11Konu 11 / 49
Fonksiyonlar ve Cebir

Polinomlar

Polinomu, derecesini ve katsayılarını tanıyıp eşitlik, toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeyi öğreniyoruz; kalan ve çarpan teoremiyle bölme yapmadan kalanı buluyor, kökleri bilinen polinomu çarpanlarından kuruyoruz.

10. sınıf
AYT sıklığı
60 dk

LevhaPolinomlarPolinomlar

Sahnede bir eğrinin yalnızca üç küçük parçası görünüyor: $x$ eksenini $-2$ , $1$ ve $3$ noktalarında kestiği yerler. Eğrinin $x = 2$ noktasındaki yüksekliğini söyleyebilir misin? Rastgele bir eğri için bu imkânsız. Ama eğri, baş katsayısı $1$ olan üçüncü dereceden bir polinomun grafiğiyse yanıt tektir: $-4$ . Bu sayfa, üç noktanın bütün eğriyi nasıl ele verdiğini anlatıyor.

Isınma

Başlamadan: değer bulma, üs ve bölme

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f(x) = x^2 - 3x + 1

için

f(-2)

kaçtır?

Açıklama

$f(-2) = (-2)^2 - 3 \cdot (-2) + 1 = 4 + 6 + 1 = 11$ . Fonksiyonda değer bulma Fonksiyonlar sayfasında anlatılıyor.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

3x^2 \cdot (-2x^3)

çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Katsayılar çarpılır, üsler toplanır: $3 \cdot (-2) = -6$ ve $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

47

sayısı

5

ile bölünüyor. Aşağıdaki yazımlardan hangisi bölme işlemini doğru anlatır?

Açıklama

Bölünen = bölen $\cdot$ bölüm + kalan ve kalan bölenden küçük olmalı: $47 = 5 \cdot 9 + 2$ . Polinom bölmesi aynı kalıbı kullanacak.

Temel

Polinomu tanımak: terim, derece, katsayı, eşitlik

Polinom nedir?

$x$ sayısının $1, x, x^2, x^3, \ldots$ kuvvetlerini al, her birini bir sayıyla çarp ve topla. Elde ettiğin ifade bir polinomdur. $3x^2 - 5x + 2$ böyle kurulmuştur: $3 \cdot x^2$ , $-5 \cdot x$ ve $2 \cdot 1$ .

İki koşula dikkat et: $x$ ‘in üsleri doğal sayıdır ( $0, 1, 2, \ldots$ ), katsayılar ise herhangi bir gerçek sayı olabilir. $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ ve $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$ içeren ifadeler polinom değildir, çünkü üsleri doğal sayı değildir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdakilerden hangisi bir polinomdur?

Açıklama

Koşul $x$ ‘in üslerine konur, katsayılara değil. $\sqrt{3}$ , $-\dfrac{1}{2}$ ve $\pi$ birer gerçek sayıdır; üsler $2$ , $1$ ve $0$ ‘dır.

Örnek

kolay

Polinom olma koşulu

$P(x) = 2x^{n-3} + x^{6-n} + 5$ ifadesi bir polinomdur. $n$ kaç farklı değer alabilir?

Polinomda her üs bir doğal sayı olmalı. Burada iki üs var: $n - 3$ ve $6 - n$ . İkisi de $0$ ya da daha büyük bir tam sayı olmalı.

$n - 3 \geq 0$ koşulu $n \geq 3$ verir. $6 - n \geq 0$ koşulu $n \leq 6$ verir. $n$ tam sayı olduğundan $n \in \{3, 4, 5, 6\}$ .

Birini denetle: $n = 3$ için $P(x) = 2x^0 + x^3 + 5 = x^3 + 7$ olur; gerçekten bir polinom.

Sonuç

$n$ dört farklı değer alabilir.

Derece, baş katsayı, sabit terim

Bir polinomu tanıtan üç bilgi vardır: en büyük üs, onun katsayısı ve $x$ içermeyen terim.

$P(x) = 4x - 7x^3 + 2$ polinomunda terimler sıralı yazılmamış. En büyük üs $3$ olduğundan derece $3$ , baş katsayı $-7$ , sabit terim $2$ ‘dir. $x^2$ terimi yok; katsayısı $0$ demektir.

Sahnede $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ eğrisi ile yalnızca baş terimi olan $y = x^3$ eğrisi birlikte çizili. Yakından ikisi birbirine benzemiyor. Uzaklaştır sürgüsünü çek: görüş alanı genişledikçe iki eğri üst üste biniyor. Büyük $x$ değerlerinde polinomun gidişini derecesi ve baş katsayısı belirler.

Geniş aralıkta

P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6

ile baş terimi

x^3

birbirinden zor ayrılır.

Bir polinomun sabit polinom olması için $x$ içeren bütün terimlerin katsayısı $0$ olmalıdır. Sıfır polinomu için sabit terim de $0$ olmalıdır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

P(x) = (a - 2)x^2 + (b + 1)x + a + b

bir sabit polinomdur.

P(5)

kaçtır?

Açıklama

$x^2$ ve $x$ terimleri yok olmalı: $a - 2 = 0$ ve $b + 1 = 0$ , yani $a = 2$ , $b = -1$ . Geriye $P(x) = a + b = 1$ kalır; her $x$ için değer $1$ ‘dir.

$P(0)$ ve $P(1)$ ne söyler?

Bir polinomda $x$ yerine sayı yazınca her terim bir sayıya dönüşür ve bunlar toplanır. İki özel değer açılım yapmadan bilgi verir.

Sahnede $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ polinomu dört terimine ayrılmış; seçtiğin $x$ için her terimin değeri üst üste diziliyor ve toplamları eğrinin o noktadaki yüksekliğini veriyor. Önce $x = 0$ düğmesine bas: $x$ içeren üç terim sıfırlanıyor, geriye sabit terim $6$ kalıyor. Sonra $x = 1$ düğmesine bas: her terim kendi katsayısına eşit oluyor.

P(0) = 6

sabit terimdir;

P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0

katsayılar toplamıdır.

Örnek

kolay

Açmadan katsayılar toplamı

$P(x) = (x^2 - 3x + 1)^5 \cdot (2x + 1)$ polinomunun katsayılar toplamı ve sabit terimi kaçtır?

Parantezleri açmak on birinci dereceden bir polinom verir; gerek yok. Katsayılar toplamı $P(1)$ ‘dir, çünkü $x = 1$ yazınca her terim katsayısına iner.

$x = 1$ yaz: ilk parantez $1 - 3 + 1 = -1$ , ikinci parantez $3$ olur. $(-1)^5 = -1$ olduğundan $P(1) = -1 \cdot 3 = -3$ .

Sabit terim $P(0)$ ‘dır. $x = 0$ yaz: ilk parantez $1$ , ikinci parantez $1$ olur; $P(0) = 1^5 \cdot 1 = 1$ .

Sonuç

Katsayılar toplamı $-3$ , sabit terim $1$ ‘dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

P(x - 2) = x^2 + 3x - 1

olduğuna göre

P(x)

polinomunun sabit terimi kaçtır?

Açıklama

Sabit terim $P(0)$ ‘dır. Parantezin içi $0$ olsun diye $x = 2$ yazılır: $P(0) = 4 + 6 - 1 = 9$ .

