18Konu 18 / 49
Sayma ve Olasılık

Basit Olayların Olasılığı

Deney, çıktı, örnek uzay ve olay kavramlarından başlayıp olasılığı kuruyoruz; tümleyen, ayrık ve ayrık olmayan olayların olasılığını, eş olası olmayan durumları ve sayma yöntemleriyle çözülen sınav sorularını çalışıyoruz.

10. sınıf
AYT sıklığı
50 dk

LevhaBasit Olayların OlasılığıBasit Olayların Olasılığı

İki zar atıp üste gelen sayıları topluyorsun. Toplam $2$ ile $12$ arasında on bir farklı değer alabilir. O hâlde her toplamın olasılığı $\dfrac{1}{11}$ mi; $7$ ile $12$ aynı sıklıkta mı gelir? Sahnede zarları birkaç kez at ve kutuların nasıl dolduğuna bak: sonuçları saymak yetmiyor, sonuçların eşit şansa sahip olup olmadığını da sorman gerekiyor.

Isınma

Başlamadan: sayma ve kümeler

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir zar art arda iki kez atılıyor. Birinci ve ikinci atışın sonuçları sırasıyla yazılırsa kaç farklı sonuç oluşur?

Açıklama

Çarpma yöntemi: birinci atış için $6$ , ikinci atış için $6$ seçenek vardır; $6 \cdot 6 = 36$ . Ayrıntısı Sayma, Permütasyon ve Kombinasyon sayfasında.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

5

kişi arasından

2

kişilik bir ekip kaç farklı şekilde seçilebilir?

Açıklama

Sıra önemsizse kombinasyon kullanılır: $\dbinom{5}{2} = \dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10$ .

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

s(A) = 12

s(B) = 9

s(A \cap B) = 4

ise

s(A \cup B)

kaçtır?

Açıklama

$s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 12 + 9 - 4 = 17$ . Bu kuralın olasılıktaki karşılığını bu sayfada kuracağız; küme işlemleri Kümeler sayfasında.

Temel

Deney, örnek uzay, olay ve olasılık

Deney, çıktı, örnek uzay

Zar atmak, torbadan top çekmek, madenî para atmak: sonucunu önceden bilemediğin ama hangi sonuçların gelebileceğini bildiğin işler. Olasılık bu tür işlerle ilgilenir.

Bir zar atma deneyinde çıktılar $1, 2, 3, 4, 5, 6$ sayılarıdır: $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ve $s(E) = 6$ . “Çift sayı gelmesi” bir olaydır: $A = \{2, 4, 6\}$ . Olay bir cümleyle anlatılır ama aslında bir kümedir; işi küme olarak yazınca sayma kolaylaşır.

Sahnede zarın altı çıktısı yan yana duruyor: bu altı kutu örnek uzaydır. Düğmelerden bir olay seç (“çift”, “asal”, “4’ten büyük”). Olaya ait çıktılar öne çıkıyor; göstergede olayın eleman sayısı ile örnek uzayın eleman sayısı alt alta yazılıyor.

Zarın yüzlerinin gelme şansı birbirine eşittir. Çıktılarının her biri aynı şansa sahip olan örnek uzaya eş olası (eş olasılıklı) örnek uzay denir. Hilesiz zar, hilesiz madenî para, iyice karıştırılmış bir torbadaki özdeş toplar bu türdendir.

Bu tanımı 1812’de Laplace yaygınlaştırdı. Ondan yaklaşık dokuz yüzyıl önce El Kindî, şifreli metinleri çözerken harflerin görülme sıklığını saymıştı; “ne kadar sık” sorusunu sayıyla yanıtlama fikri oraya kadar uzanır.

Örnek

kolay

Olayı küme olarak yaz, sonra say

Hilesiz bir zar atılıyor. Üst yüze gelen sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır?

Önce örnek uzayı yaz, çünkü payda oradan gelir: $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ , $s(E) = 6$ . Zar hilesiz olduğundan çıktılar eş olasıdır.

Olayı küme olarak yaz. $1$ asal değildir; asal olanlar $2$ , $3$ ve $5$ ‘tir: $A = \{2, 3, 5\}$ , $s(A) = 3$ .

İstenen çıktı sayısını tüm çıktı sayısına böl: $P(A) = \dfrac{3}{6}$ .

Sonuç

$P(A) = \dfrac{1}{2}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Hilesiz bir zar atılıyor. Üst yüze gelen sayının

4

‘ten büyük olma olasılığı kaçtır?

Açıklama

$A = \{5, 6\}$ , $s(A) = 2$ , $s(E) = 6$ . $P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ .

Örnek

kolay

Çıktıları eksik yazma tuzağı

Hilesiz bir madenî para iki kez atılıyor. Tam bir kez tura gelme olasılığı kaçtır?

Çıktıları sırasıyla yaz: birinci atış, ikinci atış. Yazı $Y$ , tura $T$ olsun: $E = \{YY, YT, TY, TT\}$ , $s(E) = 4$ . Bu dört çıktı eş olasıdır, çünkü her atışta iki yüzün şansı eşittir.

“Tam bir tura” olayı $A = \{YT, TY\}$ kümesidir. $YT$ ile $TY$ farklı çıktılardır: birinde tura ikinci atışta, diğerinde birinci atışta gelmiştir.

