48Konu 48 / 49
Analitik Geometri

Analitik Düzlemde Dönüşümler

Bir noktayı ötelemeyi, noktaya ve doğruya göre simetriğini almayı ve orijin etrafında döndürmeyi koordinatlarla yapıyoruz; doğrunun noktaya göre simetriğini buluyor, dönüşümleri art arda uygulayıp AYT'deki bileşke sorularını çözüyoruz.

12. sınıf
AYT sıklığı
60 dk

LevhaAnalitik Düzlemde DönüşümlerAnalitik Düzlemde Dönüşümler

Bir çini ustası koca bir duvarı tek bir kalıpla kaplar: motifi yana kaydırır, ters çevirir, bir köşesinin çevresinde döndürür. Motifin boyu da açıları da hiç değişmez; değişen yalnızca yeridir. Peki köşesi $(3, 1)$ noktasında duran motif kaydırılınca, çevrilince ya da döndürülünce o köşe tam olarak hangi noktaya gider? Bu sayfa üç hareketin de koordinat kuralını kuruyor.

Isınma

Başlamadan: orta nokta, dik doğru, 90°

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

A(-2, 5)

B(4, 1)

noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktası hangisidir?

Açıklama

Orta noktanın koordinatları, uçların koordinatlarının ortalamasıdır: $\left(\dfrac{-2 + 4}{2}, \dfrac{5 + 1}{2}\right) = (1, 3)$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Eğimi

2

olan bir doğruya dik olan doğrunun eğimi kaçtır?

Açıklama

Dik iki doğrunun eğimleri çarpımı $-1$ ‘dir: $2 \cdot m = -1$ , $m = -\dfrac{1}{2}$ . Ayrıntısı Noktanın ve Doğrunun Analitik İncelenmesi sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\cos 90^\circ

\sin 90^\circ

değerleri sırasıyla hangisidir?

Açıklama

Birim çemberde $90^\circ$ ‘lik açının ucu $(0, 1)$ noktasıdır; apsis kosinüsü, ordinat sinüsü verir. Hatırlamak için: Trigonometrik Fonksiyonlar.

Temel

Öteleme ve eksenlere göre simetri

Dönüşüm ne demek?

Düzlemdeki her noktayı belli bir kurala göre başka bir noktaya taşımaya dönüşüm denir. Taşınan noktanın vardığı yere o noktanın görüntüsü deriz ve $P$ noktasının görüntüsünü $P'$ ile gösteririz. Bu sayfadaki üç dönüşüm de (öteleme, simetri, dönme) şekli yalnızca taşır: uzunluklar, açılar ve alan aynı kalır.

Öteleme

Öteleme, kaydırmaktır: her nokta aynı yönde, aynı miktarda yer değiştirir. Sağa gitmek apsisi büyütür, yukarı gitmek ordinatı büyütür.

Üçgen

5

birim sağa,

2

birim yukarı öteleniyor: üç köşe de aynı ok kadar kayar.

Sahnede köşeleri $A(1, 1)$ , $B(3, 1)$ , $C(1, 4)$ olan üçgen var. $a$ ve $b$ sürgülerini oynat ya da üçgeni tutup sürükle. Üç köşeden çıkan oklar hep birbirine eş ve paralel; koordinat göstergesinde her apsise $a$ , her ordinata $b$ ekleniyor.

Örnek

kolay

Bir noktayı öteleme

$A(-2, 5)$ noktası $x$ ekseni boyunca pozitif yönde $4$ birim, $y$ ekseni boyunca negatif yönde $3$ birim öteleniyor. Görüntüsünün koordinatlarını bul.

$x$ ekseni boyunca pozitif yön sağa demektir; apsise $4$ eklenir: $-2 + 4 = 2$ .

$y$ ekseni boyunca negatif yön aşağı demektir; ordinattan $3$ çıkarılır: $5 - 3 = 2$ .

Sonuç

$A'(2, 2)$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

P(3, -1)

noktası

5

birim sola,

2

birim yukarı ötelenirse hangi noktaya gelir?

Açıklama

Sola $5$ : $3 - 5 = -2$ . Yukarı $2$ : $-1 + 2 = 1$ . Görüntü $(-2, 1)$ .

Örnek

kolay

Ötelemeyi bir noktadan öğrenip başka noktaya uygulama

Bir öteleme $A(1, 4)$ noktasını $A'(-3, 6)$ noktasına götürüyor. Aynı öteleme $B(5, -2)$ noktasını hangi noktaya götürür?

Öteleme miktarını $A$ ile görüntüsünden oku, çünkü görüntü eksi nokta kaymayı verir: apsiste $-3 - 1 = -4$ , ordinatta $6 - 4 = 2$ .

Öteleme her noktayı aynı miktarda kaydırır; $B$ için de $4$ birim sola, $2$ birim yukarı: $(5 - 4,\ -2 + 2)$ .

Sonuç

$B'(1, 0)$

Eksenlere ve orijine göre simetri

Simetri (yansıma), aynaya bakmaktır. Eksen aynadır: nokta aynanın öbür yanına, aynı uzaklığa geçer. Kelebeğin iki kanadı, bir caminin ön cephesinin sağı ve solu böyle eşleşir.

P(3, 2)

ve üç görüntüsü:

x

eksenine,

y

eksenine ve orijine göre.

Sahnede $P$ noktasını sürükle (ya da $x$ , $y$ sürgülerini kullan) ve aynayı seç: $x$ ekseni, $y$ ekseni ya da orijin. $x$ ekseni seçiliyken nokta ile görüntüsü hep aynı düşey çizgide; ordinatlar ters işaretli. Motifin de ters döndüğüne dikkat et: yansıma şekli “çevirir”.

Örnek

kolay

Simetrik iki noktadan bilinmeyen bulma

$A(a - 1,\ 4)$ noktasının $y$ eksenine göre simetriği $B(-5,\ b + 2)$ noktasıdır. $a + b$ kaçtır?

$y$ eksenine göre simetride apsis işaret değiştirir, ordinat aynı kalır. $A$ ‘nın simetriği $(-(a - 1),\ 4)$ olur.

Bu nokta $B$ ile aynı olmalı. Apsisler: $-(a - 1) = -5$ , buradan $a = 6$ . Ordinatlar: $4 = b + 2$ , buradan $b = 2$ .

Sonuç

$a + b = 8$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(-2, 7)

noktasının

x

eksenine göre simetriği hangisidir?

Açıklama

$x$ eksenine göre simetride apsis kalır, ordinat işaret değiştirir: $(-2, -7)$ .

$y = x$ doğrusuna göre simetri

$y = x$ doğrusu, koordinatları eşit olan noktalardan oluşur. Bu doğruyu ayna yapınca $x$ ile $y$ rol değiştirir: yataydaki uzaklık düşeye, düşeydeki yataya geçer.

Neden? $(x, y)$ ile $(y, x)$ noktalarının orta noktası $\left(\dfrac{x + y}{2}, \dfrac{x + y}{2}\right)$ ‘dir ve $y = x$ üzerindedir. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi $\dfrac{x - y}{y - x} = -1$ ‘dir; yani aynaya diktir.

P(4, 1)

y = x

doğrusuna göre simetriği

(1, 4)

y = -x

doğrusuna göre simetriği

(-1, -4)

Sahnede aynayı $y = x$ yap ve $P$ noktasını gezdir. Noktanın eksenlere indirdiği dikdörtgen, görüntüde yan yatıyor: genişlik ile yükseklik yer değiştiriyor. $P$ ‘yi doğrunun üzerine getir; görüntü ile çakışıyor. Sonra aynayı $y = -x$ yap ve işaretleri izle.