Polinom eşitliği

İki polinom ne zaman “aynı” sayılır? Her $x$ için aynı değeri veriyorlarsa. Bu, ancak terimleri tek tek aynıysa olur.

Sahnede $P(x) = x^2 - 2x + 3$ sabit; $Q(x) = ax^2 + bx + c$ polinomunun katsayılarını sen ayarlıyorsun. Katsayılardan biri bile farklıyken iki eğri en çok iki noktada buluşuyor. Üç sürgüyü $a = 1$ , $b = -2$ , $c = 3$ yaptığında eğriler tümüyle çakışıyor: eşitlik, bütün katsayıların eşitliğidir.

Örnek

kolay

Eşitlikten bilinmeyen katsayıları bulma

Her $x$ gerçek sayısı için $a(x - 1) + b(x + 2) = 5x + 4$ olduğuna göre $a$ ve $b$ kaçtır?

Eşitlik her $x$ için sağlandığından iki taraf eşit polinomlardır. Sol tarafı düzenle: $(a + b)x + (-a + 2b)$ .

Aynı dereceli terimlerin katsayılarını eşitle. $x$ ‘in katsayıları: $a + b = 5$ . Sabit terimler: $-a + 2b = 4$ .

İki denklemi taraf tarafa topla: $3b = 9$ , $b = 3$ . Buradan $a = 2$ .

İkinci yol, sağlama için: eşitlik her $x$ için doğruysa uygun sayılar yazabilirsin. $x = 1$ ilk parantezi sıfırlar: $3b = 9$ . $x = -2$ ikinci parantezi sıfırlar: $-3a = -6$ . Aynı sonuç.

Sonuç

$a = 2$ ve $b = 3$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Her

x

için

(a + 1)x^2 + 4x + b = 3x^2 + (c - 1)x - 2

olduğuna göre

a + b + c

kaçtır?

Açıklama

$x^2$ : $a + 1 = 3$ , $a = 2$ . $x$ : $4 = c - 1$ , $c = 5$ . Sabit: $b = -2$ . Toplam $2 - 2 + 5 = 5$ .

Orta

İşlemler, bölme, kalan ve çarpan teoremi

Toplama, çıkarma, çarpma

Toplama ve çıkarmada yalnızca aynı dereceli terimler birleşir: $x^2$ ‘liler kendi arasında, $x$ ‘liler kendi arasında. Çarpmada birinci polinomun her terimi ikincinin her terimiyle çarpılır, sonra benzer terimler toplanır.

Sahnede kenarları $2x + 1$ ve $x + 3$ olan bir dikdörtgen var. Kenarlar terimlerine bölününce dikdörtgen dört parçaya ayrılıyor: $2x^2$ , $x$ , $6x$ ve $3$ . Sürgüyle $x$ değerini değiştir; parçaların boyu değişiyor ama adları değişmiyor. Topla düğmesi iki $x$ ‘li parçayı yan yana getiriyor: $2x^2 + 7x + 3$ .

(2x + 1)(x + 3)

çarpımı dört parçanın toplamıdır; en yüksek dereceli parça

2x \cdot x

çarpımından gelir.

En yüksek dereceli parça, iki polinomun baş terimlerinin çarpımıdır. Derece kuralları buradan çıkar.

Örnek

orta

Farkta derecenin düşmesi

$P(x) = 2x^3 - x + 4$ ve $Q(x) = x^2 + 3x - 1$ olduğuna göre $P(x) - 2x \cdot Q(x)$ polinomunun derecesi kaçtır?

Önce tahmin et: $2x \cdot Q(x)$ çarpımının derecesi $1 + 2 = 3$ , $P(x)$ ‘in derecesi de $3$ . Dereceler eşit olduğundan fark için “derece $3$ ” diyemeyiz; baş terimlere bakmak gerekir.

Çarpımı yap; $2x$ her terimle çarpılır: $2x \cdot Q(x) = 2x^3 + 6x^2 - 2x$ .

Aynı dereceli terimleri alt alta düşünerek çıkar. $x^3$ ‘ler: $2 - 2 = 0$ . $x^2$ ‘ler: $0 - 6 = -6$ . $x$ ‘ler: $-1 - (-2) = 1$ . Sabit: $4$ .

$P(x) - 2x \cdot Q(x) = -6x^2 + x + 4$

Sonuç

Baş terimler birbirini götürdü; farkın derecesi $2$ ‘dir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(x^2 + 2x - 3)(x - 4)

çarpımında

x^2

‘li terimin katsayısı kaçtır?

Açıklama

$x^2$ veren çarpımlar: $x^2 \cdot (-4) = -4x^2$ ve $2x \cdot x = 2x^2$ . Toplam katsayı $-4 + 2 = -2$ . Tek bir terim soruluyorsa çarpımın tamamını açmana gerek yok.

Polinom bölmesi

Sayılarda $47 = 5 \cdot 9 + 2$ yazmıştık. Polinomlarda da aynı kalıp geçerlidir; tek fark “kalan bölenden küçük” koşulunun yerini derecenin almasıdır.

Bölme, her adımda baş terimi yok ederek ilerler: kalanın baş terimini bölenin baş terimine böl, bulduğunu bölenle çarp, çıkar. Kalanın derecesi bölenin derecesinin altına inince dur.

Örnek

orta

Adım adım polinom bölmesi

$P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ polinomunun $x^2 - x + 1$ ile bölümünden elde edilen bölümü ve kalanı bul.

Baş terimleri böl: $2x^3 \div x^2 = 2x$ . Bölüme $2x$ yaz. Böleni $2x$ ile çarp: $2x^3 - 2x^2 + 2x$ .

Bunu bölünenden çıkar; amaç $x^3$ ‘lü terimi yok etmekti:

$\begin{aligned} &(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) \\ &\quad - (2x^3 - 2x^2 + 2x) \\ &= -x^2 + 2x - 5 \end{aligned}$

Elde kalanın derecesi $2$ , bölenin derecesine eşit; devam et. $-x^2 \div x^2 = -1$ . Bölüme $-1$ ekle. Böleni $-1$ ile çarp: $-x^2 + x - 1$ .

Çıkar: $(-x^2 + 2x - 5) - (-x^2 + x - 1) = x - 4$ . Derecesi $1$ , bölenin derecesinden küçük; bölme bitti.

Sonuç

Bölüm $2x - 1$ , kalan $x - 4$ ‘tür. Sağlama: $(x^2 - x + 1)(2x - 1) + (x - 4) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir

P(x)

polinomunun

x^2 + 1

ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisi olamaz?

Açıklama

Kalanın derecesi bölenin derecesinden ( $2$ ) küçük olmalı. $x^2 - 1$ ikinci derecedendir; içinden bir tane daha $x^2 + 1$ çıkarılabilir.

Kalan teoremi

Bölen $x - a$ gibi birinci dereceden ise kalan bir sayıdır. Bu sayıyı bulmak için bölme yapmaya gerek yoktur. Bölme özdeşliğini yaz:

$P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + K$

Bu eşitlik her $x$ için doğru. $x = a$ yazınca ilk terim sıfırlanır ve $P(a) = K$ kalır.

