42Konu 42 / 49
Geometri

Özel Dörtgenler

Yamuk, paralelkenar, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, kare ve deltoidi tek bir aile ağacında topluyoruz; her birinin açı, kenar, köşegen ve alan özelliklerini nedenleriyle kurup çerçeve, katlama ve tangram sorularına taşıyoruz.

10. sınıf
AYT sıklığı
70 dk

LevhaÖzel DörtgenlerÖzel Dörtgenler

Dört eş çıtayı uçlarından birer çiviyle tutturup kenarı $10$ cm olan kare bir çerçeve yaptın. Köşesinden hafifçe itince çerçeve yana yattı. Çıtaların boyu aynı, çevre hâlâ $40$ cm; ama çerçevenin içinde kalan alan küçüldü. Çevre değişmeden alan nasıl değişir ve çerçeve artık hangi dörtgendir?

Kenarlar aynı kaldı, yükseklik

10

'dan

8

'e indi: alan

100

'den

80

'e düştü.

Isınma

Başlamadan: dörtgen, üçgenin alanı ve dik üçgen

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir dörtgenin üç iç açısının ölçüleri

80^\circ

100^\circ

110^\circ

ise dördüncü iç açısı kaç derecedir?

Açıklama

Bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırır; iç açılar toplamı $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$ olur. $360 - (80 + 100 + 110) = 70$ . Ayrıntısı Çokgenler ve Dörtgenler sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Tabanı

10

cm, bu tabana ait yüksekliği

6

cm olan üçgenin alanı kaç

\text{cm}^2

dir?

Açıklama

Üçgenin alanı taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır: $\dfrac{10 \cdot 6}{2} = 30$ . Bu sayfadaki bütün alan formülleri bu tek bilgiden çıkacak. Ayrıntısı Üçgenin Alanı sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Dik kenarları

6

8

birim olan dik üçgende hipotenüse ait yükseklik kaç birimdir?

Açıklama

Hipotenüs $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ . Alanı iki yoldan yaz: $\dfrac{6 \cdot 8}{2} = \dfrac{10 \cdot h}{2}$ , buradan $h = 4{,}8$ . Aynı alanı iki ayrı taban ve yükseklikle yazmak bu sayfada sık kullanacağın bir yoldur.

Temel

Aile ağacı, paralelkenar, dikdörtgen ve kare

Altı dörtgen, tek aile

Özel dörtgenler birbirinden kopuk altı şekil değildir; her biri bir öncekine bir koşul eklenerek elde edilir. Koşul ekledikçe şekil özelleşir ve öncekinin bütün özelliklerini miras alır.

Okun ucundaki şekil, başındaki şeklin özel bir hâlidir. Kare ağacın en altındadır: hepsinin özelliğini taşır.

Okları şöyle oku: her paralelkenar bir yamuktur, her dikdörtgen bir paralelkenardır, her kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir. Tersi doğru değildir: her dikdörtgen kare değildir. Deltoidin iki çift komşu kenarı eştir; dört kenarı da eş olursa eşkenar dörtgene dönüşür.

Sahnede bir dörtgen ve dört koşul rozeti var: “bir çift kenar paralel”, “öteki çift de paralel”, “bir açı dik”, “komşu kenarlar eş”. Düğmelerle ağaçta basamak basamak in; her basamakta dörtgen biçim değiştiriyor ve yeni bir rozet yanıyor. Sonra bir köşeyi sürükleyip koşulu boz: rozet sönüyor, ad hemen bir üst basamağa dönüyor.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

Açıklama

Karenin dört kenarı eştir ve karşılıklı kenarları paraleldir; eşkenar dörtgen tanımını sağlar. Ağaçta ok aşağı doğru iner: alttaki şekil üsttekinin özel hâlidir, tersi değil.

Paralelkenar: kenar, açı, köşegen

Paralelkenarın bir köşegenini çiz. Paralel kenarlar arasında iç ters açılar eş olduğundan köşegenin iki yanındaki üçgenler eştir. Paralelkenarın bütün temel özellikleri bu eşlikten çıkar.

Paralelkenarda karşılıklı açılar eş, komşu açılar bütünler; köşegenler

E

noktasında birbirini ortalar.

Örnek

kolay

Paralelkenarda açı

$ABCD$ paralelkenarında $m(\widehat{A}) = (3x + 10)^\circ$ ve $m(\widehat{B}) = (2x + 20)^\circ$ dir. $m(\widehat{D})$ kaç derecedir?

$A$ ile $B$ komşu köşelerdir. $[AD] \parallel [BC]$ olduğundan bu iki açı karşı durumlu açılardır ve toplamları $180^\circ$ dir:

$(3x + 10) + (2x + 20) = 180$

$5x + 30 = 180$ , buradan $x = 30$ . Öyleyse $m(\widehat{A}) = 100^\circ$ ve $m(\widehat{B}) = 80^\circ$ .

$D$ köşesi $B$ köşesinin karşısındadır; karşılıklı açılar eş olduğundan $m(\widehat{D}) = m(\widehat{B})$ .

Sonuç

$m(\widehat{D}) = 80^\circ$

Paralelkenarın alanı

Kancadaki soruya dönelim. Yana yatan çerçevenin tabanı hâlâ $10$ cm, ama üst çıta alçaldı. Alanı belirleyen yan kenarın boyu değil, iki paralel kenar arasındaki dik uzaklıktır: yükseklik.

Sahnede paralelkenarın sol ucundaki dik üçgeni kesip sağ uca taşı: şekil, tabanı ve yüksekliği aynı olan bir dikdörtgene dönüşüyor. Sonra üst kenarı sürgüyle sağa sola kaydır. Yan kenar uzayıp kısalıyor, çevre değişiyor; taban ve yükseklik sabit kaldığı için alan göstergesi hiç kıpırdamıyor.

Kesilen üçgen karşı uca taşınınca dikdörtgen oluşur: alan

a \cdot h

Örnek

kolay

Bir alan, iki yükseklik

Kenar uzunlukları $12$ cm ve $8$ cm olan bir paralelkenarda $12$ cm’lik kenara ait yükseklik $6$ cm’dir. $8$ cm’lik kenara ait yükseklik kaç cm’dir?

