35Konu 35 / 49
Limit, Türev ve İntegral

İntegral ile Alan Hesabı

Belirli integralle alan hesabı. Eğri ile x ekseni arasındaki alan, eksenin altında kalan bölgelerin işareti, iki eğri arasındaki alan ve alanları verilmiş bir grafikten integral değeri bulma.

12. sınıf
AYT sıklığı
55 dk

Levhaİntegral ile Alan Hesabıİntegral ile Alan Hesabı

Bir tünelin girişi parabol biçiminde: taban genişliği 4 metre, en yüksek noktası 4 metre. Girişi kapatacak branda kaç metrekare olmalı?

İçine çizdiğin üçgenin alanı 8, dışına çizdiğin dikdörtgenin alanı 16. Aradığın sayı ikisinin arasında, ama üçgen ya da dikdörtgen formülü onu vermez. Kenarı eğri olan bir bölgenin alanını tam olarak veren araç belirli integraldir.

Isınma

Başlamadan önce

Puansız. Takıldığın yer olursa ön koşul konuya göz at.

Bu sayfa belirli integral hesabını bildiğini varsayar. Üç kısa soruyla yokla.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx

integralinin değeri kaçtır?

Açıklama

$\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} - 0 = 9$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

\displaystyle\int_1^2 (2x - 4)\,dx

integralinin değeri kaçtır?

Açıklama

$\left[x^2 - 4x\right]_1^2 = (4 - 8) - (1 - 4) = -4 + 3 = -1$ . Sonuç negatif, çünkü $(1, 2)$ aralığında $2x - 4$ hep negatiftir. Bu sayfanın ana konularından biri tam olarak bu işarettir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = x^2

parabolü ile

y = x + 2

doğrusu hangi apsislerde kesişir?

Açıklama

$x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0$ . Kesişim apsisleri $x = -1$ ve $x = 2$ olur.

Temel

Eğrinin altındaki alan

Alan neden integraldir?

Kemerin altını ince düşey şeritlere böl. Her şerit neredeyse bir dikdörtgendir: genişliği çok küçük bir $dx$ , yüksekliği o noktadaki $f(x)$ . Şeritlerin alanlarını toplarsan bölgenin alanına yaklaşırsın.

Şeritler inceldikçe toplam tek bir sayıya yerleşir. O sayı, belirli integral sayfasında Riemann toplamının limiti olarak tanıdığın $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ değeridir.

Sekiz şerit kemeri kabaca doldurur; şerit sayısı arttıkça toplam

\dfrac{32}{3}

değerine yaklaşır.

Örnek

kolay

Tünel girişinin alanı

Bir tünel girişinin üst sınırı, metre cinsinden $y = 4 - x^2$ parabolüdür; zemin $x$ eksenidir. Girişin alanı kaç metrekaredir?

Sınırlar verilmemiş; bölgenin nerede başlayıp bittiğini eğrinin zemini kestiği noktalar belirler. $4 - x^2 = 0 \Rightarrow x = -2$ ya da $x = 2$ .

$[-2, 2]$ aralığında $4 - x^2 \ge 0$ , yani eğri eksenin üstünde. Bu yüzden alan doğrudan integrale eşittir: $A = \displaystyle\int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx$ .

İlkel fonksiyon $4x - \dfrac{x^3}{3}$ olur, çünkü türevi $4 - x^2$ ifadesini verir.

\left[4x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \dfrac{8}{3}\right) - \left(-8 + \dfrac{8}{3}\right) = \dfrac{16}{3} + \dfrac{16}{3}

Sonucu sına: $\dfrac{32}{3} \approx 10{,}7$ sayısı üçgenin alanı 8 ile dikdörtgenin alanı 16 arasında olmalıydı; öyle.

Sonuç

$A = \dfrac{32}{3}$ metrekare

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

y = 3x^2

eğrisi,

x

ekseni,

x = 1

x = 2

doğruları arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Açıklama

Eğri eksenin üstünde olduğundan alan integraldir: $\displaystyle\int_1^2 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_1^2 = 8 - 1 = 7$ .

Örnek

kolay

Köklü fonksiyonun altındaki alan

$y = \sqrt{x}$ eğrisi, $x$ ekseni ve $x = 4$ doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

$\sqrt{x}$ yalnızca $x \ge 0$ için tanımlıdır ve eksene $x = 0$ noktasında dokunur. Bölge bu yüzden $x = 0$ ile $x = 4$ arasındadır ve eğri eksenin üstündedir.

Kuvvet kuralını uygulayabilmek için kökü üs olarak yaz: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ . Üssü bir artırıp yeni üsse böl: $\displaystyle\int x^{1/2}\,dx = \dfrac{x^{3/2}}{3/2} = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$ .

$4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 8$ olduğundan

A = \left[\dfrac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4 = \dfrac{2}{3} \cdot 8 - 0 = \dfrac{16}{3}

Sonuç

$A = \dfrac{16}{3}$ birimkare

Eğri eksenin altına inerse

$f(x) = x^2 - 2x$ fonksiyonu $0$ ile $2$ arasında eksenin altındadır. Orada şeritlerin “yüksekliği” $f(x)$ negatiftir; integral bu şeritleri eksi işaretle toplar.

Üst sınırı $0$ ‘dan $3$ ‘e doğru sürüklersen integral önce $-\dfrac{4}{3}$ değerine kadar düşer, sonra artar ve $x = 3$ olduğunda tam $0$ olur. Oysa boyalı bölge ortada duruyor; alan sıfır değil.

İki bölgenin alanı da

\dfrac{4}{3}

birimkare. İntegral birini eksi, ötekini artı sayar.

