Çarpanlara Ayırma ve Rasyonel İfadeler

Masada kenarı $x$ olan bir kare karo, $x$ ‘e $1$ boyutunda beş şerit ve altı tane birim kare var. Toplam alan $x^2 + 5x + 6$ . Bu on iki parçayı boşluk bırakmadan dizip tek bir dikdörtgen yapabilir misin? Yapabilirsen dikdörtgenin kenarları ne olur? Bu sayfa o soruyu yanıtlayan işlemi kuruyor: bir toplamı çarpıma çevirmek.

Isınma

Başlamadan: çarpma ve polinomun değeri

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

3x(2x - 5)

çarpımının açılımı aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Dağılma özelliği: $3x \cdot 2x - 3x \cdot 5 = 6x^2 - 15x$ . Çarpanlara ayırma bu işlemi geriye doğru yapmaktır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

(x + 2)(x + 3)

çarpımının açılımı aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$x \cdot x + x \cdot 3 + 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = x^2 + 5x + 6$ . Orta terim toplamdan ( $2 + 3$ ), sabit terim çarpımdan ( $2 \cdot 3$ ) gelir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

P(x) = x^2 - 5x + 6

polinomu için

P(2)

kaçtır?

Açıklama

$P(2) = 4 - 10 + 6 = 0$ . Bir polinomu sıfır yapan değer onun sıfırıdır; $P(2) = 0$ olması $x - 2$ ‘nin $P(x)$ ‘in bir çarpanı olduğunu söyler. Ayrıntısı Polinomlar sayfasında.

Temel

Toplamı çarpıma çevirmek

Çarpanlara ayırmak ne demek?

$12$ sayısını $3 \cdot 4$ diye yazınca $3$ ve $4$ onun çarpanları olur. Aynı şeyi polinomlarla yapabiliriz: $x^2 + 5x + 6$ toplamı, $(x + 2)(x + 3)$ çarpımına eşittir. Kancadaki karolar tam olarak bunu söylüyor: alan bir toplamdır, dikdörtgenin kenarları ise çarpanlardır.

On iki parça, kenarları

x + 3

x + 2

olan dikdörtgeni doldurur:

x^2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

Neden uğraşıyoruz? Çünkü çarpım biçimi, toplam biçiminin saklı tuttuğu şeyleri gösterir: ifadenin hangi değerlerde sıfır olduğunu, bir kesrin nasıl sadeleşeceğini, bir denklemin köklerini.

Ortak çarpan parantezine alma

En yalın yöntem dağılma özelliğini ters çevirmektir. Her terimde bulunan çarpanı bir kez yaz, kalanları paranteze topla.

Sahnede $2x^2 + 6x$ ifadesinin parçaları duruyor: iki tane $x^2$ karosu ve altı şerit. “Diz” düğmesine bas. Parçaların hepsi, yüksekliği $2x$ olan tek bir dikdörtgene yerleşiyor; genişlik $x + 3$ çıkıyor. $x$ sürgüsünü değiştir: boyutlar değişse de düzen bozulmuyor.

Örnek

kolay

Ortak çarpanı dışarı almak

$6x^3 - 9x^2 + 3x$ ifadesini ortak çarpan parantezine al.

Katsayılara bak: $6$ , $9$ ve $3$ sayılarının en büyük ortak böleni $3$ ‘tür. Değişkene bak: $x^3$ , $x^2$ ve $x$ içinde en küçük kuvvet $x$ ‘tir. Ortak çarpan $3x$ .

Her terimi $3x$ ‘e böl, çünkü parantezin içine bölümler yazılır: $\dfrac{6x^3}{3x} = 2x^2$ , $\dfrac{9x^2}{3x} = 3x$ , $\dfrac{3x}{3x} = 1$ .

Denetle: $3x \cdot 2x^2 - 3x \cdot 3x + 3x \cdot 1 = 6x^3 - 9x^2 + 3x$ . Baştaki ifadeyi geri verdi.