Önce alanı bilinen kenar ve yükseklikle bul, çünkü alan hangi kenarı taban seçtiğine bağlı değildir: $A = 12 \cdot 6 = 72 \ \text{cm}^2$ .

Aynı alanı öteki kenarla yaz: $72 = 8 \cdot h$ . Buradan $h = 9$ .

Sonuç

$8$ cm’lik kenara ait yükseklik $9$ cm’dir. Kısa kenarın yüksekliği daha uzun çıktı.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Komşu kenarları

10

cm ve

6

cm olan bir paralelkenarda bu iki kenar arasındaki açı

30^\circ

dir. Paralelkenarın alanı kaç

\text{cm}^2

dir?

Açıklama

$6$ cm’lik kenarın ucundan $10$ cm’lik kenara dikme indir. Oluşan $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ üçgeninde $30^\circ$ nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır: $h = 3$ . Alan $10 \cdot 3 = 30$ .

Dikdörtgen ve kare

Dikdörtgen bir paralelkenardır; köşegenleri birbirini ortalar. Açılar dik olduğu için bir özellik daha kazanır: iki köşegen aynı dik üçgenin hipotenüsü gibi hesaplanır ve eş çıkar.

Dikdörtgende köşegenlerin kesim noktası dört köşeye de eşit uzaklıktadır. Bu yüzden köşegenler dikdörtgeni dört ikizkenar üçgene ayırır.

Örnek

kolay

Köşegenlerin kesim noktası

$ABCD$ dikdörtgeninde $|AB| = 8$ ve $|BC| = 6$ birimdir. Köşegenler $E$ noktasında kesiştiğine göre $AEB$ üçgeninin çevresi kaç birimdir?

Köşegen, dik kenarları $8$ ve $6$ olan $ABC$ dik üçgeninin hipotenüsüdür: $|AC| = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ . Dikdörtgende köşegenler eş olduğundan $|BD| = 10$ .

Köşegenler birbirini ortalar; $E$ her iki köşegenin orta noktasıdır: $|AE| = |BE| = 5$ .

$AEB$ üçgeninin kenarları $5$ , $5$ ve $8$ dir.

Sonuç

Çevre $5 + 5 + 8 = 18$ birimdir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Köşegeni

10

cm olan karenin alanı kaç

\text{cm}^2

dir?

Açıklama

$a\sqrt{2} = 10$ olduğundan $a = 5\sqrt{2}$ ve $A = a^2 = 50$ . Kısa yol: karenin alanı köşegeninin karesinin yarısıdır, $\dfrac{10^2}{2} = 50$ .

Tangram: aynı parçalar, aynı alan

Tangram, bir karenin yedi parçaya kesilmesiyle elde edilen bir bulmacadır: beş ikizkenar dik üçgen, bir kare ve bir paralelkenar. Parçalar üst üste bindirilmeden yan yana dizilerek yeni şekiller kurulur.

Tangram parçaları ve büyük karenin alanına oranları. Küçük kare ile paralelkenarın alanları eşittir.

Sahnede tangram karesi duruyor. Düğmelerle parçaları yeniden diz: kare, paralelkenar ve dikdörtgen. Parçalar kayıp dönerken alan göstergesi hep $64$ kalıyor, çevre göstergesi ise her dizilişte değişiyor. Parçaları taşımak alanı korur; çevreyi korumaz.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Kenarı

8

cm olan bir kareden kesilen tangramda paralelkenar biçimindeki parçanın alanı kaç

\text{cm}^2

dir?

Açıklama

Paralelkenar parça, büyük karenin $\dfrac{1}{8}$ ‘idir: $\dfrac{64}{8} = 8$ . Şekilde paralelkenarın yatay kenarı $4$ , bu kenara ait yüksekliği $2$ cm’dir: $4 \cdot 2 = 8$ .

Orta

Yamuk, eşkenar dörtgen ve deltoid

Yamukta açılar ve orta taban

Yamukta tabanlar paraleldir; yan kenar bu iki paraleli kesen bir doğrudur. Bu yüzden aynı yan kenarın iki ucundaki açılar bütünlerdir: $[AB] \parallel [DC]$ ise $m(\widehat{A}) + m(\widehat{D}) = 180^\circ$ ve $m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ$ .

Yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir.

Alan formülü nereden gelir? Bir köşegen yamuğu, tabanları $a$ ve $c$ , yükseklikleri $h$ olan iki üçgene ayırır: $\dfrac{a \cdot h}{2} + \dfrac{c \cdot h}{2}$ .

Sahnede yamuğun üst tabanını sürgüyle uzat ve kısalt. Orta taban her an iki tabanın ortalamasında duruyor. “Katla” düğmesine basınca orta tabanın altında, iki yanda dışarı taşan köşe üçgenleri $M$ ve $N$ çevresinde yarım tur dönüp üstteki boşlukları dolduruyor; yamuk, genişliği orta taban, yüksekliği $h$ olan bir dikdörtgene dönüşüyor. Üst tabanı sıfıra indir: üçgen; alt tabana eşitle: paralelkenar.

|MN| = \dfrac{a + c}{2}

. Köşegenler orta tabanı

P

Q

noktalarında keser:

|MP| = |QN| = \dfrac{c}{2}

|PQ| = \dfrac{a - c}{2}

Şekildeki $|MP| = \dfrac{c}{2}$ eşitliği üçgendeki orta taban bilgisidir: $M$ ve $P$ , $ADC$ üçgeninde iki kenarın orta noktalarıdır, $[MP]$ üçüncü kenar olan $[DC]$ ‘nin yarısıdır.

Örnek

orta

Orta taban ve köşegenler

Tabanları $14$ cm ve $6$ cm olan bir yamuğun alanı $80 \ \text{cm}^2$ dir. Yamuğun yüksekliğini ve köşegenlerin orta taban üzerinde ayırdığı $[PQ]$ parçasının uzunluğunu bul.

Orta taban tabanların ortalamasıdır: $\dfrac{14 + 6}{2} = 10$ cm. Alan, orta taban ile yüksekliğin çarpımı olduğundan $80 = 10 \cdot h$ ve $h = 8$ cm.