Örnek

kolay

Eksenin iki yanında kalan bölge

$f(x) = x^2 - 2x$ fonksiyonunun grafiği, $x$ ekseni, $x = 0$ ve $x = 3$ doğruları arasında kalan bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Önce eğrinin ekseni nerede kestiğine bak, çünkü işaret orada değişir: $x^2 - 2x = x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ ya da $x = 2$ . Aralığın içinde kalan kök $x = 2$ .

İşareti belirle: $x = 1$ için $f(1) = -1$ , yani $[0, 2]$ aralığında eğri eksenin altında. $x = 3$ için $f(3) = 3$ , yani $[2, 3]$ aralığında üstünde.

İki parçayı ayrı ayrı hesapla. İlkel fonksiyon $\dfrac{x^3}{3} - x^2$ .

\begin{aligned} \int_0^2 (x^2 - 2x)\,dx &= \left(\dfrac{8}{3} - 4\right) - 0 = -\dfrac{4}{3} \\ \int_2^3 (x^2 - 2x)\,dx &= (9 - 9) - \left(\dfrac{8}{3} - 4\right) = \dfrac{4}{3} \end{aligned}

Alan negatif olamayacağı için eksi çıkan parçanın mutlak değerini al ve topla: $\dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3}$ .

Sonuç

Alanlar toplamı $\dfrac{8}{3}$ birimkare

Eksenin altındaki parçayı eksene göre yukarı katla. Elde ettiğin grafik $y = |f(x)|$ grafiğidir; bölgelerin biçimi ve alanı değişmez, ama artık hepsi eksenin üstündedir. Bu yüzden alan, mutlak değerin integralidir.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

Bir

f

fonksiyonunun grafiği ile

x

ekseni arasında,

[a, b]

aralığında iki bölge vardır: eksenin üstündeki bölgenin alanı 5, altındaki bölgenin alanı 2 birimkaredir. Buna göre

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx

\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx

değerleri sırasıyla kaçtır?

Açıklama

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = 5 - 2 = 3$ (işaretli alan) ve $\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx = 5 + 2 = 7$ (toplam alan).

Orta

İki eğri arasındaki alan

Üstteki eksi alttaki

Şimdi bölgenin tabanı da eğri olsun: üstte $y = x + 2$ doğrusu, altta $y = x^2$ parabolü. Bölgeyi yine ince düşey şeritlere böl. Bir şeridin tepesi üstteki eğride, tabanı alttaki eğridedir; boyu ikisinin farkıdır.

Şeridi sola sağa gezdir: boyu hep $(x + 2) - x^2$ . Bu boyları toplamak, farkın integralini almak demektir.

Şeridin boyu: üstteki eğrinin değeri eksi alttaki eğrinin değeri.

Örnek

orta

Doğru ile parabol arasındaki alan

$y = x^2$ parabolü ile $y = x + 2$ doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Sınırları kesişimden bul: $x^2 = x + 2 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0$ , yani $a = -1$ ve $b = 2$ .

Hangisi üstte? Aralıktan kolay bir değer dene: $x = 0$ için doğru $2$ , parabol $0$ verir. Doğru üstte; integrali alınacak fark $(x + 2) - x^2$ .

\begin{aligned} A &= \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2)\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2} + 2x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} \\ &= \left(2 + 4 - \dfrac{8}{3}\right) - \left(\dfrac{1}{2} - 2 + \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{10}{3} + \dfrac{7}{6} \end{aligned}

Sonuç

$A = \dfrac{9}{2}$ birimkare

İki eğriyi birlikte aşağı kaydır; bölgenin bir kısmı, hatta tamamı $x$ ekseninin altına insin. Şeritlerin boyu değişmez, çünkü iki eğri de aynı miktarda kayar ve fark aynı kalır. Alan da değişmez.

Yani iki eğri arasındaki alanda eksenin nerede olduğu önemli değildir. Önemli olan tek şey hangi eğrinin üstte olduğudur.

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

[1, 3]

aralığında

f(x) \le g(x) \le 0

, yani iki eğri de

x

ekseninin altında ve

g

daha yukarıda. Aralarındaki bölgenin alanı hangisidir?

Açıklama

Kural eksenden bağımsızdır: üstteki eksi alttaki. Üstteki $g$ , alttaki $f$ olduğundan alan $\displaystyle\int_1^3 \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,dx$ olur; fark negatif olmadığı için sonuç da negatif olamaz.

Örnek

orta

Yaprak biçimli çiçek tarhı

Bir parkta yaprak biçiminde bir çiçek tarhı yapılacak. Tarhın iki kenarı, metre cinsinden $y = 2\sqrt{x}$ ve $y = \dfrac{x^2}{4}$ eğrileridir. Metrekareye 12 fide dikileceğine göre kaç fide gerekir?

Kenarların buluştuğu noktaları bul: $2\sqrt{x} = \dfrac{x^2}{4}$ . Bir çözüm $x = 0$ . $x > 0$ için iki tarafı $\sqrt{x}$ ile böl: $x^{3/2} = 8 \Rightarrow x = 4$ . Tarh $x = 0$ ile $x = 4$ arasında.

Üstteki kenarı belirle: $x = 1$ için $2\sqrt{1} = 2$ ve $\dfrac{1}{4}$ . Köklü eğri üstte.

Farkın integralini al. $2\sqrt{x} = 2x^{1/2}$ ifadesinin ilkeli $\dfrac{4}{3}x^{3/2}$ , $\dfrac{x^2}{4}$ ifadesinin ilkeli $\dfrac{x^3}{12}$ .