Sonuç

$6x^3 - 9x^2 + 3x = 3x(2x^2 - 3x + 1)$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

8x^2y - 12xy^2

ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$8$ ile $12$ ‘nin en büyük ortak böleni $4$ ; $x$ ve $y$ ‘nin en küçük kuvvetleri $x$ ve $y$ . $8x^2y = 4xy \cdot 2x$ ve $12xy^2 = 4xy \cdot 3y$ .

Gruplandırma

Dört terimli bir ifadede bütün terimlerin ortak çarpanı olmayabilir. O zaman terimleri ikişer ikişer grupla; her gruptan ayrı bir ortak çarpan çıkar. İki grupta aynı parantez kalırsa o parantez yeni ortak çarpandır.

Örnek

kolay

İkişerli gruplandırma

$xy - 3x + 2y - 6$ ifadesini çarpanlarına ayır.

Dört terimin ortak çarpanı yok. İlk iki terimi ve son iki terimi ayrı grupla, çünkü ilk ikisinde $x$ , son ikisinde $2$ ortak: $x(y - 3) + 2(y - 3)$ .

İki grupta da $(y - 3)$ parantezi kaldı. Artık o ortak çarpan; dışarı al: $(y - 3)(x + 2)$ .

Denetle: $(y - 3)(x + 2) = xy + 2y - 3x - 6$ . Terimler aynı, sıraları farklı.

Sonuç

$xy - 3x + 2y - 6 = (y - 3)(x + 2)$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

ab - 2a - 3b + 6

ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$a(b - 2) - 3(b - 2) = (b - 2)(a - 3)$ . İkinci gruptan $-3$ çıkınca $-3b + 6 = -3(b - 2)$ olur.

İki kare farkı

Kenarı $a$ olan bir kareden, kenarı $b$ olan bir kare kesip at. Kalan alan $a^2 - b^2$ . Bu alanı çarpım olarak yazabilir miyiz?

Sahnede kalan L biçimli bölge var. “Kes ve taşı” sürgüsünü ilerlet: üstteki ince parça dönüp sağ tarafa yapışıyor ve bölge bir dikdörtgene dönüşüyor. Dikdörtgenin kenarlarını oku: $a + b$ ve $a - b$ . $a$ ve $b$ sürgülerini değiştir; iki alan göstergesi her zaman eşit kalıyor.

Parça taşınınca alan değişmez:

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Örnek

kolay

Sonuna kadar ayırmak

$x^4 - 16$ ifadesini çarpanlarına ayır.

İki terimi de kare olarak yaz, çünkü kural kare ister: $x^4 = (x^2)^2$ ve $16 = 4^2$ . Öyleyse $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$ .

Çarpanlara tek tek bak. $x^2 - 4 = x^2 - 2^2$ yine iki kare farkıdır: $(x - 2)(x + 2)$ .

$x^2 + 4$ ise bir kareler toplamıdır. Hangi gerçek sayıyı yazarsan yaz en az $4$ eder, hiç sıfır olmaz; gerçek katsayılı çarpanlara ayrılmaz ve olduğu gibi kalır.

Sonuç

$x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

103^2 - 97^2

işleminin sonucu kaçtır?

Açıklama

$103^2 - 97^2 = (103 - 97)(103 + 97) = 6 \cdot 200 = 1200$ . Büyük kareleri hesaplamaya gerek kalmadı.

Tam kare

Bir ifade bir polinomun karesine eşitse ona tam kare denir. Tanımak için önce açılımı görelim.

Sahnede kenarı $a + b$ olan kare dört parçaya ayrılmış: $a^2$ , $b^2$ ve iki tane $ab$ dikdörtgeni. $b$ sürgüsünü oynat; parçaların alanları değişiyor ama toplamları hep büyük karenin alanı. Düğmeyle $(a - b)^2$ görünümüne geç: bu kez $a^2$ karesinden iki $ab$ şeridi çıkarılıyor, iki kez çıkarılan $b^2$ köşesi geri ekleniyor.

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

: iki kare ve iki eş dikdörtgen.