Örnek

kolay

Art arda iki simetri

$A(2, -5)$ noktasının $y = x$ doğrusuna göre simetriği $B$ , $B$ noktasının orijine göre simetriği $C$ ‘dir. $C$ noktasının koordinatlarını bul.

$y = x$ doğrusuna göre simetride koordinatlar yer değiştirir: $B(-5, 2)$ .

Orijine göre simetride iki koordinat da işaret değiştirir: $C(5, -2)$ .

Sağlama: $C$ , $A(2, -5)$ noktasının $y = -x$ doğrusuna göre simetriğidir, çünkü $(-y, -x) = (5, -2)$ . İki adım tek bir kurala denk geldi.

Sonuç

$C(5, -2)$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(-4, 6)

noktasının

y = -x

doğrusuna göre simetriği hangisidir?

Açıklama

$(x, y) \to (-y, -x)$ kuralında $x = -4$ , $y = 6$ : $(-6,\ 4)$ .

Orta

Noktaya ve doğruya göre simetri, dönme

Noktaya göre simetri

Bir $M$ noktasına göre simetri almak, $P$ ‘den $M$ ‘ye yürüyüp aynı adımı bir kez daha atmaktır. Bu yüzden $M$ , $P$ ile görüntüsünün orta noktasıdır.

Neden? Orta nokta koşulu $\dfrac{x + x'}{2} = a$ der; buradan $x' = 2a - x$ çıkar. Ordinat için de aynısı geçerlidir.

M

noktası,

P

ile

P'

arasındaki parçanın orta noktasıdır.

Örnek

orta

Simetri merkezini ve bilinmeyeni bulma

$A(3, k)$ noktasının $M(m, -1)$ noktasına göre simetriği $B(-7, 5)$ noktasıdır. $m + k$ kaçtır?

Formülü ezberden yazmak yerine anlamını kullan: $M$ , $[AB]$ doğru parçasının orta noktasıdır. Böylece hangi bilinmeyen nerede olursa olsun tek bir fikir yeter.

Apsisler: $m = \dfrac{3 + (-7)}{2} = -2$ .

Ordinatlar: $-1 = \dfrac{k + 5}{2}$ , buradan $k + 5 = -2$ ve $k = -7$ .

Sonuç

$m + k = -2 + (-7) = -9$

$x = a$ ve $y = b$ doğrularına göre simetri

Ayna eksenin kendisi değil de eksene paralel bir doğruysa fikir aynıdır: nokta aynanın öbür yanına, aynı uzaklığa geçer. Aynaya paralel koordinat değişmez; öbür koordinat için ayna, orta noktadır.

P(3, 3)

x = 6

doğrusuna göre simetriği

(9, 3)

y = 1

doğrusuna göre simetriği

(3, -1)

Sahnede $P(3, 3)$ sabit. Önce " $x = a$ " kipini seç ve $a$ sürgüsünü oynat: ayna bir birim kayınca görüntü iki birim kayıyor ( $2a - x$ ‘teki $2$ buradan gelir). Sonra " $y = b$ " kipine, en son “nokta” kipine geç; $M(a, b)$ noktası hep $P$ ile $P'$ ‘nün tam ortasında duruyor.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(5, -2)

noktasının

y = 3

doğrusuna göre simetriği hangisidir?

Açıklama

Apsis aynı kalır. Ordinat: $2 \cdot 3 - (-2) = 8$ . Sağlama: $-2$ ile $8$ ‘in ortası $3$ ‘tür.

Herhangi bir doğruya göre simetri

Ayna eğik bir doğruysa hazır bir koordinat kuralı ezberlemene gerek yok. Yansımanın iki özelliği yeter: nokta ile görüntüsünü birleştiren parça aynaya diktir ve ayna bu parçayı ortalar.

Sahnede $A(1, 7)$ sabit; $d$ doğrusunun eğimini ve yüksekliğini sürgülerle değiştir. $A$ ‘dan inen dikme, ayağı $H$ ve görüntü $A'$ anında yeniden çiziliyor. Doğru üzerinde gezinen $T$ noktasına bak: $|TA|$ ile $|TA'|$ göstergeleri her konumda eşit.

Örnek

orta

Eğik bir doğruya göre simetri

$A(1, 7)$ noktasının $d: x + 2y - 5 = 0$ doğrusuna göre simetriği olan noktanın koordinatlarını bul.

$d$ doğrusunun eğimi $-\dfrac{1}{2}$ ‘dir. Dikmenin eğimi $2$ olmalı, çünkü dik doğruların eğimleri çarpımı $-1$ ‘dir. $A$ ‘dan geçen dikme: $y - 7 = 2(x - 1)$ , yani $y = 2x + 5$ .

Dikme ayağı iki doğrunun kesişimidir. $y = 2x + 5$ ifadesini $d$ ‘de yerine yaz: $x + 2(2x + 5) - 5 = 0$ , buradan $5x = -5$ , $x = -1$ ve $y = 3$ . Yani $H(-1, 3)$ .

$H$ orta nokta olduğundan $A' = (2 \cdot (-1) - 1,\ 2 \cdot 3 - 7) = (-3, -1)$ .

Sağlama: $A$ ve $A'$ doğruya eşit uzaklıkta ve farklı yanlarda olmalı. Denklemde yerine yaz: $A$ için $1 + 14 - 5 = 10$ , $A'$ için $-3 - 2 - 5 = -10$ . Mutlak değerler eşit, işaretler ters.

Sonuç

$A'(-3, -1)$

Dikme ayağı

H

A

ile

A'

noktalarının orta noktasıdır.

Ayna, $[AA']$ parçasının orta dikmesi olduğuna göre aynanın üzerindeki her nokta $A$ ‘ya ve $A'$ ‘ne eşit uzaklıktadır. Bu özellik, doğrunun denklemi verilmediğinde bile işe yarar.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

A(0, 3)

noktasının,

B(4, 0)

noktasından geçen bir doğruya göre simetriği

A'

noktasıdır.

|BA'|

kaç birimdir?

Açıklama

$B$ simetri doğrusunun üzerindedir; öyleyse $|BA'| = |BA| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ . Doğru hangi eğimde olursa olsun sonuç değişmez.

Doğrunun noktaya göre simetriği

Bir doğrunun bir noktaya göre simetriği, doğrunun bütün noktalarının o noktaya göre simetriklerinden oluşur. Sonuç yine bir doğrudur ve ilkine paraleldir.

Sahnede $d: 2x - y + 4 = 0$ doğrusu ve $M(1, 1)$ noktası var. $d$ üzerindeki noktaların her biri $M$ ‘nin öbür yanına geçiyor; görüntüler $d'$ doğrusuna diziliyor. $M$ ‘yi sürükle: $d'$ hep $d$ ‘ye paralel kalıyor. $M$ ‘yi $d$ ‘nin üzerine getirince iki doğru çakışıyor.

Neden yerine yazıyoruz? $(x, y)$ noktası yeni doğrunun üzerindeyse onun $M$ ‘ye göre simetriği olan $(2p - x,\ 2q - y)$ noktası eski doğrunun üzerinde olmalıdır.

Örnek

orta

Doğrunun bir noktaya göre simetriği

$d: 2x - y + 4 = 0$ doğrusunun $M(1, 1)$ noktasına göre simetriği olan doğrunun denklemini bul.