A = \left[\dfrac{4}{3}x^{3/2} - \dfrac{x^3}{12}\right]_0^4 = \dfrac{4}{3} \cdot 8 - \dfrac{64}{12} = \dfrac{32}{3} - \dfrac{16}{3} = \dfrac{16}{3}

Alan $\dfrac{16}{3}$ metrekare. Fide sayısı için alanı 12 ile çarp: $\dfrac{16}{3} \cdot 12$ .

Sonuç

64 fide gerekir.

Üstteki eğri değişirse

$y = x^3$ ile $y = x$ üç noktada kesişir: $x = -1$ , $x = 0$ , $x = 1$ . Orijinin solunda eğri üstte, sağında doğru üstte. Tek bir “üstteki eksi alttaki” ifadesi iki parçada birden doğru olamaz.

Farkın integralini $-1$ ‘den $1$ ‘e tek seferde alırsan iki parça birbirini götürür ve $0$ çıkar. Çare, eksenin altına inen eğrideki çareyle aynıdır: her kesişim noktasında böl.

Kesişim noktasında üstteki ile alttaki yer değiştirir; her parça kendi sırasıyla hesaplanır.

Örnek

orta

Üç noktada kesişen iki grafik

$y = x^3$ eğrisi ile $y = x$ doğrusu arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Kesişimler: $x^3 = x \Rightarrow x(x - 1)(x + 1) = 0$ . Üç kök var: $-1$ , $0$ , $1$ . Demek ki iki ayrı bölge var ve her birinde sıralamayı ayrıca sınamalısın.

$x = -\dfrac{1}{2}$ için $x^3 = -\dfrac{1}{8}$ , doğru $-\dfrac{1}{2}$ : eğri üstte. $x = \dfrac{1}{2}$ için $x^3 = \dfrac{1}{8}$ , doğru $\dfrac{1}{2}$ : doğru üstte.

Her parçada üstteki eksi alttaki:

\begin{aligned} \int_{-1}^{0} (x^3 - x)\,dx &= \left[\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} = 0 - \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4} \\ \int_{0}^{1} (x - x^3)\,dx &= \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \end{aligned}

Sonuç

Alanlar toplamı $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$ birimkare

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

f

ile

g

fonksiyonlarının grafikleri yalnızca

x = 0

x = 2

x = 5

apsisli noktalarda kesişiyor.

(0, 2)

aralığında

f

üstte,

(2, 5)

aralığında

g

üstte. Grafikler arasında kalan bölgelerin alanları toplamı hangisidir?

Açıklama

Kesişim noktasında böl, her parçada üstteki eksi alttaki yaz: $[0, 2]$ aralığında $f - g$ , $[2, 5]$ aralığında $g - f$ .

İleri

Parametre, alandan integral ve bağlamlı sorular

Alan bir parametreye bağlıysa

$y = x^2$ parabolünü $y = k$ yatay doğrusuyla kes. Doğruyu yukarı çektikçe aradaki bölge hem genişler hem yükselir; alan $k$ ile doğru orantılı değil, daha hızlı büyür.

Sınav soruları çoğu zaman bunun tersini ister: alan ya da alanların oranı verilir, parametre sorulur. Yol hep aynıdır: alanı parametre cinsinden yaz, verilen koşula eşitle.

Örnek

zor

Alanı verilen bölgeden parametre bulma

$k$ pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, $y = x^2$ parabolü ile $y = k$ doğrusu arasında kalan bölgenin alanı 36 birimkaredir. Buna göre $k$ kaçtır?

Kesişim apsislerini $k$ cinsinden yaz: $x^2 = k \Rightarrow x = -\sqrt{k}$ ya da $x = \sqrt{k}$ . Bu aralıkta doğru üstte, parabol altta.

Bölge $y$ eksenine göre simetrik olduğundan sağ yarısını hesaplayıp ikiyle çarpmak işlemi kısaltır:

A = 2\int_0^{\sqrt{k}} (k - x^2)\,dx = 2\left[kx - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt{k}} = 2\left(k\sqrt{k} - \dfrac{k\sqrt{k}}{3}\right) = \dfrac{4}{3}k\sqrt{k}

Verilen alana eşitle: $\dfrac{4}{3}k\sqrt{k} = 36 \Rightarrow k\sqrt{k} = 27$ . $k\sqrt{k} = (\sqrt{k})^3$ olduğundan $\sqrt{k} = 3$ .

Sağlama: $k = 9$ için

\int_{-3}^{3} (9 - x^2)\,dx = \left[9x - \dfrac{x^3}{3}\right]_{-3}^{3} = 18 - (-18) = 36

Sonuç

$k = 9$

Kendini dene

Puan yok, deneme sınırsız

m > 0

olmak üzere

y = mx

doğrusu ile

y = x^2

parabolü arasında kalan bölgenin alanı

m

cinsinden nedir?

Açıklama

Kesişim: $x^2 = mx \Rightarrow x = 0$ ya da $x = m$ . Alan $\displaystyle\int_0^m (mx - x^2)\,dx = \dfrac{m^3}{2} - \dfrac{m^3}{3} = \dfrac{m^3}{6}$ . 2022 AYT’deki soru bu ifadeyi iki farklı eğim için kullanır.

Alanlardan integral değeri bulma

Bazı sorularda fonksiyonun kuralı hiç verilmez; yalnızca grafik ve bölgelerin alanları vardır. O zaman her bölgeye bir harf ver ve iki cümleyi denkleme çevir: mutlak değersiz integral alanları işaretiyle, mutlak değerli integral işaretsiz toplar.

Eksenin üstündeki bölgeler integrale artı, altındaki bölge eksi işaretle girer.