Sahnede $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ eğrisi var. $x$ ekseni üzerindeki $a$ noktasını sürükle. Sahne her konumda bölmeyi yapıp bölümü ve kalanı yazıyor; kalan, eğrinin $a$ ‘daki yüksekliğine eşit. Kesikli eğri $P(x) - P(a)$ polinomudur: kalanı çıkarınca geriye $x - a$ ile tam bölünen kısım kalır ve bu eğri ekseni tam $a$ ‘da keser.

x - a

ile bölümden kalan, grafiğin

a

noktasındaki yüksekliğidir:

a = -1

için kalan

P(-1) = 8

Örnek

orta

Kalandan katsayıya, katsayıdan kalana

$P(x) = x^3 + ax^2 - 3x + 5$ polinomunun $x - 2$ ile bölümünden kalan $15$ ‘tir. Bu polinomun $x + 1$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Bölme yapmak yerine kalan teoremini kullan, çünkü bölen birinci dereceden. $x - 2$ ile bölümünden kalan $P(2)$ ‘dir: $P(2) = 8 + 4a - 6 + 5 = 4a + 7$ .

Kalan $15$ verilmiş: $4a + 7 = 15$ , $a = 2$ . Polinom $P(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 5$ oldu.

$x + 1$ bölenini sıfır yapan değer $x = -1$ ‘dir. Kalan $P(-1) = -1 + 2 + 3 + 5$ .

Sonuç

$x + 1$ ile bölümünden kalan $9$ ‘dur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

P(x) = x^4 - 3x + 1

polinomunun

x + 1

ile bölümünden kalan kaçtır?

Açıklama

$P(-1) = (-1)^4 - 3 \cdot (-1) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

P(2x - 1)

polinomunun

x - 2

ile bölümünden kalan

7

‘dir. Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Açıklama

Bölünen polinom $P(2x - 1)$ ‘dir. Böleni sıfır yapan $x = 2$ bu polinomda yerine yazılır: $P(2 \cdot 2 - 1) = P(3) = 7$ .

Örnek

orta

Karton kutu: kalan ne anlama gelir?

$20$ cm’ye $12$ cm boyutlarındaki dikdörtgen bir kartonun dört köşesinden kenarı $x$ cm olan kareler kesiliyor ve kenarlar katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Kutunun hacmini veren $V(x)$ polinomunun derecesini ve baş katsayısını bul. $V(x)$ ‘in $x - 2$ ile bölümünden kalan kaçtır ve neyi gösterir?

Kutunun boyutlarını yaz. Her kenardan iki kare kesildiği için taban $20 - 2x$ ve $12 - 2x$ , yükseklik $x$ olur:

$V(x) = x(20 - 2x)(12 - 2x)$

Derece ve baş katsayı için açmaya gerek yok. Üç birinci dereceden çarpan var: derece $1 + 1 + 1 = 3$ . Baş katsayı, baş katsayıların çarpımıdır: $1 \cdot (-2) \cdot (-2) = 4$ .

$x - 2$ ile bölümünden kalan, kalan teoremine göre $V(2)$ ‘dir. Çarpanlı biçimde hesaplamak daha kolay: $V(2) = 2 \cdot 16 \cdot 8 = 256$ .

Sağlama için açılımı kullan: $V(x) = 4x^3 - 64x^2 + 240x$ ve $V(2) = 32 - 256 + 480 = 256$ .

Sonuç

Derece $3$ , baş katsayı $4$ , kalan $256$ . Kalan, köşelerden $2$ cm’lik kareler kesildiğinde oluşan kutunun hacmidir: $256$ cm³.

Çarpan teoremi ve polinomun sıfırı

Kalan teoreminde en ilginç durum kalanın $0$ çıkmasıdır. O zaman $P(x) = (x - a) \cdot Q(x)$ olur: $x - a$ bir çarpandır.

Aynı sahnede bu kez kalanı sıfırlamaya çalış. $a$ noktasını eğrinin ekseni kestiği yere getirdiğinde kalan çubuğu kayboluyor ve sahne o çarpanı listeye ekliyor. Üç kesim noktasını da bul: $P(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3)$ . Eksenin her kesim noktası bir çarpandır.

Kökler

-2

1

3

; karşılık gelen çarpanlar

x + 2

x - 1

x - 3

Kancadaki sorunun yanıtı buradan gelir. Baş katsayı $1$ ve kökler $-2$ , $1$ , $3$ ise polinom $(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ ‘tür ve $x = 2$ için değeri $4 \cdot 1 \cdot (-1) = -4$ olur.

Örnek

orta

Bir kökten bütün çarpanlara

$P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ polinomunun bir çarpanının $x - 2$ olduğunu göster ve polinomu birinci dereceden çarpanlarına ayır.

Çarpan teoremine göre $x - 2$ ‘nin çarpan olması için $P(2) = 0$ olmalı. Denetle: $P(2) = 8 - 16 + 2 + 6 = 0$ . Çarpandır.

Öbür çarpanı bulmak için $P(x)$ ‘i $x - 2$ ‘ye böl. $x^3 \div x = x^2$ ; çıkarınca $-2x^2 + x + 6$ kalır. $-2x^2 \div x = -2x$ ; çıkarınca $-3x + 6$ kalır. $-3x \div x = -3$ ; çıkarınca $0$ kalır.

Bölüm $x^2 - 2x - 3$ ve kalan beklendiği gibi $0$ : $P(x) = (x - 2)(x^2 - 2x - 3)$ .

İkinci dereceden çarpanı ayır: çarpımı $-3$ , toplamı $-2$ olan sayılar $-3$ ve $1$ ‘dir. $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$ .

Sonuç

$P(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 1)$ ; kökler $-1$ , $2$ ve $3$ ‘tür.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

P(x) = x^3 + kx - 6

polinomunun bir çarpanı

x - 2

‘dir.

k

kaçtır?

Açıklama

$x - 2$ çarpan ise $P(2) = 0$ : $8 + 2k - 6 = 0$ , $k = -1$ .

İleri

Sınav düzeyi: polinomu köklerinden kurmak

İkinci dereceden bölende kalan

Bölen ikinci dereceden ise kalan bir sayı olmak zorunda değildir; en çok birinci derecedendir. Kalanı $ax + b$ diye adlandırıp bölme özdeşliğinde bölenin köklerini yerine yazarsın.

Örnek

zor

İki kalandan üçüncüsü

Bir $P(x)$ polinomunun $x - 1$ ile bölümünden kalan $3$ , $x + 2$ ile bölümünden kalan $-3$ ‘tür. $P(x)$ ‘in $(x - 1)(x + 2)$ ile bölümünden kalan nedir?

Verilenleri kalan teoremiyle değere çevir: $P(1) = 3$ ve $P(-2) = -3$ .

Bölen ikinci dereceden olduğundan kalan en çok birinci derecedendir; $ax + b$ de. Bölme özdeşliği:

$P(x) = (x - 1)(x + 2) \cdot Q(x) + ax + b$

$Q(x)$ ‘i bilmiyoruz ama onu yok edebiliriz: bölenin kökleri olan $x = 1$ ve $x = -2$ ilk terimi sıfırlar. $x = 1$ : $a + b = 3$ . $x = -2$ : $-2a + b = -3$ .