Orta tabanın iki ucundaki parçalar kısa tabanın yarısıdır, çünkü her biri kısa tabanı kenar kabul eden bir üçgenin orta tabanıdır: $|MP| = |QN| = 3$ cm.

Ortada kalan parça: $|PQ| = 10 - 3 - 3 = 4$ cm. Bu, $\dfrac{14 - 6}{2}$ ile aynıdır.

Sonuç

$h = 8$ cm ve $|PQ| = 4$ cm

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

[AB] \parallel [DC]

olan

ABCD

yamuğunda

m(\widehat{A}) = 70^\circ

ise

m(\widehat{D})

kaç derecedir?

Açıklama

$A$ ve $D$ aynı yan kenarın, $[AD]$ ‘nin uçlarıdır. Tabanlar paralel olduğundan bu iki açı bütünlerdir: $180 - 70 = 110$ .

İkizkenar yamuk ve dik yamuk

Paralel olmayan yan kenarları eş olan yamuğa ikizkenar yamuk denir. İkizkenar yamukta taban açıları eştir ve köşegenler eş uzunluktadır. Yan kenarlarından biri tabanlara dik olan yamuk dik yamuk adını alır; o yan kenar aynı zamanda yüksekliktir.

Yamuk sorularının çoğunu tek hamle çözer: kısa tabanın uçlarından uzun tabana yükseklik indir. Ortada bir dikdörtgen, yanlarda dik üçgenler oluşur. İkizkenar yamukta bu iki dik üçgen eştir ve her birinin tabanı $\dfrac{a - c}{2}$ dir.

İkizkenar yamukta iki yükseklik: ortada dikdörtgen, yanlarda eş iki dik üçgen.

Örnek

orta

İkizkenar yamukta yükseklik indirme

Tabanları $20$ cm ve $8$ cm, yan kenarları $10$ cm olan ikizkenar yamuğun alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

Alan için yükseklik gerekir, o da verilmemiş. Kısa tabanın uçlarından uzun tabana iki yükseklik indir. Ortadaki dörtgen dikdörtgendir, alt kenarı $8$ cm olur.

Uzun tabandan geriye $20 - 8 = 12$ cm kalır. Yamuk ikizkenar olduğundan bu fark iki yana eşit paylaşılır: her dik üçgenin tabanı $6$ cm’dir.

Dik üçgende hipotenüs yan kenardır: $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ cm.

Sonuç

$A = \dfrac{20 + 8}{2} \cdot 8 = 112 \ \text{cm}^2$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Tabanları

7

cm ve

13

cm, yüksekliği

5

cm olan yamuğun alanı kaç

\text{cm}^2

dir?

Açıklama

Orta taban $\dfrac{7 + 13}{2} = 10$ cm, alan $10 \cdot 5 = 50 \ \text{cm}^2$ .

Köşegenler dörtgeni ele verir

Bir dörtgenin hangi özel dörtgen olduğunu anlamanın en hızlı yolu köşegenlerine bakmaktır. Üç soru sor: birbirlerini ortalıyorlar mı, eş uzunluktalar mı, dik kesişiyorlar mı?

Sahnede iki çubuk var: bunlar dörtgenin köşegenleri, uçları da köşeleri. Sürgülerle ikinci çubuğun boyunu, kesişme yerini ve aradaki açıyı değiştir. Çubuklar birbirini ortaladığı anda dörtgen paralelkenar oluyor. Üstüne boyları eşitle: dikdörtgen. Açıyı $90^\circ$ yap: eşkenar dörtgen. İkisini birden sağla: kare. Açı dikken kesişme yerini ortadan kaydır: deltoid.

Dörtgen	Ortalar	Eş	Dik
Paralelkenar	evet	–	–
Dikdörtgen	evet	evet	–
Eşkenar dörtgen	evet	–	evet
Kare	evet	evet	evet
Deltoid	biri	–	evet
İkizkenar yamuk	–	evet	–

Tabloda ”–”, o özelliğin zorunlu olmadığını gösterir. Deltoidde yalnızca bir köşegen ortalanır.

Neden? Eşkenar dörtgende de deltoidde de bir köşegenin iki ucu, öteki köşegenin uçlarına eşit uzaklıktadır. İki noktaya eşit uzaklıktaki noktalar o iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

ABCD

deltoidinde

|AB| = |AD|

|CB| = |CD|

dir, dört kenar eş değildir. Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Açıklama

$A$ ve $C$ noktalarının her biri $B$ ile $D$ ‘ye eşit uzaklıktadır; ikisi de $[BD]$ ‘nin orta dikmesi üzerindedir. Öyleyse $AC$ doğrusu $[BD]$ ‘nin orta dikmesidir.

Köşegenleri dik dörtgenin alanı

Sahnede köşegenleri dik kesişen bir dörtgen, kenarları köşegenlere paralel bir dikdörtgenin içinde duruyor. Dikdörtgenin kenarları $e$ ve $f$ . Köşegenlerin ayırdığı dört dik üçgenin her birinin eşi dışarıda kalıyor; “eşle” düğmesi dıştaki üçgenleri yarım tur döndürüp içtekilerin tam üstüne oturtuyor. Kesişme noktasını sürükle: dörtgen deltoid oluyor, eşkenar dörtgen oluyor, ikisi de olmuyor; alan hep dikdörtgenin yarısı.

Köşegenleri dik kesişen dörtgen,

e \times f

dikdörtgeninin tam yarısını kaplar.

Örnek

orta

Uçurtmanın kâğıdı ve ipi

Deltoid biçimli bir uçurtmanın iskeleti iki çıtadan oluşuyor: $48$ cm’lik yatay çıta, $39$ cm’lik düşey çıtayı üst ucundan $7$ cm aşağıda dik kesiyor ve bu noktada kendisi ortalanıyor. Uçurtmanın yüzeyini kaplayan kâğıdın alanını ve çıtaların uçlarını dolaşan ipin uzunluğunu bul.

Çıtalar deltoidin köşegenleridir ve dik kesişir. Alan için kenarlara gerek yok: $A = \dfrac{48 \cdot 39}{2} = 936 \ \text{cm}^2$ .