Örnek

zor

İki integralden üç alan

Yukarıdaki şekilde $f$ fonksiyonunun grafiği ile $x$ ekseni arasındaki bölgelerin alanları $S_1$ , $S_2$ ve $S_3$ ile gösterilmiştir.

\int_{-3}^{5} f(x)\,dx = 4, \qquad \int_{-3}^{5} |f(x)|\,dx = 22, \qquad \int_{-3}^{2} f(x)\,dx = -5

olduğuna göre $S_1$ kaçtır?

Her integrali alanlarla yaz. $S_1$ ve $S_3$ eksenin üstünde, $S_2$ altında:

\begin{aligned} S_1 - S_2 + S_3 &= 4 \\ S_1 + S_2 + S_3 &= 22 \end{aligned}

İkinci eşitlikten birinciyi çıkar; üstteki alanlar götürür, alttaki alan kalır: $2S_2 = 18 \Rightarrow S_2 = 9$ .

Üçüncü integral yalnızca ilk iki bölgeyi kapsar: $\displaystyle\int_{-3}^{2} f(x)\,dx = S_1 - S_2 = -5$ . $S_2 = 9$ yazınca $S_1 = 4$ .

Sağlama: $S_3 = 22 - 4 - 9 = 9$ ve $S_1 - S_2 + S_3 = 4 - 9 + 9 = 4$ . Üç koşul da tutuyor.

Sonuç

$S_1 = 4$

Alanın anlamı: hız grafiğinden yol

Hız, konumun türevidir; bu yüzden hızın integrali konumdaki değişimi verir. Hız negatif olmadığı sürece bu, alınan yolun kendisidir. Zaman–hız grafiğinin altındaki alan bir uzunluktur.

İki aracın hız grafiklerini üst üste çiz. Grafikler arasındaki alan, hızlı olanın o sürede ötekinden kaç metre fazla yol aldığıdır. Zamanı ilerlet: önce A’nın açtığı fark büyür, grafikler kesiştikten sonra B bu farkı geri alır.

Soldaki alan A'nın açtığı fark, sağdaki alan B'nin kapattığı fark. İkisi eşit olduğunda araçlar yan yanadır.

Örnek

zor

Aynı ışıktan kalkan iki araç

Kırmızı ışıkta yan yana duran A ve B araçları aynı anda kalkıp aynı yönde ilerliyor. Kalkıştan $t$ saniye sonraki hızları metre/saniye cinsinden $v_A(t) = 2t$ ve $v_B(t) = \dfrac{t^2}{2}$ oluyor. A aracı B’nin en çok kaç metre önüne geçer ve B, A’yı kalkıştan kaç saniye sonra yakalar?

Aradaki mesafe, hız farkının integralidir: $t$ anında A’nın B’ye göre önde olduğu mesafe $\displaystyle\int_0^t \left(2u - \dfrac{u^2}{2}\right)du = t^2 - \dfrac{t^3}{6}$ .

Fark, A daha hızlı olduğu sürece büyür. Hızlar $2t = \dfrac{t^2}{2} \Rightarrow t = 4$ anında eşitlenir; sonrasında B daha hızlıdır ve fark azalır. En büyük fark $t = 4$ anındadır.

$t = 4$ için fark metre cinsinden

16 - \dfrac{64}{6} = 16 - \dfrac{32}{3} = \dfrac{16}{3}

olur. Bu, grafikte $0$ ile $4$ arasındaki bölgenin alanıdır.

B, A’yı yakaladığında fark sıfırdır: $t^2 - \dfrac{t^3}{6} = 0 \Rightarrow t^2\left(1 - \dfrac{t}{6}\right) = 0$ . $t > 0$ için $t = 6$ . Grafikte bu, $4$ ile $6$ arasındaki bölgenin alanının da $\dfrac{16}{3}$ olması demektir.

Sonuç

A en çok $\dfrac{16}{3}$ metre öne geçer; B, A’yı 6. saniyede yakalar.

Özet

Eğri eksenin üstündeyse alan integralin kendisidir: $A = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ .
Belirli integral işaretli alandır: eksenin üstü artı, altı eksi. Alan için $A = \displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$ ; aralığı köklerde böl, parçaların mutlak değerini topla.
İki eğri arasındaki alan: $A = \displaystyle\int_a^b (\text{üstteki} - \text{alttaki})\,dx$ . Sınırlar kesişim apsisleridir; eksenin yeri sonucu değiştirmez.
Üstteki eğri değişiyorsa her kesişim noktasında böl. Hangisinin üstte olduğunu aralıktan bir değer deneyerek belirle.
Doğruyla sınırlı parçalarda üçgen ve yamuk formülleri integralden hızlıdır.
Şekilde alanlar verilmişse bölgelere harf ver: $\displaystyle\int f$ işaretli toplam, $\displaystyle\int |f|$ işaretsiz toplamdır.
Sık kullanılan sonuç: $y = mx$ ile $y = x^2$ arasındaki alan $\dfrac{m^3}{6}$ .

Çıkmış Sorular

Sınavda nasıl soruldu?

8 çıkmış soru5 özgün soru

2026 AYTSoru 26

Orta

İki eğri arasındaki alan

Dik koordinat düzleminde $y = x\sqrt{x}$ ve $y = 4\sqrt{x}$ fonksiyonlarının grafikleri şekildeki gibidir.