$p = 1$ , $q = 1$ olduğundan $x$ yerine $2 - x$ , $y$ yerine $2 - y$ yazılır: $2(2 - x) - (2 - y) + 4 = 0$ .

Parantezleri aç: $4 - 2x - 2 + y + 4 = 0$ , yani $-2x + y + 6 = 0$ . İki yanı $-1$ ile çarp: $2x - y - 6 = 0$ .

İkinci yoldan sağla: $d$ üzerindeki $(0, 4)$ noktasının $M$ ‘ye göre simetriği $(2, -2)$ ‘dir ve $2 \cdot 2 - (-2) - 6 = 0$ . $(-2, 0)$ noktasının simetriği $(4, 2)$ ‘dir ve $8 - 2 - 6 = 0$ . İki nokta da yeni doğrunun üzerinde.

Sonuç

$d': 2x - y - 6 = 0$ . $x$ ve $y$ katsayıları aynı kaldı; yalnızca sabit terim değişti.

d

doğrusunun

M

noktasına göre simetriği, ona paralel olan

d'

doğrusudur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = 3x + 1

doğrusunun orijine göre simetriği hangisidir?

Açıklama

$x \to -x$ , $y \to -y$ yaz: $-y = -3x + 1$ , yani $y = 3x - 1$ . Eğim aynı, $y$ eksenini kestiği nokta $(0, 1)$ ‘den $(0, -1)$ ‘e geçti.

Dönme

Dönme için üç bilgi gerekir: hangi nokta etrafında (merkez), kaç derece (açı) ve hangi yönde. Saat yönünün tersi pozitif yön, saat yönü negatif yön sayılır. Dönen nokta, merkezi dönme merkezi olan bir çember üzerinde hareket eder; merkeze uzaklığı değişmez. Kar tanesinin altı kolu, bir kolun $60^\circ$ ‘lik dönmelerle çoğaltılmış hâlidir.

P(4, 2)

orijin etrafında pozitif yönde

90^\circ

dönünce

P'(-2, 4)

olur.

Şekle bak: $P$ ‘nin altındaki dik üçgenin kenarları $4$ ve $2$ . Üçgen $90^\circ$ dönünce yatay kenar düşey, düşey kenar yatay olur; nokta sola geçtiği için apsis eksi işaret alır. $180^\circ$ dönme, orijine göre simetriyle aynı dönüşümdür.

Sahnede $P(4, 2)$ noktasını çemberi boyunca çevir ya da $\theta$ sürgüsünü kullan. Sürgü $90^\circ$ , $180^\circ$ , $270^\circ$ değerlerinde hafifçe takılıyor; göstergeyi kuralla karşılaştır. $\theta$ ‘yı negatife çek: nokta saat yönünde dönüyor. “Motifi göster” düğmesiyle bütün şeklin aynı açıyla döndüğünü gör.

Örnek

orta

Dönme dolapta kabin

Bir lunaparktaki dönme dolabın merkezi orijin alınıyor; birim metredir. $K(8, 6)$ konumundaki kabin, dolap saat yönünün tersine $90^\circ$ dönünce hangi konuma gelir? Kabinin merkeze göre yüksekliği kaç metre artar?

Saat yönünün tersi pozitif yöndür; $90^\circ$ için kural $(x, y) \to (-y, x)$ . $K(8, 6)$ için görüntü $K'(-6, 8)$ .

Yükseklik ordinattır: $6$ ‘dan $8$ ‘e çıktı. Artış $8 - 6 = 2$ metre.

Sağlama: kabin merkeze hep aynı uzaklıkta kalmalı. $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ ve $\sqrt{(-6)^2 + 8^2} = 10$ ; dolabın yarıçapı $10$ metre.

Sonuç

Kabin $K'(-6, 8)$ konumuna gelir; yüksekliği $2$ metre artar.

Açı $90^\circ$ ‘nin katı değilse kural trigonometriden gelir. $P$ ‘nin orijine uzaklığı $r$ , $x$ ekseniyle yaptığı açı $\alpha$ olsun: $x = r\cos\alpha$ , $y = r\sin\alpha$ . Nokta $\theta$ kadar dönünce uzaklık aynı kalır, açı $\alpha + \theta$ olur.

Dönme yarıçapı değiştirmez; açıyı

\alpha

'dan

\alpha + \theta

'ya çıkarır.

Toplam formülleriyle açalım. Örneğin $r\cos(\alpha + \theta) = r\cos\alpha\cos\theta - r\sin\alpha\sin\theta$ olur; burada $r\cos\alpha = x$ ve $r\sin\alpha = y$ yazılır. Aynı işlem sinüs için de yapılır:

\begin{aligned} x' &= r\cos(\alpha + \theta) = x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' &= r\sin(\alpha + \theta) = x\sin\theta + y\cos\theta \end{aligned}

Örnek

orta

60° dönme

$A(2,\ 2\sqrt{3})$ noktası orijin etrafında pozitif yönde $60^\circ$ döndürülüyor. Görüntüsünün koordinatlarını bul.

$\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$ ve $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ değerlerini kuralda yerine yaz. Apsis: $x' = 2 \cdot \dfrac{1}{2} - 2\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 1 - 3 = -2$ .

Ordinat: $y' = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + 2\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ .

Kısa yoldan sağla: $A$ ‘nın orijine uzaklığı $\sqrt{4 + 12} = 4$ , $x$ ekseniyle yaptığı açı $60^\circ$ ‘dir ( $\tan\alpha = \sqrt{3}$ ). Dönünce açı $120^\circ$ olur: $(4\cos 120^\circ,\ 4\sin 120^\circ) = (-2,\ 2\sqrt{3})$ .

Sonuç

$A'(-2,\ 2\sqrt{3})$ . Görüntü, $A$ noktasının $y$ eksenine göre simetriğiyle aynı yere düştü; bu bir rastlantı, çünkü $A$ tam $60^\circ$ ‘lik doğrultudaydı.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(3, -4)

noktası orijin etrafında saat yönünde

90^\circ

döndürülürse hangi noktaya gelir?

Açıklama

Saat yönünde $90^\circ$ : $(x, y) \to (y, -x)$ . $(3, -4) \to (-4, -3)$ . Nokta dördüncü bölgeden üçüncü bölgeye geçti; saat yönünde çeyrek tur tam da bunu yapar.

İleri

Bileşkeler ve sınav düzeyi sorular

Dönüşümlerin bileşkesi

Dönüşümleri art arda uygulamaya bileşke denir: birincinin görüntüsü, ikincinin girdisidir. Tek dikkat edilecek şey sıradır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

A(1, 3)

noktası önce

y = x

doğrusuna göre yansıtılıyor, sonra

x

ekseni boyunca pozitif yönde

2

birim öteleniyor. Son nokta hangisidir?

Açıklama

Yansıma: $(1, 3) \to (3, 1)$ . Öteleme: $(3, 1) \to (5, 1)$ . Ters sırada $(1, 3) \to (3, 3) \to (3, 3)$ çıkardı.

İki yansımanın bileşkesi şaşırtıcı biçimde yansıma değildir. Motif iki kez “çevrilince” düz hâline döner; geriye yalnızca bir kayma ya da bir dönme kalır.

Sahnede motif art arda iki aynadan yansıyor; ara görüntü soluk, son görüntü belirgin. “Paralel aynalar” kipinde aynalar arası uzaklığı değiştir: son görüntü hep bu uzaklığın iki katı kadar kaymış. “Kesişen aynalar” kipinde açıyı değiştir: son görüntü, açının iki katı kadar dönmüş. “Sırayı değiştir” düğmesi yönü tersine çeviriyor.

