merkezlere uzaklıkları $12$ ve $9$ 'dur; $12 > 10$ ve $9 > 5$ olduğundan orijin iki çemberin de dışındadır.

3. En yakın noktalar. Dıştaki bir noktaya en yakın çember noktası, o noktadan merkeze giden doğru parçası üzerindedir. Birinci çemberde bu parça $x$ -ekseni üzerindedir: merkezden orijine doğru $10$ birim gelince $(12 - 10, 0) = (2, 0)$ . İkinci çemberde $y$ -ekseni üzerinde: $(0, 9 - 5) = (0, 4)$ .

4. Uzaklık. $\sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ .

Tuzak: "iki çember" ifadesi gözünü korkutmasın; soru yalnızca iki noktası arasındaki uzaklık formülünü ve en yakın nokta fikrini kullanıyor.

Cevap: D

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Genel denklemden merkez ve yarıçap

Dik koordinat düzleminde denklemi

$x^2 + y^2 + 6x - 8y + 9 = 0$

olan çemberin merkezi $M(a, b)$ , yarıçapı $r$ birimdir.

Buna göre $a + b + r$ toplamı kaçtır?

Çözüm

Tam kareye tamamla: $(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = -9 + 9 + 16$ , yani

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$

Merkez $M(-3, 4)$ , yarıçap $r = 4$ . Toplam: $-3 + 4 + 4 = 5$ .

Formülle sağlama: $-\dfrac{D}{2} = -3$ , $-\dfrac{E}{2} = 4$ , $r = \dfrac{1}{2}\sqrt{36 + 64 - 36} = 4$ .

Çeldiriciler: işaretler ters okunursa merkez $(3, -4)$ ve toplam $3$ çıkar; sabit terim unutulursa $r = 5$ ve toplam $6$ ; sağ taraftaki $16$ yarıçap sanılırsa toplam $17$ olur.

Cevap: B

Özgün soru2

Orta

Çember belirtme koşulu

$m$ ve $n$ gerçel sayılar olmak üzere

$(m - 3)x^2 + 2y^2 + 8x - 4y + n = 0$

denklemi dik koordinat düzleminde bir çember belirtmektedir.

$n$ alabileceği en büyük tam sayı değerini aldığında $m + n$ toplamı kaç olur?

İpucu

Çember denkleminde $x^2$ ile $y^2$ katsayıları eşittir. Koşulu uygulamadan önce bu katsayıları $1$ yap.

Çözüm

1. Katsayılar eşit. $m - 3 = 2$ , $m = 5$ .

2. Katsayıları $1$ yap. Denklemi $2$ 'ye böl: $x^2 + y^2 + 4x - 2y + \dfrac{n}{2} = 0$ .

3. Tam kareye tamamla. $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4 + 1 - \dfrac{n}{2} = 5 - \dfrac{n}{2}$ .

Sağ taraf $r^2$ olduğundan pozitif olmalı: $5 - \dfrac{n}{2} > 0$ , yani $n < 10$ . En büyük tam sayı $n = 9$ .

$m + n = 5 + 9 = 14$

Çeldiriciler: $n = 10$ alınırsa ( $15$ ) yarıçap sıfır olur; bu çember değil tek noktadır. Denklem $2$ 'ye bölünmeden $64 + 16 - 4n > 0$ yazılırsa $n = 19$ ve toplam $24$ çıkar.

Cevap: C

Özgün soru3

Orta

Teğet denklemi

Dik koordinat düzleminde $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 10$ çemberine $T(5, 0)$ noktasında teğet olan doğru çiziliyor.

Bu doğrunun $y$ -eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

İpucu

Teğet, değme noktasına çizilen yarıçapa diktir. Önce yarıçapın eğimini bul.

Çözüm

1. Nokta çember üzerinde mi? $(5 - 2)^2 + (0 + 1)^2 = 9 + 1 = 10$ . Evet.

2. Yarıçapın eğimi. Merkez $M(2, -1)$ : $m_{MT} = \dfrac{0 - (-1)}{5 - 2} = \dfrac{1}{3}$ .

3. Teğetin eğimi. Dik doğruların eğimleri çarpımı $-1$ 'dir: teğetin eğimi $-3$ .

4. Denklem. $y - 0 = -3(x - 5)$ , yani $y = -3x + 15$ . $x = 0$ için $y = 15$ .

Sağlama: merkezin $3x + y - 15 = 0$ doğrusuna uzaklığı $\dfrac{|6 - 1 - 15|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} = r$ .

Çeldiriciler: yarıçapın eğimi teğete verilirse $-\dfrac{5}{3}$ , yalnızca işaret değiştirilirse $\dfrac{5}{3}$ , yalnızca ters çevrilirse $-15$ bulunur; $5$ ise doğrunun $x$ -eksenini kestiği noktadır.