Birinci denklemden ikinciyi çıkar: $3a = 6$ , $a = 2$ ; sonra $b = 1$ .

Sonuç

Kalan $2x + 1$ ‘dir. Sağlama: $x = 1$ için $3$ , $x = -2$ için $-3$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

P(x)

polinomunun

x^2 - 4

ile bölümünden kalan

3x + 1

‘dir.

P(x)

‘in

x - 2

ile bölümünden kalan kaçtır?

Açıklama

$P(x) = (x^2 - 4) \cdot Q(x) + 3x + 1$ . $x = 2$ için $x^2 - 4 = 0$ olur: $P(2) = 3 \cdot 2 + 1 = 7$ .

Polinomu köklerinden kurmak

Çarpan teoremini art arda uygula: her kök bir çarpan getirir, her çarpan dereceyi $1$ artırır. Bu yüzden $n$ . dereceden bir polinomun en çok $n$ farklı kökü olur ve bütün kökleri biliniyorsa geriye tek bir bilinmeyen kalır: baş katsayı.

Sahnede $P(x) = a(x + 1)(x - 2)(x - r)$ polinomu var. $r$ kökünü eksen üzerinde sürükle: eğri iki sabit kökten geçmeye devam ederek biçim değiştiriyor. Sonra $a$ sürgüsünü oynat: kökler yerinde kalıyor, eğri düşeyde esniyor; $a$ negatif olunca ters dönüyor. Kökler çarpanları, baş katsayı ölçeği belirler.

Örnek

zor

Aynı değeri üç kez alan polinom

Baş katsayısı $2$ olan üçüncü dereceden bir $P(x)$ polinomu için $P(-1) = P(2) = P(3) = 5$ ‘tir. $P(0)$ kaçtır?

Verilen üç sayı kök değil; polinom oralarda $5$ değerini alıyor. Ama $5$ çıkarırsan kök olurlar: $R(x) = P(x) - 5$ polinomu için $R(-1) = R(2) = R(3) = 0$ .

Sabit çıkarmak dereceyi ve baş katsayıyı değiştirmez: $R(x)$ üçüncü dereceden, baş katsayısı $2$ . Üç kökü de biliniyor:

$R(x) = 2(x + 1)(x - 2)(x - 3)$

Geri dön: $P(x) = 2(x + 1)(x - 2)(x - 3) + 5$ . $x = 0$ yaz: $2 \cdot 1 \cdot (-2) \cdot (-3) + 5$ .

Sonuç

$P(0) = 12 + 5 = 17$

Örnek

zor

Atölyenin kâr polinomu

Bir atölyenin haftalık kârı, üretilen ürün sayısı $x$ yüz adet olmak üzere, bin TL cinsinden üçüncü dereceden bir $K(x)$ polinomuyla modelleniyor. Hiç üretim yapılmayan haftada atölye $12$ bin TL zarar ediyor. $100$ , $300$ ve $400$ adet üretilen haftalarda ne kâr ne zarar ediyor. Bu modele göre $200$ adet üretilen haftada kâr kaç bin TL’dir?

Cümleleri polinomun diline çevir. “Ne kâr ne zarar” kârın $0$ olması demektir: $K(1) = K(3) = K(4) = 0$ . Üretim yokken zarar: $K(0) = -12$ .

Üçüncü dereceden polinomun üç kökü biliniyor; baş katsayı bilinmiyor, ona $a$ de:

$K(x) = a(x - 1)(x - 3)(x - 4)$

Baş katsayıyı ek bilgiden bul. $K(0) = a \cdot (-1) \cdot (-3) \cdot (-4) = -12a$ . Bu $-12$ ‘ye eşit olduğundan $a = 1$ .

$200$ adet, $x = 2$ demektir: $K(2) = (2 - 1)(2 - 3)(2 - 4) = 1 \cdot (-1) \cdot (-2)$ .

Sonuç

$K(2) = 2$ ; kâr $2$ bin TL’dir.

Çift katlı kök

Bir polinomun çarpanlı yazılışında aynı çarpan iki kez geçebilir: $(x - 1)^2(x - 3)$ . Bu polinom üçüncü dereceden olduğu hâlde yalnızca iki farklı kökü vardır.

Sahnede kökleri $1 - d$ , $1 + d$ ve $3$ olan polinom var. $d$ sürgüsünü sıfıra çek: iki kök birbirine yaklaşıyor, aralarındaki küçük kambur eksene doğru iniyor. $d = 0$ olduğunda çarpan $(x - 1)^2$ olur ve eğri eksene dokunup geri döner. Boyalı bölgelere bak: $x = 3$ ‘te işaret değişiyor, $x = 1$ ‘de değişmiyor.

İki kök birleşince grafik ekseni kesmez, eksene dokunur;

(x - 1)^2 \geq 0

olduğundan o kökte işaret değişmez.

Neden işaret değişmez? $(x - a)^2$ hiçbir $x$ için negatif olmaz. $x - a$ çarpanı ise $a$ ‘nın solunda negatif, sağında pozitiftir. Bu gözlem iki yönde kullanılır:

Polinomun kökü var ama o kökte işaret değiştirmiyorsa (örneğin hep $P(x) \geq 0$ ise) kök çift katlıdır.
Derece $n$ ama farklı kök sayısı $n$ ‘den azsa köklerden biri tekrar ediyor olabilir.

Örnek

zor

Tavana iki kez dokunan polinom

Dördüncü dereceden bir $P(x)$ polinomu her $x$ gerçek sayısı için $P(x) \leq 3$ eşitsizliğini sağlıyor. $P(-1) = P(2) = 3$ ve $P(0) = -5$ olduğuna göre $P(3)$ kaçtır?

Eşitsizliği sıfırla karşılaştırmaya çevir: $R(x) = 3 - P(x)$ polinomu dördüncü derecedendir ve her $x$ için $R(x) \geq 0$ ‘dır. Verilenlerden $R(-1) = R(2) = 0$ .

$R(x)$ hiç negatif olmuyor; yani $-1$ ve $2$ köklerinde işaret değiştirmiyor. Öyleyse ikisi de çift katlı köktür. $(x + 1)^2 (x - 2)^2$ zaten dördüncü dereceden olduğundan başka çarpana yer yok:

$R(x) = k(x + 1)^2(x - 2)^2$

$k$ sayısını $P(0) = -5$ bilgisinden bul. $R(0) = 3 - (-5) = 8$ ve $R(0) = k \cdot 1 \cdot 4 = 4k$ . Buradan $k = 2$ .

$R(3) = 2 \cdot 4^2 \cdot 1^2 = 32$ . Geri dön: $P(3) = 3 - R(3)$ .

Sonuç

$P(3) = 3 - 32 = -29$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Baş katsayısı

1

olan üçüncü dereceden bir

P(x)

polinomunun grafiği

x

eksenine

x = 2

noktasında dokunuyor,

x = -1

noktasında ekseni kesiyor.

P(1)

kaçtır?

Açıklama

Dokunma çift katlı kök demektir: $P(x) = (x - 2)^2(x + 1)$ . $P(1) = (-1)^2 \cdot 2 = 2$ .