Örnek

zor

Çini bordüründe iki ayna

Bir çini bordüründe motifler, koordinat düzlemine yerleştirilen taslakta art arda yansıtılarak çoğaltılıyor. Motifin $P(-1, 4)$ köşesi önce $x = 2$ doğrusuna, sonra $x = 7$ doğrusuna göre yansıtılıyor. Son görüntünün koordinatlarını bul. Bu iki adım hangi tek dönüşüme denktir? Aynalar ters sırada kullanılsaydı ne değişirdi?

Birinci ayna: $x = 2$ doğrusuna göre simetride apsis $2 \cdot 2 - x$ olur, ordinat değişmez. $P(-1, 4) \to P_1(5, 4)$ .

İkinci ayna: $x = 7$ için apsis $2 \cdot 7 - 5 = 9$ . $P_1(5, 4) \to P_2(9, 4)$ .

Tek köşeyle yetinme, genel noktaya bak ki kural görünsün: $x \to 4 - x \to 14 - (4 - x) = x + 10$ . Her nokta $10$ birim sağa kayıyor; bu bir ötelemedir ve $10 = 2 \cdot (7 - 2)$ .

Ters sırada: $x \to 14 - x \to 4 - (14 - x) = x - 10$ . Kayma yine $10$ birim ama sola. Kayma hep birinci aynadan ikinciye doğrudur.

Sonuç

$P_2(9, 4)$ . İki yansıma, $x$ ekseni boyunca pozitif yönde $10$ birimlik ötelemeye denktir; sıra değişirse öteleme negatif yönde olur.

Aralarında

5

birim olan iki paralel aynadan yansıma: toplam kayma

10

birim.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir nokta önce

x

eksenine, sonra

y = x

doğrusuna göre yansıtılıyor. Bu bileşke hangi tek dönüşüme denktir?

Açıklama

$(x, y) \to (x, -y) \to (-y, x)$ . Bu, pozitif yönde $90^\circ$ dönme kuralıdır. Aynalar orijinde kesişir ve aralarındaki açı $45^\circ$ ‘dir: $2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$ .

Bileşkede yerinde kalan nokta

Sınavda sevilen bir kalıp: bir noktaya birkaç dönüşüm uygulanır ve nokta başladığı yere döner. Çözüm hep aynıdır: noktaya $(a, b)$ de, dönüşümleri sırayla uygula, sonucu $(a, b)$ ‘ye eşitle.

Örnek

zor

Başladığı yere dönen nokta

$P(a, b)$ noktasının $M(1, 2)$ noktasına göre simetriği alınıyor; elde edilen nokta orijin etrafında saat yönünde $90^\circ$ döndürülünce yine $P$ noktası elde ediliyor. $a \cdot b$ kaçtır?

Birinci dönüşüm: $M(1, 2)$ noktasına göre simetri $(2 \cdot 1 - a,\ 2 \cdot 2 - b) = (2 - a,\ 4 - b)$ verir.

İkinci dönüşüm saat yönündedir; kural $(x, y) \to (y, -x)$ . Burada $x = 2 - a$ , $y = 4 - b$ olduğundan görüntü $(4 - b,\ a - 2)$ olur.

Bu nokta $P(a, b)$ ile aynıdır: $4 - b = a$ ve $a - 2 = b$ . Yani $a + b = 4$ ve $a - b = 2$ ; taraf tarafa toplayınca $a = 3$ , sonra $b = 1$ .

Sağlama: $P(3, 1) \to (-1, 3) \to (3, 1)$ . Nokta gerçekten yerine döndü.

Sonuç

$a \cdot b = 3$

Merkezi orijin olmayan dönme

Dönme kuralları orijin içindir. Merkez başka bir noktaysa bileşke kur: merkezi orijine taşıyan ötelemeyi yap, döndür, ötelemeyi geri al.

Örnek

zor

Bir nokta etrafında 90° dönme

$A(5, 3)$ noktası $M(2, 1)$ noktası etrafında pozitif yönde $90^\circ$ döndürülüyor. Görüntüsünün koordinatlarını bul.

$M$ ‘yi orijine taşı: her noktadan $(2, 1)$ çıkar. $A$ ‘nın $M$ ‘ye göre konumu $(5 - 2,\ 3 - 1) = (3, 2)$ olur.

Artık merkez orijin; $90^\circ$ kuralı $(x, y) \to (-y, x)$ uygulanır: $(3, 2) \to (-2, 3)$ .

Ötelemeyi geri al: $(2, 1)$ ekle. $(-2 + 2,\ 3 + 1) = (0, 4)$ .

Sağlama: $|MA| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$ ve $|MA'| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ ; uzaklık korundu. $[MA]$ ve $[MA']$ eğimleri $\dfrac{2}{3}$ ve $-\dfrac{3}{2}$ ; çarpımları $-1$ , açı $90^\circ$ .

Sonuç

$A'(0, 4)$

Yansıma ile en kısa yol

Bir noktadan çıkıp bir doğruya uğrayarak başka bir noktaya gidilecekse en kısa yolu yansıma bulur. Fikir: noktalardan birini doğruya göre yansıt; kırık yol, aynı uzunlukta düz bir yola dönüşür.

Sahnede $A(1, 3)$ ve $B(7, 5)$ noktaları ile $x$ ekseni üzerinde sürükleyebildiğin $C$ noktası var. $C$ ‘yi gezdir ve yol uzunluğu göstergesini izle. “Yansımayı göster” düğmesine bas: $|AC| = |A'C|$ olduğundan yol, $A'$ – $C$ – $B$ kırık çizgisiyle aynı uzunlukta. Bu çizgi ancak düzleştiğinde en kısa olur.

Örnek

zor

Dereden su alıp kampa dönmek

Bir haritada dere $x$ ekseni boyunca akıyor; birim $100$ metredir. $A(1, 3)$ noktasındaki bir izci dereden su alıp $B(7, 5)$ noktasındaki kampa gidecek. İzcinin yürüyeceği en kısa yol kaç birimdir ve suyu hangi noktadan almalıdır?

Su alınan nokta $C$ olsun. $A$ ‘yı dereye göre yansıt: $A'(1, -3)$ . Dere, $[AA']$ ‘nün orta dikmesi olduğundan dere üzerindeki her $C$ için $|AC| = |A'C|$ ‘dir.

Öyleyse yol $|AC| + |CB| = |A'C| + |CB|$ . $A'$ ile $B$ derenin farklı yanlarındadır; aralarındaki en kısa yol düz doğru parçasıdır ve dereyi mutlaka keser.

En kısa yol: $|A'B| = \sqrt{(7 - 1)^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ birim.

$C$ , $A'B$ doğrusunun $x$ eksenini kestiği noktadır. Eğim $\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$ ; $A'$ ‘nden $3$ birim yükselmek için $3 \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{4}$ birim sağa gidilir: $x = 1 + \dfrac{9}{4} = \dfrac{13}{4}$ .

Sonuç

En kısa yol $10$ birimdir ( $1$ kilometre); su $C\left(\dfrac{13}{4}, 0\right)$ noktasından alınmalıdır.