Cevap: E

Özgün soru4

Orta

Kesişim noktaları ve kiriş

Dik koordinat düzleminde $y = x + 2$ doğrusu, $x^2 + y^2 = 20$ çemberini $A$ ve $B$ noktalarında kesmektedir.

Buna göre $|AB|$ kaç birimdir?

İpucu

Kesişim noktalarını bulabilirsin ya da merkezin doğruya uzaklığını hesaplayıp dik üçgen kurabilirsin.

Çözüm

Yol 1: kiriş formülü. Merkez $(0, 0)$ , $r^2 = 20$ . Doğru $x - y + 2 = 0$ ; merkezin uzaklığı $d = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ .

$|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{20 - 2} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$

Yol 2: kesişim noktaları. $x^2 + (x + 2)^2 = 20$ , $2x^2 + 4x - 16 = 0$ , $x^2 + 2x - 8 = 0$ , $(x + 4)(x - 2) = 0$ . Noktalar $A(2, 4)$ ve $B(-4, -2)$ .

$|AB| = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2}$

Çeldiriciler: $3\sqrt{2}$ yarım kiriştir; $d = 2$ alınırsa (paydadaki $\sqrt{2}$ unutulursa) $8$ ; $4\sqrt{5}$ çaptır.

Cevap: D

Özgün soru5

Zor

Çember kurma ve en kısa uzaklık

Dik koordinat düzleminde merkezi $x$ -ekseni üzerinde olan bir çember $A(1, 3)$ ve $B(8, 4)$ noktalarından geçmektedir.

Bu çemberin üzerindeki noktaların $4x + 3y = 60$ doğrusuna uzaklığı en az kaç birimdir?

İpucu

Merkezi $(h, 0)$ al; iki noktaya uzaklıkları eşitle. Çemberi kesmeyen bir doğruya en yakın çember noktası, merkezden doğruya inen dikmenin üzerindedir.

Çözüm

1. Merkez. $M(h, 0)$ olsun. $|MA| = |MB|$ :

$(h - 1)^2 + 9 = (h - 8)^2 + 16 \;\Longrightarrow\; -2h + 10 = -16h + 80 \;\Longrightarrow\; h = 5$

2. Yarıçap. $r^2 = (5 - 1)^2 + 3^2 = 25$ , $r = 5$ . Sağlama: $(5 - 8)^2 + 4^2 = 25$ .

3. Merkezin doğruya uzaklığı. $d = \dfrac{|4 \cdot 5 + 3 \cdot 0 - 60|}{5} = \dfrac{40}{5} = 8$ . $8 > 5$ olduğundan doğru çemberi kesmez.

4. En kısa uzaklık. Merkezden doğruya inen dikmenin $5$ birimi çemberin içindedir: $d - r = 8 - 5 = 3$ .

Çeldiriciler: $8$ merkezin uzaklığıdır, çemberin değil; $5$ yarıçaptır.

Cevap: B

Özgün soru6

Orta

Eksenlerden ayrılan kirişler

Dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin planı dik koordinat düzlemine çizilmiştir; planda 1 birim 1 metredir. Bahçenin bir köşesi orijinde, bu köşede birleşen iki duvarı ise $x$ -ekseni ve $y$ -ekseni üzerindedir. $F(4, 3)$ noktasına yerleştirilen bir fıskiye, kendisine en çok 5 metre uzaklıktaki her noktayı ıslatabilmektedir.

Buna göre, fıskiyenin ıslatabildiği duvar parçalarının toplam uzunluğu kaç metredir?

İpucu

Islanan bölgenin sınırı bir çemberdir. Her duvar bu çemberden bir kiriş ayırır; merkezin duvara uzaklığını kullan.

Çözüm

Islanan bölgenin sınırı $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$ çemberidir.

1. $x$ -eksenindeki duvar. Merkezin $x$ -eksenine uzaklığı $3$ 'tür: kiriş $2\sqrt{25 - 9} = 8$ metre. Denklemle: $y = 0$ için $(x - 4)^2 = 16$ , $x = 0$ ve $x = 8$ .

2. $y$ -eksenindeki duvar. Merkezin $y$ -eksenine uzaklığı $4$ 'tür: kiriş $2\sqrt{25 - 16} = 6$ metre. Denklemle: $x = 0$ için $(y - 3)^2 = 9$ , $y = 0$ ve $y = 6$ .

3. Toplam. İki kiriş de köşeden (orijinden) başlar ve duvarların üzerinde kalır: $8 + 6 = 14$ metre.

Not: $|OF| = 5$ olduğundan çember tam köşeden geçer; bu yüzden ıslanan parçalar duvarların dışına taşmaz.

Cevap: C