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Polinom: $a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0$ ; üsler doğal sayı, katsayılar gerçek sayı. En büyük üs derece, onun katsayısı baş katsayı, $a_0$ sabit terim.
Sabit polinom $P(x) = c$ ; sıfır polinomu $P(x) = 0$ (derecesi tanımsız).
$P(0)$ sabit terim, $P(1)$ katsayılar toplamıdır.
Eşitlik: aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit; eşit polinomlar her $x$ için aynı değeri alır.
Derece: çarpımda toplanır; toplam ve farkta en çok büyük olan kadardır, eşit derecelerde düşebilir.
Bölme özdeşliği: $P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x)$ ; kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük.
Kalan teoremi: $x - a$ ile bölümünden kalan $P(a)$ . Böleni sıfır yapan değeri yaz.
Çarpan teoremi: $P(a) = 0 \iff (x - a)$ çarpan. Kök, grafiğin $x$ eksenine değdiği yerdir.
Köklerden polinom: $P(x) = a(x - r_1) \cdots (x - r_n)$ ; baş katsayıyı unutma. $P$ bir $c$ değerini alıyorsa $P(x) - c$ ile çalış.
Çift katlı kök: $(x - a)^2$ çarpan; grafik eksene dokunur, işaret değişmez.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

9 çıkmış soru7 özgün soru

2025 AYTSoru 12

Zor

İşlemlerde derece

$P(x)$ ve $Q(x)$ gerçel katsayılı polinomlardır. $P(x) + Q(x)$ toplamı ikinci dereceden bir polinomdur ve

$P(x) \cdot Q(x) = -4 \cdot (x - 1)^4 \cdot (x - 2)^2$

$P(3) = -16$

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre $Q(4)$ değeri kaçtır?

İpucu

Çarpımın derecesi $6$ . Toplamın derecesi $2$ 'ye düşebildiğine göre $P$ ile $Q$ 'nun dereceleri ve baş katsayıları hakkında ne söyleyebilirsin? Sonra altı çarpanı iki polinoma paylaştır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Dereceler. Çarpımın derecesi $4 + 2 = 6$ olduğundan $\text{der}[P(x)] + \text{der}[Q(x)] = 6$ . Dereceler farklı olsaydı toplamın derecesi büyük olan kadar, yani en az $4$ olurdu. Toplam ikinci dereceden olduğuna göre dereceler eşittir: ikisi de $3$ .

2. Baş katsayılar. Toplamda $x^3$ 'lü terim yok; baş katsayılar birbirinin ters işaretlisidir: $k$ ve $-k$ . Çarpımın baş katsayısı $-k^2 = -4$ olduğundan $k = 2$ ya da $k = -2$ .

3. Çarpanları paylaştır. $(x - 1)^4(x - 2)^2$ içindeki altı çarpandan üçü $P(x)$ 'e düşer. $P(x)$ 'in baş katsayısı $k$ ise üç olasılık vardır:

$P(x) = k(x - 1)^3$ : $P(3) = 8k$
$P(x) = k(x - 1)^2(x - 2)$ : $P(3) = 4k$
$P(x) = k(x - 1)(x - 2)^2$ : $P(3) = 2k$

$P(3) = -16$ ve $k = \pm 2$ koşullarını yalnızca birincisi sağlar: $8k = -16$ , $k = -2$ .

4. Sonuç. $P(x) = -2(x - 1)^3$ ve kalan çarpanlarla $Q(x) = 2(x - 1)(x - 2)^2$ .

$Q(4) = 2 \cdot 3 \cdot 2^2 = 24$

Sağlama: $P(x) + Q(x) = 2(x - 1)\left[(x - 2)^2 - (x - 1)^2\right] = 2(x - 1)(3 - 2x)$ ; gerçekten ikinci dereceden.

Cevap: B

2023 AYTSoru 18

Orta

Çift katlı kök

$P(x)$ , gerçel katsayılı, baş katsayısı $3$ olan üçüncü dereceden bir polinomdur ve yalnızca $2$ farklı gerçel kökü vardır.

$P(1) = P(2) = 0$ olduğuna göre $P(3)$ değeri

I. $6$

II. $12$

III. $18$

sayılarından hangilerine eşit olabilir?

İpucu

$x - 1$ ve $x - 2$ çarpanlarını ayırınca geriye birinci dereceden bir çarpan kalır; onun kökü de gerçeldir. Farklı kök sayısı $2$ olacaksa bu üçüncü kök nerede olmalı?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Çarpanlı yaz. $1$ ve $2$ köktür; derece $3$ ve baş katsayı $3$ olduğundan geriye birinci dereceden bir çarpan kalır:

$P(x) = 3(x - 1)(x - 2)(x - r)$

2. Üçüncü kök. $r$ gerçel bir sayıdır. Farklı kök sayısı $2$ olduğuna göre $r$ yeni bir kök olamaz: $r = 1$ ya da $r = 2$ . Yani köklerden biri çift katlıdır.

3. İki durumu hesapla.

$r = 1$ : $P(x) = 3(x - 1)^2(x - 2)$ ve $P(3) = 3 \cdot 4 \cdot 1 = 12$ .
$r = 2$ : $P(x) = 3(x - 1)(x - 2)^2$ ve $P(3) = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ .

$P(3)$ yalnızca $6$ ya da $12$ olabilir: I ve II.

Tuzak: tek bir durumu bulup durmak. "Olabilir" sorusunda bütün durumlar denenir.

Cevap: D

2023 AYTSoru 19

Orta

Çarpan teoremi ve bölme

$a$ ve $b$ birer tam sayıdır.

$P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 2$

polinomunun yalnızca bir gerçel kökü vardır.

$P(1) = 0$ olduğuna göre $a$ tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

İpucu

$P(1) = 0$ sana hem $a$ ile $b$ arasında bir bağıntı hem de bir çarpan verir. O çarpanı ayırınca kalan ikinci dereceden polinomun gerçel kökü olmamalı.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Bağıntı. $P(1) = 1 + a + b - 2 = 0$ olduğundan $b = 1 - a$ .

2. Çarpanı ayır. $P(1) = 0$ ise $x - 1$ bir çarpandır. Öbür çarpan ikinci dereceden ve baş katsayısı $1$ 'dir: $P(x) = (x - 1)(x^2 + mx + n)$ . Sabit terimler: $-n = -2$ , $n = 2$ . $x^2$ 'li terimler: $m - 1 = a$ , $m = a + 1$ .

$P(x) = (x - 1)\left(x^2 + (a + 1)x + 2\right)$

3. Tek gerçel kök. $1$ zaten bir kök. Başka gerçel kök olmaması için ikinci dereceden çarpanın gerçel kökü olmamalı; bunun koşulu diskriminantın negatif olmasıdır (bkz. İkinci Dereceden Denklemler):

$(a + 1)^2 - 8 < 0$

4. Tam sayılar. $(a + 1)^2 < 8$ eşitsizliğini sağlayan tam sayılar için $a + 1 \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ , yani $a \in \{-3, -2, -1, 0, 1\}$ . En küçük değer $-3$ .

Tuzak: $a = -4$ için ikinci dereceden çarpan $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ olur; polinomun $1$ ve $2$ gibi iki farklı gerçel kökü çıkar ve koşul bozulur.