İp deltoidin çevresidir; kenarları bulmak için köşegenlerin ayırdığı dik üçgenleri kullan. Yatay çıtanın yarısı $24$ cm, düşey çıtanın parçaları $7$ cm ve $39 - 7 = 32$ cm’dir.

Üstteki kenarlar: $\sqrt{24^2 + 7^2} = 25$ cm. Alttaki kenarlar: $\sqrt{24^2 + 32^2} = 40$ cm.

Sonuç

Kâğıt $936 \ \text{cm}^2$ , ip $2 \cdot (25 + 40) = 130$ cm

Uçurtmanın çıtaları deltoidin köşegenleridir.

Örnek

orta

Eşkenar dörtgende yükseklik

Köşegenleri $16$ cm ve $12$ cm olan eşkenar dörtgenin yüksekliği kaç cm’dir?

Yükseklik doğrudan verilmediği için alanı iki yoldan yazacağız. Köşegenlerle: $A = \dfrac{16 \cdot 12}{2} = 96 \ \text{cm}^2$ .

Kenar için köşegenlerin yarılarını kullan; köşegenler birbirini dik ortaladığından dik kenarları $8$ ve $6$ olan dik üçgen oluşur: $a = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ cm.

Eşkenar dörtgen bir paralelkenardır: $A = a \cdot h$ . $96 = 10 \cdot h$ .

Sonuç

$h = 9{,}6$ cm

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Köşegenleri

6

cm ve

8

cm olan eşkenar dörtgenin çevresi kaç cm’dir?

Açıklama

Köşegenler birbirini dik ortalar: yarıları $3$ ve $4$ , kenar $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ cm. Çevre $4 \cdot 5 = 20$ cm.

Motiflerde özel dörtgenler

Geleneksel çini ve kündekâri motifleri birkaç basit dörtgenin tekrarından oluşur. Motif sorularında iş, büyük şeklin içindeki özel dörtgeni tanımaktır.

Örnek

orta

Çini karosundaki baklava

Bir çini panosu, kenarları $24$ cm ve $10$ cm olan dikdörtgen karolardan oluşuyor. Her karonun kenar orta noktaları birleştirilerek içine bir dörtgen çizilip boyanıyor. Bir karodaki boyalı dörtgenin türünü, çevresini ve alanını bul.

Karonun köşelerinde dört dik üçgen kalır. Hepsinin dik kenarları $12$ cm ve $5$ cm’dir; yani dört üçgen eştir ve boyalı dörtgenin dört kenarı bu üçgenlerin hipotenüsüdür. Dört kenarı eş olan dörtgen eşkenar dörtgendir.

Bir kenar: $\sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ cm. Çevre $4 \cdot 13 = 52$ cm.

Eşkenar dörtgenin köşegenleri karşılıklı kenar orta noktalarını birleştirir; uzunlukları karonun kenarları kadardır: $24$ cm ve $10$ cm. Alan $\dfrac{24 \cdot 10}{2} = 120 \ \text{cm}^2$ .

Sonuç

Eşkenar dörtgen; çevresi $52$ cm, alanı $120 \ \text{cm}^2$ (karonun tam yarısı)

Dikdörtgenin kenar orta noktaları bir eşkenar dörtgen verir; alanı dikdörtgenin yarısıdır.

İleri

Köşegen alanları, merkez, dönen ve katlanan dörtgenler

Yamukta köşegenler

Yamuğun iki köşegeni dört üçgen oluşturur. Tabanlara dayanan iki üçgen benzerdir, çünkü tabanlar paraleldir ve iç ters açılar eştir. Benzerlik oranı tabanların oranıdır.

Sahnede yamuğun köşegenleri dört üçgen ayırıyor ve her birinin alanı üzerinde yazıyor. Üst tabanı sürgüyle değiştir. Yanlardaki iki üçgenin alanı her konumda birbirine eşit kalıyor. Tabanların oranı $k$ iken üst, yan ve alt üçgenlerin alanları $1 : k : k^2$ oranında diziliyor.

Tabanlar

4

12

: benzerlik oranı

1 : 3

. Alanlar üstte

S

, yanlarda

3S

, altta

9S

Yan üçgenler neden eşit alanlı? $ABD$ ve $ABC$ üçgenlerinin tabanı ortak ( $[AB]$ ), yükseklikleri aynıdır (yamuğun yüksekliği). Alanları eşittir; ikisinden ortak parça olan $AEB$ üçgenini çıkarınca geriye eşit alanlar kalır.

Örnek

zor

Bir üçgenden bütün yamuk

$ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ , $|AB| = 12$ ve $|DC| = 4$ birimdir. Köşegenler $E$ noktasında kesişiyor ve $DEC$ üçgeninin alanı $3$ birimkaredir. Yamuğun alanı kaç birimkaredir?

$DEC$ ile $BEA$ benzerdir ve benzerlik oranı $\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ tür. Alanlar oranı benzerlik oranının karesidir: $A(AEB) = 9 \cdot 3 = 27$ .

$AED$ ile $DEC$ üçgenlerinin $D$ köşesinden inen yüksekliği ortaktır, tabanları aynı doğru üzerindeki $[AE]$ ve $[EC]$ dir. Alanları tabanlarıyla orantılıdır: $\dfrac{|AE|}{|EC|} = 3$ olduğundan $A(AED) = 3 \cdot 3 = 9$ .

Yan üçgenlerin alanları eşittir: $A(BEC) = 9$ .

Sonuç

Yamuğun alanı $3 + 27 + 9 + 9 = 48$ birimkaredir.

Paralelkenarda alan paylaşımı

Paralelkenarın köşegenlerinin kesim noktası şeklin merkezidir: paralelkenarı bu nokta çevresinde $180^\circ$ döndürürsen kendi üstüne gelir. Dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve kare de paralelkenar olduğundan aynı özelliği taşır.