Şekildeki kırmızı, mavi ve sarı boyalı bölgelerin alanları sırasıyla $K$ , $M$ ve $S$ ile gösterildiğine göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

İpucu

Üç bölge birlikte bir dikdörtgen oluşturuyor. Kesişim noktasını bulursan dikdörtgenin alanı belli olur; iki integral yeter.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 34)

Çözüm

Şekilde $K$ üstteki eğri ile $y$ ekseni arasında, $M$ iki eğrinin arasında, $S$ alttaki eğrinin altındadır.

Kesişim. $x\sqrt{x} = 4\sqrt{x}$ eşitliğinden $x > 0$ için $x = 4$ , $y = 4\sqrt{4} = 8$ . Kesikli çizgiler $x = 4$ ve $y = 8$ doğrularıdır; üç bölge birlikte alanı $4 \cdot 8 = 32$ olan dikdörtgeni doldurur.

$S$ . Alttaki eğrinin ( $x\sqrt{x} = x^{3/2}$ ) altı:

S = \int_0^4 x^{3/2}\,dx = \left[\dfrac{2}{5}x^{5/2}\right]_0^4 = \dfrac{2}{5} \cdot 32 = \dfrac{64}{5}

Üstteki eğrinin altı.

\int_0^4 4x^{1/2}\,dx = \left[\dfrac{8}{3}x^{3/2}\right]_0^4 = \dfrac{8}{3} \cdot 8 = \dfrac{64}{3}

$M$ ve $K$ . $M = \dfrac{64}{3} - \dfrac{64}{5} = \dfrac{128}{15}$ ve $K = 32 - \dfrac{64}{3} = \dfrac{32}{3}$ .

Sırala. Ortak paydada $M = \dfrac{128}{15}$ , $K = \dfrac{160}{15}$ , $S = \dfrac{192}{15}$ . Buna göre $M < K < S$ .

Tuzak: şekle bakıp göz kararı sıralamak. Mercek biçimli $M$ bölgesi uzun göründüğü için büyük sanılır, oysa en küçük odur.

Cevap: B

2025 AYTSoru 26

Orta

Alandan integral değeri bulma

$m$ pozitif bir gerçel sayıdır. Dik koordinat düzleminde $f$ fonksiyonu $[-m, m]$ kapalı aralığında tanımlıdır; grafiği ile $x$ ekseni arasında şekildeki dört boyalı bölge oluşur. Bu bölgelerin alanları $A$ , $B$ , $C$ ve $D$ ile gösterilmiştir ve dördü de birbirinden farklıdır.

\int_{-m}^{m} |f(x)|\,dx = \int_{-m}^{m} f(x)\,dx + \int_{0}^{m} 2 \cdot f(x)\,dx

olduğuna göre $\displaystyle\int_{-m}^{m} f(x)\,dx$ integralinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?

İpucu

Üç integrali de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ cinsinden yaz: eksenin üstündeki bölgeler artı, altındakiler eksi; mutlak değerde hepsi artı.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

Şekilde $A$ ve $D$ bölgeleri eksenin üstünde, $B$ ve $C$ bölgeleri altındadır; $C$ ve $D$ bölgeleri $y$ ekseninin sağındadır.

Üç integrali alanlarla yaz.

\int_{-m}^{m} |f(x)|\,dx = A + B + C + D

\int_{-m}^{m} f(x)\,dx = A - B - C + D

\int_{0}^{m} f(x)\,dx = -C + D

Verilen eşitlikte yerine koy.

A + B + C + D = (A - B - C + D) + 2(D - C)

$A$ ve $D$ sadeleşir: $B + C = -B - C + 2D - 2C \Rightarrow 2B + 4C = 2D \Rightarrow D = B + 2C$ .

İstenen integral. $A - B - C + D = A - B - C + B + 2C = A + C$ .

Tuzak: $\displaystyle\int_0^m f(x)\,dx$ için $C + D$ yazmak. $C$ eksenin altında olduğu için integrale $-C$ olarak girer.

Cevap: B

2024 AYTSoru 25

Orta

İki eğri arasındaki alan

$a$ bir gerçel sayıdır. Dik koordinat düzleminde $y = a\sqrt{x}$ ve $y = \sqrt{x}$ fonksiyonlarının grafikleri şekildeki gibidir.

Mavi boyalı bölgenin alanı $A_1$ , sarı boyalı bölgenin alanı $A_2$ olmak üzere

A_1 \cdot A_2 = 96

olduğuna göre $a$ kaçtır?

İpucu

$A_2$ bölgesinde $a$ yoktur; önce onu hesapla. Sol ucunu bulmak için $y = \sqrt{x}$ eğrisinin $y = 2$ doğrusunu nerede kestiğine bak.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

Şekilde $A_1$ iki eğri arasında ve $0 \le x \le 9$ aralığındadır; $A_2$ ise $y = \sqrt{x}$ eğrisinin altında, $y = 2$ doğrusunun üstünde ve $x = 9$ doğrusunun solundadır.

$A_2$ . Sol uç: $\sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$ . Üstte eğri, altta $y = 2$ doğrusu:

A_2 = \int_4^9 (\sqrt{x} - 2)\,dx = \left[\dfrac{2}{3}x^{3/2} - 2x\right]_4^9 = (18 - 18) - \left(\dfrac{16}{3} - 8\right) = \dfrac{8}{3}

$A_1$ . Üstteki eksi alttaki: $a\sqrt{x} - \sqrt{x} = (a - 1)\sqrt{x}$ .

A_1 = (a - 1)\int_0^9 \sqrt{x}\,dx = (a - 1) \cdot \dfrac{2}{3} \cdot 27 = 18(a - 1)

Koşul. $18(a - 1) \cdot \dfrac{8}{3} = 48(a - 1) = 96 \Rightarrow a - 1 = 2 \Rightarrow a = 3$ .