Sonuç

$P(A) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

Kesin olay, imkânsız olay

Bir olayın eleman sayısı en az $0$ , en çok $s(E)$ olabilir. Bu yüzden olasılık hiçbir zaman $0$ ‘dan küçük ya da $1$ ‘den büyük çıkmaz.

Zar atışında “ $7$ ‘den küçük bir sayı gelmesi” kesin olaydır, ” $7$ gelmesi” imkânsız olaydır.

Olasılık bir ölçektir:

0

imkânsız,

1

kesin; öteki bütün olaylar arada bir yerdedir.

Sahnedeki olay şu: “zarda gelen sayı $k$ ‘den küçüktür”. Sürgüyle $k$ değerini $1$ ‘den $7$ ‘ye doğru artır. $k = 1$ iken olaya uyan çıktı yok, işaretçi $0$ ‘da; her adımda bir çıktı ekleniyor ve işaretçi $\dfrac{1}{6}$ kadar ilerliyor; $k = 7$ iken bütün çıktılar olayın içinde, işaretçi $1$ ‘de.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Hilesiz bir zar atılıyor. Aşağıdaki olaylardan hangisi kesin olaydır?

Açıklama

Zarın bütün çıktıları $7$ ‘den küçüktür; olay $E$ ‘nin kendisidir ve olasılığı $\dfrac{6}{6} = 1$ ‘dir.

Tümleyen olay

Bir olayın gerçekleşmediği bütün çıktılar da bir olay oluşturur. Zarda “ $3$ ‘ün katı gelmesi” olayı $\{3, 6\}$ ise “ $3$ ‘ün katı gelmemesi” olayı $\{1, 2, 4, 5\}$ olur.

Zarda

A = \{3, 6\}

olayı ve tümleyeni

A' = \{1, 2, 4, 5\}

: iki olasılığın toplamı

1

Sahnede $1$ ‘den $12$ ‘ye numaralı on iki top var; $A$ olayı “çekilen topun numarası $3$ ‘ün katıdır”. Düğmeyle topları ikiye ayır: $A$ ‘daki dört top bir yana, $A'$ içindeki sekiz top öbür yana gidiyor. Alttaki şeritte $\dfrac{4}{12}$ ile $\dfrac{8}{12}$ uç uca eklenince tam $1$ ediyor.

Örnek

kolay

Olmama olasılığı

Bir torbada aynı büyüklükte $4$ mavi, $5$ sarı ve $3$ mor top vardır. Torbadan rastgele çekilen bir topun sarı olmama olasılığı kaçtır?

Toplar özdeş büyüklükte ve çekiliş rastgele olduğundan her topun çekilme şansı eşittir. Örnek uzayın eleman sayısı top sayısıdır: $s(E) = 4 + 5 + 3 = 12$ .

“Sarı olmama”, “sarı olma” olayının tümleyenidir. Önce kolay olanı bul: $P(\text{sarı}) = \dfrac{5}{12}$ .

Tümleyenin olasılığı $1$ ‘den çıkarılarak bulunur: $1 - \dfrac{5}{12} = \dfrac{7}{12}$ . Sağlama: sarı olmayan toplar $4 + 3 = 7$ tanedir.

Sonuç

$P(\text{sarı değil}) = \dfrac{7}{12}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir

A

olayı için

P(A) = \dfrac{3}{8}

ise

P(A')

kaçtır?

Açıklama

$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}$ .

Orta

İki zar, ayrık ve ayrık olmayan olaylar, eş olası olmayan çıktılar

İki zarın örnek uzayı

Kancadaki soruya dönelim. İki zar atıldığında çıktılar sıralı ikililerdir: (birinci zar, ikinci zar). Çarpma yöntemiyle $s(E) = 6 \cdot 6 = 36$ ve bu $36$ ikili eş olasıdır. Toplamlar ise eş olası değildir: toplam $12$ yalnızca $(6, 6)$ ile, toplam $7$ altı farklı ikiliyle elde edilir.

İki zarın

36

çıktısı ve toplamları. Toplam

7

altı hücrede, toplam

12

tek hücrede:

P(7) = \dfrac{6}{36}

P(12) = \dfrac{1}{36}

Sahnede aynı tablo var. Toplam sürgüsünü $2$ ‘den $12$ ‘ye gezdir: seçtiğin toplamı veren hücreler bir köşegen boyunca yanıyor ve gösterge hücre sayısını $36$ ‘ya bölüyor. “Toplama göre diz” düğmesine bas; hücreler toplamlarına göre sütunlara diziliyor ve en uzun sütunun $7$ olduğu görülüyor.

Örnek

orta

İki zarda toplam

Hilesiz iki zar birlikte atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının $8$ olma olasılığı kaçtır?

Örnek uzay sıralı ikililerden oluşur: $s(E) = 36$ . Toplamları değil ikilileri sayıyoruz, çünkü eş olası olan ikililerdir.

Toplamı $8$ olan ikilileri birinci zarı artırarak sırayla yaz; böylece hiçbiri atlanmaz: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ . Birinci zar $1$ olamaz, çünkü ikinci zarın $7$ gelmesi gerekirdi.

$(4, 4)$ tek çıktıdır, öbürleri ikişer ikişer simetriktir: toplam $5$ çıktı.