İkinci madde dönme simetrisinin sonucudur: doğru merkezden geçtiği için $180^\circ$ dönmede kendi üstüne gelir, iki parça yer değiştirir. Üçüncü maddede üçgenin tabanı ve yüksekliği paralelkenarınkiyle aynıdır; alan $\dfrac{a \cdot h}{2}$ olur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir dikdörtgeni eşit alanlı iki parçaya ayıran bir doğru için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Açıklama

Merkezden geçen her doğru alanı ikiye böler. Merkezden geçmeyen bir doğru ise merkezden geçen paraleline göre bir yana kaymıştır; bir parçayı büyütür, ötekini küçültür. AYT 2018’de bu fikir koordinat düzleminde soruldu.

Dönen ve asılan dörtgenler

Çerçeve, tabela, pano sorularında dörtgen yerinden oynar ama kenar ve köşegen uzunlukları değişmez. Yeni konumda yatay ya da düşey duran doğru parçasını bul; gerisi dik üçgendir.

Sahnede kenarları $15$ ve $20$ olan dikdörtgen pano $A$ köşesindeki çivi çevresinde dönüyor. Açı sürgüsüyle döndür ve köşelerin zeminden yüksekliklerini izle. $[AC]$ köşegeni düşey olduğunda $C$ en alçak konumuna iniyor; $B$ ile $D$ o anda farklı yükseklikte. Sonra $[BD]$ köşegenini yatay yap: bu kez $B$ ile $D$ aynı hizada, $A$ ile $C$ arasındaki yükseklik farkı köşegene inen iki dikmenin toplamı.

Örnek

zor

Tek çividen asılı pano

Kenarları $|AB| = 15$ dm ve $|AD| = 20$ dm olan $ABCD$ dikdörtgeni biçimindeki bir pano, yalnızca $A$ köşesindeki çividen duvara asılıyor ve $[AC]$ köşegeni düşey olacak biçimde dengede duruyor. Bu durumda $B$ ve $D$ köşelerinin zeminden yükseklikleri arasındaki fark kaç dm’dir?

Köşegen: $|AC| = \sqrt{15^2 + 20^2} = 25$ dm. $[AC]$ düşey olduğundan bir köşenin yüksekliğini, o köşenin $[AC]$ üzerindeki dik izdüşümü belirler.

$ABC$ üçgeni $B$ köşesinde diktir ve hipotenüsü $[AC]$ dir. $B$ ‘den $[AC]$ ‘ye inen dikmenin ayağı $H$ olsun. Öklid bağıntısıyla $|AB|^2 = |AH| \cdot |AC|$ , yani $225 = |AH| \cdot 25$ ve $|AH| = 9$ dm. $B$ köşesi çividen $9$ dm aşağıdadır.

Aynı yolla $ADC$ dik üçgeninde $D$ ‘den inen dikmenin ayağı $K$ için $|AD|^2 = |AK| \cdot |AC|$ : $400 = |AK| \cdot 25$ , $|AK| = 16$ dm. $D$ köşesi çividen $16$ dm aşağıdadır.

Sonuç

Yükseklik farkı $16 - 9 = 7$ dm’dir. ( $B$ ve $D$ ‘nin köşegene uzaklıkları ise eşittir: $\dfrac{15 \cdot 20}{25} = 12$ dm.)

[AC]

düşeyken

B

D

'nin yüksekliğini köşegen üzerindeki izdüşümleri belirler:

|AH| = 9

|AK| = 16

Katlama

Kâğıt katlamak bir yansımadır: katlama çizgisi, üst üste gelen iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikmesidir. Katlanan parça biçim ve boyut değiştirmez; üst üste gelen uzunluklar eşittir.

Örnek

zor

Köşeyi köşeye katlama

Kenarları $|AB| = 8$ cm ve $|BC| = 4$ cm olan $ABCD$ dikdörtgeni biçimindeki kâğıt, $A$ köşesi $C$ köşesinin üstüne gelecek biçimde katlanıyor. Katlama çizgisi $[AB]$ kenarını $E$ , $[DC]$ kenarını $F$ noktasında kestiğine göre $|EF|$ kaç cm’dir?

Katlamada $A$ noktası $C$ ‘nin üstüne geldiğine göre $[EA]$ , $[EC]$ ‘nin üstüne gelir: $|EA| = |EC| = x$ . O zaman $|EB| = 8 - x$ olur.

$EBC$ dik üçgeninde Pisagor: $x^2 = (8 - x)^2 + 4^2$ . Açınca $16x = 80$ , $x = 5$ cm. Aynı nedenle $|FA| = |FC| = 5$ cm; $AECF$ dört kenarı $5$ cm olan bir eşkenar dörtgendir.

$[EF]$ ve $[AC]$ bu eşkenar dörtgenin köşegenleridir. Alanı iki yoldan yaz. Paralelkenar olarak taban $|AE| = 5$ , yükseklik $4$ : $A = 20$ . Köşegenlerle: $|AC| = \sqrt{8^2 + 4^2} = 4\sqrt{5}$ ve $20 = \dfrac{4\sqrt{5} \cdot |EF|}{2}$ .

Sonuç

$|EF| = \dfrac{40}{4\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ cm

Katlama çizgisi

[EF]

[AC]

'nin orta dikmesidir;

AECF

bir eşkenar dörtgendir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir eşkenar dörtgenin kenar orta noktaları sırayla birleştiriliyor. Oluşan dörtgen aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Orta noktaları birleştiren her doğru parçası, üçgende orta taban olarak bir köşegene paraleldir. Yeni dörtgenin kenarları köşegenlere paraleldir; eşkenar dörtgende köşegenler dik olduğundan açılar dik çıkar.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Aile ağacı: yamuk → paralelkenar → dikdörtgen ve eşkenar dörtgen → kare; deltoid → eşkenar dörtgen. Alttaki, üsttekinin bütün özelliklerini taşır.
Yamuk: yan kenarın uçlarındaki açılar bütünler; orta taban $\dfrac{a + c}{2}$ ; $A = \dfrac{a + c}{2} \cdot h$ . İkizkenar yamukta köşegenler eş, yükseklik indirince yan parçalar $\dfrac{a - c}{2}$ .
Paralelkenar: karşılıklı kenar ve açılar eş, komşu açılar bütünler, köşegenler birbirini ortalar; $A = a \cdot h_a = b \cdot h_b$ .
Dikdörtgen: köşegenler eş, $\sqrt{a^2 + b^2}$ . Kare: köşegen $a\sqrt{2}$ , $A = a^2 = \dfrac{e^2}{2}$ .
Eşkenar dörtgen ve deltoid: köşegenler dik; $A = \dfrac{e \cdot f}{2}$ . Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini ortalar, deltoidde yalnızca biri ortalanır.
Yamukta köşegenler: tabanlara dayanan üçgenler benzer, yan üçgenler eşit alanlı.
Merkez: paralelkenarın merkezinden geçen her doğru alanı ikiye böler.
Yöntem: yükseklik indir, dik üçgen kur; aynı alanı iki yoldan yaz.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