Kırık yol

A

–

C

–

B

, düz

A'B

parçasıyla aynı uzunluktadır; başka her uğrak noktası yolu uzatır.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Öteleme: $(x, y) \to (x + a,\ y + b)$ . Her nokta aynı miktarda kayar.
Eksenler ve orijin: $x$ eksenine göre $(x, -y)$ ; $y$ eksenine göre $(-x, y)$ ; orijine göre $(-x, -y)$ .
Köşegen doğrular: $y = x$ doğrusuna göre $(y, x)$ ; $y = -x$ doğrusuna göre $(-y, -x)$ .
Noktaya göre: $M(a, b)$ orta noktadır, $(2a - x,\ 2b - y)$ . Paralel aynalar: $x = a$ için $(2a - x,\ y)$ ; $y = b$ için $(x,\ 2b - y)$ .
Herhangi bir doğruya göre: dikme indir, ayağı bul, ayağı orta nokta al. Ayna üzerindeki her nokta, noktaya ve görüntüsüne eşit uzaklıktadır.
Doğrunun noktaya göre simetriği: $x \to 2p - x$ , $y \to 2q - y$ yaz; sonuç paralel bir doğrudur.
Dönme (orijin, pozitif yön): $90^\circ$ : $(-y, x)$ ; $180^\circ$ : $(-x, -y)$ ; $270^\circ$ : $(y, -x)$ ; genel: $(x\cos\theta - y\sin\theta,\ x\sin\theta + y\cos\theta)$ . Saat yönü negatif açıdır.
Bileşke: sırayla uygula; sıra sonucu değiştirir. İki paralel ayna öteleme, iki kesişen ayna dönme verir.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

9 çıkmış soru6 özgün soru

2026 AYTSoru 38

Orta

Eksenlere paralel doğrulara göre simetri

$a$ , $b$ ve $c$ pozitif gerçel sayılardır. Dik koordinat düzleminde şekildeki $ABCD$ dikdörtgeninde $A(a, 5)$ köşesinin $x = b$ doğrusuna göre simetriği $B$ köşesidir; $B$ köşesinin $y = 6$ doğrusuna göre simetriği de $C(13, c)$ köşesidir.

$ABCD$ dikdörtgeninin çevresi $20$ birim olduğuna göre $a + b + c$ toplamı kaçtır?

İpucu

Düşey bir doğruya göre simetri ordinatı, yatay bir doğruya göre simetri apsisi değiştirmez. Önce $c$ 'yi, sonra kenar uzunluklarını bul.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 37)

Çözüm

1. $B$ köşesi. $x = b$ düşey bir doğrudur; simetride ordinat değişmez, apsis $2b - a$ olur: $B(2b - a,\ 5)$ .

2. $C$ köşesi. $y = 6$ yatay bir doğrudur; apsis değişmez, ordinat $2 \cdot 6 - 5 = 7$ olur: $C(2b - a,\ 7)$ . Verilen $C(13, c)$ ile karşılaştır:

$c = 7 \qquad 2b - a = 13$

3. Kenarlar ve çevre. $|BC| = 7 - 5 = 2$ ve $|AB| = (2b - a) - a = 13 - a$ .

$2 \cdot (13 - a + 2) = 20 \quad\Rightarrow\quad 15 - a = 10 \quad\Rightarrow\quad a = 5$

4. $b$ . $2b - 5 = 13$ , $b = 9$ .

$a + b + c = 5 + 9 + 7 = 21$

Sağlama: $A(5, 5)$ , $B(13, 5)$ , $C(13, 7)$ ; kenarlar $8$ ve $2$ , çevre $20$ . Tuzak: şekil ölçekli değildir; kenarların oranını şekilden kestirme.

Cevap: E

2025 AYTSoru 38

Kolay

Öteleme

Dik koordinat düzleminde bir $A$ noktası $x$ ekseni boyunca negatif yönde $15$ birim ötelenince elde edilen nokta $d: 4x - 3y + 24 = 0$ doğrusunun üzerinde bulunuyor.

Buna göre $A$ noktası $y$ ekseni boyunca pozitif yönde kaç birim ötelenirse elde edilen nokta $d$ doğrusunun üzerinde olur?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 36)

Çözüm

1. Birinci öteleme. $A(p, q)$ olsun. $15$ birim sola ötelenince $(p - 15,\ q)$ elde edilir; bu nokta $d$ üzerindedir:

$4(p - 15) - 3q + 24 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4p - 3q = 36$

2. İkinci öteleme. $A$ noktası $k$ birim yukarı ötelenince $(p,\ q + k)$ olur. Bu nokta da $d$ üzerinde olmalı:

$4p - 3(q + k) + 24 = 0 \quad\Rightarrow\quad (4p - 3q) - 3k + 24 = 0$

$4p - 3q = 36$ yazılır: $36 - 3k + 24 = 0$ , $k = 20$ .

Kısa yol. $d$ doğrusunun eğimi $\dfrac{4}{3}$ 'tür. $A$ 'dan doğruya yatay gidince $15$ birim, düşey gidince $k$ birim yol alınıyor; bu iki parça, hipotenüsü doğru üzerinde olan dik üçgenin dik kenarlarıdır: $\dfrac{k}{15} = \dfrac{4}{3}$ , $k = 20$ .

Tuzak: $A$ 'nın koordinatlarını tek tek bulmaya çalışmak. Bulunamaz, gerek de yoktur; $4p - 3q$ ifadesi bir bütün olarak yeter.

Cevap: D

2024 AYTSoru 38

Orta

Noktaya ve eksene göre simetri

Dik koordinat düzleminde $A(a, b)$ noktasının $B(3, 0)$ noktasına göre simetriği $C$ , $y$ eksenine göre simetriği $D$ noktasıdır.

$C$ ve $D$ noktalarından geçen doğrunun denklemi $y = -x - 1$ olduğuna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

İpucu

$C$ ve $D$ noktalarını $a$ ve $b$ cinsinden yaz. Bir nokta doğrunun üzerindeyse koordinatları denklemi sağlar.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 36)

Çözüm

1. Görüntüleri yaz. Noktaya göre simetride $B$ orta noktadır: $C(2 \cdot 3 - a,\ 2 \cdot 0 - b) = C(6 - a,\ -b)$ . $y$ eksenine göre simetride apsis işaret değiştirir: $D(-a,\ b)$ .

2. $C$ doğrunun üzerinde. $y = -x - 1$ denkleminde yerine yaz:

$-b = -(6 - a) - 1 \quad\Rightarrow\quad -b = a - 7 \quad\Rightarrow\quad a + b = 7$

İstenen toplam bulundu.

3. Sağlama için $D$ 'yi de kullan. $b = -(-a) - 1 = a - 1$ . $a + b = 7$ ile birlikte $a = 4$ , $b = 3$ . O zaman $C(2, -3)$ ve $D(-4, 3)$ ; ikisi de $y = -x - 1$ denklemini sağlar.

Tuzak: noktaya göre simetride $C(3 - a,\ -b)$ yazmak. Merkez orta noktadır; koordinat $2 \cdot 3 - a$ olur.

Cevap: A

2023 AYTSoru 39

Orta

Dönme (bağlamlı)

İkizkenar üçgen biçimindeki bir "Dikkat Köpek Var!" levhasının mavi ve kırmızı kenarları eşit uzunluktadır. Levha, bir köşesindeki çiviyle dikdörtgen biçimindeki bahçe duvarına şekildeki gibi asılmıştır ve çivinin etrafında dönebilmektedir.

Levha şekildeki konumundan başlayarak

saat yönünde $75^\circ$ döndürülürse siyah kenarı,
saat yönünün tersine $40^\circ$ döndürülürse mavi kenarı,
saat yönünde $x^\circ$ döndürülürse kırmızı kenarı

ilk kez duvarın üst kenarına paralel duruma gelmektedir.

Buna göre $x$ kaçtır?