Örnek

kolay

Tam kareyi tanımak

$4x^2 - 12x + 9$ ifadesini çarpanlarına ayır.

Uç terimlere bak: $4x^2 = (2x)^2$ ve $9 = 3^2$ . İkisi de kare; tam kare olabilir.

Orta terimi denetle, çünkü asıl ölçüt odur: $2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x$ . İfadedeki orta terim $-12x$ ; büyüklük tutuyor, işaret eksi. Öyleyse parantezin içi fark olacak.

Sonuç

$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x^2 - 14x + m

ifadesi bir tam kare olduğuna göre

m

kaçtır?

Açıklama

Orta terim $2 \cdot x \cdot b = 14x$ olmalı; $b = 7$ . Son terim $b^2 = 49$ : $x^2 - 14x + 49 = (x - 7)^2$ .

Orta

Üç terimliler, küpler ve rasyonel ifadeler

$x^2 + bx + c$ biçimindeki ifadeler

Isınmada $(x + 2)(x + 3)$ çarpımını açarken orta terimin toplamdan, sabit terimin çarpımdan geldiğini gördün. Geriye dönerken aynı ipucunu kullanırız.

Sahnede hedef $x^2 + 7x + 12$ . $p$ ve $q$ sürgüleriyle dikdörtgenin kenarlarını $x + p$ ve $x + q$ yap. Şerit sayısı $p + q$ , birim kare sayısı $p \cdot q$ oluyor. İki sayaç da hedefi tutunca parçalar boşluksuz ve artıksız diziliyor. $p = 2$ , $q = 6$ dene: birim kareler tutar, şeritler tutmaz.

Örnek

orta

Sabit terim negatifse

$x^2 - x - 12$ ifadesini çarpanlarına ayır.

Çarpımı $-12$ , toplamı $-1$ olan iki sayı arıyoruz. Çarpım negatif olduğundan sayılar ters işaretli; toplam negatif olduğundan mutlak değeri büyük olan negatif.

$12$ ‘nin çarpan çiftlerini dene: $1$ ile $12$ , $2$ ile $6$ , $3$ ile $4$ . Farkı $1$ olan çift $3$ ile $4$ ‘tür. Büyük olan negatif: $-4$ ve $3$ . Denetle: $-4 + 3 = -1$ , $-4 \cdot 3 = -12$ .

Sonuç

$x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x^2 - 7x + 10

ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Çarpım $10$ pozitif, toplam $-7$ negatif: iki sayı da negatif. $-2 + (-5) = -7$ ve $(-2)(-5) = 10$ .

$ax^2 + bx + c$ biçimindeki ifadeler

Baş katsayı $1$ değilse $x^2$ ‘li terim de iki çarpana bölünür. Bunun için çapraz çarpım düzeni kullanılır: baş terimin çarpanlarını sola, sabit terimin çarpanlarını sağa yaz; çapraz çarpımların toplamı orta terimi vermeli.

6x^2 - 7x - 3

için çapraz çarpım:

2x \cdot 1 + 3x \cdot (-3) = -7x

. Çarpanlar satır satır okunur.

Örnek

orta

Baş katsayısı 1 olmayan üç terimli

$6x^2 - 7x - 3$ ifadesini çarpanlarına ayır.

Baş terim için seçenekler: $6x^2 = 6x \cdot x$ ya da $2x \cdot 3x$ . Sabit terim için: $-3 = (-3) \cdot 1$ ya da $3 \cdot (-1)$ . Orta terim küçük olduğundan birbirine yakın olan $2x$ ve $3x$ ile başlamak akıllıcadır.

$2x$ ‘in karşısına $-3$ , $3x$ ‘in karşısına $+1$ yaz ve çapraz çarp: $2x \cdot 1 + 3x \cdot (-3) = 2x - 9x = -7x$ . Orta terimi tuttu.

Çarpanları satır satır oku: $(2x - 3)$ ve $(3x + 1)$ . Denetle: $(2x - 3)(3x + 1) = 6x^2 + 2x - 9x - 3$ .