4 çıkmış soru6 özgün soru

2022 AYTSoru 34

Kolay

Karenin köşegenleri

Dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde, kenarları koordinat eksenlerine paralel bir kare vardır. Bu karenin köşegenleri $(3, 6)$ noktasında kesişmektedir.

Karenin orijine en uzak köşesinin koordinatları toplamı $14$ olduğuna göre karenin alanı kaç birimkaredir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 35)

Çözüm

1. Merkez. Karede köşegenler birbirini ortalar; kesim noktası $(3, 6)$ karenin merkezidir ve dört kenara eşit uzaklıktadır.

2. Köşeler. Kenar uzunluğu $2k$ olsun. Kenarlar eksenlere paralel olduğundan köşeler merkezden her iki yönde $k$ birim uzaktadır: $(3 \pm k, \ 6 \pm k)$ .

3. En uzak köşe. Orijine en uzak köşe iki koordinatı da en büyük olandır: $(3 + k, \ 6 + k)$ .

$(3 + k) + (6 + k) = 14 \quad\Rightarrow\quad k = \dfrac{5}{2}$

4. Alan. Kenar $2k = 5$ , alan $5^2 = 25$ birimkare.

Sağlama: orijine en yakın köşe $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{7}{2}\right)$ olur; kare birinci bölgede kalır. Tuzak: $k$ değerini kenar sanıp alanı $\dfrac{25}{4}$ bulmak.

Cevap: D

2020 AYTSoru 33

Zor

Dikdörtgenin köşegenleri

Kenarları $30$ ve $40$ birim olan dikdörtgen biçimli bir çerçeve dört köşesinden çivilenerek Şekil 1'deki gibi duvara asılıyor; $AB$ kenarı yere paraleldir ve yerden $h$ birim yüksektedir. Bir süre sonra $A$ köşesindeki dışında kalan çiviler gevşeyip düşüyor. Çerçeve $A$ köşesi çevresinde dönüyor ve $C$ köşesi yere değdiğinde, bütün köşeleri duvara değer durumda, Şekil 2'deki gibi dengede kalıyor.

Bu denge durumunda $B$ ve $D$ köşelerinin yerden yükseklikleri eşit olduğuna göre $h$ kaç birimdir?

İpucu

$B$ ile $D$ aynı yükseklikteyse $[BD]$ köşegeni yataydır. $A$ çivisi yerinden oynamadı; $A$ hâlâ $h$ yüksekliğinde.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

1. Sabit kalanlar. $A$ köşesindeki çivi yerinde durduğu için $A$ noktası Şekil 2'de de yerden $h$ birim yüksektedir. $C$ köşesi yerdedir. Öyleyse $h$ , $A$ ile $C$ arasındaki düşey farktır.

2. Yatay köşegen. $B$ ve $D$ aynı yükseklikte olduğundan $[BD]$ köşegeni yere paraleldir. $A$ bu köşegenin üstünde, $C$ altındadır.

3. Köşegene uzaklık. $|BD| = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50$ . $ABD$ dik üçgeninde $A$ 'dan hipotenüse inen yükseklik, alan eşitliğinden

$\dfrac{30 \cdot 40}{2} = \dfrac{50 \cdot d}{2} \quad\Rightarrow\quad d = 24$

$CBD$ üçgeni $ABD$ üçgenine eştir; $C$ 'nin $[BD]$ 'ye uzaklığı da $24$ birimdir.

4. Sonuç. $[BD]$ yatay olduğundan bu iki uzaklık düşeydir ve üst üste eklenir: $h = 24 + 24 = 48$ .

Tuzak: $h$ için köşegen uzunluğunu ( $50$ ) almak. $[AC]$ düşey değildir; $A$ ile $C$ arasındaki yatay fark $\sqrt{50^2 - 48^2} = 14$ birimdir.

Cevap: B

2019 AYTSoru 35

Orta

İkizkenar yamuk

İkizkenar yamuk biçimli özdeş tahtalar şekildeki gibi yan yana getirilerek dikdörtgen biçiminde bir çerçeve yapılıyor. Çerçevenin dış kenarlarından kısa olanı $16$ cm, uzun olanı $26$ cm'dir.

Çerçevenin içine bir resim konuyor; resmin tamamı görünüyor ve resim çerçevenin iç boşluğunu tümüyle kapatıyor.

Buna göre bu resmin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

İpucu

Yamuğun uzun tabanına $u$ , kısa tabanına $k$ de. Dış uzun kenar ve dış kısa kenar boyunca kaç uzun, kaç kısa taban dizildiğini şekilden say.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

1. Şekli oku. Komşu yamuklar birbirine göre ters durur. Dış uzun kenar boyunca $3$ uzun taban ve $2$ kısa taban, dış kısa kenar boyunca $2$ uzun taban ve $1$ kısa taban sıralanmıştır.

2. Denklemler. Uzun taban $u$ , kısa taban $k$ olsun:

$3u + 2k = 26 \qquad 2u + k = 16$

İkinci denklemi $2$ ile çarpıp birinciden çıkar: $u = 6$ , sonra $k = 4$ .

3. İç kenarlar. İç kenarlarda tabanlar yer değiştirir: uzun iç kenarda $3$ kısa ve $2$ uzun taban, kısa iç kenarda $2$ kısa ve $1$ uzun taban vardır.