Cevap: D

2022 AYTSoru 9

Orta

Köklerden polinom kurma

$P(x)$ , gerçel katsayılı, baş katsayısı $1$ olan ikinci dereceden bir polinomdur. $a$ ve $b$ pozitif gerçel sayılardır.

$P(x) - a$

polinomunun yalnızca bir kökü vardır.

$P(x) - a - 4$

polinomunun kökleri ise $-b$ ve $b$ 'dir. Ayrıca

$P(b) = 9$

olduğu biliniyor.

Buna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

İpucu

Kökleri bilinen polinomdan başla: $P(x) - a - 4$ ikinci dereceden, baş katsayısı $1$ ve iki kökü belli. Sonra $b$ kökünü bu polinomda yerine yaz.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Kökleri bilinen polinomu yaz. $P(x) - a - 4$ ikinci dereceden, baş katsayısı $1$ , kökleri $-b$ ve $b$ :

$P(x) - a - 4 = (x + b)(x - b) = x^2 - b^2$

2. $a$ değerini bul. $b$ bir kök olduğundan $P(b) - a - 4 = 0$ . $P(b) = 9$ verildiğine göre $9 - a - 4 = 0$ , $a = 5$ .

3. Tek kök koşulu. Birinci adımdan $P(x) - a = x^2 - b^2 + 4$ . Bu polinomun yalnızca bir kökü olması için $x^2 = b^2 - 4$ denkleminin tek çözümü olmalı; bu ancak $b^2 - 4 = 0$ iken olur. $b > 0$ olduğundan $b = 2$ .

4. $a + b = 5 + 2 = 7$ .

Sağlama: $P(x) = x^2 + 5$ . $P(x) - 5 = x^2$ polinomunun tek kökü $0$ ; $P(x) - 9 = x^2 - 4$ polinomunun kökleri $-2$ ve $2$ ; $P(2) = 9$ .

Cevap: B

2021 AYTSoru 10

Zor

Çift katlı kök

$P(x)$ , gerçel katsayılı dördüncü dereceden bir polinomdur ve her $x$ gerçel sayısı için

$P(x) \geq x$

eşitsizliği geçerlidir. Ayrıca

$P(1) = 1 \qquad P(2) = 4 \qquad P(3) = 3$

olduğu biliniyor.

Buna göre $P(4)$ kaçtır?

İpucu

$P(x) - x$ polinomunu düşün: hiç negatif olmuyor ama $x = 1$ ve $x = 3$ için sıfır. İşaret değiştirmeden sıfır olan bir polinomun o kökü nasıl bir köktür?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Yeni polinom. $R(x) = P(x) - x$ dördüncü derecedendir ve her $x$ için $R(x) \geq 0$ 'dır. Verilenlerden $R(1) = 0$ , $R(3) = 0$ ve $R(2) = 4 - 2 = 2$ .

2. Kökler çift katlı. $R(x)$ hiç negatif olmadığından $1$ ve $3$ köklerinde işaret değiştirmez; ikisi de çift katlı köktür. $(x - 1)^2(x - 3)^2$ dördüncü dereceden olduğundan başka çarpan yoktur:

$R(x) = k(x - 1)^2(x - 3)^2$

3. Katsayı. $R(2) = k \cdot 1 \cdot 1 = 2$ , yani $k = 2$ .

4. İstenen. $R(4) = 2 \cdot 3^2 \cdot 1^2 = 18$ ve $P(4) = R(4) + 4 = 22$ .

Tuzak: $1$ , $2$ ve $3$ sayılarının üçünü de aynı türden bilgi sanmak. $P(1) = 1$ ve $P(3) = 3$ eşitlik durumlarıdır ( $R$ 'nin kökleri); $P(2) = 4$ ise yalnızca $k$ katsayısını bulmaya yarar.

Cevap: B

2020 AYTSoru 15

Orta

Çarpımda derece, sabit terim ve kök

$P(x)$ ve $Q(x)$ sabit olmayan polinomlar, $R(x)$ de birinci dereceden bir polinomdur. Bu polinomlar arasında

$P(x) = Q(x) \cdot R(x)$

eşitliği vardır.

Buna göre,

I. $P(x)$ ile $R(x)$ polinomlarının sabit terimleri eşittir.

II. $P(x)$ polinomunun grafiği bir parabol ise $Q(x)$ polinomunun grafiği bir doğrudur.

III. $Q(x)$ polinomunun her kökü aynı zamanda $P(x)$ polinomunun da köküdür.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

İpucu

Sabit terim için $x = 0$ yaz, derece için çarpımda derecelerin toplandığını kullan, kök için $Q(r) = 0$ iken $P(r)$ değerine bak. "Her zaman" dendiği için bir karşı örnek ifadeyi düşürür.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

I. Sabit terim $x = 0$ değeridir: $P(0) = Q(0) \cdot R(0)$ . Bu, $P(0) = R(0)$ olmasını gerektirmez. Karşı örnek: $Q(x) = x + 2$ , $R(x) = x + 1$ için $P(0) = 2$ , $R(0) = 1$ . Her zaman doğru değil.

II. Çarpımda dereceler toplanır: $\text{der}[P(x)] = \text{der}[Q(x)] + 1$ . Grafiği parabol olan polinom ikinci derecedendir; o hâlde $Q(x)$ birinci derecedendir ve grafiği bir doğrudur. Her zaman doğru.

III. $Q(r) = 0$ ise $P(r) = Q(r) \cdot R(r) = 0 \cdot R(r) = 0$ . Her zaman doğru.

Yanıt: II ve III.

Cevap: E

2020 AYTSoru 16

Orta

Kalan teoremi

$P(x)$ ve $R(x)$ gerçel katsayılı, üçüncü dereceden iki polinomdur; ikisinin de en yüksek dereceli teriminin katsayısı $1$ 'dir. $2$ ve $6$ sayıları bu iki polinomun ortak kökleridir. $P(x) - R(x)$ polinomunun $x - 1$ ile bölümünden kalan $10$ 'dur.

Buna göre $P(0) - R(0)$ değeri kaçtır?

İpucu

İki polinomu da çarpanlı yaz; yalnızca üçüncü kökleri farklıdır. Farkı aldığında ortak çarpan paranteze girer.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Çarpanlı yaz. Baş katsayılar $1$ , ortak kökler $2$ ve $6$ ; üçüncü kökler $p$ ve $r$ olsun:

$\begin{aligned} P(x) &= (x - 2)(x - 6)(x - p) \\ R(x) &= (x - 2)(x - 6)(x - r) \end{aligned}$

2. Farkı al. Ortak çarpan paranteze alınır, $x$ 'ler birbirini götürür:

$P(x) - R(x) = (x - 2)(x - 6)(r - p)$

3. Kalan teoremi. $x - 1$ ile bölümünden kalan, farkın $x = 1$ için değeridir: $(-1) \cdot (-5) \cdot (r - p) = 5(r - p) = 10$ . Buradan $r - p = 2$ .

4. İstenen. $P(0) - R(0) = (-2) \cdot (-6) \cdot (r - p) = 12 \cdot 2 = 24$ .

Not: $p$ ve $r$ ayrı ayrı bulunamaz; gerek de yoktur. Farkın derecesi $2$ 'ye düştü, çünkü baş terimler birbirini götürdü.