Sonuç

$6x^2 - 7x - 3 = (2x - 3)(3x + 1)$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

2x^2 + 5x + 2

ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$2x \cdot 2 + 1 \cdot x = 4x + x = 5x$ . Baş terim $2x \cdot x$ , sabit terim $1 \cdot 2$ .

Her üç terimli ayrılmaz. $x^2 + x + 1$ için toplamı $1$ , çarpımı $1$ olan iki gerçek sayı yoktur. Hangi ikinci dereceden ifadelerin ayrıldığını diskriminant söyler; o konu İkinci Dereceden Denklemler sayfasındadır.

Küp özdeşlikleri

Kare için düzlemde yaptığımızı küp için uzayda yapabiliriz. Ayrıtı $a + b$ olan bir küpü, her ayrıtını $a$ ve $b$ diye bölerek keselim.

Sahnede ayrıtı $a + b$ olan küp var. “Ayır” sürgüsünü çek: küp sekiz parçaya açılıyor. Parçaları say: bir tane $a^3$ küpü, üç tane $a^2b$ levhası, üç tane $ab^2$ çubuğu, bir tane $b^3$ küpü. Sahneyi parmağınla çevir, arkadaki parçaları gör.

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

: sekiz parça, dört çeşit hacim.

İki küpün farkı ya da toplamı ise başka bir şeydir ve o da çarpanlarına ayrılır.

Sahnede ayrıtı $a$ olan küpün köşesinden ayrıtı $b$ olan küp oyulmuş. Kalan hacim $a^3 - b^3$ . “Dilimle” düğmesine bas: kalan cisim, kalınlıkları $a - b$ olan üç levhaya ayrılıyor. Levhaların yüz alanları $a^2$ , $ab$ ve $b^2$ . Ortak kalınlık dışarı çıkınca formül görünür.

Örnek

orta

İki küpün farkı

$8x^3 - 27$ ifadesini çarpanlarına ayır.

Terimleri küp olarak yaz, çünkü kuralda $a$ ve $b$ ‘yi görmemiz gerekiyor: $8x^3 = (2x)^3$ ve $27 = 3^3$ . Yani $a = 2x$ , $b = 3$ .

İkinci çarpanı parça parça kur: $a^2 = (2x)^2 = 4x^2$ , $ab = 2x \cdot 3 = 6x$ , $b^2 = 9$ . Katsayının karesini almayı unutma: $(2x)^2$ , $2x^2$ değildir.

Denetle: $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) = 8x^3 + 12x^2 + 18x - 12x^2 - 18x - 27$ . Ortadaki dört terim birbirini götürür.

Sonuç

$8x^3 - 27 = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x^3 - 6x^2 + 12x - 8

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Açıklama

$a = x$ , $b = 2$ : $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ . İşaretlerin artı, eksi, artı, eksi sıralanması farkın küpünü ele verir.

Değişken değiştirme

Bir ifadenin içinde aynı parça yineleniyorsa ona geçici bir ad ver. Karmaşık görünen ifade, tanıdığın bir üç terimliye dönüşür. İşin sonunda adı geri açmayı unutma.

Örnek

orta

Yinelenen parçaya ad vermek

$(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 12$ ifadesini çarpanlarına ayır.

$x^2 + x$ parçası iki kez geçiyor. Parantezi açmak dördüncü dereceden bir ifade verir ve işi zorlaştırır; onun yerine $t = x^2 + x$ de. İfade $t^2 - 8t + 12$ olur.

Toplamı $-8$ , çarpımı $12$ olan sayılar $-2$ ve $-6$ : $t^2 - 8t + 12 = (t - 2)(t - 6)$ .

$t$ ‘yi geri aç: $(x^2 + x - 2)(x^2 + x - 6)$ . İş bitmedi, çünkü iki çarpan da ayrılabilen üç terimlidir: $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$ ve $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$ .

Sonuç

$(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 12 = (x + 2)(x - 1)(x + 3)(x - 2)$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Aşağıdakilerden hangisi

x^4 - 5x^2 + 4

ifadesinin bir çarpanı değildir?