Sonuç

$P(\text{toplam } 8) = \dfrac{5}{36}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Hilesiz iki zar birlikte atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının

4

olma olasılığı kaçtır?

Açıklama

Uygun ikililer $(1, 3), (2, 2), (3, 1)$ : üç tane. $P = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}$ .

Ayrık olaylar

İki olaydan söz ederken ilk soru şudur: ikisi aynı anda gerçekleşebilir mi? Zarda “ $3$ ‘ten küçük gelmesi” ile “ $4$ ‘ten büyük gelmesi” aynı atışta birlikte gerçekleşemez.

Zarda

A = \{1, 2\}

B = \{5, 6\}

ayrıktır: daireler birbirine değmez, olasılıklar doğrudan toplanır.

İki zar tablosunda $A$ “toplam $5$ ” ( $4$ hücre), $B$ “toplam $10$ ” ( $3$ hücre). İki olayın hücreleri farklı renkte yanıyor ve hiçbir hücre iki renge birden boyanmıyor. Gösterge: $\dfrac{4}{36} + \dfrac{3}{36} = \dfrac{7}{36}$ .

Örnek

orta

Aynı anda olamayan iki olay

Hilesiz iki zar birlikte atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının $5$ veya $10$ olma olasılığı kaçtır?

Önce olayların ayrık olup olmadığına bak, çünkü kullanacağın kural buna bağlıdır. Bir atışta toplam hem $5$ hem $10$ olamaz; olaylar ayrıktır.

Toplam $5$ : $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ , yani $4$ çıktı. Toplam $10$ : $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ , yani $3$ çıktı.

Ayrık olaylarda olasılıklar toplanır: $\dfrac{4}{36} + \dfrac{3}{36}$ .

Sonuç

$P = \dfrac{7}{36}$

Ayrık olmayan olaylar

Zarda $A$ “çift sayı gelmesi”, $B$ “asal sayı gelmesi” olsun: $A = \{2, 4, 6\}$ , $B = \{2, 3, 5\}$ . $2$ iki olayın da içindedir. $P(A) + P(B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{3}{6} = 1$ çıkar ama $1$ çıktısı iki olayın da dışındadır; toplam yanlış, çünkü $2$ iki kez sayıldı.

Çift sayılar ile asal sayılar ayrık değildir:

2

ortak bölgededir ve bir kez çıkarılır.

Tabloda şimdi $A$ “toplam $8$ ” ( $5$ hücre), $B$ “iki zar aynı” ( $6$ hücre). $(4, 4)$ hücresi iki renge birden boyanıyor. Sayaç önce $5 + 6 = 11$ gösteriyor; “ortak hücreyi çıkar” düğmesine basınca çift boyalı hücre bir kez sayılıyor ve sonuç $\dfrac{10}{36}$ oluyor.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Hilesiz bir zar atılıyor.

A

: “çift sayı gelmesi”,

B

: “

3

‘ün katı gelmesi” olayları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Açıklama

$A = \{2, 4, 6\}$ , $B = \{3, 6\}$ , $A \cap B = \{6\}$ . $P(A \cup B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ . Sağlama: $A \cup B = \{2, 3, 4, 6\}$ .

Örnek

orta

İki takımda birden oynayanlar

$30$ kişilik bir sınıfta $18$ öğrenci basketbol, $15$ öğrenci voleybol takımındadır; $8$ öğrenci iki takımda birden oynamaktadır. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin bu iki takımdan hiçbirinde olmama olasılığı kaçtır?

“Hiçbirinde olmama”, “en az birinde olma” olayının tümleyenidir. Önce en az bir takımda olanları bulacağız, çünkü verilen sayılar onu hesaplamaya uygun.

İki takımda birden oynayan $8$ öğrenci hem $18$ ‘in hem $15$ ‘in içinde sayılmıştır; bir kez çıkar: $18 + 15 - 8 = 25$ öğrenci en az bir takımdadır.

$P(\text{en az bir takım}) = \dfrac{25}{30} = \dfrac{5}{6}$ . Tümleyenin olasılığı $1 - \dfrac{5}{6}$ olur. Sağlama: hiçbir takımda olmayan $30 - 25 = 5$ öğrenci vardır, $\dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}$ .

Sonuç

$P(\text{hiçbiri}) = \dfrac{1}{6}$

Örnek

orta

Yalnızca olasılıklar verilmişse

Aynı örnek uzayın $A$ ve $B$ olayları için $P(A') = \dfrac{7}{10}$ , $P(B) = \dfrac{1}{2}$ ve $P(A \cup B) = \dfrac{3}{5}$ veriliyor. $P(A \cap B)$ kaçtır?

Birleşim kuralında $P(A)$ gerekir; verilen ise tümleyenin olasılığıdır. Önce onu çevir: $P(A) = 1 - \dfrac{7}{10} = \dfrac{3}{10}$ .

Kuralı yaz ve bilinmeyeni yalnız bırak:

$\dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{2} - P(A \cap B)$

Paydaları $10$ ‘da eşitle: $\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{10} + \dfrac{5}{10} - P(A \cap B)$ , buradan $P(A \cap B) = \dfrac{2}{10}$ .

Sonuç

$P(A \cap B) = \dfrac{1}{5}$ . Sıfırdan farklı çıktığı için $A$ ile $B$ ayrık değildir.