Tuzak: $A_2$ için alt sınırı $x$ ekseni saymak ya da integrali $0$ 'dan başlatmak. Sarı bölge $y = 2$ doğrusunun üstünde ve $x = 4$ 'ten sonradır.

Cevap: B

2022 AYTSoru 25

Orta

Alan oranından parametre bulma

$m$ pozitif bir gerçel sayıdır. Dik koordinat düzleminde $y = mx$ doğrusu ile $y = x^2$ eğrisinin sınırladığı bölge, $y = 2x$ doğrusuyla şekildeki gibi iki bölgeye ayrılmıştır.

Şekildeki $A_1$ bölgesinin alanı, $A_2$ bölgesinin alanının 7 katıdır.

Buna göre $m$ kaçtır?

İpucu

$A_1$ bölgesinin sınırları karışık; onu tek başına hesaplama. $A_1 + A_2$ toplamı hangi iki grafiğin arasındaki bölgedir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

Genel sonuç. $k > 0$ için $y = kx$ doğrusu ile $y = x^2$ eğrisi $x = 0$ ve $x = k$ apsislerinde kesişir; aralarındaki alan

\int_0^k (kx - x^2)\,dx = \dfrac{k^3}{2} - \dfrac{k^3}{3} = \dfrac{k^3}{6}

olur.

$A_2$ . $y = 2x$ doğrusu ile eğri arasındaki bölgedir ( $k = 2$ ): $A_2 = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$ .

$A_1 + A_2$ . İki bölge birlikte $y = mx$ doğrusu ile eğri arasındaki bölgenin tamamıdır: $A_1 + A_2 = \dfrac{m^3}{6}$ .

Koşul. $A_1 = 7A_2$ olduğundan $A_1 + A_2 = 8A_2$ :

\dfrac{m^3}{6} = 8 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{32}{3} \Rightarrow m^3 = 64 \Rightarrow m = 4

Tuzak: $\dfrac{m^3}{6} = 7A_2$ yazmak; $\dfrac{m^3}{6}$ yalnızca $A_1$ değil, iki bölgenin toplamıdır.

Cevap: B

2021 AYTSoru 26

Orta

Parçalara ayırarak alan hesabı

Dik koordinat düzleminde

f(x) = x^2 - 2x

g(x) = -x^2 + 4x

fonksiyonlarının grafikleri ve $x$ ekseniyle sınırlanan boyalı bölge şekilde gösterilmiştir.

Buna göre boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

İpucu

Bölgenin üst sınırı hep aynı parabol, ama alt sınırı $x = 2$ noktasında değişiyor. Önce iki parabolün kesişimini bul.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

Kesişim. $x^2 - 2x = -x^2 + 4x \Rightarrow 2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x = 0$ ya da $x = 3$ .

Sınırlar. Boyalı bölgenin üstünde her yerde $g$ vardır. Altında ise $[0, 2]$ aralığında $x$ ekseni ( $f$ burada eksenin altındadır ve o kısım boyalı değildir), $[2, 3]$ aralığında $f$ vardır.

Birinci parça.

\int_0^2 (-x^2 + 4x)\,dx = \left[-\dfrac{x^3}{3} + 2x^2\right]_0^2 = -\dfrac{8}{3} + 8 = \dfrac{16}{3}

İkinci parça. Üstteki eksi alttaki: $g(x) - f(x) = -2x^2 + 6x$ .

\int_2^3 (-2x^2 + 6x)\,dx = \left[-\dfrac{2x^3}{3} + 3x^2\right]_2^3 = (-18 + 27) - \left(-\dfrac{16}{3} + 12\right) = 9 - \dfrac{20}{3} = \dfrac{7}{3}

Toplam. $\dfrac{16}{3} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{23}{3}$ birimkare.

Tuzak: $0$ 'dan $3$ 'e doğrudan $g - f$ integralini almak. O zaman $f$ parabolünün eksen altında kalan, boyalı olmayan kısmı da sayılır ve $9$ çıkar.

Cevap: E

2019 AYTSoru 27

Kolay

İki grafik arasındaki alan

Dik koordinat düzleminde $y = \dfrac{x}{2}$ doğrusu ile $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği şekildeki gibidir.

\int_0^4 f(x)\,dx = 8

\int_4^6 f(x)\,dx = 3

olduğuna göre, boyalı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

İki grafik arasındaki alan, üstteki eksi alttakinin integralidir. Üstteki grafik $x = 4$ noktasında değiştiği için iki parça ayrı hesaplanır.

Doğrunun altındaki alanlar (geometriyle). $[0, 4]$ aralığında tabanı $4$ , yüksekliği $2$ olan üçgen: $\dfrac{4 \cdot 2}{2} = 4$ . $[4, 6]$ aralığında paralel kenarları $2$ ve $3$ , yüksekliği $2$ olan yamuk: $\dfrac{(2 + 3) \cdot 2}{2} = 5$ .

$[0, 4]$ aralığı. Eğri üstte: $\displaystyle\int_0^4 f(x)\,dx - 4 = 8 - 4 = 4$ .

$[4, 6]$ aralığı. Doğru üstte: $5 - \displaystyle\int_4^6 f(x)\,dx = 5 - 3 = 2$ .

Boyalı alanların toplamı $4 + 2 = 6$ birimkaredir.

Tuzak: iki parçada da "eğri eksi doğru" yazmak. O zaman $4 + (3 - 5) = 2$ çıkar; bu, alanların toplamı değil farkıdır.