İpucu

Levha dönünce her kenarı aynı açı kadar döner. Öyleyse bir kenarı yatay yapan en küçük dönme açısı, o kenarın şu anda yatayla yaptığı açıdır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. Verileri açıya çevir. Levha bir açı kadar dönerse her kenarı da o kadar döner. Siyah kenar $75^\circ$ 'lik dönmeyle yataya geliyorsa şu anda yatayla $75^\circ$ açı yapıyordur. Mavi kenar ters yönde $40^\circ$ 'lik dönmeyle yataya geldiğine göre yatayla öbür yandan $40^\circ$ açı yapar.

2. Çivideki açı. Siyah ve mavi kenarlar çivide birleşir ve çividen aşağı doğru iner; yatay doğrunun altındaki $180^\circ$ 'lik açıyı üçe bölerler:

$180^\circ - 75^\circ - 40^\circ = 65^\circ$

Siyah ile mavi kenar arasındaki açı $65^\circ$ 'dir.

3. İkizkenarlık. Mavi ve kırmızı kenarlar eşit olduğundan bu kenarların karşısındaki açılar eşittir. Mavi kenarın karşısındaki açı, siyah ile kırmızı kenar arasındaki açıdır; kırmızı kenarın karşısındaki açı çivideki $65^\circ$ 'dir. Öyleyse siyah ile kırmızı kenar arasındaki açı da $65^\circ$ 'dir.

4. Kırmızı kenarın eğikliği. Siyah kenar yatayla $75^\circ$ , kırmızı kenar siyah kenarla $65^\circ$ açı yapıyor. Kırmızı kenarın yatayla yaptığı açı $75^\circ - 65^\circ = 10^\circ$ 'dir ve saat yönünde $10^\circ$ 'lik dönme onu yatay yapar.

$x = 10$

Tuzak: tepe açısını ( $50^\circ$ ) çividen sanmak. Eşit kenarlar mavi ile kırmızıdır; çivi bu ikisinin değil, siyah ile mavinin birleştiği köşededir.

Cevap: B

2022 AYTSoru 38

Orta

Simetri ve ötelemenin bileşkesi

Dik koordinat düzleminde bir kenarı $x$ ekseninin üzerinde olan $ABC$ eşkenar üçgeni çizilmiştir. Üçgenin köşelerinin önce $y$ eksenine göre simetrikleri alınıyor, sonra bu noktalar $x$ ekseni boyunca pozitif yönde $9$ birim öteleniyor. Elde edilen üç nokta, bir köşesi orijinde olan bir üçgenin köşeleridir.

İki üçgenin ortak bölgesi (şekilde boyalı), bir kenarı $1$ birim olan bir eşkenar üçgendir.

Buna göre $ABC$ üçgeninin çevresi kaç birimdir?

İpucu

İki dönüşümün bileşkesini tek kural olarak yaz: $(x, y) \to (9 - x,\ y)$ . Sonra hangi köşenin orijine gittiğini bul; tabanların $x$ ekseni üzerinde ne kadar üst üste bindiğine bak.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 36)

Çözüm

1. Bileşkeyi yaz. $y$ eksenine göre simetri $(x, y) \to (-x, y)$ , ardından $9$ birim sağa öteleme $(-x, y) \to (9 - x,\ y)$ verir.

2. Köşeleri adlandır. Kenar uzunluğu $s$ , $A(p, 0)$ ve $B(p + s, 0)$ olsun ( $p > 0$ ). Görüntüler: $A \to (9 - p,\ 0)$ ve $B \to (9 - p - s,\ 0)$ . $C$ 'nin ordinatı değişmediğinden görüntüsü eksenin üstünde kalır. Şekilde yeni üçgen orijinin sağında durur; orijindeki köşe tabanın sol ucu, yani daha solda kalan $B$ görüntüsüdür:

$9 - p - s = 0 \quad\Rightarrow\quad p + s = 9$

Yani $B(9, 0)$ ve $A(9 - s,\ 0)$ .

3. Tabanları karşılaştır. İlk üçgenin tabanı $x$ ekseninde $[9 - s,\ 9]$ aralığı, yeni üçgenin tabanı $[0,\ s]$ aralığıdır. İkisi de eşkenar olduğundan ortak bölge, tabanların ortak parçası üzerine kurulu eşkenar üçgendir. Ortak parça $[9 - s,\ s]$ aralığıdır:

$s - (9 - s) = 1 \quad\Rightarrow\quad s = 5$

4. Çevre. $3 \cdot 5 = 15$ birim.

Sağlama: $A(4, 0)$ , $B(9, 0)$ ; yeni taban $[0, 5]$ ; ortak parça $[4, 5]$ , uzunluğu $1$ . Tuzak: şekil ölçekli değildir; oranı şekilden okumaya çalışma.

Cevap: C

2021 AYTSoru 38

Orta

Doğruya göre simetri

Dik koordinat düzleminde $(4, 4)$ noktasının, $(1, 0)$ noktasından geçen bir doğruya göre simetriği $(a, 0)$ noktasıdır.

Buna göre $a$ sayısının alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

İpucu

Doğrunun denklemini aramana gerek yok. Simetri doğrusunun üzerindeki bir nokta, simetrik iki noktaya göre nasıl konumlanır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 36)

Çözüm

1. Özelliği hatırla. Simetri doğrusu, nokta ile görüntüsünü birleştiren parçanın orta dikmesidir. Bu yüzden doğrunun üzerindeki her nokta, noktaya ve görüntüsüne eşit uzaklıktadır.

2. Uygula. $(1, 0)$ doğrunun üzerindedir. $(4, 4)$ noktasına uzaklığı

$\sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 0)^2} = 5$

birimdir; $(a, 0)$ noktasına uzaklığı da $5$ olmalıdır: $|a - 1| = 5$ .

3. Çöz. $a = 6$ ya da $a = -4$ . İki durumda da $(4, 4)$ ile $(a, 0)$ farklı noktalardır ve orta dikmeleri $(1, 0)$ 'dan geçer; ikisi de geçerlidir.

$6 \cdot (-4) = -24$

Tuzak: yalnızca $a = 6$ değerini görmek. Mutlak değerli denklem iki kök verir; soru zaten "değerlerin çarpımı" diyor.

Cevap: A

2020 AYTSoru 39

Kolay

Öteleme

Dik koordinat düzleminde $A(2, 7)$ ve $B(-1, 4)$ noktaları $x$ ekseni boyunca pozitif yönde $3$ birim öteleniyor; $A$ 'nın görüntüsü $D$ , $B$ 'nin görüntüsü $C$ noktasıdır.

Buna göre köşeleri $A$ , $B$ , $C$ ve $D$ olan dörtgenin alanı kaç birimkaredir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. Görüntüleri bul. $x$ ekseni boyunca pozitif yönde $3$ birim öteleme apsise $3$ ekler: $D(5, 7)$ ve $C(2, 4)$ .

2. Dörtgeni tanı. $[AD]$ ve $[BC]$ kenarlarının ikisi de yataydır ve uzunlukları $3$ birimdir (öteleme miktarı). Karşılıklı iki kenarı paralel ve eşit olan $ABCD$ bir paralelkenardır.

3. Alan. Taban $|BC| = 3$ ; yükseklik, iki yatay kenar arasındaki düşey uzaklıktır: $7 - 4 = 3$ .

$\text{Alan} = 3 \cdot 3 = 9$

Tuzak: şekil eğik durduğu için kenar uzunluğu $|AB| = 3\sqrt{2}$ ile çarpmaya kalkmak. Paralelkenarda alan, taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımıdır.