Eş olası olmayan çıktılar

Bir torbada $5$ mavi, $3$ sarı, $2$ mor top olsun ve çekilen topun rengine bakalım. Çıktıları renk olarak yazarsan örnek uzay $\{\text{mavi}, \text{sarı}, \text{mor}\}$ olur; üç çıktı vardır ama şansları eşit değildir. Bu örnek uzay eş olası değildir.

Toplar eş olası, renkler değil:

P(\text{mavi}) = \dfrac{5}{10}

P(\text{sarı}) = \dfrac{3}{10}

P(\text{mor}) = \dfrac{2}{10}

Sahnede torbanın on topu ve altında üç renk kutusu var. Mavi top sayısını sürgüyle değiştir: toplar kendi renginin kutusuna akıyor ve kutuların genişliği top sayısıyla orantılı oluyor. Üç kutu vardır ama genişlikleri eşit değildir; eşit olan, her bir topun payıdır.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir torbada aynı büyüklükte

3

mavi ve

1

sarı top vardır. Rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı kaçtır?

Açıklama

Dört topun her biri eş olasıdır; üçü mavidir. $P(\text{mavi}) = \dfrac{3}{4}$ .

Örnek

orta

Hileli zar

Hileli bir zarda her yüzün gelme olasılığı, o yüzdeki sayıyla doğru orantılıdır. Bu zar atıldığında çift sayı gelme olasılığı kaçtır?

Yüzler eş olası değil; $\dfrac{3}{6}$ diyemeyiz. Orantıyı yaz: $k$ yüzünün olasılığı $k \cdot p$ olsun. Olasılıklar $p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p$ olur.

Bütün çıktıların olasılıkları toplamı $1$ olmalıdır; $p$ buradan bulunur:

$p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p = 21p = 1 \quad\Rightarrow\quad p = \dfrac{1}{21}$

Olayın olasılığı, içindeki çıktıların olasılıkları toplamıdır: $P(\{2, 4, 6\}) = \dfrac{2}{21} + \dfrac{4}{21} + \dfrac{6}{21} = \dfrac{12}{21}$ .

Sonuç

$P(\text{çift}) = \dfrac{4}{7}$

Hileli zarda çubuklar eşit boyda değildir ama boylarının toplamı yine

1

'dir.

İleri

Sayma yöntemleriyle olasılık ve sınav tuzakları

Kombinasyonla olasılık

Sınav sorularında örnek uzay elle yazılamayacak kadar büyüktür; hem payı hem paydayı sayma yöntemleriyle bulursun. Bir torbadan aynı anda birkaç top çekiliyorsa çıktılar top kümeleridir ve sayıları kombinasyonla bulunur. Sayma kuralları Sayma, Permütasyon ve Kombinasyon sayfasında anlatıldı; burada yalnızca kullanacağız.

3

mavi,

2

sarı toptan iki top çekmenin

\dbinom{5}{2} = 10

eş olası yolu: her çizgi bir ikili. Aynı renkli ikililer

3 + 1 = 4

tanedir.

Sahnede torbadaki toplardan oluşturulabilecek bütün ikililer tek tek diziliyor ve üç öbeğe ayrılıyor: iki mavi, iki sarı, farklı renk. Mavi top sayısını sürgüyle değiştir; öbeklerin büyüklüğü ve “aynı renk” olasılığı birlikte değişiyor. $3$ mavi, $2$ sarı için gösterge $\dfrac{4}{10}$ yazıyor.

Örnek

zor

Aynı anda çekilen toplar

Bir torbada aynı büyüklükte $5$ mavi ve $4$ sarı top vardır. Torbadan aynı anda rastgele $3$ top çekiliyor. Çekilen toplardan ikisinin mavi, birinin sarı olma olasılığı kaçtır?

Toplar aynı anda çekildiği için sıra yoktur; çıktılar $3$ elemanlı top kümeleridir ve hepsi eş olasıdır. Payda: $\dbinom{9}{3} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$ .

Payı aynı yöntemle say. İki mavi top $\dbinom{5}{2} = 10$ yolla, bir sarı top $\dbinom{4}{1} = 4$ yolla seçilir. İki seçim birlikte yapıldığından çarpılır: $10 \cdot 4 = 40$ .

Oranı kur ve sadeleştir: $\dfrac{40}{84} = \dfrac{10}{21}$ .

Sonuç

$P = \dfrac{10}{21}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir torbada aynı büyüklükte

4

mavi ve

2

sarı top vardır. Aynı anda rastgele çekilen

2

topun ikisinin de mavi olma olasılığı kaçtır?

Açıklama

Tüm ikililer $\dbinom{6}{2} = 15$ , iki mavi $\dbinom{4}{2} = 6$ . $P = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$ .

“En az bir” sorularında tümleyen

“En az bir” ifadesi bir, iki, üç… durumlarının hepsini kapsar; tek tek saymak uzundur. Tümleyeni ise tek durumdur: “hiç”. Hesabı tümleyenden yapıp $1$ ‘den çıkarırsın.

Örnek

zor

Ekipte en az bir kız öğrenci

$6$ erkek ve $4$ kız öğrenci arasından kurayla $3$ kişilik bir ekip seçiliyor. Ekipte en az bir kız öğrenci bulunma olasılığı kaçtır?

Çıktılar $3$ kişilik ekiplerdir: $\dbinom{10}{3} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120$ eş olası ekip.