Cevap: D

2019 AYTSoru 29

Orta

Alan oranından parametre bulma

$a$ pozitif bir tam sayıdır. Dik koordinat düzleminde $x + y = 2$ doğrusu ile eksenlerin oluşturduğu üçgensel bölge, $y = x^a$ eğrisiyle şekildeki gibi iki bölgeye ayrılmıştır.

Şekildeki $A_2$ bölgesinin alanı, $A_1$ bölgesinin alanının 2 katıdır.

Buna göre $a$ kaçtır?

İpucu

Üçgenin alanını bul; $A_2 = 2A_1$ bilgisiyle $A_1$ belli olur. Sonra $A_1$ bölgesini $x = 1$ doğrusuyla ikiye böl.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 33)

Çözüm

Üçgenin alanı. Doğru eksenleri $(2, 0)$ ve $(0, 2)$ noktalarında keser: $\dfrac{2 \cdot 2}{2} = 2$ .

$A_1$ kaç? $A_1 + A_2 = 2$ ve $A_2 = 2A_1$ olduğundan $3A_1 = 2$ , yani $A_1 = \dfrac{2}{3}$ .

$A_1$ bölgesini integralle yaz. Bölgenin üst sınırı $(1, 1)$ noktasında değişir: $[0, 1]$ aralığında eğri, $[1, 2]$ aralığında doğru. İkinci parça dik kenarları $1$ olan bir dik üçgendir, alanı $\dfrac{1}{2}$ .

A_1 = \int_0^1 x^a\,dx + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{a + 1} + \dfrac{1}{2}

Eşitle. $\dfrac{1}{a + 1} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{a + 1} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow a = 5$ .

Tuzak: $A_1$ için yalnızca eğrinin altını almak ve sağdaki üçgeni unutmak; o zaman $\dfrac{1}{a + 1} = \dfrac{2}{3}$ çıkar ve $a$ tam sayı olmaz.

Cevap: D

2018 AYTSoru 26

Orta

Alan oranından parametre bulma

$a$ ve $b$ pozitif gerçel sayılardır. Dik koordinat düzleminde $y = ax^2 + b$ eğrisi ile $x = 0$ , $x = 2$ ve $y = 0$ doğrularının sınırladığı bölge çiziliyor. $(2, 0)$ ve $(0, b)$ noktalarından geçen doğru bu bölgeyi, alanlarının oranı 3 olan iki parçaya ayırıyor.

Buna göre $\dfrac{a}{b}$ oranı kaçtır?

İpucu

Doğrunun altında kalan parça bir dik üçgendir; alanını integralsiz bul. Hangi parçanın büyük olduğuna karar vermeden oranı yazma.

ÖSYM kitapçığında gör (s. 32)

Çözüm

Bölgenin tamamı. $a, b > 0$ olduğundan eğri eksenin üstündedir:

\int_0^2 (ax^2 + b)\,dx = \left[\dfrac{ax^3}{3} + bx\right]_0^2 = \dfrac{8a}{3} + 2b

Doğrunun altındaki parça. $(0, b)$ ve $(2, 0)$ noktalarından geçen doğru, eksenlerle dik kenarları $2$ ve $b$ olan bir dik üçgen oluşturur: alanı $\dfrac{2 \cdot b}{2} = b$ . Eğri $[0, 2]$ aralığında en az $b$ yüksekliğinde olduğundan ( $ax^2 + b \ge b$ ) doğru hep eğrinin altında kalır; üçgen bölgenin içindedir.

Üstteki parça. $\dfrac{8a}{3} + 2b - b = \dfrac{8a}{3} + b$ .

Oran. Üstteki parça $b$ 'den büyüktür, yani büyük parça odur. Tuzak, oranı ters kurmaktır: $b = 3\left(\dfrac{8a}{3} + b\right)$ yazılırsa $a$ negatif çıkar.

\dfrac{8a}{3} + b = 3b \Rightarrow \dfrac{8a}{3} = 2b \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{4}

Cevap: C

Özgün sorular

Özgün soru1

Kolay

Eğri ile x ekseni arasındaki alan

Dik koordinat düzleminde $y = 6x - x^2$ parabolü ile $x$ ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Çözüm

Sınırlar. Eğrinin ekseni kestiği noktalar: $6x - x^2 = x(6 - x) = 0 \Rightarrow x = 0$ ya da $x = 6$ .

İşaret. $x = 1$ için $y = 5 > 0$ ; parabol $[0, 6]$ aralığında eksenin üstündedir, alan doğrudan integraldir.

A = \int_0^6 (6x - x^2)\,dx = \left[3x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^6 = 108 - 72 = 36

Sınama: tepe noktası $(3, 9)$ olduğundan bölge $6 \times 9 = 54$ alanlı dikdörtgenin içinde, $27$ alanlı üçgenin dışındadır; $36$ bu ikisinin arasındadır. $27$ seçeneği bölgeyi üçgen sayanların, $72$ seçeneği $\dfrac{x^3}{3}$ yerine $\dfrac{x^3}{6}$ yazanların bulduğu sonuçtur.

Cevap: D

Özgün soru2

Orta

İşaretli alan

Dik koordinat düzleminde $y = x^3$ eğrisi, $x$ ekseni, $x = -1$ ve $x = 2$ doğruları arasında kalan bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

İpucu

Eğri $x = 0$ noktasında ekseni kesiyor. Solundaki parça eksenin altında mı, üstünde mi?

Çözüm

İşaret. $x^3$ , $x < 0$ için negatif, $x > 0$ için pozitiftir. Eğri $[-1, 0]$ aralığında eksenin altında, $[0, 2]$ aralığında üstündedir; aralık $x = 0$ noktasında bölünür.