Cevap: A

2019 AYTSoru 39

Orta

Dönme ve ötelemenin bileşkesi

Dik koordinat düzleminde $P(a, b)$ noktası önce orijin etrafında saat yönünün tersine $90^\circ$ döndürülüyor. Elde edilen nokta $x$ ekseni boyunca pozitif yönde $3$ birim, $y$ ekseni boyunca pozitif yönde $1$ birim ötelenince yeniden $P(a, b)$ noktasına ulaşılıyor.

Buna göre $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

İpucu

Dönüşümleri sırayla $(a, b)$ üzerinde uygula ve çıkan noktayı yine $(a, b)$ 'ye eşitle; iki denklem elde edersin.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. Dönme. Saat yönünün tersine $90^\circ$ dönme kuralı $(x, y) \to (-y, x)$ 'tir: $P(a, b) \to (-b, a)$ .

2. Öteleme. Apsise $3$ , ordinata $1$ eklenir: $(-b + 3,\ a + 1)$ .

3. Başlangıç noktasına eşitle.

$-b + 3 = a \qquad a + 1 = b$

İkinciyi birincide yerine yaz: $-(a + 1) + 3 = a$ , buradan $2a = 2$ , $a = 1$ ve $b = 2$ .

$a \cdot b = 2$

Sağlama: $(1, 2) \to (-2, 1) \to (1, 2)$ . Tuzak: dönme yönünü ters alıp $(b, -a)$ yazmak; o zaman $a = 2$ , $b = -1$ çıkar ve çarpım seçeneklerde bulunmaz.

Cevap: C

2018 AYTSoru 35

Orta

Dönme ve yansımanın bileşkesi

Dik koordinat düzleminde köşeleri

$A(-1, -1),\quad B(1, -1),\quad C(1, 1),\quad D(-1, 1)$

noktaları olan $ABCD$ karesi şekilde gösterilmiştir. Bu kareye sırasıyla şu üç dönüşüm uygulanıyor:

orijin etrafında saat yönünün tersine $45^\circ$ dönme,
$y$ eksenine göre yansıma,
orijin etrafında saat yönünde $45^\circ$ dönme.

Üç dönüşümün sonunda karenin hangi köşelerinin koordinatları başlangıçtakiyle aynıdır?

İpucu

Köşelerin hepsi orijine $\sqrt{2}$ uzaklıkta. Koordinat hesabı yerine her köşenin orijinden hangi yönde durduğunu izle: ilk dönmeden sonra köşeler eksenlerin üzerine gelir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

1. İlk dönme. Köşeler orijine $\sqrt{2}$ birim uzaklıktadır ve köşegenler üzerindedir. Saat yönünün tersine $45^\circ$ dönünce hepsi eksenlerin üzerine gelir:

$A \to (0, -\sqrt{2}),\quad B \to (\sqrt{2}, 0),\quad C \to (0, \sqrt{2}),\quad D \to (-\sqrt{2}, 0)$

2. $y$ eksenine göre yansıma. $A$ ve $C$ 'nin görüntüleri $y$ ekseninin üzerinde olduğundan yerlerinde kalır. $B$ 'nin görüntüsü $(-\sqrt{2}, 0)$ 'a, $D$ 'nin görüntüsü $(\sqrt{2}, 0)$ 'a geçer.

3. Geri dönme. Saat yönünde $45^\circ$ dönme, birinci adımı $A$ ve $C$ için tam olarak geri alır: $A \to (-1, -1)$ , $C \to (1, 1)$ . $B$ 'nin görüntüsü $(-1, 1)$ 'e, $D$ 'nin görüntüsü $(1, -1)$ 'e gider; bu ikisi yer değiştirmiştir.

Koordinatları değişmeyen köşeler $A$ ve $C$ 'dir.

Bakış açısı: "döndür, yansıt, geri döndür" bileşkesi, aynanın kendisini $45^\circ$ döndürmekle aynıdır. $y$ ekseni saat yönünde $45^\circ$ dönünce $y = x$ doğrusu olur; bileşke $(x, y) \to (y, x)$ dönüşümüdür ve yalnızca $y = x$ üzerindeki köşeler ( $A$ ve $C$ ) yerinde kalır.

Cevap: B

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

y = x doğrusuna ve orijine göre simetri

Dik koordinat düzleminde $A(3, -2)$ noktasının $y = x$ doğrusuna göre simetriği $B$ , $B$ noktasının orijine göre simetriği $C$ noktasıdır.

Buna göre $|AC|$ kaç birimdir?

Çözüm

1. $y = x$ doğrusuna göre simetride koordinatlar yer değiştirir: $B(-2, 3)$ .

2. Orijine göre simetride iki koordinat da işaret değiştirir: $C(2, -3)$ .

3. İki nokta arasındaki uzaklık:

$|AC| = \sqrt{(3 - 2)^2 + (-2 - (-3))^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Çeldiriciler: $5\sqrt{2}$ , $|AB|$ uzunluğudur (ikinci simetri unutulmuş). $\sqrt{26}$ , ikinci adımda orijin yerine $x$ eksenine göre simetri alınınca çıkar.

Cevap: B

Özgün soru2

Orta

Doğrunun noktaya göre simetriği

Dik koordinat düzleminde $d: 3x - 4y + 6 = 0$ doğrusunun $A(1, -2)$ noktasına göre simetriği $d'$ doğrusudur.

Buna göre $d'$ doğrusunun $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

İpucu

$d'$ üzerindeki bir $(x, y)$ noktasının $A$ 'ya göre simetriği $d$ üzerinde olmalıdır. Denklemde $x$ ve $y$ yerine ne yazman gerektiğini buradan çıkar.

Çözüm

1. Yerine yazma. $A(1, -2)$ noktasına göre simetride $(x, y) \to (2 - x,\ -4 - y)$ . $d$ denkleminde $x$ yerine $2 - x$ , $y$ yerine $-4 - y$ yazılır:

$3(2 - x) - 4(-4 - y) + 6 = 0$

2. Düzenle. $6 - 3x + 16 + 4y + 6 = 0$ , yani $-3x + 4y + 28 = 0$ . Buna göre $d': 3x - 4y - 28 = 0$ .

3. $y$ eksenini kestiği nokta. $x = 0$ için $-4y = 28$ , $y = -7$ .

Sağlama: $d$ üzerindeki $(2, 3)$ noktasının $A$ 'ya göre simetriği $(0, -7)$ 'dir; bu nokta $d'$ üzerindedir ve aradığımız noktanın kendisidir.

Tuzak: $d$ 'nin $y$ eksenini kestiği $\left(0, \dfrac{3}{2}\right)$ noktasının simetriğini alıp ordinatını ( $-\dfrac{11}{2}$ ) cevap sanmak. O noktanın simetriği $\left(2, -\dfrac{11}{2}\right)$ 'dir ve $y$ ekseninin üzerinde değildir.

Cevap: A

Özgün soru3

Orta

Doğruya göre simetri

Dik koordinat düzleminde $A(5, 4)$ noktasının $y = 2x - 1$ doğrusuna göre simetriği $A'$ noktasıdır.

Buna göre $A'$ noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

İpucu

$A$ 'dan doğruya dikme indir. Dikme ayağı, $A$ ile $A'$ noktalarının orta noktasıdır.

Çözüm

1. Dikme. Doğrunun eğimi $2$ olduğundan dikmenin eğimi $-\dfrac{1}{2}$ 'dir. $A(5, 4)$ noktasından geçen dikme: $y - 4 = -\dfrac{1}{2}(x - 5)$ , yani $x + 2y = 13$ .