Açıklama

$t = x^2$ ile $t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4)$ . Geri açınca $(x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$ . $4$ sayısı $t$ ‘nin değeridir, $x$ ‘in değil.

Rasyonel ifadeler

İki tam sayının oranına rasyonel sayı diyoruz. İki polinomun oranına da benzer bir ad verilir.

$\dfrac{6}{8}$ kesrini sadeleştirirken pay ve paydayı çarpanlarına ayırıp ortak çarpanı atarsın: $\dfrac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \dfrac{3}{4}$ . Rasyonel ifadede de aynısı yapılır; çarpanlara ayırmanın en çok işe yaradığı yer burasıdır.

Sahnede $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ kesrinin değerleri ve $x + 2$ doğrusu birlikte çiziliyor. $x$ sürgüsünü gezdir: iki gösterge her yerde aynı sayıyı gösteriyor. Tam $x = 2$ konumunda dur: kesir $\dfrac{0}{0}$ oluyor ve göstergesi “tanımsız” yazıyor, doğru ise $4$ diyor. Grafikte o noktada bir delik var.

\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}

ile

x + 2

her yerde eşittir; yalnızca

x = 2

için kesir tanımsızdır.

Örnek

orta

Pay ve paydayı ayırıp sadeleştirmek

$\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ ifadesinin en sade biçimini bul.

Pay iki kare farkı: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ .

Payda üç terimli: toplamı $-1$ , çarpımı $-6$ olan sayılar $-3$ ve $2$ ‘dir. $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ .

Pay ve paydada $(x - 3)$ ortak; $x \neq 3$ iken sadeleşir. Payda $x = 3$ ve $x = -2$ için sıfır olduğundan ifade bu iki değerde tanımsızdır.

Sonuç

$\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} = \dfrac{x + 3}{x + 2} \quad (x \neq 3,\ x \neq -2)$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

Pay $(x - 2)^2$ , payda $(x - 2)(x + 2)$ . Bir tane $(x - 2)$ sadeleşir; payda bir tane daha kalır.

Örnek

orta

İki yazıcının hızı

Bir baskı merkezinde birinci yazıcı $x + 2$ dakikada $x^2 + 5x + 6$ sayfa, ikinci yazıcı $x - 3$ dakikada $x^2 - 9$ sayfa basıyor ( $x > 3$ ). Hangi yazıcı dakikada daha çok sayfa basar?

Hız, basılan sayfanın süreye oranıdır. Birinci yazıcı için $\dfrac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}$ . Payı ayır: toplamı $5$ , çarpımı $6$ olan sayılar $2$ ve $3$ ; pay $(x + 2)(x + 3)$ . Sadeleşince hız $x + 3$ .

İkinci yazıcı için $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ . Pay iki kare farkı: $(x - 3)(x + 3)$ . Sadeleşince hız yine $x + 3$ .

$x > 3$ olduğundan iki payda da pozitif; sadeleştirmede sorun yok. Sayıyla dene: $x = 4$ için birincisi $6$ dakikada $42$ , ikincisi $1$ dakikada $7$ sayfa basar; ikisi de dakikada $7$ sayfa.

Sonuç

İki yazıcının hızı eşittir: dakikada $x + 3$ sayfa.

İleri

Sınav düzeyi: birleşik sorular ve tuzaklar

Toplam ve çarpım biliniyorsa

Sınav sorularında çoğu zaman $a$ ve $b$ ‘nin kendisi değil, toplamı ve çarpımı verilir. Özdeşlikler bu ikisinden geri kalan her şeyi üretir.

Sahnede $a + b = 6$ sabit: büyük karenin kenarı ve alanı ( $36$ ) değişmiyor. $a$ sürgüsünü oynat; iç bölme çizgisi kayıyor. İki karenin toplam alanı $a^2 + b^2$ ile iki dikdörtgenin toplam alanı $2ab$ birbirini $36$ ‘ya tamamlıyor. $a^2 + b^2 = 20$ olacak konumu bul ve o anda $ab$ değerini oku.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

a + b = 5

a \cdot b = 3

olduğuna göre

a^2 + b^2

kaçtır?