$3 \cdot 4 + 2 \cdot 6 = 24 \qquad 2 \cdot 4 + 6 = 14$

4. Alan. $24 \cdot 14 = 336 \ \text{cm}^2$ .

Sağlama: ikizkenar yamukta yükseklik indirince yan parçalar $\dfrac{u - k}{2} = 1$ cm olur. Köşelerde yamuklar $45^\circ$ ile birleştiğinden çerçevenin kalınlığı da $1$ cm'dir: $26 - 2 = 24$ ve $16 - 2 = 14$ .

Cevap: A

2018 AYTSoru 32

Orta

Eşkenar dörtgenin alanı

Eş uzunlukta dört tel uçlarından birleştirilerek kare biçiminde bir çerçeve yapılıyor ve çerçeve Şekil 1'deki gibi dört köşesinden çivilerle duvara tutturuluyor. Bu durumda çerçevenin duvarda kapladığı alan $100$ birimkaredir.

$A$ ve $B$ köşelerindeki çiviler çıkınca çerçevenin bir yanı aşağı kayıyor ve çerçeve Şekil 2'deki gibi eşkenar dörtgen biçimini alıyor. Bu sırada $A$ ve $B$ köşelerinin yerden yüksekliği $6$ 'şar birim azalıyor, öteki iki köşe yerinden oynamıyor.

Buna göre çerçevenin duvarda kapladığı alan kaç birimkare azalmıştır?

İpucu

Yerinde kalan düşey kenarı taban seç. Bu tabana ait yükseklik, iki düşey kenar arasındaki yatay uzaklıktır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

1. Kenar. Karenin alanı $100$ olduğundan her telin boyu $10$ birimdir. Teller uzayıp kısalmaz; eşkenar dörtgenin kenarları da $10$ birimdir.

2. Yatay uzaklık. Sol kenar yerinde ve düşeydir. Sağ kenar da düşeydir ama $6$ birim aşağıdadır. Üst kenar $10$ birimlik bir doğru parçasıdır; sağ ucu sol ucundan $6$ birim aşağıdadır. Yatay farkı $d$ ile gösterirsek

$d^2 + 6^2 = 10^2 \quad\Rightarrow\quad d = 8$

3. Yeni alan. Taban olarak düşey kenarı ( $10$ ) alırsak yükseklik iki düşey kenar arasındaki uzaklıktır ( $8$ ): alan $10 \cdot 8 = 80$ birimkare.

4. Azalma. $100 - 80 = 20$ birimkare.

Tuzak: kenarlar değişmediği için alanın da değişmediğini düşünmek ya da yüksekliği $10 - 6 = 4$ almak. $6$ birim, köşenin indiği miktardır; yükseklik Pisagor ile bulunur.

Cevap: B

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Paralelkenarda açılar

$ABCD$ paralelkenarında $A$ açısının ölçüsü, $B$ açısının ölçüsünün $2$ katından $30^\circ$ eksiktir.

Buna göre $m(\widehat{C})$ kaç derecedir?

Çözüm

1. Komşu açılar bütünlerdir. $m(\widehat{B}) = t$ dersek $m(\widehat{A}) = 2t - 30$ olur ve

$(2t - 30) + t = 180 \quad\Rightarrow\quad t = 70$

2. $m(\widehat{A}) = 2 \cdot 70 - 30 = 110^\circ$ .

3. Karşılıklı açılar eştir. $C$ köşesi $A$ köşesinin karşısındadır: $m(\widehat{C}) = 110^\circ$ .

Çeldiriciler: $70$ , $B$ açısıdır; $C$ açısını $B$ 'ye eş sanan bunu işaretler. $80$ ve $100$ , komşu açıların toplamını $180^\circ$ yerine yanlış alınca çıkar.

Cevap: D

Özgün soru2

Orta

Deltoidin alanı

$ABCD$ deltoidinde $|AB| = |AD| = 13$ birim, $|CB| = |CD| = 20$ birim ve $|BD| = 24$ birimdir.

Buna göre deltoidin alanı kaç birimkaredir?

İpucu

$[AC]$ köşegeni $[BD]$ köşegenini dik ortalar. Öteki köşegenin uzunluğunu iki ayrı dik üçgenden parça parça bul.

Çözüm

1. Köşegenler. Deltoidde simetri ekseni olan $[AC]$ , $[BD]$ 'yi dik ortalar. Kesim noktası $E$ olsun: $|BE| = |ED| = 12$ .

2. Üst parça. $ABE$ dik üçgeninde $|AE| = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ .

3. Alt parça. $CBE$ dik üçgeninde $|CE| = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16$ .

4. Alan. $|AC| = 5 + 16 = 21$ .

$A = \dfrac{|AC| \cdot |BD|}{2} = \dfrac{21 \cdot 24}{2} = 252$

Çeldiriciler: $504$ ikiye bölmeyi unutunca, $260$ komşu kenarları çarpınca ( $13 \cdot 20$ ), $240$ ise $|BE|$ ile $|CB|$ 'yi çarpınca çıkar.

Cevap: B

Özgün soru3

Orta

Tangram ve alan

Kare biçimli bir karton şekildeki gibi kesilerek yedi parçalı bir tangram yapılıyor. Parçalar: iki büyük, bir orta boy ve iki küçük ikizkenar dik üçgen, bir kare ve bir paralelkenar.

Kare biçimli parçanın alanı $18 \ \text{cm}^2$ olduğuna göre kartonun bir kenarı kaç cm'dir?

İpucu

Küçük kare parçanın, bütün kartonun kaçta kaçı olduğunu bul. Küçük üçgenlerden kaç tanesi kareyi, kaç tanesi bütün kartonu doldurur?

Çözüm

1. Birim seç. Küçük üçgenlerden birinin alanına $S$ de. Kare parça iki küçük üçgenden oluşur: $2S$ . Paralelkenar ve orta boy üçgen de $2S$ , büyük üçgenlerin her biri $4S$ eder.