“En az bir kız” olayı $1$ , $2$ ya da $3$ kızlı ekipleri kapsar. Tümleyeni tek durumdur: ekipte hiç kız yok, yani üçü de erkek. Bu ekiplerin sayısı $\dbinom{6}{3} = 20$ .

$P(\text{hiç kız yok}) = \dfrac{20}{120} = \dfrac{1}{6}$ . İstenen olasılık $1 - \dfrac{1}{6}$ .

Sağlama, uzun yoldan: $\dbinom{4}{1}\dbinom{6}{2} + \dbinom{4}{2}\dbinom{6}{1} + \dbinom{4}{3} = 60 + 36 + 4 = 100$ ve $\dfrac{100}{120} = \dfrac{5}{6}$ .

Sonuç

$P(\text{en az bir kız}) = \dfrac{5}{6}$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Hilesiz bir madenî para üç kez atılıyor. En az bir kez tura gelme olasılığı kaçtır?

Açıklama

$s(E) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ . Hiç tura gelmeyen tek çıktı $YYY$ ‘dir: $1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$ .

Dizilişlerde ve bağlamlı sorularda olasılık

Nesneler sıralanıyorsa çıktılar dizilişlerdir ve pay da payda da permütasyonla sayılır. Bağlamlı sorularda ise asıl iş, hikâyeyi “çıktı nedir, kaç tane, hepsi eş olası mı” sorularına çevirmektir.

Örnek

zor

Yan yana oturma

Aralarında Deniz ile Ege’nin de bulunduğu $5$ arkadaş, sinemada yan yana $5$ koltuğa rastgele oturuyor. Deniz ile Ege’nin yan yana oturma olasılığı kaçtır?

Çıktılar beş kişinin dizilişleridir: $5! = 120$ eş olası diziliş.

Yan yana olmaları istenen iki kişiyi tek bir blok say. Blok ile öbür üç kişi $4$ nesne eder: $4! = 24$ diziliş.

Blok içinde Deniz solda ya da sağda olabilir: $2$ yol. Uygun diziliş sayısı $2 \cdot 24 = 48$ .

Sağlama, başka yoldan: $5$ koltuktan ikisi $\dbinom{5}{2} = 10$ yolla seçilir; bunlardan $4$ ‘ü komşu koltuk çiftidir. $\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$ .

Sonuç

$P = \dfrac{48}{120} = \dfrac{2}{5}$

Örnek

zor

Asansörde iki kişi

Zemin kattan asansöre binen Zeynep ile Mert’in her biri, binanın $1$ , $2$ , $3$ , $4$ ve $5$ . katlarından birinde rastgele iniyor. Zeynep’in, Mert’ten daha üst bir katta inme olasılığı kaçtır?

Çıktıyı tanımla: (Zeynep’in katı, Mert’in katı) sıralı ikilisi. Her biri için $5$ seçenek olduğundan $s(E) = 5 \cdot 5 = 25$ ve ikililer eş olasıdır.

“Ya Zeynep üstte ya Mert üstte, cevap $\dfrac{1}{2}$ ” tuzağına düşme: üçüncü bir durum var, aynı katta inebilirler. Aynı kat $5$ ikilidir: $(1, 1), (2, 2), \ldots, (5, 5)$ .

Kalan $25 - 5 = 20$ ikilide katlar farklıdır. Simetri nedeniyle bunların yarısında Zeynep, yarısında Mert üsttedir: $10$ ikili.

Sağlama, sayarak: Zeynep $2$ . katta inerse Mert için $1$ seçenek, $3$ . katta $2$ , $4$ . katta $3$ , $5$ . katta $4$ seçenek vardır: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ .

Sonuç

$P = \dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5}$

Özet

Bu konudan aklında kalacaklar

Deney sonucu önceden bilinmeyen iş, çıktı her bir sonucu, örnek uzay $E$ bütün çıktıların kümesi, olay $E$ ‘nin bir alt kümesidir.
Eş olası çıktılarda $P(A) = \dfrac{s(A)}{s(E)}$ . Önce “çıktılar eş olası mı” diye sor; iki zarda eş olası olan $36$ sıralı ikilidir, toplamlar değil.
$0 \leq P(A) \leq 1$ . Kesin olay: $P(E) = 1$ . İmkânsız olay: $P(\varnothing) = 0$ .
Tümleyen: $P(A') = 1 - P(A)$ . “En az bir” sorularında tümleyen “hiç”tir.
Ayrık olaylar ( $A \cap B = \varnothing$ ): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .
Ayrık olmayan olaylar: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
Eş olası olmayan örnek uzayda çıktı olasılıklarının toplamı $1$ ‘dir; olayın olasılığı, içindeki çıktıların olasılıkları toplamıdır.
Büyük örnek uzaylarda pay ve paydayı aynı sayma yöntemiyle (ikisi de sıralı ya da ikisi de sırasız) bul.

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

4 çıkmış soru6 özgün soru

2023 AYTSoru 14

Orta

Geri koymadan iki seçim

Veysel Bey'in bir giyim mağazasında geçerli $200$ , $400$ , $600$ ve $800$ TL'lik birer hediye çeki vardır. Veysel Bey, bu mağazadan alışveriş yapmak isteyen kızları Yasemin ile Zehra'ya bu dört çekten birer tanesini rastgele veriyor. Mağazaya farklı günlerde giden kızlardan Yasemin $300$ TL'lik, Zehra ise $500$ TL'lik bir elbise beğeniyor.