Açıklama

$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 25 - 6 = 19$ . $a$ ile $b$ ‘yi ayrı ayrı bulmaya gerek yok.

Örnek

zor

Köşesi oyulan tahta küp

Bir marangoz, ayrıtı $a$ cm olan tahta küpün bir köşesinden ayrıtı $b$ cm olan küp biçiminde bir parça oyuyor. Ayrıt uzunlukları arasındaki fark $2$ cm, çarpımları $15$ ‘tir. Kalan tahtanın hacmi kaç cm³’tür?

İstenen hacim $a^3 - b^3$ . Verilenler: $a - b = 2$ ve $ab = 15$ . $a$ ile $b$ ‘yi bulmak için ikinci dereceden denklem çözmek gerekir; özdeşlik bunu atlatır.

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ . Eksik olan $a^2 + b^2$ ‘yi farkın karesinden üret: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ olduğundan $a^2 + b^2 = 2^2 + 2 \cdot 15 = 34$ .

Yerine yaz: $a^3 - b^3 = 2 \cdot (34 + 15) = 2 \cdot 49 = 98$ .

Sağlama: farkı $2$ , çarpımı $15$ olan pozitif sayılar $5$ ve $3$ ‘tür; $125 - 27 = 98$ .

Sonuç

Kalan tahtanın hacmi $98$ cm³’tür.

Birden çok yöntemi birleştirmek

Zor sorularda tek yöntem yetmez. Sırayı aklında tut: önce ortak çarpan var mı, sonra terim sayısı. İki terim: kare ya da küp farkı. Üç terim: tam kare ya da çarpım-toplam. Dört terim: gruplandırma.

Örnek

zor

Üçe bir gruplandırma

$x^2 - 6x + 9 - y^2$ ifadesini çarpanlarına ayır.

Dört terim var ama ikişerli gruplama işe yaramaz: $x(x - 6)$ ile $9 - y^2$ arasında ortak parantez çıkmaz. Terimlere yeniden bak: ilk üçü tanıdık bir tam kare.

İlk üç terimi grupla: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ . İfade $(x - 3)^2 - y^2$ oldu; bu bir iki kare farkıdır, $a = x - 3$ ve $b = y$ .

Kuralı uygula ve parantezleri dikkatle aç: $(a - b)(a + b) = (x - 3 - y)(x - 3 + y)$ .

Sonuç

$x^2 - 6x + 9 - y^2 = (x - y - 3)(x + y - 3)$

Rasyonel ifadelerde işlemler

Rasyonel ifadeler kesirler gibi çarpılır, bölünür, toplanır. Tek fark şu: işlemden önce her pay ve paydayı çarpanlarına ayırırsan sadeleşmeler kendiliğinden görünür.

Örnek

zor

Bölme ve sadeleştirme

Tanımlı olduğu değerler için

$\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + x - 6} : \dfrac{x^2 + 2x}{x^2 + 6x + 9}$

ifadesinin en sade biçimini bul.

Dört polinomu da ayır. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ ; $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$ ; $x^2 + 2x = x(x + 2)$ ; $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ .

Bölme, ikinci kesri ters çevirip çarpmaktır:

$\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 3)(x - 2)} \cdot \dfrac{(x + 3)^2}{x(x + 2)}$

Ortak çarpanları at: $(x - 2)$ , $(x + 2)$ ve bir tane $(x + 3)$ sadeleşir. Payda $(x + 3)$ , paydada $x$ kalır.

Sayıyla sağla, $x = 1$ : ilk kesir $\dfrac{-3}{-4} = \dfrac{3}{4}$ , ikinci kesir $\dfrac{3}{16}$ ; bölüm $4$ . Sonuç ifadesi de $\dfrac{1 + 3}{1} = 4$ veriyor.

Sonuç

$\dfrac{x + 3}{x}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

x \neq 1

x \neq -1

olmak üzere

\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{2}{x^2 - 1}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Açıklama

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ ortak paydadır. $\dfrac{(x + 1) - 2}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{1}{x + 1}$ .