2. Dikme ayağı. $y = 2x - 1$ yerine yazılır: $x + 2(2x - 1) = 13$ , $5x = 15$ , $x = 3$ ve $y = 5$ . $H(3, 5)$ .

3. Simetrik nokta. $H$ orta noktadır: $A' = (2 \cdot 3 - 5,\ 2 \cdot 5 - 4) = (1, 6)$ .

$1 + 6 = 7$

Sağlama: $2x - y - 1$ ifadesi $A$ için $10 - 4 - 1 = 5$ , $A'$ için $2 - 6 - 1 = -5$ değerini alır; noktalar doğruya eşit uzaklıkta ve farklı yanlardadır.

Tuzak: dikme ayağı $H(3, 5)$ 'te durup $3 + 5 = 8$ demek. $H$ simetrik nokta değil, yolun yarısıdır.

Cevap: C

Özgün soru4

Orta

Merkezi orijin olmayan dönme

Dik koordinat düzleminde $A(4, -1)$ noktası $B(1, 2)$ noktası etrafında saat yönünde $90^\circ$ döndürülüyor.

Buna göre elde edilen nokta aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

Dönme kuralları orijin içindir. Önce $B$ 'yi orijine taşıyan ötelemeyi uygula, döndür, sonra ötelemeyi geri al.

Çözüm

1. Merkezi orijine taşı. Her noktadan $(1, 2)$ çıkarılır: $A$ 'nın $B$ 'ye göre konumu $(4 - 1,\ -1 - 2) = (3, -3)$ .

2. Döndür. Saat yönünde $90^\circ$ dönme kuralı $(x, y) \to (y, -x)$ 'tir: $(3, -3) \to (-3, -3)$ .

3. Ötelemeyi geri al. $(1, 2)$ eklenir: $(-3 + 1,\ -3 + 2) = (-2, -1)$ .

Sağlama: $|BA| = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$ ve $|BA'| = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$ . $[BA]$ eğimi $-1$ , $[BA']$ eğimi $1$ ; çarpımları $-1$ , yani açı $90^\circ$ .

Çeldiriciler: $(-3, -3)$ üçüncü adımın unutulmuş hâlidir. $(-1, -4)$ , merkez orijin sanılınca; $(4, 5)$ , dönme saat yönünün tersine yapılınca çıkar.

Cevap: A

Özgün soru5

Zor

Yansıma ile en kısa yol

Bir odanın kat planı dik koordinat düzlemine yerleştirilmiştir: iki duvar $y$ ekseni ve $x$ ekseni boyunca uzanır. $A(2, 3)$ noktasındaki robot süpürge önce $y$ ekseni üzerindeki duvara, sonra $x$ ekseni üzerindeki duvara dokunup $B(6, 3)$ noktasındaki şarj istasyonuna gidecektir.

Buna göre robotun izleyebileceği en kısa yol kaç birimdir?

İpucu

Bir duvara dokunup dönen yolun uzunluğu, noktalardan biri o duvara göre yansıtılınca değişmez. Burada iki duvar var; iki ucu ayrı ayrı yansıtmayı dene.

Çözüm

Robot $y$ ekseninde $P$ , $x$ ekseninde $Q$ noktasına dokunsun. Yol $|AP| + |PQ| + |QB|$ 'dir.

1. $A$ 'yı birinci duvara göre yansıt. $A'(-2, 3)$ . $P$ noktası $y$ ekseninde olduğundan $|AP| = |A'P|$ .

2. $B$ 'yi ikinci duvara göre yansıt. $B'(6, -3)$ . $Q$ noktası $x$ ekseninde olduğundan $|QB| = |QB'|$ .

3. Yolu düzleştir. Yol $|A'P| + |PQ| + |QB'|$ olur; bu, $A'$ ile $B'$ arasındaki bir kırık çizgidir ve en kısa hâli düz doğru parçasıdır:

$|A'B'| = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$

4. Bu yol gerçekten izlenebilir mi? $A'B'$ doğrusunun eğimi $-\dfrac{3}{4}$ 'tür. $y$ eksenini $\left(0, \dfrac{3}{2}\right)$ noktasında, $x$ eksenini $(2, 0)$ noktasında keser; ikisi de duvarların üzerindedir ve sıra doğrudur (önce $y$ ekseni). Parçalar: $\dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2} + 5 = 10$ .

Çeldiriciler: yalnızca $A$ yansıtılırsa $|A'B| = 8$ , yalnızca $B$ yansıtılırsa $|AB'| = 2\sqrt{13}$ bulunur; ikisi de tek duvara dokunan yolların uzunluğudur.

Cevap: D

Özgün soru6

Orta

Dönme ve ötelemenin bileşkesi

Dik koordinat düzleminde $y = 2x$ doğrusu üzerindeki bir $A$ noktası orijin etrafında saat yönünün tersine $90^\circ$ döndürülünce $B$ noktası elde ediliyor. $B$ noktası $x$ ekseni boyunca pozitif yönde $5$ birim ötelenince elde edilen $C$ noktası yine $y = 2x$ doğrusunun üzerindedir.

Buna göre $A$ noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

İpucu

Doğru üzerindeki noktayı tek harfle yaz: $A(t, 2t)$ . Dönüşümleri sırayla uygula ve son noktanın doğru denklemini sağlamasını iste.

Çözüm

1. Noktayı parametreyle yaz. $A$ noktası $y = 2x$ üzerinde olduğundan $A(t,\ 2t)$ .

2. Dönme. Saat yönünün tersine $90^\circ$ : $(x, y) \to (-y, x)$ . $B(-2t,\ t)$ .

3. Öteleme. Apsise $5$ eklenir: $C(5 - 2t,\ t)$ .

4. $C$ doğrunun üzerinde. $t = 2(5 - 2t)$ , buradan $5t = 10$ , $t = 2$ . $A(2, 4)$ .

$2 + 4 = 6$

Sağlama: $B(-4, 2)$ , $C(1, 2)$ ve $2 = 2 \cdot 1$ .

Çeldiriciler: dönme saat yönünde alınırsa $B(2t, -t)$ , $t = -2$ ve toplam $-6$ çıkar. Öteleme dönmeden önce yapılırsa $t = -1$ ve toplam $-3$ bulunur.

Cevap: C

Dönüşüm ne demek?

Öteleme

Bir noktayı öteleme

Ötelemeyi bir noktadan öğrenip başka noktaya uygulama

Eksenlere ve orijine göre simetri

Simetrik iki noktadan bilinmeyen bulma

y=xy = xy=x doğrusuna göre simetri

Art arda iki simetri

Noktaya göre simetri

Simetri merkezini ve bilinmeyeni bulma

x=ax = ax=a ve y=by = by=b doğrularına göre simetri

Herhangi bir doğruya göre simetri

Eğik bir doğruya göre simetri

Doğrunun noktaya göre simetriği

Doğrunun bir noktaya göre simetriği

Dönme

Dönme dolapta kabin

60° dönme

Dönüşümlerin bileşkesi

Çini bordüründe iki ayna

Bileşkede yerinde kalan nokta

Başladığı yere dönen nokta

Merkezi orijin olmayan dönme

Bir nokta etrafında 90° dönme

Yansıma ile en kısa yol

Dereden su alıp kampa dönmek

Özgün sorular

$y = x$ doğrusuna göre simetri

$x = a$ ve $y = b$ doğrularına göre simetri