Buna göre, her iki kızın da sadece babalarından aldıkları hediye çekiyle beğendikleri elbiseyi alabilme olasılığı kaçtır?

İpucu

Aynı çek iki kişiye verilemez. Çıktıyı (Yasemin'in çeki, Zehra'nın çeki) ikilisi olarak yaz ve saymaya koşulu daha sıkı olan kızdan başla.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 28)

Çözüm

1. Koşulları çeke çevir. Yasemin'in $300$ TL'lik elbiseyi alabilmesi için çeki $400$ , $600$ ya da $800$ TL olmalıdır. Zehra'nın $500$ TL'lik elbiseyi alabilmesi için çeki $600$ ya da $800$ TL olmalıdır.

2. Örnek uzay. Çıktılar (Yasemin'in çeki, Zehra'nın çeki) sıralı ikilileridir. Aynı çek iki kişiye verilemez: $4 \cdot 3 = 12$ eş olası çıktı.

3. Uygun çıktılar. Koşulu daha sıkı olan Zehra'dan başla.

Zehra $600$ alırsa Yasemin'e $400$ ya da $800$ kalır: $2$ çıktı.
Zehra $800$ alırsa Yasemin'e $400$ ya da $600$ kalır: $2$ çıktı.

Toplam $4$ uygun çıktı.

4. Olasılık.

$P = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$

Tuzak: iki koşulu ayrı ayrı sayıp $3 \cdot 2 = 6$ demek, ikisine aynı çekin ( $600$ - $600$ ya da $800$ - $800$ ) verildiği olanaksız iki durumu da sayar; $6 - 2 = 4$ .

Cevap: B

2022 AYTSoru 15

Kolay

İki rastgele seçimin sıralı ikilileri

Şekilde $1$ büyük boy, $2$ orta boy ve $3$ küçük boy tencere ile büyük, orta ve küçük boy tencerelere ait birer kapak görülmektedir.

Bir kapak, kendi boyundaki ya da kendi boyundan daha küçük bir tencerenin üstünü kapatabilir; kendi boyundan daha büyük bir tencerenin üstünü kapatamaz.

Buna göre; rastgele seçilen bir kapağın, rastgele seçilen bir tencerenin üstünü kapatabiliyor olma olasılığı kaçtır?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Örnek uzay. $3$ kapaktan biri ve $6$ tencereden biri seçilir. Çıktılar (kapak, tencere) ikilileridir: $3 \cdot 6 = 18$ eş olası çıktı.

2. Uygun ikilileri kapağa göre say.

Büyük kapak bütün tencereleri kapatır: $6$ ikili.
Orta kapak orta ve küçük boy tencereleri kapatır: $2 + 3 = 5$ ikili.
Küçük kapak yalnızca küçük boy tencereleri kapatır: $3$ ikili.

Toplam $6 + 5 + 3 = 14$ uygun ikili.

3. Olasılık.

$P = \dfrac{14}{18} = \dfrac{7}{9}$

Sağlama (tümleyen). Kapatamama durumları: orta kapak ile büyük tencere ( $1$ ), küçük kapak ile büyük ya da orta tencere ( $1 + 2 = 3$ ); toplam $4$ ikili ve $18 - 4 = 14$ .

Tuzak: tencereleri "üç boy" diye $3$ çıktı saymak. Boylar eş olası değildir; eş olası olan $6$ tenceredir.

Cevap: C

2020 AYTSoru 26

Orta

Kombinasyonla olasılık

Bir sınav, sözel bölümde $4$ ve sayısal bölümde $4$ olmak üzere toplam $8$ sorudan oluşmaktadır. Sınav kitapçığında şu kural yazılıdır:

"Sınavı geçmek için sözel ve sayısal bölümlerin her birinden en az 2'şer soru olmak üzere toplam en az 5 soruyu doğru cevaplamalısınız."

Kuralı eksik okuyan Sevcan, $8$ sorudan $5$ 'ini rastgele seçmiş ve seçtiği soruların hepsini doğru cevaplamıştır.

Buna göre, Sevcan'ın sınavı geçme olasılığı kaçtır?

İpucu

Sevcan'ın geçememesi için seçtiği $5$ sorunun bölümlere nasıl dağılması gerekir? Geçemediği seçimleri saymak, geçtiği seçimleri saymaktan kısadır.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 31)

Çözüm

1. Örnek uzay. Sevcan $8$ sorudan $5$ 'ini seçer; sıra önemsizdir:

$\dbinom{8}{5} = \dbinom{8}{3} = 56$

eş olası seçim vardır. Seçtiklerinin hepsini doğru yaptığından "toplam en az $5$ doğru" koşulu kendiliğinden sağlanır; geriye "her bölümden en az $2$ soru" koşulu kalır.