Sadeleşme koşulu ve limite köprü

Bir kesirde paydanın çarpanı payda da varsa kesir sadeleşir. $x - a$ çarpanı için bunun ölçütü kısadır: pay $x = a$ için sıfır olmalıdır.

Örnek

zor

Kesrin sadeleşmesi için parametre

$a$ bir gerçek sayı olmak üzere $\dfrac{x^2 + ax + 6}{x - 2}$ ifadesi sadeleştirildiğinde bir polinom elde ediliyor. Bu polinomun $x = 10$ için değeri kaçtır?

Sonucun polinom olması, paydadaki $x - 2$ ‘nin tümüyle sadeleşmesi demektir. Öyleyse $x - 2$ payın bir çarpanıdır ve pay $x = 2$ için sıfır olur: $4 + 2a + 6 = 0$ , buradan $a = -5$ .

Payı ayır: $x^2 - 5x + 6$ için toplamı $-5$ , çarpımı $6$ olan sayılar $-2$ ve $-3$ ‘tür. Pay $(x - 2)(x - 3)$ .

Sadeleştir: $\dfrac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = x - 3$ . İstenen değer $10 - 3 = 7$ .

Sonuç

$a = -5$ ve polinom $x - 3$ ‘tür; $x = 10$ için değeri $7$ ‘dir.

Bu düşünce limit sorularının anahtarıdır. Bir kesirde $x = a$ yazınca $\dfrac{0}{0}$ çıkıyorsa pay ve paydanın ikisinde de $x - a$ çarpanı vardır; onu sadeleştirince belirsizlik kalkar. Limitin kendisi Limit ve Süreklilik sayfasında anlatılıyor; aşağıdaki çıkmış sorularda bu köprüyü kullanacaksın.

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Çarpanlara ayırma açılımın tersidir; her sonucu çarparak denetle.
Sıra: önce ortak çarpan; sonra terim sayısına bak (iki terim: kare ya da küp farkı, üç terim: tam kare ya da çarpım-toplam, dört terim: gruplandırma).
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ ; $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$ . $a^2 + b^2$ gerçek sayılarda ayrılmaz.
$x^2 + bx + c = (x + p)(x + q)$ : $p + q = b$ , $p \cdot q = c$ . Baş katsayı $1$ değilse çapraz çarpım.
$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$ ; $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ .
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ ve $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ .
Yinelenen parçaya ad ver (değişken değiştirme), sonunda geri aç.
Rasyonel ifade $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ : paydanın sıfır olduğu yerde tanımsız. Terimler değil, ortak çarpanlar sadeleşir.
$x - a$ çarpanı sadeleşiyorsa pay $x = a$ için sıfırdır.

Çarpanlara ayırmak ne demek?

Ortak çarpan parantezine alma

Ortak çarpanı dışarı almak

Gruplandırma

İkişerli gruplandırma

İki kare farkı

Sonuna kadar ayırmak

Tam kare

Tam kareyi tanımak

x2+bx+cx^2 + bx + cx2+bx+c biçimindeki ifadeler

Sabit terim negatifse

ax2+bx+cax^2 + bx + cax2+bx+c biçimindeki ifadeler

Baş katsayısı 1 olmayan üç terimli

Küp özdeşlikleri

İki küpün farkı

Değişken değiştirme

Yinelenen parçaya ad vermek

Rasyonel ifadeler

Pay ve paydayı ayırıp sadeleştirmek

İki yazıcının hızı

Toplam ve çarpım biliniyorsa

Köşesi oyulan tahta küp

Birden çok yöntemi birleştirmek

Üçe bir gruplandırma

Rasyonel ifadelerde işlemler

Bölme ve sadeleştirme

Sadeleşme koşulu ve limite köprü

Kesrin sadeleşmesi için parametre

Özgün sorular

$x^2 + bx + c$ biçimindeki ifadeler

$ax^2 + bx + c$ biçimindeki ifadeler