\int_{-1}^{0} x^3\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4}\right]_{-1}^{0} = 0 - \dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{4}

\int_{0}^{2} x^3\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4}\right]_{0}^{2} = 4

Alan. Eksi çıkan parçanın mutlak değeri alınır: $\dfrac{1}{4} + 4 = \dfrac{17}{4}$ birimkare.

Tuzak: $-1$ 'den $2$ 'ye tek integral almak. O zaman $4 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{15}{4}$ çıkar; bu işaretli alandır. Soldaki küçük bölgeyi hiç saymayan da $4$ bulur.

Cevap: C

Özgün soru3

Orta

İki eğri arasındaki alan

Dik koordinat düzleminde $y = x^2 - 4$ parabolü ile $y = 2x - 1$ doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

İpucu

Bölgenin bir kısmı $x$ ekseninin altında kalıyor; bu, iki eğri arasındaki alan formülünü değiştirir mi?

Çözüm

Kesişim. $x^2 - 4 = 2x - 1 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0$ . Sınırlar $x = -1$ ve $x = 3$ .

Üstteki. $x = 0$ için doğru $-1$ , parabol $-4$ verir: doğru üstte. İkisi de negatif olsa da kural değişmez; üstteki eksi alttaki alınır.

(2x - 1) - (x^2 - 4) = -x^2 + 2x + 3

A = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3)\,dx = \left[-\dfrac{x^3}{3} + x^2 + 3x\right]_{-1}^{3} = (-9 + 9 + 9) - \left(\dfrac{1}{3} + 1 - 3\right) = 9 + \dfrac{5}{3} = \dfrac{32}{3}

Tuzak: kökleri $x = 1$ ve $x = 3$ sanmak (çarpanlara ayırırken işaret hatası). O zaman integral $\dfrac{16}{3}$ çıkar. Bölgeyi $x$ ekseninde bölmeye çalışmak da gereksizdir: iki eğri arasındaki alanda eksenin yeri önemli değildir.

Cevap: D

Özgün soru4

Orta

Alandan integral değeri bulma

Dik koordinat düzleminde $[-3, 6]$ aralığında tanımlı $f$ fonksiyonunun grafiği şekildeki gibidir. Grafik ile $x$ ekseni arasında kalan üç bölgenin alanları, birimkare cinsinden bölgelerin içine yazılmıştır.

Buna göre

\int_{-3}^{6} f(x)\,dx + \int_{1}^{6} |f(x)|\,dx

toplamının değeri kaçtır?

İpucu

İki integralin aralıkları farklı. Her birinin hangi bölgeleri kapsadığını ve o bölgeleri hangi işaretle saydığını ayrı ayrı yaz.

Çözüm

Şekilde $[-3, 1]$ aralığındaki bölge eksenin üstünde (alanı $16$ ), $[1, 4]$ aralığındaki bölge altında (alanı $9$ ), $[4, 6]$ aralığındaki bölge üstündedir (alanı $4$ ).

Birinci integral. Üç bölgeyi de kapsar; eksenin altındaki eksi işaretle girer:

\int_{-3}^{6} f(x)\,dx = 16 - 9 + 4 = 11

İkinci integral. Yalnızca son iki bölgeyi kapsar; mutlak değer ikisini de artı sayar:

\int_{1}^{6} |f(x)|\,dx = 9 + 4 = 13

Toplam. $11 + 13 = 24$ .

Tuzaklar: ikinci integralde $9$ 'u eksi saymak ( $11 + (-5) = 6$ ), birinci integralde alanları işaretsiz toplamak ( $29 + 13 = 42$ ) ya da yalnızca tek bir integrali hesaplayıp bırakmak ( $13$ ; işaretsiz toplam $29$ ).

Cevap: C

Özgün soru5

Zor

Alan oranından parametre bulma

Dik koordinat düzleminde $y = x^2$ parabolü ile $y = 4$ doğrusu arasında kalan bölge, $y = k$ doğrusuyla alanları eşit iki bölgeye ayrılıyor.

Buna göre $k^3$ kaçtır?

İpucu

$y = x^2$ ile $y = c$ doğrusu arasındaki alanı $c$ cinsinden bir kez bul; aynı ifadeyi $c = 4$ ve $c = k$ için kullan.

Çözüm

Genel alan. $c > 0$ için $y = x^2$ ile $y = c$ doğrusu $x = -\sqrt{c}$ ve $x = \sqrt{c}$ apsislerinde kesişir. Bölge $y$ eksenine göre simetriktir:

A(c) = 2\int_0^{\sqrt{c}} (c - x^2)\,dx = 2\left(c\sqrt{c} - \dfrac{c\sqrt{c}}{3}\right) = \dfrac{4}{3}c\sqrt{c}

Bölgenin tamamı. $A(4) = \dfrac{4}{3} \cdot 4 \cdot 2 = \dfrac{32}{3}$ .

Alttaki parça. $y = k$ doğrusunun altında kalan parça, parabol ile $y = k$ arasındaki bölgedir; alanı $A(k)$ olur ve bütünün yarısına eşittir:

\dfrac{4}{3}k\sqrt{k} = \dfrac{16}{3} \Rightarrow k\sqrt{k} = 4

$k^3$ . İki tarafın karesi alınır: $(k\sqrt{k})^2 = k^3 = 16$ .

Tuzak: alan yarıya inince yüksekliğin de yarıya ineceğini düşünüp $k = 2$ almak ( $k^3 = 8$ ). Alan $k$ ile değil $k\sqrt{k}$ ile orantılıdır; $k = 2$ için alttaki parça bütünün yarısından küçüktür.

Cevap: C