2. Tümleyeni say. $5$ soru iki bölüme (sözel, sayısal) olarak $(4, 1)$ , $(3, 2)$ , $(2, 3)$ ya da $(1, 4)$ biçiminde dağılabilir; bir bölümde yalnızca $4$ soru olduğundan $(5, 0)$ olamaz. Sevcan yalnızca $(4, 1)$ ve $(1, 4)$ dağılımlarında geçemez:

$\dbinom{4}{4}\dbinom{4}{1} + \dbinom{4}{1}\dbinom{4}{4} = 4 + 4 = 8$

3. Olasılık.

$P(\text{geçer}) = 1 - \dfrac{8}{56} = \dfrac{48}{56} = \dfrac{6}{7}$

Sağlama (doğrudan sayma). $(3, 2)$ ve $(2, 3)$ dağılımları: $\dbinom{4}{3}\dbinom{4}{2} + \dbinom{4}{2}\dbinom{4}{3} = 24 + 24 = 48$ .

Cevap: D

2018 AYTSoru 16

Orta

İki rastgele seçimin sıralı ikilileri

Düzgün bir dörtyüzlünün $K$ ve $L$ köşelerinin her birinde bir karınca durmaktadır.

Her karınca, bulunduğu köşeden çıkan ayrıtlardan birini rastgele seçiyor, o ayrıt boyunca yürüyor ve ayrıtın öbür ucundaki köşeye varınca duruyor.

Buna göre, karıncaların karşılaşma olasılığı kaçtır?

İpucu

Dörtyüzlüde her köşeden kaç ayrıt çıkar? Çıktıyı (birinci karıncanın seçimi, ikinci karıncanın seçimi) ikilisi olarak düşün ve karşılaşmanın iki farklı biçimde olabileceğini unutma.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 29)

Çözüm

1. Örnek uzay. Düzgün dörtyüzlünün $4$ köşesi vardır ve her köşeden $3$ ayrıt çıkar. Her karınca $3$ ayrıttan birini eşit şansla seçer; çıktılar (birinci karıncanın ayrıtı, ikinci karıncanın ayrıtı) ikilileridir: $3 \cdot 3 = 9$ eş olası çıktı.

2. Karşılaşma durumları. Öbür iki köşeye $M$ ve $N$ diyelim.

İkisi de $KL$ ayrıtını seçer: aynı ayrıtta karşılıklı yürürler ve yolda karşılaşırlar. $1$ çıktı.
İkisi de $M$ köşesine giden ayrıtı seçer ( $KM$ ve $LM$ ): $M$ köşesinde buluşurlar. $1$ çıktı.
İkisi de $N$ köşesine giden ayrıtı seçer ( $KN$ ve $LN$ ): $N$ köşesinde buluşurlar. $1$ çıktı.

Geri kalan $6$ çıktıda karıncalar farklı ayrıtlarda yürür ve farklı köşelerde durur; karşılaşmazlar.

3. Olasılık.

$P = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$

Tuzak: yalnızca "aynı köşede durma" durumlarını sayıp $KL$ ayrıtı üzerindeki karşılaşmayı unutmak $\dfrac{2}{9}$ verir; bu değer seçeneklerde yoktur, yani bir durumu atladığını gösterir.

Cevap: A

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Tümleyen olay

Bir torbada $1$ 'den $20$ 'ye kadar numaralanmış, aynı büyüklükte $20$ kart vardır.

Bu torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki sayının asal sayı olmama olasılığı kaçtır?

Çözüm

1. Örnek uzay. $20$ kart eş olasıdır: $s(E) = 20$ .

2. Asal sayıları say. $1$ ile $20$ arasındaki asal sayılar $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ : $8$ tane. $P(\text{asal}) = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}$ .

3. Tümleyen.

$P(\text{asal değil}) = 1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$

Sağlama: asal olmayan kart sayısı $20 - 8 = 12$ ve $\dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$ .

Çeldiriciler: $\dfrac{2}{5}$ asal olma olasılığıdır; $1$ 'i asal sayarsan $9$ asal bulur ve $\dfrac{11}{20}$ dersin.

Cevap: E

Özgün soru2

Kolay

Ayrık olaylar

$A$ ve $B$ , aynı örnek uzayın ayrık iki olayıdır.

$P(A) = \dfrac{1}{4} \qquad P(A \cup B) = \dfrac{2}{3}$

olduğuna göre $P(B')$ kaçtır?

Çözüm

1. Ayrık olaylarda toplama. $A \cap B = \varnothing$ olduğundan $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ :

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{4} + P(B) \quad\Rightarrow\quad P(B) = \dfrac{8}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12}$

2. Tümleyen.

$P(B') = 1 - \dfrac{5}{12} = \dfrac{7}{12}$

Çeldiriciler: $\dfrac{5}{12}$ sorulan değil, $P(B)$ 'dir; $\dfrac{1}{3}$ birleşimin tümleyenidir; $\dfrac{3}{4}$ ise $P(A')$ 'dür.

Cevap: D

Özgün soru3

Orta

Eş olası olmayan çıktılar

Hileli bir zarda çift sayıların her birinin gelme olasılığı, tek sayıların her birinin gelme olasılığının $2$ katıdır. Tek sayıların gelme olasılıkları birbirine eşittir.

Bu zar atıldığında üst yüze gelen sayının $4$ 'ten küçük olma olasılığı kaçtır?

İpucu

Bir tek sayının gelme olasılığına $p$ de. Altı yüzün olasılıkları toplamı kaç olmalı?