Cevap: A

2019 AYTSoru 12

Zor

Köklerden polinom kurma

Dördüncü dereceden bir polinomun en yüksek dereceli teriminin katsayısı $1$ 'dir ve bütün kökleri tam sayıdır. Bu polinomun dik koordinat düzlemindeki grafiğinden, eksenleri kestiği noktaların çevresinden alınmış bazı parçalar şekilde gösterilmiştir.

Buna göre bu polinomun katsayıları toplamı kaçtır?

İpucu

Parçalardan iki kökü ve $P(0)$ değerini oku. Öbür iki kökün çarpımını bulduktan sonra, grafiğin $-3$ ve $4$ noktalarında ekseni hangi yönde kestiğine bakarak bu köklerin hangi aralıklarda olduğunu belirle.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Parçaları oku. Grafik $x$ eksenini $-3$ ve $4$ noktalarında, $y$ eksenini $72$ değerinde kesiyor: $P(-3) = P(4) = 0$ ve $P(0) = 72$ .

2. Polinomu yaz. Baş katsayı $1$ , derece $4$ ; öbür iki kök $r$ ve $s$ olsun:

$P(x) = (x + 3)(x - 4)(x - r)(x - s)$

$P(0) = 3 \cdot (-4) \cdot r \cdot s = -12rs = 72$ olduğundan $rs = -6$ .

3. Kesme yönlerini kullan. Grafik $-3$ noktasında ekseni azalarak kesiyor; yani $-3$ 'ün hemen sağında $P(x) < 0$ . Oysa $P(0) = 72 > 0$ . Polinomun grafiği kopmadığından $-3$ ile $0$ arasında bir kök daha vardır. Grafik $4$ noktasında ekseni artarak kesiyor; yani $4$ 'ün hemen solunda $P(x) < 0$ . Bu yüzden $0$ ile $4$ arasında da bir kök vardır.

4. Kökleri belirle. Kökler tam sayı: $r \in \{-2, -1\}$ ve $s \in \{1, 2, 3\}$ . $rs = -6$ koşulunu yalnızca $r = -2$ , $s = 3$ sağlar.

$P(x) = (x + 3)(x + 2)(x - 3)(x - 4)$

5. Katsayılar toplamı $P(1)$ 'dir. $P(1) = 4 \cdot 3 \cdot (-2) \cdot (-3) = 72$ .

Tuzak: $rs = -6$ eşitliğini sağlayan başka tam sayı çiftleri de var ( $-6$ ile $1$ , $-1$ ile $6$ , $-3$ ile $2$ ). Bunları eleyen bilgi, grafiğin eksenleri kesme yönüdür.

Cevap: A

2018 AYTSoru 9

Orta

Köklerden polinom kurma

$P(x)$ , gerçel katsayılı, baş katsayısı $1$ olan $4$ . dereceden bir polinomdur ve her $x$ gerçel sayısı için

$P(x) = P(-x)$

eşitliği geçerlidir. Ayrıca

$P(2) = P(3) = 0$

olduğu biliniyor.

Buna göre $P(1)$ kaçtır?

İpucu

$P(x) = P(-x)$ eşitliğinde $x$ yerine $2$ ve $3$ yaz. İki kök daha kazanırsın; dördüncü dereceden polinom için bu yeterlidir.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 27)

Çözüm

1. Simetriden yeni kökler. $P(x) = P(-x)$ eşitliğinde $x = 2$ yazılırsa $P(-2) = P(2) = 0$ , $x = 3$ yazılırsa $P(-3) = P(3) = 0$ olur. Kökler: $-3$ , $-2$ , $2$ , $3$ .

2. Polinomu kur. Derece $4$ , dört farklı kök biliniyor ve baş katsayı $1$ :

$P(x) = (x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3) = (x^2 - 4)(x^2 - 9)$

3. Değeri hesapla. $P(1) = (1 - 4)(1 - 9) = (-3) \cdot (-8) = 24$ .

Tuzak: yalnızca verilen iki kökle $(x - 2)(x - 3)$ yazıp durmak. Bu ikinci derecedendir; eksik iki kökü simetri verir.

Cevap: C

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Derece ve katsayılar toplamı

$m$ bir doğal sayı olmak üzere

$P(x) = (m - 2)x^4 + 3x^{m + 1} - 5x + m$

polinomunun derecesi $3$ 'tür.

Buna göre $P(x)$ polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

Çözüm

1. Derece koşulu. Derecenin $3$ olması için $x^4$ 'lü terim yok olmalı: $m - 2 = 0$ , $m = 2$ . Bu durumda $3x^{m+1} = 3x^3$ olur ve derece gerçekten $3$ 'tür. ( $m \neq 2$ olsaydı derece en az $4$ olurdu.)

2. Polinom. $P(x) = 3x^3 - 5x + 2$ .

3. Katsayılar toplamı $P(1)$ 'dir. $P(1) = 3 - 5 + 2 = 0$ .

Çeldiriciler: $2$ sabit terimdir ( $P(0)$ ); $3$ baş katsayıdır; $8$ , $-5$ 'in işaretini görmeden $3 + 5$ toplamaktan çıkar.

Cevap: A

Özgün soru2

Kolay

Kalan ve çarpan teoremi

$P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 6$

polinomu $x - 3$ ile tam bölünmektedir.

Buna göre $P(x)$ polinomunun $x + 1$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm

1. Tam bölünme. $x - 3$ ile tam bölünüyorsa kalan $0$ 'dır: $P(3) = 27 - 18 + 3a + 6 = 15 + 3a = 0$ . Buradan $a = -5$ .

2. Kalan. $x + 1$ bölenini sıfır yapan değer $-1$ 'dir:

$P(-1) = -1 - 2 + 5 + 6 = 8$

Sağlama: $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x + 2)(x - 1)(x - 3)$ ve $P(-1) = 1 \cdot (-2) \cdot (-4) = 8$ .

Çeldirici: $P(1)$ hesaplamak $0$ verir; $x + 1$ için yazılacak değer $-1$ 'dir.

Cevap: B

Özgün soru3

Orta

Polinom eşitliği

$a$ ve $b$ gerçel sayılar, $Q(x)$ bir polinom olmak üzere her $x$ gerçel sayısı için

$x^3 + ax + b = (x^2 - x + 2) \cdot Q(x)$

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre $a + b$ toplamı kaçtır?

İpucu

Önce $Q(x)$ 'in derecesini ve baş katsayısını bul. Sonra sol tarafta $x^2$ 'li terimin olmadığını kullan.

Çözüm

1. $Q(x)$ 'in biçimi. Sol taraf üçüncü dereceden, baş katsayısı $1$ . Çarpımda dereceler toplandığından $Q(x)$ birinci derecedendir; baş katsayılar çarpıldığından baş katsayısı $1$ 'dir: $Q(x) = x + c$ .

2. Çarp.

$(x^2 - x + 2)(x + c) = x^3 + (c - 1)x^2 + (2 - c)x + 2c$

3. Katsayıları eşitle. Sol tarafta $x^2$ 'li terim yok: $c - 1 = 0$ , $c = 1$ . O hâlde $a = 2 - c = 1$ ve $b = 2c = 2$ .