2. Toplam. $2 \cdot 4S + 2S + 2 \cdot S + 2S + 2S = 16S$ . Kare parça kartonun $\dfrac{2S}{16S} = \dfrac{1}{8}$ 'idir.

3. Karton. Kartonun alanı $8 \cdot 18 = 144 \ \text{cm}^2$ , kenarı $\sqrt{144} = 12$ cm'dir.

Sağlama: kare parçanın kenarı kartonun köşegeninin dörtte biridir: $\dfrac{12\sqrt{2}}{4} = 3\sqrt{2}$ , alanı $18$ .

Çeldiriciler: kare parçayı kartonun $\dfrac{1}{16}$ 'i sanan $12\sqrt{2}$ , alanı kenar sanan $18$ bulur.

Cevap: A

Özgün soru4

Orta

Eşkenar dörtgende köşegenler

Bir makas kriko, uzunlukları $25$ 'er cm olan dört koldan oluşur; kollar her konumda bir eşkenar dörtgen meydana getirir. Krikonun alt köşesi zemindedir, üst köşesi aracı taşır. Yatay köşegen boyunca uzanan vida sıkıldıkça yan köşeler birbirine yaklaşır.

Başlangıçta yatay köşegen $48$ cm'dir. Vida sıkılarak yatay köşegen $30$ cm'ye indiriliyor.

Buna göre krikonun üst köşesi kaç cm yükselmiştir?

İpucu

Üst köşenin zeminden yüksekliği düşey köşegenin uzunluğudur. Köşegenler birbirini dik ortalar.

Çözüm

Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ortalar; köşegenlerin yarıları ile bir kenar dik üçgen oluşturur. Alt köşe zeminde olduğundan üst köşenin yüksekliği düşey köşegenin tamamıdır.

1. Başlangıç. Yatay köşegenin yarısı $24$ cm. Düşey köşegenin yarısı $\sqrt{25^2 - 24^2} = 7$ cm; düşey köşegen $14$ cm.

2. Son durum. Yatay köşegenin yarısı $15$ cm. Düşey köşegenin yarısı $\sqrt{25^2 - 15^2} = 20$ cm; düşey köşegen $40$ cm.

3. Yükselme. $40 - 14 = 26$ cm.

Çeldiriciler: $14$ ve $40$ tek bir konumdaki yüksekliklerdir; $20$ , son konumdaki düşey köşegenin yalnızca yarısıdır.

Cevap: D

Özgün soru5

Zor

İkizkenar yamukta köşegenler

$ABCD$ ikizkenar yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ , $|AB| = 10$ birim ve $|DC| = 6$ birimdir. $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenleri $E$ noktasında dik kesişmektedir.

Buna göre yamuğun alanı kaç birimkaredir?

İpucu

İkizkenar yamuk simetriktir: $|EA| = |EB|$ ve $|ED| = |EC|$ . Açı da dik olduğuna göre $AEB$ ve $DEC$ nasıl üçgenlerdir?

Çözüm

1. İkizkenar dik üçgenler. İkizkenar yamuk, tabanların orta noktalarından geçen doğruya göre simetriktir; bu yüzden $|EA| = |EB|$ ve $|ED| = |EC|$ . Köşegenler dik kesiştiğinden $AEB$ ve $DEC$ ikizkenar dik üçgenlerdir.

2. Yükseklikler. İkizkenar dik üçgende hipotenüse ait yükseklik hipotenüsün yarısıdır. $E$ 'nin $[AB]$ 'ye uzaklığı $\dfrac{10}{2} = 5$ , $[DC]$ 'ye uzaklığı $\dfrac{6}{2} = 3$ birimdir.

3. Yamuğun yüksekliği. Bu iki uzaklık aynı düşey doğru üzerindedir: $h = 5 + 3 = 8$ .

4. Alan. $A = \dfrac{10 + 6}{2} \cdot 8 = 64$ .

Sağlama: köşegenler dik olduğundan $A = \dfrac{|AC| \cdot |BD|}{2}$ de geçerlidir. $|AC| = |BD| = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ , $\dfrac{8\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{2}}{2} = 64$ .

Çeldiriciler: $128$ ikiye bölmeyi unutunca, $80$ yalnızca uzun tabanla ( $10 \cdot 8$ ), $60$ komşu tabanları çarpınca çıkar.

Cevap: B

Özgün soru6

Zor

Yamukta köşegenler ve benzerlik

$ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ , $|AB| = 15$ birim ve $|DC| = 5$ birimdir. Köşegenlerin kesim noktası $E$ 'dir. $E$ noktasından geçen ve tabanlara paralel olan doğru $[AD]$ kenarını $K$ , $[BC]$ kenarını $L$ noktasında kesmektedir.

Buna göre $|KL|$ kaç birimdir?

İpucu

$[KL]$ orta taban değildir. Önce $E$ noktasının köşegenleri hangi oranda böldüğünü bul, sonra $[KE]$ için $ADC$ üçgenine bak.

Çözüm

1. Köşegenlerin bölünme oranı. $DEC$ ve $BEA$ üçgenleri benzerdir; oran $\dfrac{|DC|}{|AB|} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$ . Öyleyse $\dfrac{|CE|}{|EA|} = \dfrac{1}{3}$ ve $\dfrac{|AE|}{|AC|} = \dfrac{3}{4}$ .

2. $[KE]$ . $ADC$ üçgeninde $[KE] \parallel [DC]$ olduğundan $AKE$ ile $ADC$ benzerdir:

$\dfrac{|KE|}{|DC|} = \dfrac{|AE|}{|AC|} = \dfrac{3}{4} \quad\Rightarrow\quad |KE| = \dfrac{15}{4}$

3. $[EL]$ . Aynı yolla $BDC$ üçgeninde $\dfrac{|EL|}{|DC|} = \dfrac{|BE|}{|BD|} = \dfrac{3}{4}$ , $|EL| = \dfrac{15}{4}$ .

4. $|KL| = \dfrac{15}{4} + \dfrac{15}{4} = \dfrac{15}{2}$ .

Tuzak: $[KL]$ 'yi orta taban sanıp $\dfrac{15 + 5}{2} = 10$ bulmak. Köşegenlerin kesim noktası yamuğun yüksekliğinin ortasında değildir; kısa tabana daha yakındır. $\dfrac{15}{4}$ ise yalnızca $|KE|$ 'dir.

Cevap: C