Çözüm

1. Olasılıkları adlandır. Her tek sayının olasılığı $p$ , her çift sayının olasılığı $2p$ olsun.

2. Toplam $1$ 'dir. Üç tek, üç çift yüz vardır:

$3 \cdot p + 3 \cdot 2p = 9p = 1 \quad\Rightarrow\quad p = \dfrac{1}{9}$

3. Olayın olasılığı. $4$ 'ten küçük sayılar $1$ , $2$ ve $3$ 'tür; ikisi tek, biri çift:

$P(\{1, 2, 3\}) = p + 2p + p = 4p = \dfrac{4}{9}$

Sağlama: $P(\{4, 5, 6\}) = 2p + p + 2p = \dfrac{5}{9}$ ve $\dfrac{4}{9} + \dfrac{5}{9} = 1$ .

Çeldiriciler: yüzleri eş olası sayarsan $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ ; tümleyeni hesaplarsan $\dfrac{5}{9}$ bulursun.

Cevap: B

Özgün soru4

Orta

İki zarın örnek uzayı

Hilesiz iki zar birlikte atılıyor.

Üst yüze gelen iki sayıdan büyük olanın (sayılar eşitse ortak değerin) $4$ olma olasılığı kaçtır?

İpucu

Zarlardan en az biri $4$ gelmeli ve hiçbiri $4$ 'ü geçmemeli. $(4, 4)$ çıktısını kaç kez saydığına dikkat et.

Çözüm

1. Örnek uzay. Sıralı ikililer: $s(E) = 36$ .

2. Uygun çıktılar. En büyük sayının $4$ olması için zarlardan en az biri $4$ , öbürü en çok $4$ olmalıdır.

Birinci zar $4$ : $(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)$ , yani $4$ çıktı.
İkinci zar $4$ , birinci zar $4$ 'ten küçük: $(1, 4), (2, 4), (3, 4)$ , yani $3$ çıktı.

Toplam $7$ çıktı.

3. Olasılık. $P = \dfrac{7}{36}$ .

Sağlama (başka yol). İki zarın da en çok $4$ geldiği çıktılar $4 \cdot 4 = 16$ , iki zarın da en çok $3$ geldiği çıktılar $3 \cdot 3 = 9$ tanedir. En büyüğün tam $4$ olduğu çıktılar: $16 - 9 = 7$ .

Çeldiriciler: $(4, 4)$ 'ü iki kez sayarsan $\dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9}$ ; yalnızca birinci zarı $4$ alırsan $\dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$ bulursun.

Cevap: C

Özgün soru5

Zor

Tümleyen ve kombinasyon

Bir rafta birbirinden farklı $4$ roman, $3$ şiir kitabı ve $2$ deneme kitabı vardır. Elif, tatile götürmek için bu raftan rastgele $3$ kitap alıyor.

Buna göre, Elif'in aldığı kitaplardan en az ikisinin aynı türden olma olasılığı kaçtır?

İpucu

"En az ikisi aynı türden" olayının tümleyeni nedir? Üç tür ve üç kitap olduğuna dikkat et.

Çözüm

1. Örnek uzay. $9$ kitaptan $3$ 'ü seçilir: $\dbinom{9}{3} = 84$ eş olası seçim.

2. Tümleyeni kur. "En az ikisi aynı türden" olayının tümleyeni "hiçbir ikisi aynı türden değil", yani üç kitabın üç ayrı türden olmasıdır. Her türden birer kitap:

$4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$

3. Olasılık.

$P = 1 - \dfrac{24}{84} = 1 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$

Sağlama (doğrudan sayma). Üçü aynı türden: $\dbinom{4}{3} + \dbinom{3}{3} = 5$ . Tam ikisi aynı türden: iki roman ve başka türden bir kitap $\dbinom{4}{2} \cdot 5 = 30$ ; iki şiir $\dbinom{3}{2} \cdot 6 = 18$ ; iki deneme $\dbinom{2}{2} \cdot 7 = 7$ . Toplam $5 + 30 + 18 + 7 = 60$ ve $\dfrac{60}{84} = \dfrac{5}{7}$ .

Tuzak: tümleyenin olasılığı olan $\dfrac{2}{7}$ 'yi işaretlemek (A seçeneği).

Cevap: D

Özgün soru6

Zor

Kombinasyonla olasılık

Şekildeki $3 \times 3$ 'lük tablonun dokuz karesinden rastgele üçü boyanıyor.

Buna göre, boyanan üç karenin aynı satırda, aynı sütunda ya da aynı köşegen üzerinde bulunma olasılığı kaçtır?

İpucu

Çıktılar üç karelik kümelerdir. Tabloda üç karesi de aynı hizada olan kaç doğrultu var? Köşegenleri unutma.

Çözüm

1. Örnek uzay. Dokuz kareden üçü seçilir; boyama sırası önemsizdir:

$\dbinom{9}{3} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 84$

2. Uygun seçimler. Bir satırda, bir sütunda ve bir köşegende tam üç kare vardır; yani her biri tek bir seçime karşılık gelir.

Satırlar: $3$ seçim.
Sütunlar: $3$ seçim.
Köşegenler: $2$ seçim.

Bu sekiz seçim birbirinden farklıdır (iki farklı doğrultunun en çok bir ortak karesi olur): toplam $8$ .

3. Olasılık.

$P = \dfrac{8}{84} = \dfrac{2}{21}$

Çeldiriciler: köşegenleri unutursan $\dfrac{6}{84} = \dfrac{1}{14}$ bulursun.

Cevap: B