4. $a + b = 3$ .

Sağlama: $(x^2 - x + 2)(x + 1) = x^3 + x + 2$ .

Cevap: E

Özgün soru4

Orta

İkinci dereceden bölende kalan

Bir $P(x)$ polinomunun $x^2 - x - 6$ ile bölümünden kalan $2x + 5$ 'tir.

Buna göre $P(x + 1)$ polinomunun $x - 2$ ile bölümünden kalan kaçtır?

İpucu

İstenen kalan $P$ 'nin hangi sayıdaki değeridir? O sayı, $x^2 - x - 6$ bölenini sıfır yapıyor mu?

Çözüm

1. İstenen değer. $P(x + 1)$ polinomunun $x - 2$ ile bölümünden kalan, $x = 2$ yazılarak bulunur: $P(2 + 1) = P(3)$ .

2. Bölme özdeşliği. $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ olduğundan

$P(x) = (x - 3)(x + 2) \cdot Q(x) + 2x + 5$

3. Yerine yaz. $x = 3$ böleni sıfırlar: $P(3) = 2 \cdot 3 + 5 = 11$ .

Çeldiriciler: kalanda $x = 2$ yazmak $9$ verir, ama $P(2)$ için bölen sıfırlanmaz ve bu değer bilinemez; $x = -2$ yazmak $1$ verir, o da $P(-2)$ 'dir.

Cevap: D

Özgün soru5

Orta

Çift katlı kök

Şekilde üçüncü dereceden bir $P(x)$ polinomunun grafiği verilmiştir. Grafik $x$ eksenini $-1$ noktasında kesmekte, $x = 2$ noktasında eksene teğet olmakta ve $y$ eksenini $8$ değerinde kesmektedir.

Buna göre $P(x)$ polinomunun $x - 4$ ile bölümünden kalan kaçtır?

İpucu

Eksene teğet olunan kök çift katlıdır. Çarpanları yazınca derece dolar; baş katsayıyı $y$ eksenini kestiği değerden bul.

Çözüm

1. Çarpanlar. $-1$ noktasında kesme: $(x + 1)$ çarpanı. $2$ noktasında teğet olma (işaret değişmiyor): çift katlı kök, $(x - 2)^2$ çarpanı. Dereceler toplamı $3$ ; başka çarpan yok:

$P(x) = a(x + 1)(x - 2)^2$

2. Baş katsayı. $P(0) = a \cdot 1 \cdot 4 = 4a = 8$ olduğundan $a = 2$ .

3. Kalan teoremi. $x - 4$ ile bölümünden kalan $P(4)$ 'tür:

$P(4) = 2 \cdot 5 \cdot 2^2 = 40$

Çeldirici: baş katsayıyı $1$ almak $20$ verir. Kökler polinomu tek başına belirlemez; $P(0) = 8$ bilgisi bunun için verilmiştir.

Cevap: B

Özgün soru6

Zor

Katsayılar toplamı

$P(x) = (x^2 + x - 1)^3 \cdot (x + 2)$

polinomu açılıp $x$ 'in kuvvetlerine göre düzenleniyor.

Buna göre çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı kaçtır? (Sabit terim, derecesi $0$ olan terimdir.)

İpucu

$P(1)$ bütün katsayıları toplar. $P(-1)$ değerinde hangi katsayıların işareti değişir? İkisini taraf tarafa topla.

Çözüm

1. İki değer. Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamına $C$ , tek derecelilerinkine $T$ diyelim. $x = 1$ için her terim katsayısına eşit olur: $P(1) = C + T$ . $x = -1$ için çift kuvvetler $1$ , tek kuvvetler $-1$ olur: $P(-1) = C - T$ .

2. Topla. $P(1) + P(-1) = 2C$ , yani

$C = \dfrac{P(1) + P(-1)}{2}$

3. Hesapla. $P(1) = (1 + 1 - 1)^3 \cdot 3 = 3$ ve $P(-1) = (1 - 1 - 1)^3 \cdot 1 = -1$ .

$C = \dfrac{3 + (-1)}{2} = 1$

Çeldiriciler: $3$ bütün katsayıların toplamıdır ( $P(1)$ ); $2$ tek dereceli terimlerin katsayıları toplamıdır ( $\dfrac{P(1) - P(-1)}{2}$ ); $-1$ ise $P(-1)$ değeridir.

Cevap: C

Özgün soru7

Zor

Bölme özdeşliği

Bir $P(x)$ polinomu $x - 1$ ile bölündüğünde bölüm $Q(x)$ , kalan $2$ olmaktadır. $Q(x)$ polinomunun $x - 3$ ile bölümünden kalan $4$ 'tür.

Buna göre $P(x)$ polinomunun $x^2 - 4x + 3$ ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?

İpucu

İki bölme özdeşliğini alt alta yaz ve ikincisini birincinin içine yerleştir. $x^2 - 4x + 3$ çarpanlarına nasıl ayrılır?

Çözüm

1. Özdeşlikleri yaz.

$\begin{aligned} P(x) &= (x - 1) \cdot Q(x) + 2 \\ Q(x) &= (x - 3) \cdot S(x) + 4 \end{aligned}$

2. Yerine koy.

$\begin{aligned} P(x) &= (x - 1)\bigl[(x - 3) \cdot S(x) + 4\bigr] + 2 \\ &= (x - 1)(x - 3) \cdot S(x) \\ &\quad + 4(x - 1) + 2 \end{aligned}$

3. Kalanı oku. $(x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$ bölenin kendisidir. Geriye kalan $4(x - 1) + 2 = 4x - 2$ birinci derecedendir; derecesi bölenin derecesinden küçük olduğundan kalan budur.

Sağlama: kalan $x = 1$ için $2$ vermeli ( $P(1) = 2$ ): $4 - 2 = 2$ .

Çeldirici: $P(3) = 4$ sanıp kalanı $ax + b$ alarak $a + b = 2$ , $3a + b = 4$ çözmek $x + 1$ verir. Oysa $4$ , $P$ 'nin değil $Q$ 'nun $x = 3$ için değeridir; doğrusu $P(3) = 2 \cdot Q(3) + 2 = 10$ 'dur ve $4 \cdot 3 - 2 = 10$ bunu sağlar.

Cevap: E

Polinom nedir?

Polinom olma koşulu

Derece, baş katsayı, sabit terim

P(0)P(0)P(0) ve P(1)P(1)P(1) ne söyler?

Açmadan katsayılar toplamı

Polinom eşitliği

Eşitlikten bilinmeyen katsayıları bulma

Toplama, çıkarma, çarpma

Farkta derecenin düşmesi

Polinom bölmesi

Adım adım polinom bölmesi

Kalan teoremi

Kalandan katsayıya, katsayıdan kalana

Karton kutu: kalan ne anlama gelir?

Çarpan teoremi ve polinomun sıfırı

Bir kökten bütün çarpanlara

İkinci dereceden bölende kalan

İki kalandan üçüncüsü

Polinomu köklerinden kurmak

Aynı değeri üç kez alan polinom

Atölyenin kâr polinomu

Çift katlı kök

Tavana iki kez dokunan polinom

Özgün sorular

$P(0)$ ve $P(1)$ ne söyler?